Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens

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1 Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours, exercices et examens Boutayeb A, Derouich M, Lamlili M et Boutayeb W.

2 Table des matières Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B 5. Méthodes directes de résolution de AX=B Exemples Méthode de Gauss(avec et sans pivot) Factorisation LU Factorisation de Choleski (matrice symétrique) Factorisation de Householder (matrice unitaire ) Méthodes indirectes de résolution de AX=B Quelques rappels sur les matrices Méthodes classiques(jacobi, Gauss Seidel, Relaxation) Exercices Approximations des solutions de l équation f(x) = 0. Rappels et notations Méthode de Newton : Méthode de Newton modifiée : Méthode de dichotomie : Méthode de fausse position ( Regula Falsi) : Exercices Inroduction à l interpolation Rappel et définitions Interpolant de Lagrange Interpolant de Newton Existence et Unicité de l interpolant Interpolation linéaire Erreur d interpolation Exercices

3 4 Intégration numérique Introduction Approximation Approximation par des rectangles à gauche Approximation par des rectangles à droite Approximation par des rectangles médians Approximations par des trapèzes Formule de Simpson Interpolation et Erreur d intégration numérique Interpolation linèaire et la formule du trapèze : Formule du trapèze composée Erreur de la formule de Simpson Exercices Analyse numérique des équations differentielles ordinaires (e.d.o) Rappels sur les équations differentielles ordinaires (e.d.o) Systèmes linéaires Notions de stabilité Système d équations aux differences linéaires avec coéfficients constants Méthodes numériques pour les problèmes de condition initiale Convergence Consistance Stabilité Méthode d Euler Méthodes de Taylor dans le cas scalaire Méthodes de Runge-Kutta (R.K) dans le cas scalaire Méthodes de Runge-Kutta explicites Exercices Examens F.S.O Session ordinaire 0-03 (Durée : h30) F.S.O Session Rattrapage 0-03 (Durée : h30) F.S.O Session ordinaire 0-0 (Durée : h30) F.S.O Session de rattrapage 0-0 (Durée : h30) F.S.O Session ordinaire 00-0 (Durée :h30) F.S.O Session Rattrapage 00-0 (Durée : h30) F.S.O Examen F.S.O Session ordinaire 008/

4 6.9 F.S.O Session rattrapage F.S.O Session ordinaire (Durée : h30) F.S.O Examen blanc F.S.O Devoir à faire chez soi F.S.O Session ordinaire Janvier

5 Table des figures. la solution est x = f(). f() < x = Interpolation de Newton Interpolation de Lagrange Approximation par des rectangles à gauche Approximation par des rectangles à droite Approximation par des rectangles médians

6 Chapitre Résolution numérique de systèmes linéaires AX = B. Méthodes directes de résolution de AX=B.. Exemples {. Résoudre(S) : Par substitution x x = 0 L x + x = L L x = x L x = x = x = x = Par combinaison de lignes L x x = 0 L = L L x = 0 = x = = x Par ( Inversion de ) la ( matrice ) ( ) x 0 (S) = AX = B x ( ) det A = ; A = t coma = det A Si A existe alors X = A B ( ) ( ) ( ) x = x 0 = par méthode de Cramer 5

7 4x + 5x + 3x 3 7x 4 = 8 L. Résoudre(S +3x + 5x 3 + 4x 4 = 0 L ) : x 3 + 5x 4 = 8 L 3 7x 4 = 4 L x 8 (S) x x3 = x4 4 Résolution par remontée ( en commençant par x4) L 4 x 4 = 4 7 = L 3 x 3 = (8 5 ) = L x = (0 4 5 ) = 3 L x = ( ) = Système triangulaire : cas général u x + u x + +u n x n = b L ST u x + +u n x n = b L ) :. u nn x n = b n L n On suppose que u kk = 0 k =,, n x x. x n = b b. b n x n = b n u nn x n = (b n u nn b n )/u n n x i = (b i j=n j=i+ u i jb j )/u ii i = n,... Algorithme de résolution pour UX = B x n = b n u nn Pour i = n à x i = b i Pour j = i+ à n x i = x i u i j x j Fin j Fin i Remarques... Remarques :. La matrice U est dite triangulaire supérieure. Elle est inversible si tous les termes diagonaux sont non nuls et det U = u u u nn 6

8 . La matrice triangulaire inférieure se traite de façon similaire 3. le nombre d opérations nécéssaires est : n(n ) multiplications, n(n ) additions et n divisions soit au total n opérations.. Méthode de Gauss(avec et sans pivot) Elle consiste à ramener un système linéaire de la forme AX = B ( A avec matrice pleine) à un système de la forme UX = D puis à résoudre ce dernier. Exemple... Résoudre (S ) : 3x + 5x + x 3 = 8 L 0x + 8x + x 3 = 7 L 6x + x + 8x 3 = 6 L 3 Etape: Etape: 3x + 5x + x 3 = 8 L () = L 0+8x + x 3 = 7 L () = L 0 8x + 4x 3 = 0 L () 3 = L 3 L 3x + 5x + x 3 = 8 L () = L 0+8x + x 3 = 7 L () = L 0+0+6x 3 = 3 L () 3 = L () 3 + L () D où : x 3 =, x = ( 7 x 3 )/8 = et x = (8 x 3 5x )/3 = 4 Méthode de Gauss sans pivot (cas général) (S 0 ) a (0) x +a (0) x +a (0) 3 x 3 + +a (0) n x n = b (0) a (0) x +a (0) x +a (0) 3 x 3 + +a (0) n x n = b (0)... a (0) n x +a (0) n x +a (0) n3 x 3 + +a (0) nn x n = b (0) n Etape : On suppose a (0) = 0 et on pose m i = a(0) i On remplace la ligne L (0) i par L () i = L (0) i m i L (0) pour i =, 3,, n a () i j = a (0) i j m i a (0) j i, j =, 3, ; n et b () i = b (0) i m i b (0) i =, 3, ; n 7 a (0)

9 On obtient alors le système(s ) suivant : (S ) a (0) x +a (0) x +a (0) 3 x 3 + +a (0) n x n = b (0) 0+a () x +a () 3 x 3 + +a () n x n = b ()... 0+a () n x +a () n3 x 3 + +a () nn x n = b () n Etape : A nouveau, on suppose a () = 0 et on pose m i = a() i On remplace la ligne L () i par L () i = L () i m i L () pour i = 3,, n a () i j = a () i j m i a () j i, j = 3,, n et b () i = b () i m i b () i = 3,, n On obtient alors le système(s ) suivant : (S ) : a () a (0) x + a (0) x +a (0) 3 x 3+ +a (0) n x n = b (0) 0+a () x +a () 3 x 3+ +a () n x n = b () a () n3 x 3+ +a () nn x n = b () n En supposant qu à chaque étape on a a () kk = 0, on poursuit la la transformation jusq à l obtention d un système triangulaire : (S n ) : a (0) x +a (0) x + +a (0) n x n = b (0) 0+a () x + +a () n x n = b () a nn (n ) x n = b n (n ) On obtient alors la solution en commençant par : x n = b(n ) n a (n ), x n,,x nn Ecriture matricielle : ètape 0 : A (0) = A = a (0) a (0) a (0) n a (0) n a (0) nn b (0) b (0) n 8

10 ètape : A () = ètape n- : A (n ) = a (0) a (0) a (0) n 0 a () a () n 0 0 a () n a () nn b (0) b (). b () n a (0) a (0) a (0) n 0 a () a () n a (n ) nn b (0) b (). b (n ) n k Matrices élementaires de Gauss Soient les matrices m M = , M 0 k =.. m.. k+k m n m k+k en posant e k = (0,,, 0,, 0) et m k = (0,, 0, m k+k,, m nk ), on obtient M k = I m k e k et on vérifie facilement que M k est inversible et que M k = I+ m k e k. On montre alors que : Etape : A () = M A (0) Etape k : A (k) = M k A (k ) = M k M k M M A (0) Etape n- :U = A (n ) = M n M M A (0) k Remarque... : Le procédé suppose que tous les a (k ) kk = 0. Si à une étape k on a a (k ) kk = 0 et s il ya au moins un des a (k ) ik = 0 (i = k+,.n) on permute les lignes k et i et on continue, sinon ça voudrait dire que la matrice A n est pas inversible. En utilisant la méthode de Gauss sans pivot, le nombre d opérations nécéssaires au calcul de la solution deax = B est égal à : 3 n3 + 3 n 7 6 n dont n(n )(n+5) 6 et n(n+) divisions. additions, n(n )(n+5) 6 multiplications La méthode de Cramer nécéssite environ n(n + )!opérations. Par exemple 9

11 Méthode de Gauss avec pivot N Gauss Cramer Exemple... Soit à résoudre le système { 0 0 x + x = 0 x x = 0 La solution théorique est x = x = /(+0 0 ). Cependant, la résolution du système par la méthode de Gauss donne des résultats différents selon qu on l applique avec ou sans pivot. i) Si on applique la méthode de Gauss sans pivot on obtient et (S ) m = a() a () { = = x + x = 0 ( 0 0 )x = 0 0 qui donne pour solution approchée x et x 0. ii) Si on adopte la stratégie du pivot partiel qui consiste à mettre en première ligne celle dont le coefficient de x est le plus grand en module alors on permute les lignes pour obtenir le système { x x = 0 (S ) 0 0 x + x = 0 Pour lequel m = 0 0 = 0 0 et qui conduit à la solution approchée : x et x = x. La méthode de Gauss avec pivot consiste à choisir à l étape k : a (k ) kk tel que a (k ) = max a (k )..3 Factorisation LU kk k i n Théorème... : Si tous les a (k ) kk = 0 alors la matrice A peut-etre décomposée sous la forme A = LU où U = A (n ) est une matrice triangulaire supérieure et L = M M Mn est une matrice triangulaire inférieure 0 ik

12 Preuve :. M k est inversible car det M k = pour k =,, n. M k est de la forme de M k en changeant les les termes m ik en m ik, i = k+,, n 3. (M n M n M ) = M M M n 4. Le produit M M Mn est une matrice triangulaire inférieure 0 0 m 0 5. L = m 3 m m n m n m nn Théorème.. (Condition suffisante de la factorisation LU). Soit A une matrice carrée d ordre n telle que toutes les sous-matrices d ordre k (k n) soient inversibles, alors il existe une matrice triangulaire inférieure L avec l ii = et une matrice triangulaire supérieure U telles que A = LU. De plus, cette factorisation est unique. Preuve : Si a = 0, la matrice a (d ordre ) est inversible, donc on peut choisir la matrice de permutation égale à l identité et appliquer la méthode de Gauss sans pivot à la première étape. Supposons qu on ait pu choisir toutes les matrices de permutation égales à l identité jusqu à l étape k, il s ensuit que Avec A (k) = M k M k M A = i= M i A. i=k A k = a (k) a (k) kk a (k) kn..... a (k) nk a (k) nn

13 ... = a (k) a (k) k.... B k a (k) kk..... a (k) nk a (k) k a (k) n a (k) kn.... a (k) nn en écrivant A sous forme de blocs et en effectuant le produit matriciel par blocs, on obtient a () a(k) kk = det(b k). Comme det(b k ) = 0 on a a (k) kk poursuivre le procédé. Unicité = 0 et par suite on peut choisir a (k) kk comme pivot et Supposons qu il existe L, L, U et U telles que A = L U = L U, comme L et U sont inversibles alors L L = U U. Ce qui impose L L = U U = I et donc L = L et U = U. Exemple..3. Résoudre(S ) : Donc A = on a M = 3 0, On a M = 0 0 = M = 0 Donc U = M M A = 0 7 x + x + x 3 = 3x x + x 3 = 6 x + 3x + 4x 3 = 4, = M = et L = M M = Résoudre AX = B revient à résoudre LUX = B qu on résoud en étapes :. LY = B donne y = ; y = 6+3 y = et y 3 = 4 y y = 0. UX = Y donne x 3 = 0 5 = ; x = 4 = ; x = ( 4+) =

14 ..4 Factorisation de Choleski (matrice symétrique) Théorème..3. Si A est une matrice symétrique, définie positive, il existe (au moins) une matrice réelle triangulaire inférieure L telle que A = LL. Si de plus on impose aux éléments diagonaux de L d être strictement positifs, alors la factorisation est unique. Preuve : Remarquons d abord que si A est définie positive, alors toutes les sous-matrices d ordre k sont inversibles. Le théorème.. permet d affirmer l existence de deux matrices L et U telles que A = LU. Ce que nous cherchons ici c est de factoriser en utilisant une seule matrice L. Raisonnons par récurrence sur n. Si k =, A = a > 0 donc a = a. a. Supposons qu on ait pu factoriser jusqu à l ordre k et soit A k une matrice d ordre k alors A k peut s écrire : A k = ( A k v v a kk ) avec A k = L k L k. Considérons alors la matrice L k obtenue à partir de L k et telle que : L k = ( L k l l l kk ) Le produit matriciel L k L k donne : ( L k L k = L k L k l L k L k l l l+ l kk ) Par identification on obtient : L k l = v (..) L k L k = A k (..) l l+lkk = a kk (..3) i) L équation (..) permet alors de résoudre un système et d obtenir la solution qui est le vecteur l. ii) L équation (..3) permet d obtenir la dernière inconnue du problème, à savoir l kk = a kk l l et on peut choisir l kk > 0. Exemple..4. Soit A la matrice de Hilbert d ordre 6, la factorisation de Choleski 3

15 est donnée par A = LL où L = Remarque... L implémentation de l algorithme Choleski est donnée par la fonction Matlab choleski..5 Factorisation de Householder (matrice unitaire ) Soit P 0 = I ω 0 ω 0 une matrice élémentaire de Householder avec On cherche une matrice unitaire P 0 telle que ω 0 ω 0 =. (..4) P 0 a = ke, (..5) pour tout vecteur a = (a,, a n ), avec k R et e = (, 0,, 0). P 0 est orthogonale c est à dire P0 P 0 = I et par suite, on doit avoir ( ) a P0 (P 0 a) = k = a a. Soit k = ± ( a a ) /, les équations (..4) et (..5) donnent : P 0 a = a ω 0 ω 0 a = ke et parsuite ω 0 ω 0 a = ke + a = v, si on poseα = ω 0 a. On obtientαω 0 = v, et comme on chercheω 0 tel queω 0 ω 0 =, il vient :α = v v. Par suite P 0 = I α vv = I vv v v. Remarques... i) Le choix de k se fait au signe près, on peut choisir le signe +. ii) Le même procédé peut être appliqué pour obtenir une matrice P k = I k ω k ω k avecω k = (0,, 0,ω k+k,,ω nk ). On a constaté que P k peut être décomposée sous la forme ( ) I P k = k avec P k = I n k ω k ω k (voir paragraphe??). Pk iii) La factorisation de Householder permet d écrire : P n P n 3 P P 0 A = U, ou encore A = QU avec Q = P 0 P P n une matrice orthogonale. 4

16 . Méthodes indirectes de résolution de AX=B.. Quelques rappels sur les matrices Soit A = (a i j ) i, j n une matrice carrée.. A est dite à diagonale strictement dominante en colonnes si elle vérifie : i=n ai j < a j j, j n i=,i = j. A est dite à diagonale strictement dominante en lignes si elle vérifie : j=n ai j < a ii, i n j=, j =i 3. Une norme matricielle. vérifie les 4 propriétés suivantes : i) A = 0 A = 0 ii) λa = λ A pour tout λ R iii) A+ B A + B iv) AB A B 4. (I+B) est inversible si B < et de plus (I+B) B 5. A = max i n j=n j= a i j ; A = max j n i=n i= a i j ρ(a) = max j n λ i (A) est dite norme spectrale (λ i (A) : valeur propore de A).. Méthodes classiques(jacobi, Gauss Seidel, Relaxation) Pour résoudre le système Ax = b, (..) on utilise des méthodes, dites indirectes, du type x (k+) = Tx (k) + C (..) où T est une matrice obtenue à partir de A et c un vecteur dépendant de A et B On écrit A sous la forme A = M N En supposant M inversible, l équation (..) donne : x =M Nx+M b et ceci suggère le procédé itératif du type (..) avec T = M N et C = M b Il ya plusieurs façons d écrire A sous la forme A = M N Dans le cadre de ce cours on se limitera aux cas les plus utilisés à partir de : A = D L U 5

17 Méthode de Jacobi : M = D, N = L+U. Méthode de Gauss-Seidel : M = D L, N = U. Méthode de relaxation : A = A(ω) = M(ω) N(ω), avec M(ω) = D L, ω N(ω) = ω D U oùω est un scalaire. ω Définition... : Une méthode de type (..) est dite convergente si pour tout x (0) initial on a : lim x(k) = x k Si une telle limite existe, alors elle vérifie : Définition... : x = Tx+c On appelle erreur de la méthode (à la k ieme itération) la quantité : e (k) = x (k) x Avec e (0) = x (0) x on obtient e (k) = T k e (0) la méthode est convergente si lim k T k = 0 Méthode de Jacobi : Si A = (a i j ) la méthode de Jacobi consiste à choisir ; M = D = diag(a ii ) et N = L+U = ( a i j ) i, = j le schéma itératif est comme suit : x (k+) = D (L+U)x (k) + D b =T J x (k) + c La matrice T J = D (L+U) est dite matrice de Jacobi associée à A Si x (0) est le vecteur initial donné, l algorithme de Jacobi est de la forme : x (k+) i Explicitement, on obtient : = a ii j=n a i j x (k) j + b i ; i =,., n a j=, j =i ii a x (k+) = a x (k) a n x (k) n + b. a nn x (k+) n.. = a n x (k) a nn x (k) n + b n Une condition suffisante pour que la méthode de Jacobi converge est : ρ(t J ) < ou T J < 6

18 Méthode de Gauss-Seidel : Pour cette méthode, les matrices M et N sont données par : M = D L (supposé inversible) et N = U où D, L et U proviennent de l écriture A = D L U, le schéma itératif est comme suit : (D L)x (k+) = Ux (k) + b (..3) ou encore x (k+) = (D L) Ux (k) +(D L) b (..4) en explicitant (..3) on obtient : a x (k+) = a x (k) a n x (k) n + b a x (k+) = a x (k+) a 3 x (k) 3 a n x (k) n + b. a ii x (k+) i. a nn x (k+) n.. = a i x (k+) a ii x (k+) i a ii+ x (k) i+ a inx (k) n + b.. = a n x (k+) a nn x (k+) n + b n La matrice T GS = (D L) U est dite matrice de Gauss-Seidel associée à A Théorème... : Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante en lignes alors la méthode de Jacobi converge Preuve : Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante en lignes alors on a : j=n j=, j =i a i j < a ii, i n ( ) ou encore : a ii j=n j=, j =i ai j <, i n Par ailleurs T J = D (L+U) = (t i j ) avec t i j = ( a i j a ii ) si i = j et t ii = 0 Exercice : T J = max i n j=n t i j = max j= i n a ii j=n a i j < j=, j =i Montrer un résultat analogue avec preuve similaire si A est strictement dominante en colonnes 7

19 Théorème... : Si A est une matrice carrée à diagonale strictement dominante en lignes alors la méthode de Gauss-Seidel converge Preuve : on montre que T GS = (D L) U < en passant par : On pose y =Tx =(D L) Ux T = max x =0 Tx x qui donne(d L)y =Ux et Dy =Ly+Ux ou encore y =D Ly+D Ux Soit k l indice tel que y k = max i n y i = y = Tx On a y k = j=k j= (D L) k j y j + j=n j=k+ (D U) k j x j d où y k j=k ak j j= a kk y + j=n ak j j=k+ a kk x et :( j=k ak j j= a kk ) y j=n ak j x j=k+ a kk ak j soit enfin : y x j=n j=k+ ( j=k j= a kk ak j a kk ) < Méthode de relaxation Si on considère des matrices M et N dépendantes d un paramètreω on obtient : A = M(ω) N(ω) avec M(ω) = ω D L ω et N(ω) = ω D+U T(ω) = ( ω D L ) ( ω ω D+ U) et c(ω) = ( ω D L ) b T(ω) = (I ωd L ) (( ω)i +ωd U) Remarques... : Si ω =, on retrouve la méthode de Gauss-Seidel. Si ω >, on parle de sur-relaxation. Si ω <, on parle de sous-relaxation. Théorème..3. : Condition nécessaire de convergence de la méthode de relaxation : 0 < ω < 8

20 Preuve : T(ω) = ( ) ( ω ) ω D L ω D+ U Si les valeurs propres de T(ω) sont notéesλ i (ω) on a : ( ) ω n det ω D+U det(t(ω)) = λ i (ω) = ( ) = ( ω) n. i= det ω D L D oùρ(t ω ) [ ω n ] /n = ω. Pour que la méthode converge, il est nécessaire d avoir ρ(t(ω)) < et par conséquent ω < d oùω ]0, [..3 Exercices Exercice.3.. On note e k T = (0,, 0,, 0,, 0) le transposé du k eme vecteur canonique der n, A = (a i j ) i, j n et m k T = (0,, 0, m k+,k,, m n,k ); m i, j = a i, j a i,i, i = j,. Montrer que les matrices élémentaires de Gauss M k peuvent s écrire sous la forme M k = I+ m k e k T. Vérifier que M k 3. Montrer que : = I m k e k T (I+ m e T ) (I+ m e T ) (I+ m n e n T ) = (I+ m e T +m e T + +m n e T n ) 4. Application : On considère le systéme lineaire : (S ) : AX = B 0 0 x avec A = ; X = y et B = 0 z a) Donner les matrices de Gauss M et M qui permettent de transformer (S ) en un système (S ) de la forme UX = D où U est triangulaire supérieure b) Vérifier que M k = I + m k e k T pour k =, c) Vérifier que M M = I+ m e T +m e T d) Déduire M, M et M M e) Décomposer la matrice A sous la forme A = LU où L est triangulaire inférieure 9

21 f) Résoudre le système(s ) par la méthode LU Exercice.3.. Soit L la matrice triangulaire inférieure d ordre n donnée par :. Calculer la jeme colonne de L, L = Montrer que A A = n n Exercice.3.3. On cherche à résoudre le système Ax = b par les méthodes directe et indirecte. Soit A = (a i j ) i, j n une matrice carrée vérifiant les conditions suivantes : a ii > 0, i n a i j 0, i = j n j=n j= a i j > 0, i n Soit D la matrice diagonale ( d ii = a ii et d i j = 0 si i = j). Montrer que la matrice A vérifie : j=n ai j < a ii, i n ( ) j=, j =i. Donner l expression du terme général de la matrice A () obtenue après la première étape du procédé de d élimination de Gauss sans pivot 3. Montrer que la matrice B d ordre(n ) obtenue à partir de A () en enlevant la première ligne et la première colonne vérifie une la relation similaire à( ) 4. Ecrire le schéma itératif de Jacobi x (k+) = Tx (k) + C ( T étant la matrice de Jacobi associée à A ) 5. Expliciter les composantes x (k+) j en fonction de celles de x (k) et de C 6. Montrer que la méthode de Jaobi converge ( A = max i n j=n j= ai j < ) 7. Application : On donne A = , b = a) Donner la matrice T de Jacobi associée à A, x (0) = b) Calculer la ere itération x () obtenue en utilisant la méthode de Jacobi 0

22 Exercice.3.4. Soit A = (a i j ) une matrice carrée inversible dont les éléments diagonaux sont non nuls. A est écrite sous la forme A = D L U où D est une matrice diagonale et L (respectivement U) est triangulaire inférieure (respectivement supérieure). Pour résoudre le système Ax = b, on utilise la méthode itérative suivante : ( ) a ii x (k+) i = a ii x (k) n i +ω b i a i j x (k) i ( ) j + r a i j x (k) j x (k+) j, j= j= où r etω sont des réels fixés (ω non nul ) et k = 0,,. Montrer que la méthode proposée peut s écrire sous la forme matricielle : x (k+) = M(r,ω)x (k) + c avec : M(r,ω) = (D rl) (ad+bl+eu) où a, b et e sont des réels qu on exprimera en fonction de r et/ou deω.. Vérifier que cette méthode permet d obtenir les méthodes de Jacobi, Gauss- Seidel et de relaxation pour des choix appropriés de r et ω. 3. Montrer que les valeurs propres de M(r,ω) sont les racines de l équation : det(αd βl ωu) = 0 avecα = λ+ω etβ = (λ )r+ ω. Exercice.3.5. Soit A une matrice symétrique définie positive et T la matrice définie par : T = D D AD. On suppose que D A est définie positive.. Montrer que la méthode de Jacobi appliquée au système Ax = b converge.. Soit la méthode itérative suivante : { x (0) donné x (n+) = x (n) + T (b Ax (n)) Montrer que cette méthode converge et comparer sa vitesse de convergence à celle de la la méthode de Jacobi.

23 Chapitre Approximations des solutions de l équation f(x) = 0. Rappels et notations Définition... : Soit k un réel strictement positif et g une fonction définie sur un intervalle [a, b] de R à valeurs dans R. La fonction g est dite Lipschitzienne de rapport de k (encore dite k Lipschitzienne) si pour tous x et y de[a, b] on a : g(x) g(y) k x y. Définition... : Soit g une fonction k Lipschitzienne sur [a, b]. La fonction g est dite contractante de rapport de contraction k si k ]0, [. Exemple... : La fonction g(x) = sin(x) est Lipschitzienne de rappport k = Exercice... : Montrer que la La fonction g(x) = cos(x) est Lipschitzienne et déterminer le 3 rappport k Définition..3. : Soit g une fonction définie sur un intervalle [a, b] deràvaleurs dansrla fonction g est dite uniformément continue sur[a, b] si : ε 0, ηtel que x et y de[a, b] vérifiant y x η, on ait g(y) g(x) ε Remarque... : Toute fonction Lipschitzienne sur[a, b] est unfiormément continue sur[a, b].

24 Théorème.. (des Valeurs Intermédiaires). Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle fermé borné [a, b] der. Alors pour tout réelθ appartenant à f([a, b]), il existe un réel c [a, b] tel queθ = f(c). Si de plus f est strictement monotone alors le point c est unique. Théorème.. (des Valeurs Intermédiaires cas particulierθ = 0). Soit f une fonction définie et continue sur un intervalle[a, b] et vérifiant f(a) f(b) 0, alors il existe un réel c [a, b] tel que f(c) = 0. Si de plus f est strictement monotone alors le point c est unique. Théorème..3 (de Rolle). Soit f une fonction définie sur [a, b] et à valeurs dans R. Si f est continue sur [a, b], dérivable sur]a, b[ et vérifie f(a) = f(b), alors il existe un réel c ]a, b[ tel que : f (c) = 0. Théorème..4 (des Accroissements Finis). Soit f une fonction définie sur [a, b] et à valeurs dans R Si f est continue sur [a, b] et dérivable sur]a, b[, alors il existe un réel c ]a, b[ tel que : Théorème..5 (Formule de Taylor). f(b) f(a) = (b a) f (c). Soit f une fonction de classe C n sur[a, b] dont la dérivée f (n+) est définie sur]a, b[, alors il existe un réel c ]a, b[ tel que : f(b) = f(a)+(b a) f (a)+... n! (b a)n f (n) (a)+ Théorème..6 (Formule de MacLaurin). (n+)! (b a)n+ f (n+) (c). Soit f une fonction de classe C n sur un intervalle I contenant 0 et telle que f (n) soit dérivable à l intrérieur de I. Alors x I, il existe un réel c strictement compris entre 0 et x tel que : f(x) = f(0)+ x f () (0)+! x f (0)+... n! xn f (n) (0)+ Définition..4. : (n+)! xn+ f (n+) (c). Soit θ un réel et f une fonction définie sur un intervalle I deret à valeurs dansr. θ est dit zéro de f si f(θ ) = 0 Définition..5. : Soit θ un réel et g une fonction définie sur un intervalle I deret à valeurs dansr. θ est dit point fixe de g si g(θ ) =θ. 3

25 Lemme... : Soit I un intervalle deret f une fonction définie sur I et à valeurs dansr. Alors la recherche des zéros de f est équivalente à la recherche des points fixes de la fonction g définie sur I par : g(x) = x f(x) Preuve : En effet, si f(θ ) = 0 alors g(θ) = θ f(θ) = θ et inversement, si g(θ) = θ alors f(θ) =θ g(θ) =θ θ = 0. Lemme... : Soit g une fonction de classe C sur [a, b]. S il existe un réel k 0 tel que : g (x) k x [a, b] alors la fonction g est k Lipschitzienne sur[a, b]. Preuve : Il suffit d appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction g sur [x, y] avec x y. Donc il existe c ]x, y[ tel que : g(y) g(x) = (y x)g (c) et comme on a : g (c) k, il s ensuit que : g(y) g(x) k x y Définition..6. : Soit (u n ) une suite admettant pour limiteθ. On appelle erreur de la n eme étape le réel défini par e n = u n θ Définition..7. : On dit que la convergence de(u n ) versθ est d order p si : e n+ lim n = C où p et C sont des réels> 0 e n p Si p = (avec C < ) la convergence est dite linéaire Si p = on dit que la convergence est quadratique. Remarque... : L ordre de convergence p n est pas nécessairement un entier. Définition..8. : On dira que le réelδ est une approximation du réelα avec la precisionε si : α δ ε. En particulier, on dira que le terme u n0 d une suite (u n ) approche la limiteθ avec précisionε si u n0 θ ε. Exemple... : la suite(u n ) = ( ) tend vers zéro quand n tend vers l infini. n Si on veut une précision ε = 0, il suffit de prendre n 0 tel que n 0 0 ou 4

26 encore n 0 0 mais si on exige une precision de 0 5 alors on doit prendre n 0 tel que n c.a.d n Remarque..3. : Il est important de saisir la notion de vitesse de convergence. Par exemple, les suites ( n ),( n ),( n4) convergent vers zéro quand n tend vers l infini mais la vitesse de convergence diffère d une suite à l autre. Théorème..7. : Soit g une fonction k contractante sur [a, b] et à valeurs dans [a, b], et (u n ) la suite récurrente définie par : u 0 [a, b], u 0 donné et u n+ = g(u n ) pour tout n 0 Alors : - la suite (u n ) converge vers un réelθ - la fonction g admet un point fixe unique 3- Pour tout n N on a : u n θ kn k u u 0 Preuve : Tout d abord, comme u 0 [a, b] et que g : [a, b] [a, b], on a u n [a, b] pour tout n N. Ensuite, le fait que g soit une fonction k contractante implique que : u n+ u n = g(u n ) g(u n ) k u n u n pour tout n. Par conséquent on obtient : u n+ u n k n u u 0 pour tout n 0 (..) A l aide de l inégalité.. on montre que la suite(u n ) vérifie : En effet : Pour tous p N et n N on a : u n+p u n k kn u u 0 u n+p u n u n+p u n+p + u n+p u n+p +... u n+ u n+ + u n+ u n k n+p u u 0 +k n+p u u 0..+k n+ u u 0 +k n u u 0 kp k kn u u 0 k kn u u 0 () 5

27 L inégalité () nous permet de prouver que la suite(u n ) est de Cauchy. En effet : Comme k n 0 alors pour toutε > 0, il existe n 0 tel que pour tout n n 0 on n + ait : k n k u u 0 ε et par suite : k kn u u 0 ε Donc pour toutε > 0, il existe n 0 tel que pour tout n n 0 on ait : u n+p u n k n k u u 0 ε La suite(u n ) est donc de Cauchy et par conséquent elle converge vers une limiteθ. Comme la fonction g est continue sur[a, b], que u n+ = g(u n ) et que u n [a, b] n N alors on a : lim n u n =θ = g(θ) c-a-d : θ est un point fixe de g Unicité du point fixe : Supposons que g admet un autre point fixeα different deθ alors on a : g(α) g(θ) = α θ k α θ ou encore( k) α θ 0 mais comme k <, alorsα =θ Enfin, en faisant tendre p vers l infini dans l inégalité u n+p u n kn k u u 0, on obtient : θ u n kn k u u 0 n N Théorème..8 (condition de convergence locale). Soit g une fonction de classe C au voisinageθ. Si g(θ) =θ et g (θ), alors il existe ε strictement positif tel que : u 0 I ε = [θ ε,θ +ε], la suite (u n ) = (g(u n )) est définie et converge vers θ, l unique solution de g(x) = x dans I ε Preuve : Puisque g est de classe C au voisinage deθ et que g (θ) < on a : g (x) < x au voisinage deθ. Par consequent, il existe ε strictement positif tel que : x I ε, g (x) < et puisque g est continue sur le fermé borné I ε, on déduit qu il existe k ]0, [ tel que : x I ε, g (x) k < Pour appliquer le théorème, il suffit de vérifier que : g(i ε ) I ε. Or, par application du théorème des accroissements finis on a : x I ε, g(x) θ x θ Remarque..4. : 6

28 Si g (θ) =, la suite peut converger ou diverger Si g (θ) et si la suite possède une infinité de termes différents deθ, alors la suite ne peut converger. En effet, si on suppose que la suite converge versθ on obtient : u n+ θ = (u n θ)g (c n ) avec c n compris entre u n etθ et de là on aboutit à une contradiction en supposant que u n est assez proche deθ de telle sorte que : g (c n ) = u n+ θ u n θ Théorème..9. : Si la suite récurrente définie par : u 0 [a, b], u 0 donné et u n+ = g(u n ), n 0, converge linéairement versθ et si g est de classe C e sur[a, b], alors C = n+ lim = g (θ). n e n Preuve : Il suffit d appliquer le théorème des accroissements finis : e n+ = u n+ θ = g(u n ) g(θ) = (u n θ)g (c n ) et de là on obtient Remarque : e n+ lim = lim g (c n ) = g (θ) n e n n On veut résoudre numériquement l équation f(x) = 0. On constate qu il existe plusieurs façon d écrire cette équation sous la forme d un problème de point fixe c est-à-dire sous la forme g(x) = x. Par exemple on à les trois écritures suivantes : x x 3 = 0 = x = x+3 = x = g (x) = ± x+3 (..) x x 3 = 0 = x = x 3 = x = g (x) = x 3 (..3) x x 3 = 0 = x = x+3 = x = g 3 (x) = x+3 (..4) x Les trois équations..,..3 et..4 admettent pour points fixes et 3. Pour la convergence locale ou globale il faut étudier g i (x), g i ( ) et g i (3) i =,, 3. Méthode de Newton : En prenant la fonction g définie par : g(x) = x f(x) f (x), on obtient le procédé de Newton donné par : x 0 donné, x n+ = x n f(x n) f (x n ) pour n 0 avec f (x n ) = 0 7