MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Séance 9. Moez Mrad / Philippe Priaulet

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1 ODEES DE A COURBE DES AUX Unversé Evry Séance 9 oez ra / Phlppe Praule

2 PA oèle bor Forwar ognormal BG ou F. Défnon u moèle. Passage e BG à HJ.3 Prcng es caps e floors ans le carebg.4 Dynamques es ffrérens lbors forwar oèle Swap Forwar ognormal Jamshan ou FS. Défnon u moèle. Prcng es swapons européennes ans le care e Jamshan

3 3 oèle e marché BG ou F Références : Damano Brgo & Fabo ercuro «Ineres Rae oels heory an Pracce» Sprnger arco Avellanea & Peer aurence «uanave oellng of Dervave Secures» CHAPA & HA/CRC 3 are usela & are Ruows «arngale ehos n fnancal oellng» Sprnger 997

4 4. Défnon u moèle e marché BG Bu : Abour une manère rgoureuse une formule fermée pour le prx un cap/floor. a ynamque u aux bor es onnée par : Γ Γ Γ w w Pour ou on pose : Γ Dans le care BG es supposée éermnse... HJ BG

5 5. Passage e BG à HJ * On spose une courbe e prx ZC nale B On suppose que nore horzon es un mulple e la péroe u bor On ravalle onc avec une gamme scrèe... On connaî égalemen les volalés es lbors e onc leurs ynamques On se onne égalemen Γ

6 6 a ynamque u lbor ermnal es onnée par : * * B B w On connaî onc l es égal à ou nsan à :. s s ε Comme on connaî égalemen Γ on peu rouver la volalé Γ : Γ Γ On répèe l opéraon pour -...

7 7.3 Prncng es caps e floors ans le care BG a valeur en un caple échéance sur eurbor 6 mos fxng en - es onnée par :. s r F B e E C s Ce qu onne [ ] F E B C Fnalemen on oben : [ ] B C Avec - e / ln u u u u u u

8 8 es prx es caps e floors son auo-calés par rappor au marché : oèle e Blac pour les lbor forwar 976 a ynamque u aux bor es onnée par : w es une consane srcemen posve es la probablé e marché

9 9 e prx un caple es alors onné par : [ ] [ ] B F E B C Avec - e / ln On vo onc que pour passer une formule à une aure l suff e prenre u u

10 .4 Dynamques e fférens aux lbor forwar So <> - Pour < < e la ynamque es onnée par :.... w ρ - Pour e la ynamque es onnée par : w - Pour << e la ynamque es onnée par :.... w ρ

11 oèle e marché e Jamshan ou F Bu : Abour une manère rgoureuse une formule fermée pour le prx une swapon européenne. Rappel sur les swapons européennes : Echéancer Eurbor 3m Eurbor 3m 3 4 K K Pay-off en Pare oponelle Swap K Swap

12 On éfn le aux swap à l nsan assocé au swap e aes e cash-flow : XS B B B a valeur u swap payeur e sre K à l nsan es alors onnée par : Swap K B [ XS K ] a prx une swapon es onné par : P E exp rs s B XS K F

13 3 Consérons la ambe fxe u swap : ν B Ce acf peu êre formé à parr u marché e aux. Ce acf acualsé es une marngale sous la probablé spo : ν β B ous pouvons onc éfnr une mesure sous la quelle ous les acfs normalsé par ν son es marngales En parculer le aux swap XS es une marngale sous. β

14 4 e moèle e Jamshan es alors éfn par : m n XS m n m n XS m n w Avec : m < n m n a volalé es éermnse Jamshan HJ

15 5. e prx une swapon payeuse u fxe.e call ans le care FS e prx e la swapon es onné par : P B [ ] F E XS K Ce qu onne fnalemen : P B XS Avec ln XS / u u u u e - u u

16 6 es prx es swapons son auo-calés par rappor au marché : oèle e Blac pour les aux e swap forwar 976 a ynamque u aux e swap XS es onnée par : XS XS m n m n arché m n w arché a relaon enre les volalé e Blac e les volalés u care SF es onnée par : arché m n m n u u

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