Régimes transitoires. Régimes forcés

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1 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires égimes ransioires. égimes forcés harge/décharge d'un condensaeur à ravers une résisance. harge Soi le circui donné ci-dessous : Iniialemen le condensaeur ne pore aucune charge Q =. A l'insan = on ferme l'inerrupeur K. a source de ension coninue es alors connecée aux bornes du circui série. K i() +q() u () On peu se demander quel sera le régime permanen de ce monage, lorsque le régime ransioire sera erminé? Un condensaeur es formé de deux armaures en influence élecrosaique oale, séparées par une couche diélecrique isolane. Donc, en régime coninu aucun élecron ne peu passer d'une armaure à l'aure à ravers le diélecrique e le condensaeur peu êre vu comme un circui ouver ne laissan passer aucun couran. emarque : en fai, un ou pei nombre d'élecrons ransien quand même dans le diélecrique donnan ainsi naissance à un couran rès pei, appelé couran de fuie du condensaeur. Pour nore éude, ce couran sera négligé. On peu donc déduire qu'en régime permanen, une fois le régime ransioire passé, le couran dans le circui sera nul. Par conséquen il n'y aura pas de chue de poeniel dans la résisance e la ension aux bornes de condensaeur sera égale à. Sa charge sera donc égale à Q=, l'armaure +Q éan reliée à la borne + de la source de ension. On devra vérifier que nore soluion nous perme de rerouver ces résulas à =. Pendan la charge, le couran conribue à augmener la charge de la plaque posiive du condensaeur. On a donc, avec les convenions choisies sur la figure, la relaion suivane : dq du i = =. d d q() a loi d'ohm insananée s'écri : = i() + Soi, en expriman i() e q() en foncion de u () : du u + = d, équaion différenielle du premier ordre à coefficiens consans. Yves Berrand, berrand@lirmm.fr - - cours3/4

2 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires a soluion générale u () de cee équaion es égale à la somme de la soluion u () de l'équaion sans second membre (SSM) plus une soluion pariculière u () de l'équaion avec second membre (ASM). a consane d'inégraion sera déerminée par les condiions iniiales. SSM : u u du & + = => = => u = Ae u ASM : omme le nd membre es consan, la soluion pariculière es à chercher sous forme d'une consane, d'où : u = a soluion générale es donc : u () = + Ae es condiions iniiales (à =, q= e donc u =) permeen de déerminer la consane A : u (=) = = + A => A = -. a ension aux bornes du condensaeur es donc donné par : u = () e du On en dédui le couran : i() e d = = la grandeur = es homogène à un emps. lle es appelée consane emps (en s) u / i / Tracé de la courbe : u () = ( e ) du / Pene à l'origine : = e / ] = d = = doù l'équaion de la angene à l'origine : u () = / Asympoe : pour, u () = 3 / Inersecion des deux droies précédenes : c'es le poin ( ; ). Yves Berrand, berrand@lirmm.fr - - cours3/4

3 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires la angene à l'origine coupe l'asympoe au emps =. 4 / alcul du emps n au bou duquel la valeur maximum es aeine à n % près. / e n = n / qui condui à : e n = n, soi : log n = n D'où, le emps au bou duquel la valeur maximum es aeine à % près : =, 3 e le emps au bou duquel la valeur maximum es aeine à % près : = 4, 6. Une règle praique consise à considérer qu'au bou du emps = 5 on a aein la valeur finale (à moins de % près). Pour le racé de i () = / e, on a une exponenielle décroissane qui aein la valeur i= au bou du emps =5, à moins de % près. emarque : On rerouve bien qu'après la fin du phénomène ransioire, on a i= e le condensaeur chargé sous qui pore donc une charge Q=U. emarque : Si, au lieu d'un condensaeur iniialemen déchargé, on par d'un condensaeur préalablemen chargé avec la charge Q, la echnique de résoluion rese la même. Seule la condiion iniiale change : u c (=) = Q / e le résula devien : Q u () e = + e i () Q = e /. Décharge Iniialemen le condensaeur pore la charge Q. A l'insan = on ferme l'inerrupeur K. e condensaeur se décharge alors à ravers jusqu'à annulaion de sa charge. e couran devien alors nul. K i() u () +q() ici, le couran es un couran de décharge du condensaeur e on a dq du i = =. d d a loi d'ohm insananée s'écri : q() i() + = Soi, en expriman i() e q() en foncion de u () : Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

4 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires du u + =, équaion différenielle du premier ordre à coefficiens consans, sans d second membre, don la soluion finale es : Q = / Q u () e e i () = e / Q / u Q / i ablissemen e coupure de couran dans une self, à ravers une résisance. ablissemen du couran Soi le circui donné ci-dessous : Iniialemen la self n'es le siège d'aucun couran I =. A l'insan = on ferme l'inerrupeur K. a source de ension coninue es alors connecée aux bornes du circui série. K i() u () On peu se demander quel sera le régime permanen de ce monage, lorsque le régime ransioire sera erminé? Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

5 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires Une self ne développe de fem d'inducion à ses bornes que lorsque le couran qui la raverse varie dans le emps : c'es la loi de enz. Donc, en régime coninu, c'es-à-dire, lorsqu'elle es parcourue par un couran consan non nul on a : u () =. Ici, lorsque l'on va fermer l'inerrupeur K, le couran, paran de i=, va s'éablir pendan la durée du phénomène ransioire jusqu'à aeindre une valeur limie coninue. ee valeur es simplemen donnée par I =/. On peu donc déduire qu'en régime permanen, une fois le régime ransioire passé, le couran dans le circui sera I =/ e la ddp aux bornes de sera u =. emarque : Toue self a une résisance inrinsèque. Pour la prendre en compe, il suffi de considérer la self réelle comme une self pure en série avec sa résisance propre. On rerouve alors un monage du ype de la figure ci-dessus dans lequel la résisance devien ' somme de la résisance exerne e de la résisance de la self. di a loi d'ohm insananée s'écri : = i() + d Soi, en divisan par : di + i() =, équaion différenielle du premier ordre à coefficiens consans. d a echnique de résoluion es la même que pour la charge du condensaeur à ravers une résisance. ompe-enu de la condiion iniiale : i(=) =, on rouve : = e i () e u = = () e d di la grandeur = / es homogène à un emps. lle es appelée consane emps (en s). es courbes rouvées pour i() e u () son du même ype que celles rouvées pour u () e i(), respecivemen, dans le cas de la charge du condensaeur à ravers une résisance. / i u emarque : On rerouve bien qu'après la fin du phénomène ransioire, on a u = e que le couran es consan e égal à /. Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

6 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires. upure du couran Si à un insan = on cour-circuie à ravers une résisance une self iniialemen parcourue par un couran consan I, (ou si on la cour-circuie sur elle-même, compe enu de ), le couran ne pourra pas cesser insananémen (c'es un effe de la loi de enz). Il ne sera nul qu'à la fin du phénomène ransioire. 'éudian doi êre capable de rerouver lui-même les lois d'évoluion emporelle de i() e u () dans un el circui. a condiion iniiale à prendre en compe sera i(=) = I. 3 harge/décharge d'un condensaeur à ravers une résisance e une self 3. harge K i() u () +q() u () q() di() a loi d'ohm insananée s'écri : = i() + + d Pendan la charge, le couran conribuera à augmener la charge de la plaque posiive du condensaeur. On a donc, avec les convenions choisies sur la figure, la relaion suivane: dq du i = =. d d Soi, en expriman i() e q() en foncion de u () : du du u + + = d d, équaion différenielle du second ordre à coefficiens consans. a soluion générale de cee équaion es égale à la somme de la soluion u de l'équaion sans second membre (SSM) plus une soluion pariculière u de l'équaion avec second membre (ASM). a consane d'inégraion sera déerminée par les condiions iniiales. SSM : & u u + α & + u = avec α = e = 'équaion caracérisique es : r + α r + =, de discriminan ' = α Selon le signe de ce discriminan on aura rois ypes de comporemen ransioire : / ' >, soi : α >, soi : > Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

7 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires 'équaion caracérisique adme racines réelles négaives r e r. n effe, leur somme S es négaive alors que leur produi P es posiif : S = r + r = -b'/a = -α = -/ < P = r.r = c/a = = / >. es racines s'écriven : r, = α ± α = ± 4 a soluion de l'ssm s'écri alors sous la forme : r r e u () = M e + N ASM : la soluion pariculière es à chercher sous forme d'une consane, d'où : u = a soluion générale es donc : e le couran es donné par : u () = u () + u () = + M e + du i () = + d r r = + M r e N r e r r e es condiions iniiales permeen de déerminer les consanes A e B : u (=) = = + M + N i(=) = = r M + r N r M = e r r r N = r r es courbes u () e i() son données dans les figures ci-après. e régime ransioire es di apériodique, c'es-à-dire "sans période", par opposiion au régime oscillaoire que nous verrons plus loin. A la fin de ce régime, comme pour les suivans bien sûr, le couran dans le circui es nul (blocage du couran coninu par le condensaeur) e oue la ension de la source se rerouve aux bornes du condensaeur, puisque u = e u =.i =. / ' =, soi : α =, soi : = 'équaion caracérisique adme racine double : r = α = u ( ) () = + β + γ e α avec les condiions iniiales données au dessus, on rouve : β = e γ = α u () = + α e e l'expression de u () devien : ( ) es courbes u () e i() son données dans les figures ci-après. e régime ransioire es di criique, car il es le cas limie enre les régimes apériodique e oscillaoire. Il correspond au régime qui end le plus rapidemen vers le régime permanen. 3 / ' <, soi : α <, soi : < 'équaion caracérisique adme racines complexes conjuguées : α N Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

8 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires r, = α ± j avec, = α = 4 a soluion de l'équaion différenielle es alors : r j + M e = + e α ( M e + M e j ) ( N cos + N sin ) r u() M e = + u () e = + α complexes u () A e = α, d'après la définiion des exponenielles de cos( + ϕ), en uilisan les formules rigonomériques classiques e l'expression du couran es : i() α A e α cos( + ϕ) A e = α sin( + ϕ) avec les condiions iniiales données au-dessus, on rouve : ( α) α ϕ = Arcg e A = = + gϕ = + cos ϕ es courbes u () e i() son données dans les figures ci-après. e régime ransioire es di oscillaoire amori, car il correspond à une allure sinusoïdale modulée par un erme exponeniel d'amorissemen. a pseudo-période T= π de ce régime es supérieure à la période propre T = π : T= π = π = π α α / Applicaion numérique : =V ; =mh ; =µf Avec 3 valeurs pour : = osc =4Ω ; = cri =Ω e = aper =4Ω On a alors : 8 = = = rd/s f = 59 Hz T = 68µ s aper / = aper =4Ω αaper = = s =, régime apériodique / = cri =Ω α cri cri = = s =, régime criique 3 / = osc =4Ω α osc s osc = = = / 5, régime oscillaoire amori de pulsaion = α 9798 rd/s, soi f=59hz e T=64µs osc = Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

9 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires u (en V) égime oscillaoire amori ( < ) = égime criique ( = ) égime apériodique ( > ) (en ms) u (en V) Zoom = (en ms),5 i (en ma) égime criique ( = ) égime apériodique ( > ) égime oscillaoire amori ( < ) (en ms) 3. Décharge e condensaeur, préalablemen chargé sous la ension V =Q /, es déchargé, à parir de l'insan =, à ravers un circui série comporan une résisance e une inducance. 'éudian doi êre capable de rerouver par lui-même les comporemens emporels de la charge q() du condensaeur e du couran i() e de racer l'allure des courbes correspondanes pour les 3 régimes possibles. 4 égime forcé. ésonance. On se propose d'éudier la réponse en couran du circui série donné ci-dessous lorsque la fréquence du généraeur de ension sinusoïdale qui l'alimene varie enre e l'infini. a ension d'enrée es prise comme référence des phases e on cherche à déerminer l'expression de l'ampliude I m () e de la phase ϕ() du couran i() : u() = U m cos U = Um Yves Berrand, berrand@lirmm.fr cours3/4

10 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires i() = I m cos ( + ϕ) I = I m e jϕ a loi d'ohm complexe perme d'écrire : U = Z I, avec Z = + jy e Y = Selon la valeur de, l'impédance équivalene du circui série pourra avoir 3 ypes de comporemens. a ) = Y= Z=, le circui es de ype puremen résisif b ) > Y> le circui es de ype selfique c ) < Y< le circui es de ype capaciif. 'ampliude complexe du couran es donnée par : I = + j d'où on ire l'expression du module e de la phase de i() : I m = I = Vm e ϕ= Arcg [ ( )] + ( ) Fréquence de résonance V ( ) On se propose de déerminer la pulsaion max pour laquelle I m passe par un maximum. I m sera maximum quand le erme sous la racine du dénominaeur sera minimum, c'es-à-dire quand le second erme de la somme sous racine sera nul, soi : max =. max D'où la pulsaion pour laquelle I m es maximum : max = On remarque que cee pulsaion a exacemen la même expression que la pulsaion propre du circui série (cf. éude du régime ransioire du circui série). a valeur du maximum aein par I m pour = max es alors : I m (max) = V m /. n résumé : max = = e I (max) = I ( ) Vm m = max ϕ (max) = ϕ( =max ) = m = Tracé des courbes I m () e ϕ() omporemen aux limies :, I jv I V e ϕ π/ m m m, I j Vm I Vm m e ϕ π/ Bande passane à 3dB es pulsaions c e c pour lesquelles I m es égal à la valeur maximum V m / divisée par son appelées pulsaions de coupure à 3dB. Yves Berrand, berrand@lirmm.fr - - cours3/4

11 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires emarque : on verra plus ard que cee définiion vien du fai que, dans le domaine de l'élecronique, on race en fai l'évoluion de la grandeur log(i m ) (exprimée en db) pluô que celle de I m. a division par exprime simplemen le fai que l'on cherche les pulsaions pour lesquelles la puissance es divisée par (P=I ). ee division par correspond à une diminuion de log(/ )~-3dB. I m V m / Vm/ f π/ ϕ π/ f f f c f c é-écrivons l'expression de I m en faisan apparaîre I m (max) au numéraeur : Vm Im(max) Im = I = = + ( ) ( ) + Pour que cee expression soi égale à I m (max)/, il suffi que le second erme sous la racine du dénominaeur soi égal à. On en dédui donc l'équaion permean de déerminer les pulsaions de coupure c e c : = ± soi : m = On a donc à résoudre équaions du second degré. Parmi les 4 racines rouvées on ne conserve que celles qui son posiives : = + α c,c ± α avec : = e α = On défini aussi habiuellemen quelques paramères supplémenaires pour caracériser le pic de résonance : Yves Berrand, berrand@lirmm.fr - - cours3/4

12 Universié Monpellier II : UF Sciences Module A ours A : régimes ransioires Bande passane : = = α c Produi des pulsaions de coupure : c c = oefficien de qualié Q; il es défini par : = α = c = Q Applicaion numérique : m =V ; =mh ; =µf ; =Ω Avec 3 valeurs pour : = osc =4Ω ; = cri =Ω e = aper =4Ω On a alors : = rd/s f = 8 = = α = 5s = = + α + α = 68 rd/ s, soi 575 Hz c c 68 rd/ s f c = = + α α =, soi 983Hz On vérifie bien que f f = f 54 Hz c Bande passane : f = f fc = α π f oefficien de qualié : Q = 6 f c c = 59Hz f c = 59 Hz Yves Berrand, berrand@lirmm.fr - - cours3/4

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