Plan du cours : électricité 1

Transcription

1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires) Chapitre 1 : Généralités Chapitre 2 : Champ électrostatique dans le vide Chapitre 3 : Théorème de Gauss Chapitre 4 : Conducteurs en équilibre Chapitre 5 : Energie électrostatique Partie B : Electrocinétique (discipline de l étude des courants électriques «charges en mouvement») Chapitre 6 : Courants électriques Chapitre 7 : Etude des résistances Chapitre 8 : Théorèmes généraux Pr : Larbi SETTI

2 Formalisme mathématique I. Représentation d un point dans l espace : Un point M est représenté dans l espace grâce à un repère de coordonnées de centre O et de base vectorielle ( ), R(O, ) par un vecteur exprimé en fonction de ses coordonnées dans la base du repère R. a- Coordonnées cartésiennes : le déplacement élémentaire de M est repéré par : la norme (où module) : b- Coordonnées cylindriques : c- Coordonnées sphériques :

3 II. Calcul vectoriel : Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa norme, les vecteurs unitaires forment une base orthonornée complète de l espace Euclidienne. a- Somme : Soit et b- Produit scalaire : Le produit scalaire est le scalaire défini par : Le produit scalaire entre deux vecteurs perpendiculaires est nul. Ainsi, le produit scalaire entre les vecteurs unitaires est donné par : et c- Produit vectoriel Par définition, le produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire au plan formé par les vecteurs (, il es noté de sorte que ( forment un trièdre direct. Sa norme (module) vecteurs., avec est l angle formé par les En utilisant les coordonnées des vecteurs on écrit le produit vectoriel sous la forme = ( ) ( )

4 III. Circulation d un champ vectoriel : La circulation élementaire d un champ vectoriel est définie par le produit scalaire du champ au point donné et le vecteur déplacement élémentaire. La circulation sur un trajet dans le sens de vers est définie par :, si le trajet est fermé on note : IV. Le flus d une champ vectoriel Le flux élementaire d un champ vectoriel sur une surface élémentaire est défini par : Avec est un vecteur normal à la surface, Alors, Le flux total à travers une surface ouverte est Pour une surface fermée, La normale est dirigée de l intérieur vers l extérieur dans le cas d une surface fermée, par contre dans le cas d une surface ouverte il faut préciser le sens. V. Angle solide : L angle solide sous lequel on voit l élément de surface ds à partir d un point de l espace O donné est donné par : Dans le cas d une sphère vue à partir de son centre O, les vecteurs sont colinéaires : : C est le même angle pour voir l espace tout entier à partir d un point O. Pour voir un demi espace ou un plan infini =. Son unité est le Stéradian

5 VI. Opérateur vectoriels : 1 Gradient : L opérateur gradient (noté ou aussi prononcé nabla) est un opérateur vectoriel différentiel. Lorsqu il est associé à une fonction à variables réelles donne un vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles de Or, En coordonnées sphériques : Et, donc En coordonnées sphériques : La circulation d un gradient est : la circulation d un gradient ne dépend pas du chemin suivi, elle ne dépend que de la valeur de la fonction au départ et à l arrivée. Dans le cas d un trajet fermé,, la circulation du gradient est toujours nulle. 2 Divergence : La divergence d un champ vectoriel est définie par le produit scalaire entre le l opérateur vectoriel avec le vecteur en question. - En coordonnées cartésiennes : - En coordonnées cylindriques : - En coordonnées sphériques : 3 Rotationnel :

6 Le rotationnel d un champ vectoriel est le produit vectoriel entre l opérateur vectoriel champ vectoriel en question : et le 4 Laplacien L opérateur Laplacien noté est un opérateur différentiel scalaire, il s applique en même temps au vecteur comme au scalaire, il est défini par : VII. Relations vectoriels : Produit mixte : Double produit vectoriel :

7 VIII. Transformations intégrales :