Ch.7 : Etude des variations d une fonction

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1 e S - programme 20 - mathématiqes ch.7 - cors Page sr 6 Ch.7 : Etde des variations d ne fonction SENS DE VARIATION ET OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS THÉORÈME Somme de fonctions Soit n réel k et dex fonctions et v définies sr n intervalle I. ) Les fonctions et + k ont le même sens de variation sr I. 2) Si les fonctions et v sont totes dex croissantes sr I, alors la fonction + v est croissante sr I. Si les fonctions et v sont totes dex décroissantes sr I, alors la fonction + v est décroissante sr I. Démonstration : Voir les démonstrations ax exercices 30 et 3, page 7. Remarqe : (Voir l'exercice 32, page 7) Si les fonctions et v n'ont pas le même sens de variation sr l'intervalle I, on ne pet rien conclre sr le sens de variation de la fonction + v. Commentaire : La corbe représentative de la fonction + k est l image de la corbe représentative de la fonction par la translation de vecter k OJ. THÉORÈME 2 Prodit par ne constante Soit n réel et ne fonction définie sr n intervalle I. Si > 0, alors les fonctions et ont le même sens de variation sr I. Si < 0, alors les fonctions et, ont des sens de variation contraires sr I. Démonstration : Cas où < 0 et est croissante sr I. La fonction conserve l'ordre. Ainsi, por tos réels a et b dans I tels qe a b, on a : (a) (b). En mltipliant par (négatif) chaqe membre de l'inégalité, on a : (a) > (b). Ainsi la fonction est décroissante sr I, contrairement à la fonction. THÉORÈME 3 Racine carrée Soit ne fonction définie sr n intervalle I telle qe por tot réel x de I, (x) 0. La fonction est la fonction définie sr I par : x (x). Les fonctions et ont le même sens de variation sr I. Inverse Soit ne fonction définie sr n intervalle I sr leqel a n signe constant et ne s'annle pas. La fonction est la fonction définie sr I par : x (x). Les fonctions et ont des sens de variation contraires sr I. Démonstration : Inverse d'ne fonction : Cas où est croissante et strictement positive sr I. Por tos réels a et b dans I tels qe a b, on a : 0 < (a) (b). La fonction inverse étant décroissante sr ]0 ; +[, on a : (a) (b).

2 e S - programme 20 - mathématiqes ch.7 - cors Page 2 sr 6 Ainsi la fonction est décroissante sr I, contrairement à la fonction. Voir la démonstration d théorème sr la racine carrée d'ne fonction à l'exercice 38, page 8. Exemple : Soit f la fonction définie sr IR \ {2} par : f (x) = x 2. On a : f = où : x x 2. La fonction est strictement négative et croissante sr ] ; 2[. Donc la fonction f est décroissante sr ] ; 2[. De la même façon, la fonction f est décroissante sr ]2 ; +[. Exercice corrigé : Utiliser les variations des fonctions de référence On considère les fonctions f, g et h définies sr l'intervalle I : f (x) = 2 x et I = [0 ; +[ ; g(x) = 2 x 3 et I = [0 ; +[ ; h(x) = 2x 2 et I = IR. + 5 Étdier les variations de ces fonctions sr ler ensemble de définition. Soltion : Méthode : Variations de f : ) f = ( 2) r où r : x x. 3) Comme 2 < 0, f et r ont des sens de variation contraires. Or r est strictement croissante sr [0 ; +[. Donc f est strictement décroissante sr [0 ; +[. 4) On vérifie à l'aide de la calclatrice. Variations de g : ) On remarqe qe g = f + ( 3). 2) Donc f et g ont le même sens de variation sr [0 ; +[. Donc la fonction g est strictement décroissante sr [0 ; +[. 4) On vérifie à l'aide de la calclatrice. Variations de h : ) h est l'inverse de la fonction k : x 2x2 + 5, fonction polynôme d second degré strictement positive sr IR. Les fonctions h et k ont donc des sens de variation contraires. Avec les notations habitelles, k change de sens de variation en b 2a = 0. Et comme a = 2 (positif), on a le tablea des variations de la fonction k ci-contre. 3) D'où le tablea des variations ci-contre por h. Ainsi h est strictement croissante sr ] ; 0] et strictement décroissante sr [0 ; +[. 4) On vérifie à l'aide de la calclatrice. ) On cherche ne relation entre la fonction à étdier et ne fonction, dont on connaît les variations. On conclt en tilisant les théorèmes d cors. 2) Les fonctions et v ont le même sens de variation dans le cas où : v = + k, où k est ne constante (qel qe soit son signe) ; v =, où est n réel strictement positif ; v =. 3) Les fonctions et v ont des sens de variation contraires dans le cas où : v =, où est n réel strictement négatif ; v = avec de signe constant. 4) Penser à vérifier à l'aide de la calclatrice : si la corbe affichée ne constite pas ne preve, c'est n bon élément de vérification.

3 e S - programme 20 - mathématiqes ch.7 - cors Page 3 sr 6 2 SENS DE VARIATION ET DÉRIVATION THÉORÈME 4 Dérivée d'ne fonction monotone On considère ne fonction f définie et dérivable sr n intervalle I. ) Si f est croissante sr I, alors por tot réel x de I, f ' (x) 0. 2) Si f est décroissante sr I, alors por tot réel x de I, f ' (x) 0. 3) Si f est constante sr I, alors por tot réel x de I, f ' (x) = 0. Idées de démonstration : Cas où la fonction f est constante Soit ne fonction f définie et dérivable sr n intervalle I. On sppose qe f est constante sr I. Por tot réel a de I et tot réel h tel qe a + h appartient à I, f (a + h) = f (a), donc le tax d'accroissement de f en a : h Or f ' (a) = lim. h 0 h On en dédit qe f ' (a) = 0. h est la fonction nlle. Cas où la fonction f est croissante Soit ne fonction f définie et dérivable sr n intervalle I. On sppose qe f est croissante sr I. Soit n réel a de I. Por tot réel h tel qe a + h appartient à I : Si h > 0, alors a < a + h. f étant croissante sr I, on a : f (a) f (a + h). Le rapport est donc positif. h Si h < 0, alors a > a + h. f étant croissante sr I, on a : f (a) f (a + h), donc 0. Et comme h < 0, le rapport est encore positif. h En passant à la limite qand h tend vers 0, on obtient intitivement qe f ' (a) 0. Commentaire : Si f est croissante sr I, alors en chaqe point de la corbe, le coefficient directer de la tangente est positif : por tot réel a de I, f ' (a) 0. Si f est décroissante sr I, alors en chaqe point de la corbe, le coefficient directer de la tangente est négatif : por tot réel a de I, f ' (a) 0. THÉORÈME 5 Sens de variation d'ne fonction dérivable (admis) On considère ne fonction f définie et dérivable sr n intervalle I. Si por tot réel x de I, f ' (x) 0, alors la fonction f est croissante sr I. Si por tot réel x de I, f ' (x) 0, alors la fonction f est décroissante sr I. Si por tot réel x de I, f ' (x) = 0, alors la fonction f est constante sr I. Commentaire : Lorsqe la fonction dérivée f ' est de signe constant sr I, et si elle ne s'annle q'en n nombre fini de valers de I, alors on pet conclre qe f est strictement monotone sr I. Exemple : Soit la fonction cbe f : x x3. f est dérivable sr IR et por tot réel x, f ' (x) = 3x 2. f ' (x) = 0 éqivat à : 3x 2 = 0, soit à : x = 0. Un carré étant positif, por tot réel x, f ' (x) 0. Ainsi la dérivée f ' est positive sr IR et ne s'annle q'en 0. La fonction f est donc strictement croissante sr IR.

4 e S - programme 20 - mathématiqes ch.7 - cors Page 4 sr 6 Exercice corrigé : Étdier les variations d'ne fonction et choisir ne méthode ) Soit ne fonction f dérivable sr [ 3 ; 3], dont on donne la corbe représentative ' de sa dérivée f ' ci-contre. Étdier les variations de la fonction f. 2) Soit la fonction g définie sr ]0 ; +[ par : g(x) = 2x + 3. Étdier les variations de la fonction g. x 3) Soit la fonction h définie sr [0 ; +[ par : h(x) = x + x. Étdier les variations de la fonction h. Soltion : ) On lit sr le graphiqe : f ' s'annle en 2 et en, est négative sr [ 3 ; 2] et positive sr [ 2 ; 3]. On résme le signe de f ' (x) dans n tablea de signes. On en dédit le tablea des variations de f ci-contre. Remarqe : on ne connaît pas les valers des images f ( 3), f ( 2) et f (3). Méthode : On dédit les variations de f d signe de f '. 2) g est la somme des fonctions x x et de x 2x + 3, qi sont Dans le cas de la somme de dex fonctions monotones de totes dex décroissantes sr ]0 ; +[. Donc a est décroissante sr ]0 ; +[. On vérifie à l'aide de la calclatrice. 3) h est dérivable sr ]0 ; +[ comme somme de fonctions dérivables sr ]0 ; +[ et por tot réel x > 0 : h' (x) = + x2 (x )(x + ) 2 + = x x 2 = x 2. Comme x + et x 2 sont strictement positifs, h' (x) est d signe de (x ). Avec h() = + = 2. On vérifie à l'aide de la calclatrice. 3 EXTREMUM D'UNE FONCTION DÉFINITIONS On considère ne fonction f définie sr n intervalle I, et a n réel de I. On dit qe le réel M est le maximm de f sr I, atteint en a, si f (a) = M et si por tot réel x de I, on a f (x) M. On dit qe le réel m est le minimm de f sr I, atteint en a, si f (a) = m et si por tot réel x de I, on a f (x) M. Un extremm de f sr I est n maximm o n minimm de f sr I. même sens de variation, on pet conclre directement. Sinon : - on calcle f (x) ; - on étdie le signe de f ' (x) ; - on en dédit les variations de f. Penser à vérifier à l'aide de la calclatrice. Voir les fiches Calclatrices, page 394. On dit qe le réel L est n maximm (respectivement minimm) local de f sr I s'il existe n intervalle overt J conten dans I, tel qe L est le maximm (respectivement minimm) de f sr J. THÉORÈME 6 Condition nécessaire sr l'existence d'n extremm por ne fonction dérivable (admis) Soit ne fonction f définie et dérivable sr n intervalle I overt et a n réel de I. Si f admet n extremm (local) sr I, atteint en a, alors f ' (a) = 0.

5 e S - programme 20 - mathématiqes ch.7 - cors Page 5 sr 6 Interprétation graphiqe : Dans les conditions d théorème précédent, la corbe représentative de f admet en a ne tangente parallèle à l'axe des abscisses.s Remarqes : La proposition est fasse dans le cas où I est n intervalle fermé. Sr l'exemple ci-dessos, le maximm de f est 3, atteint en 5. Mais la tangente à a point d'abscisse 5 n'a pas por coefficient directer 0 : f ' ( 5) < 0. Cette condition n'est pas sffisante : voir l'exemple 2 ci-dessos. THÉORÈME 7 Condition sffisante sr l'existence d'n extremm local por ne fonction dérivable Soit ne fonction f définie et dérivable sr n intervalle I overt, et a n réel de I. Si la dérivée f ' s'annle en changeant de signe en a, alors f (a) est n extremm (local) de f sr I. Idée de démonstration : Il existe n intervalle overt J dans I sr leqel le tablea de signes de f ', et donc le tablea des variations de f, est l'n des dex tableax ci-contre. Ainsi f (a) est le maximm o le minimm de la fonction f sr J. Exemple : Sr le schéma ci-contre : Le maximm de f sr [ 5 ; 3] est 3, atteint en 5. Le minimm de f sr [ 5 ; 3] est 2, atteint en 3. est n maximm local de f, car est le maximm de f sr I = ] 2 ; 0[. est n minimm local de f, car c'est le minimm de f sr I' = ]0 ; 2[. Exemple 2 : Soit la fonction f : x x3 dérivable sr IR. Por tot réel x, f ' (x) = 3x 2. Ainsi f ' (0) = 0. Mais f étant strictement croissante sr IR, f n'admet pas d'extremm en 0. Exercice corrigé : Déterminer des extrema, obtenir des inégalités x ) Soit la fonction f définie sr [ 7 ; 7] par : f (x) = + x 2. Jstifier qe por tot réel x de [ 7 ; 7] : 2 f (x) 2. 2) Démontrer qe por tot réel x 0, on a x 3 3x 2. Soltion : ) En tant qe qotient de fonctions dérivables sr [ 7 ; 7] et le dénominater ne s'annlant pas, la fonction f est dérivable sr [ 7 ; 7], et por tot réel x de cet intervalle, on a : f ' (x) = ( + x2 ) x 2x ( + x 2 ) 2 = f ' (x) a le signe d trinôme x 2 pisqe ( + x 2 ) 2 > 0. D'où le tablea de signes de f ' (x) et le tablea des variations de f, Méthode : Por encadrer f (x) : On pet : x 2 ( + x 2 ) 2. calcler f ' (x) ; étdier le signe de f ' (x) et en dédire les variations de f ;

6 e S - programme 20 - mathématiqes ch.7 - cors Page 6 sr 6 avec : f ( ) = + ( ) 2 = 2 et f ' () = + 2 = 2. Par lectre d tablea, est le maximm de f et est le minimm 2 2 de f. Donc por tot réel x de [ 7 ; 7], on a : 2 f (x) 2. lire dans le tablea des variations les extrema de f. On pet assi : majorer et minorer en tilisant les règles de comparaison. Por comparer l'image de x par dex fonctions, on précise le signe de ler différence : 2) Soit la fonction g définie sr [0 ; +[ par : g(x) = x 3 (3x 2) = x 3 3x + 2. g est dérivable sr [0 ; +[. Por tot réel x 0, on a : g' (x) = 3x 2 3. On obtient le tablea ci-contre, avec : g(0) = = 2 et g() = = 0. Ce tablea montre qe le minimm de g sr [0 ; +[ est 0. Donc por tot réel x 0, g(x) 0, soit x 3 3x 2. on calcle ler différence g(x), et on étdie le signe de g(x). Si le signe de g(x) n'est pas «évident» : on étdie les variations de la fonction g ; on obtient les extrema éventels de g, dont on dédit dans certains cas le signe de g(x).