Epreuve Commune de TIPE : Partie D

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1 Epruv Commun d TIPE : Pari D TITRE : Convrsion ds signaux analogiqus n numériqu Tmps d préparaion :.2h15 Tmps d présnaion dvan l jury :...10 minus Enrin avc l jury : 10 minus GUIDE POUR LE CANDIDAT : L dossir ci-join compor au oal : 13 pags Documn principal :..13 pags Travail suggéré au candida : L candida pourra présnr ls différns éaps prman d passr d'un signal analogiqu à un signal numériqu n précisan commn choisir ls différns paramèrs d la numérisaion. Il pourra évnullmn illusrr ss propos par un xmpl d son choix. CONSEILS GENERAUX POUR LA PREPARATION DE L EPREUVE : * Lisz l dossir n nir dans un mps raisonnabl. * Résrvz du mps pour préparr l xposé dvan l jury. - Vous pouvz écrir sur l présn dossir, l surlignr, l découpr mais ou sra à rmr au jury n fin d oral. - En fin d préparaion, rassmblz ordonnz soignusmn TOUS ls documns (ransparns, c.) don vous compz vous srvir pndan l oral, ainsi qu l dossir, ls ransparns ls brouillons uilisés pndan la préparaion. En nran dans la sall d oral, vous dvz êr prê à débur vor xposé. - A la fin d l oral, vous dvz rmr au jury l présn dossir, ls ransparns ls brouillons uilisés pour c pari d l oral, ainsi qu TOUS ls ransparns aurs documns présnés pndan vor prsaion.

2 D nos jours, l qualificaif "numériqu" dvin un argumn d vn pour un grand nombr d bins d consommaion couran. En ff, ls apparils phoos, la vidéo, la élévision ou ncor l éléphon s doivn d'êr numériqus pour êr à la mod. Commn ransformr un signal analogiqu n signal numériqu qulls amélioraions appor c 5 ransformaion? C son ls qusions auxqulls nous allons ssayr d répondr dans c dossir. Nous allons dans un prmir mps précisr la noion d signal. Tous ls raimns qu nous allons nvisagr son réalisés par ds circuis élcroniqus (analogiqus ou 10 numériqus). La grandur physiqu à msurr pu êr d naur divrs : ond d prssion sonor, ond élcromagnéiqu, mpéraur, Il fau la convrir n signal élcriqu avan d la rair. C's l rôl d'un capur. L signal s donc un nsion élcriqu n général foncion du mps. Ell s l'imag ds variaions mporlls d la grandur physiqu à msurr. 15 Capur Vols x() Grandur physiqu Signal élcriqu fig C yp d signal s qualifié d'analogiqu (par opposiion aux signaux logiqus ou numériqus). C's un foncion coninu du mps : x (). Numérisr un l signal consis à l rmplacr par un nsmbl dénombrabl d valurs numériqus. Dans l cas d'un signal d duré fini, on pass d'un nsmbl non dénombrabl d valurs à un nsmbl fini. Ls nombrs ainsi obnus son alors codés n binair (0 1). Ls avanags associés à c 25 convrsion son nombrux. Nous allons cir ls principaux. 1

3 1- Ls avanags du numériqu Qu ls signaux soin ransmis (radio, TV, ) ou sockés (CD, DVD, ) lur codag sous form d bi prm un lcur simplifié. En ff, soi l nivau lu dépass un suil, on déc alors un 1, soi l nivau s infériur, on li un 0. Ainsi, dans l cas d'un brui addiif d faibl nivau l signal pourra êr rcuilli d façon parfai; c qui n's pas l cas pour un signal analogiqu (cf. fig. 2) Dans l cas où l brui addiif dvin imporan par rappor au nivau du signal uil, on pu alors ffcur ds rrurs d décion. Pour lur conr cs rrurs, on cod n général l signal binair d manièr à fair apparaîr un rdondanc dans l signal. La méhod la plus répandu pour décr un rrur d décion évnull s l'ajou d'un bi supplémnair à la fin d chaqu ram d bis (n général 7) rprésnan la somm modulo 2 d cs 7 bis (cf. fig. 3). A la lcur, il suffi alors d vérifir qu l bi d conrôl (applé bi d parié) corrspond bin à la somm ds 7 bis lus. Si cll-ci s différn, c's qu'il y a un rrur d lcur. Il fau alors rlir ls donnés. C méhod prm sulmn d décr un rrur d ransmission ou d lcur. Ell s mis n défau si l'on s n présnc d dux rrurs. Ell n prm pas égalmn d corrigr l'rrur. D'aurs cods plus prformans (cods corrcurs d'rrur) prmn d décr l'rrur d la corrigr auomaiqumn. 50 La robusss du signal numériqu vis-à-vis du brui prm égalmn d'n crér ds copis parfais. C supériorié du signal numériqu par rappor à l'analogiqu pu êr consaé sur la qualié sonor d'un CD par rappor à un disqu vinyl, ou sur la qualié d l'imag du son d'un DVD par rappor à un nrgisrmn sur cass VHS, ou ncor nr la TV analogiqu la récn TV numériqu (TNT). 55 2

4 Lcur Emission ou sockag analogiqu Brui Numérisaion numériqu Convrsion numériqu analogiqu Décion (suil) fig. 2 Bis à ransmr ransmission Bis rçus Décion d'rrur = Calcul du bi d parié = 0 Ajou du bi d parié Errur d ransmission Errur d ransmission décé fig D'aur par, l raimn d'un signal numériqu s n général réalisé par un calculaur. Il n résul d nombrux avanags par rappor à un raimn réalisé grâc à un élcroniqu analogiqu (résisancs, capaciés, amplificaurs opéraionnls, ). En ff, ls principaux défaus liés à l'élcroniqu analogiqu son ainsi lvés. Ls problèms d précision d disprsion ds composans élcroniqus (donnés, n général à 10%) ainsi qu ls problèms d dériv n mpéraur n'xisn plus n numériqu. Ainsi la fréqunc d coupur d'un filr numériqu pu-êr maîrisé plus facilmn qu'n analogiqu. Il n résul égalmn un grand rproducibilié nr ls différns sysèms réalisés. 3

5 75 80 Un aur avanag lié au raimn du signal par calculaur résid dans la facilié d fair évolur ls prformancs d'un maéril sans modificaions d son élcroniqu. En ff, si l consrucur d'un apparil dévlopp un raimn plus prforman ou corrig crains rrurs, il s n général facil d modifir l programm xécué par l calculaur sans modificaion élcroniqu du sysèm. C's l cas, par xmpl sur crains lcurs d DVD d salon pour lsquls il s possibl d mr à jour la vrsion d l'algorihm d décodag vidéo (mpg2 ou 4). Crains décodurs TNT réalisn mêm cs miss à jour auomaiqumn. C facilié d'évoluion s égalmn uilisé dans l'auomobil où crains sysèms d conrôl (ABS, ESP, conrôl mour, ) son mis à jour lors ds visis chz l garagis, ou lors d campagns d rappls dans l cas d défaus plus imporans L'uilisaion d'un sysèm d raimn numériqu ds donnés facili égalmn l conrôl du bon foncionnmn du sysèm, la gsion ds mods d march. Par xmpl, dans l'auomobil, ls calculaurs son capabls d décr crains panns (défaus d capurs, incohérnc nr différns grandurs, ) d réagir n adopan un compormn sûr : il pass alors dans un mod dégradé où ls prformancs du sysèm son réduis, mais son inégrié présrvé. Prnons l cas d'un calculaur qui gèr l conrôl du mour d'un auomobil ssnc. Son rôl s d calculr, n mps rél la quanié d'ssnc à injcr dans la chambr d combusion ls insans d'allumag, pour opimisr ls prformancs du mour n rm d consommaion, d polluion d'agrémn d condui. Si l calculaur déc, par xmpl un pann sur l capur d débi d'air nran dans l mour, il n pu plus calculr d façon précis la quanié d'ssnc à injcr. Il pu alors simr c quanié d façon plus grossièr n foncion du régim mour d la posiion du papillon ds gaz. L mour s donc oujours capabl d foncionnr, mais d manièr non opimal. L calculaur limi alors la plag ds régims d foncionnmn du mour. Un alarm s nvoyé au ablau d bord, l'rrur s socké n mémoir. L conducur pu alors quand mêm rallir un garag n xploian c mod d conrôl dégradé. L garagis dispos d'un bai d'analys qui va lui prmr d lir ls rrurs sockés, d rmplacr ls organs défcuux. 100 Parmi ls aurs avanags liés à l'uilisaion d'un raimn numériqu, on pu cir la miniaurisaion. Un calculaur éan capabl d rair plusiurs signaux d s'adapr aux rquês xériurs, il pu à lui sul rmplacr plusiurs cars élcroniqus don la âch s à chaqu fois spécifiqu. En foncion d la puissanc d calcul disponibl, ls calculaurs 4

6 105 son mêm capabls d rair différns âchs à la fois (sysèms muliâchs). On pu nfin cir la possibilié d dévloppr ds foncions d raimn d plus n plus compliqués qu'il srai rès difficil d'obnir par l biais d cars analogiqus Convrsion analogiqu/numériqu 115 Comm nous l'avons présné précédmmn, l signal élcriqu provnan d'un capur s n général analogiqu. Nous allons voir mainnan commn dans qulls condiions il s possibl d l numérisr. L'opéraion d numérisaion corrspond à la succssion d 2 éaps : L échanillonnag qui prm d prélvr un nsmbl d valurs priss à ds insans discrs { k } (cf. fig. 4). - La quanificaion qui allou à chacun d cs échanillons un valur approché, codé sur un nombr fini d bis (cf. fig. 4). x() Quanificaion 1 2 Echanillonnag fig a- L'échanillonnag : 130 Pour comprndr dans qulls condiions l signal analogiqu x () s échanillonnabl sans pr d'informaion, nous allons inroduir la foncion périodiqu w () rprésné sur la figur 5. 5

7 w() 1 T T fig Considérons l signal x () x() w() n conin qu ls informaions x () 0, x ( T), x( 2 T) =. Dans l cas où T s infinimn pi, l signal (),. x x() x() 140 fig. 6 L signal w () s décomposabl n séri d Fourir : () + k w = a cos 2π k k = 0 T 145 x = a On pu rmarqur ainsi qu () () () 2 () cos 2π... x 2 a x cos π + a x 2 s un T T signal baucoup plus rich fréqunillmn qu x () puisqu'il corrspond à un somm pondéré d x () affcé d'harmoniqus aux fréquncs mulipls d la fréqunc d'échanillonnag. 1. Noons T F = 1 T 150 6

8 Essayons d'analysr l'ff d la muliplicaion d'un signal par cos ( 2πkF ) à ravrs un xmpl. Considérons l cas où l signal à échanillonnr s un cosinus : () = cos( 2πf ). L produi d x () par l'harmoniqu k pu s'écrir : x x 1 2 () = cos( 2π f ) cos( 2πkF ) = [ cos( 2π ( kf + f ) ) + cos( π ( kf f ) ) ] On pu donc consar qu l fai d muliplir () = cos( 2πf ) par ( 2πkF ) décalr dédoublr sa fréqunc auour d x 0 kf (cf. fig. 7). cos rvin à Tmps Fréquncs x () f 0 () cos( 2πkF ) x 2f 0 kf 160 fig C résula s généralis qull qu soi la form du signal () x. Muliplir x () par cos ( 2πkF ) rvin à l décalr n fréqunc auour d kf. C's c qu l'on appll un modulaion d'ampliud. Ainsi pour ou signal x (), l'allur fréqunill du signal échanillonné x () sra d la form suivan (cf. fig. 8). 7

9 X ( f ) Echanillonnag X ( f ) a 0 a 1 a 2 f f f max F 2 F 170 fig. 8 Nous voudrions qu c opéraion d'échanillonnag soi révrsibl. Aurmn di, nous voudrions pouvoir rpassr, sans pr d'informaion d () x. D'après la figur 8, on voi qu l'on pourra rrouvr () x à () x à parir d x () dans l cas où ls différns moifs 175 fréqunils n s chvauchn pas. Ainsi, n noan f max la fréqunc maximal présn dans () x, on voi qu l'opéraion d'échanillonnag sra révrsibl si F > 2 f. Dans c cas max on n'aura pas d chvauchmn fréqunil on pourra rrouvr l signal coninu d'origin, x () par filrag pass-bas (cf. fig. 9). 180 x () x () x () Tmps T X ( f ) Echanillonnag X ( f ) Filrag pass-bas X ( f ) Fréquncs f f f f max F 2 F F 2 F fig La règl qu nous vnons d'éablir s connu sous l nom du héorèm d Shannon: "Pour échanillonnr un signal sans pr d'informaion, il fau choisir un fréqunc d'échanillonnag au moins 2 fois supériur à sa fréqunc maximal". C règl fai apparaîr la nécssié d l'xisnc d'un fréqunc maximal dans un 190 signal pour pouvoir l'échanillonnr. Pour un signal d duré fini, c fréqunc maximal n'xis pas, n général. Il fau donc uilisr un filr pass-bas (applé filr ani-rplimn) pour limir ls fréquncs du signal qu l'on désir échanillonnr. Prnons l'xmpl d'un signal musical. L'orill humain n's snsibl aux fréquncs qu jusqu'à 20 KHz dans l 8

10 millur ds cas. On choisi ainsi d filrr ls signaux musicaux à 20 KHz d manièr à n 195 consrvr qu ls fréquncs infériurs. C signal filré s nsui échanillonné à 44,1 KHz, codé gravé sur un compac-disc. La fréqunc d'échanillonnag s choisi avc un marg par rappor à la fréqunc minimal rquis par l héorèm d Shannon (40 KHz) pour pouvoir filrr plus facilmn lors d la rconvrsion du signal numériqu vrs l signal analogiqu. 200 Qu s pass--il si l'on n rspc pas l héorèm d Shannon? Rprnons l'xmpl d l'échanillonnag d'un signal sinusoïdal : () cos( 2πf ) x 0 = où f = 1 KHz. Si l'on choisi 0 un fréqunc d'échanillonnag d 6 KHz, on rspc l héorèm d Shannon l'on décri corrcmn la courb coninu comm l monr la figur 10 (ls poins d'échanillonnag 205 corrspondn aux ). Par conr, si l'on choisi F = 1.05 KHz, on obin ls poins rprésnés par ds croix l'on voi apparaîr un fréqunc plus bass qu la fréqunc réll du signal d dépar. 210 fig. 10 9

11 215 Pour analysr la valur d c fréqunc "fanôm" qui apparaî, voyons c qu'il s pass n fréqunil. Nous savons qu l'ff d l'échanillonnag s d périodisr d dédoublr l moif fréqunil auour ds mulipls d la fréqunc d'échanillonnag. Ainsi, comm on pu l voir sur la figur 11, un fréqunc supplémnair apparaî aux basss fréquncs (1050 Hz 1000 Hz = 50 Hz). C's c fréqunc qu l'on voi apparaîr sur la figur 10. Signal analogiqu Echanillonnag à 1.05 KHz 1 KHz Périodisaion auour d 2.1 KHz f f 1 KHz 1.05 KHz 2.1 KHz 220 fig. 11 Périodisaion auour d 1.05 KHz En ff, on n voi pas différnc nr un cosinus à 1KHz un cosinus à 50 Hz échanillonnés ous ls dux à 1.05 KHz : 225 x x 1 2 () = cos( 2π1000 ) () = cos( 2π 50) Echanillonnag k = kt = x x2 k k 1000 ( k) = cos 2π 1000 = cos 2π π = cos 2π 1 k = x ( k) ( k) = cos 2 π k On appll c ff l rplimn du spcr ou parfois l'ff d moiré. On mploi égalmn l rm anglais, ff d'aliasing. C's c phénomèn qu l'on pu consar lorsqu l'on rgard un rou d charr qui ourn lorsqu'll s filmé. On voi souvn 10

12 apparaîr un viss d roaion qui n's pas n rappor avc la viss d'avancmn réll d la charr. Parfois mêm, la rou smbl allr n sns invrs. Cla s dû au fai qu'un film corrspond à un échanillonnag d'un phénomèn coninu par un succssion d phoos priss à inrvalls régulirs. Pour l cinéma, la fréqunc d'échanillonnag s n général d imags par sconds 25 pour ls sandards français ou uropén d la élévision. Ainsi ous ls phénomèns périodiqus don la fréqunc s supériur à 12 Hz von s rplir fréqunillmn. C's l cas du mouvmn d la rou d charr (cf. fig. 12). On pu égalmn consar l mêm résula lorsqu l'on obsrv un écran d'ordinaur filmé à la élévision. La fréqunc d rafraîchissmn ds imags d'un écran d'ordinaur s n général compris nr Hz; c fréqunc va donc s rplir l'on va voir apparaîr un fréqunc plus bass. Mouvmn bin échanillonné Mouvmn sous échanillonné : la rou smbl ournr à l'nvrs 245 fig. 12 L phénomèn d rplimn pu égalmn êr xploié à bon scin lorsqu l'on désir analysr d façon fin un phénomèn rapid. C's l rôl d la sroboscopi. Ls prmirs à s'êr inérssés à c phénomèn son ds scinifiqus d la fin du 19 ièm siècl qui éudièrn ls mouvmns d la cours d crains animaux. On pu rouvr d'aurs applicaions d c phénomèn lorsqu ls mooriss chrchn à réglr l calag ds soupaps sur un mour n foncionnmn. L bu s d réglr d façon rès fin ls insans d'ouvrur d frmur ds soupaps prman l rmplissag l vidag ds cylindrs n gaz. L choix d cs insans s primordial pour un bon rmplissag du mour n mélang air ssnc, donc pour l'obnion du millur coupl mour. La sroboscopi prm 11

13 d'obsrvr c phénomèn périodiqu d façon rès ln, voir d l rndr immobil pour pouvoir l'éudir. 260 b- La quanificaion : Sui à l'opéraion d'échanillonnag, nous somms passés d'un signal coninu n mps à un nombr fini d valurs numériqus. Cpndan, c vcur d donnés n pu pas êr dircmn raié par un calculaur. En ff, du fai d la srucur élcroniqu d ou calculaur, il n sai analysr qu ds nivaux d nsion binairs (0 vol corrspondan à 0, +V vols corrspondan à 1). Ls donnés numériqus à rair dvron donc êr codés par un srucur binair. C opéraion s applé la quanificaion. Conrairmn à l'échanillonnag, c opéraion n s'ffcu pas sans pr. L fai d codr un chiffr sur un crain nombr d bis s'accompagn d'un approximaion. L calculaur n sai rair qu'un nombr fini d valurs numériqus quanifiés. Il xis plusiurs yps d codag ds donnés. Nous allons ici nous inérssr au cas l plus simpl d'un codag n virgul fix. Dans c cas ls donnés échanillonnés son approximés par la valur la plus proch codé n binair sur N bis. Prnons l'xmpl d'un 275 codag sur 8 bis. Nous pouvons ainsi codr 2 8 = 256 valurs différns (d corrspondan à 0 Vol à corrspondan à +V vols) (cf. fig. 13). x() Quanificaion Echanillonnag fig Ainsi la dynamiqu maximal qu l'on pu obnir (rappor nr la nsion maximal N admissibl la nsion minimal qu l'on pu codr) s d ( 2 1) ( 2) N soi n décibls dyn db 20N log 6 (pour N grand). L choix du nombr d bis (N) s donc fixé par 10 la précision rquis. Par xmpl pour d la musiqu hau fidélié gravé sur un CD, on uilis un quanificaion sur 16 bis soi un dynamiqu d 96 db. On pu augmnr la 12

14 dynamiqu ou n minimisan l nombr d bis mployés n uilisan un quanificaion non uniform (cf. fig. 14). C yp d quanificaion consis à allour un pas d quanificaion plus fin pour ls faibls nsions augmnr l pas au fur à msur qu l'ampliud croi. Grâc à c chniqu on pu codr finmn ls signaux d faibl nivau ou n évian 290 un évnull sauraion pour ls signaux d for ampliud. Ls quanificaions non uniforms à pas logarihmiqus son par xmpl uilisés pour codr ls signaux d éléphoni fix. Ampliud du signal quanifié Loi d quanificaion uniform Ampliud du signal quanifié Loi d quanificaion non-uniform Ampliud du signal rél Ampliud du signal rél 295 fig. 14 La quanificaion pu égalmn nraînr un aur yp d'rrur qu la simpl rrur 300 d'arrondi : l'rrur d sauraion. En ff, l nombr d nivau d quanificaion éan fini, on n pu rcvoir qu ds signaux d'ampliud maximal prédéfini. Si un signal d'ampliud supériur s présn, il sra écrêé. 305 Nous vnons d voir commn ransformr un signal analogiqu n signal numériqu ls avanags qui découln d c convrsion. Nous avons vu qu'un signal éai, n général un foncion du mps (signal d élécommunicaion, signal audio,...). Cpndan ls noions présnés dans c dossir s'appliqun égalmn aux imags. Cll-ci puvn êr considérés comm l'xnsion d'un signal à 2 dimnsions. Ls axs x y d l'imag 310 rmplacn l'ax mporl du signal. 13