Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG

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1 Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG Exercice I (6 points) Dans le tableau suivant, une seule des réponses proposées à chaque question est correcte. Ecris le numéro de chaque question, et donner en justifiant la réponse qui lui correspond. Réponses N⁰ Questions a b c d f et g sont deux fonctions telles que f x = x et g x = x ) x+ x R ; R ; R ; a) Soit h = fοg ; le domaine de définition de h est : b) = fοg = ) ) ) 5) f est une fonction définie sur R par : f(x) = x 5 + x +, f admet sur R une fonction réciproque g. Alors S est le point d inflexion de (C g ) Soit le nombre complexe W = + e iπ 6. Alors la forme exponentielle de W est : Soit le nombre complexe u = 6 i( + 6) On sait qu un argument de u = 5π 6. Alors arg(u) = Si a ; b ; c et d sont les racines de l équation z + z - + i = 0 Alors a b c d = R ; S (0 ; ) S (0 ;-) S ( ; ) S (0 ; 0) sin( π iπ )e cos( π iπ )e cos( π iπ )e sin( π iπ )e 7π e iπ 9π π π e iπ e iπ e 5iπ Exercice II ( ½ points) ) a- Soit le nombre complexe t = + i. Ecrire sous forme algébrique les racines carrées de t. ( - pt) b- Résoudre dans C l équation : z 6iz i = 0. ( - pt) ) Soit l équation (E) : z iz iz + 8 i = 0. a- Montrer que z = -i est une solution de (E). ( - pt) b- Montrer que (E) peut s écrire sous la forme (z + i)(z + pz + q) = 0 où p et q sont deux nombres complexes que l on déterminera. ( - pt) c- En déduire les solutions de (E) sous forme algébriques. ( - pt) ) Le plan complexe est rapporté à un repère othonormal (O ; u ; v). On considère les points C, D et F d affixes

2 respectives c = + i ; d = - + i et f = -i. a- Placer les points C ; D et F. (½ pt) b- Déterminer les formes algébriques et exponentielles de z C z D z F z D. En déduire la nature du triangle CDF. ( + pt) ) a- Trouver l affixe e du point E tel que : DC; DE = π (π) et DC = DE. ( pt) b- Dans la suite, on suppose que E(e = - + 6i) et H (h = -6) Démontrer que les points C, E, H et F sont sur un même cercle de centre D. ( pt) 5) M est un point variable d affixe z distinct de F. On pose z = z+ 6i z+i Trouver l ensemble des points M dans chacun des cas suivants : a) z =. ( pt) b) z est imaginaire pur. ( pt) 6) a- Trouver les nombres complexes z tels que z = - + i. ( pt) b- Les nombres complexes u, v et w sont les racines cubiques d un nombre complexe T. Calculer la forme algébrique de T si u + v = - + i. ( pt) Exercice III (9 ½ points) On définit sur R, deux fonctions f et g telles que f x = x+ et g x = x + x x x Soit (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i ; j). (L) la droite d équation y = x. ) a- Etudier les variations de g et dresser son tableau. ( pt) b- Montrer que l équation g(x) = 0 admet une solution unique k et,8 < k <,9. ( pt) c- Montrer que (x) x = g(x), étudier l intersection de (C) et (L). x + ) Trouver Lim f (x) ; Lim f (x).en déduire une asymptote (d) à (C). ( pt) ( pt) ) a- Calculer f (x) et dresser le tableau de variations de f. (pt) b- Soit I = ; +, trouver f(i). (½ pt) ) Montrer que (C) admet le point E (0 ; ) comme centre de symétrie. ( - pt) 5) Tracer (d) ; (L) et (C). ( + pt) 6) a- Montrer que f admet sur ; + une fonction réciproque h. Construire (C h ). ( pt) b- Trouver une équation de la tangente (T ) à (C h ) au point B d abscisse 9 5. (pt) Exercice IV ( ½ points) Un triangle ABC est tel que AB = ; AC = et BC = ( + ). ) Calculer cos (A). En déduire la valeur de A. ( + pt) ) Calculer l aire du triangle ABC. ( pt) ) Calculer sin (B). En déduire la valeur de B. ( pt) ) Calculer la longueur de la médiane [AM] et de la hauteur [AH] du triangle ABC. ( + pt)

3 Exercice V (8 ½ points) Soit f la fonction définie sur R par : f x = x + x +. (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé (O ; i ; j). ) a- Déterminer Lim f (x) ; Lim f (x) et Lim[ f ( x) x]. ( ½ pt) b- Interpréter graphiquement les résultats. (½ pt) ) a- Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. ( pt) b- Trouver l équation de la tangente (T) à (C) au point A d abscisse 0. ( pt) c- Tracer (C) ; (T) et ses asymptotes. ( pt) ) a- Montrer que f admet sur R une fonction réciproque g. Préciser le domaine de définition de g. ( - pt) b- Trouver la forme explicite de y = g(x). ( pt) c- (C ) est la courbe représentative de g. Construire (C) et (C ) dans le même repère. ( - pt) d- Par deux manières calculer g (). ( pt) Bon Travail

4 Matière : Mathématiques Classe : Terminale SG Barème SG première épreuve 0 Problèmes Solution-Mathématiques Notes x a) h est définie si x D g et (x) D f,x et ; x et x x ) ; la bonne réponse est (a) b) h () = f (g()) g () = f () g () ; f x = x +x x+ g x = x h () = = ; la bonne réponse est (b). ) f est définie sur R ; f x = 5x + ; f x = 0x ; f (x) = 0 pour x = 0 I x 0 + f (x) 0 + C f Concave Convexe Alors le point S (0 ; ) est le point d inflexion de (C f ), donc le symétrique de S par rapport à la droite (L) : y = x qui est S ( ; 0) est le point d inflexion de(c g ) La bonne réponse est (b). ) W = e iπ e iπ + e iπ e iπ = e iπ e iπ + e iπ = e(cos ( iπ π )) 0 < π < π donc cos π > 0 par suite W = cos ( π iπ ) e est la forme exponentielle de W, la bonne réponse est (b). 5) arg(u ) = arg(u) + kπ ; arg(u) = 5π + kπ ; on Re(u) < 0 et Im(u) < 0 On a deux valeurs k = 0 ou k = ; la seule valeur acceptable est pour k = Car pour k = 0 ; on aura Re(u) > 0 et Im(u) > 0 ce qui contredit l hypothèse Donc arg(u) = 5π 7π + π = ; la bonne réponse est (a). 6) a b c d = + i = e iπ ; la bonne réponse est (c). ) a) t = + i = ( + i) ; donc les racines carrées de t sont + i et --i. - b) z -6iz--i = 0 ; w = + i ; alors d après la partie a) w = + i ou w = --i, z = - + i ; z = + i. a) z = -i est une solution de (E) car elle vérifie l équation (E). - - II ) b) (E) : (z + i)(z -6iz--i) = 0 ; p = -6i et q = --i. - c) (z + i)(z -6iz--i) = 0 ; z = -i ou z -6iz--i = 0 z -6iz--i = 0 alors z = - + i ou z = + i d après -b - S = { -i ; - + i ; + i }. a) C ( ; ) ; D (- ; ) et F (0 ; -) ½

5 II ) b) z C z D = i = e iπ or z C z D = CD z F z D z F z D FD ei FD ; CD donc CD = ; CD = FD FD + FD ; CD = π + kπ, alors le triangle CDF est rectangle isocèle en D. ) a) z DE = DE z DC DC ei DC ; DE = e iπ = i ; z E -z D = i( z C -z D ) ; z E = - + 6i. ) b) CD = ED = HD = FD = 5u. l ; alors les points sont sur un même cercle de centre D et de rayon 5. a) z = z EM ; z = EM = ; EM = FM ; l ensemble des points M est la z FM FM médiatrice de [EF]. 5) b) z imaginaire pur si et seulement si z 0 et argz = π + kπ ; k entier Or argz = (FM; EM) donc FM; EM = π + kπ ; avec M distinct de F et M distinct de E. L ensemble des points M est le cercle de diamètre *EF+ Privé des deux points E et F. 6) a) z = - + i = i( +i) = (+i) (+i) = (+i) ; z 0 = +i est donc une solution de cette équation ; les autres racines sont z = z 0 j et z = z 0 j z = [ + i ] ; z = [ + + i ] b) On a u = v = w = T et u + v + w = 0 et u + v = - + i w = -(u + v) = i ; T = w = (-i) = -i a) g est définie et continue sur R ; g (x) = x -x- g (x) = 0 pour x = ou x = ) x + g (x) g(x) III b) dans ; + la courbe de la fonction g est monotone et continue et elle passe de - à + ; donc elle doit couper l axe des x en seul point d abscisse k ; alors g(x) = 0 possède une seule solution dans ; + g(,8) g(,9) -0,05 < 0 alors,8 < k <,9. c) f x x = x +x+ x x = x +x +x+ = g(x) x + x + x + f(x) x = 0 ; g(x) = 0 admet une seule racine x = k. Si A désigne le point d intersection de (C) et (L) alors A (k ; k). ) Lim f ( x) ; Lim f ( x) ; alors (d) : y = est l équation d une asymptote horizontale. 5

6 ) a) f est définie et continue sur R f x = x+ x + x x+ = x+ (x + x x) x (+x) = x + x + x + f (x) = 0, pour x = ou x = - x - + f (x) f(x) 0 ) b) f(i) = ] ; ]. ½ ) R est centré en x = 0 ; f(-x) + f(x) =? x + +x = x + = (vérifiée). - x + x + x + 5) III + 6 a) f est monotone sur ; + car f (x) 0 pour tout x ; +, donc f admet une fonction réciproque h. (Voir partie 5) (C) et (C ) sont symétriques par rapport à (L). b) h ( 9 ) = où f(x) = 9 ; x = donc 5 f (x) 5 h (9) = (T ) : y = 5 (x ) ; (T ) : y = x ) BC = AB + AC AB.AC.cos (A) ; cos (A) = < 0 ; π < A < π D après la calculatrice A = 05 ) S ABC = AB AC sina = ( + ) u + IV ) S ABC = AB BC sinb ; sinb = ; B = 5 ) AHB est un triangle rectangle isocèle en H ; AB = AH ; AH = u.l BH = AH = ; BM = BC = + ; MH = BM-BH = + MH = ( ) u.l. Dans le triangle rectangle AHM ; AM = AH + HM = + ( ) AM = 8 u. l + 6

7 V ) ) a) x + = x + φ(x) avec Lim ( x) 0 ; f(x) = x--x + φ(x) =-+ φ(x) Lim f ( x), alors la droite (d ) d équation y = - est une asymptote horizontale à (C) au voisinage de. x + = x + g(x) avec Lim g( x) 0 Lim f ( x) Lim x g( x) ; Lim f ( x) x Lim f ( x) (x ) Lim g( x) 0, alors la droite (d ) d équation y = x - est une asymptote oblique à (C) au voisinage de +. b) y = - asymptote horizontale à (C) au voisinage de y = x- asymptote oblique à (C) au voisinage de + a) f x = + x = x+ x + x + x + Si x < 0, f x = x+ x + (x x +) x +(x x +) Par suite pour tout x réel f (x) > 0 ; si x 0 alors f (x) > 0 = x +(x x +) > 0 x α + f (x) + f(x) b) f(0) = ; y - = f (0)(x-0) ; y- = (x) ; (T) : y = x + c) ½ ½ V ) a) f est continue sur R et elle est strictement monotone (croissante) alors f admet une fonction réciproque g ; D g = ; + b) Soit z = g(x) ; avec x > - ; z = g(x) si et seulement si f(z) = x ou x R z + = x z + ; z + = x + z + xz + x z z(x + ) = x + x - ; z = x +x = g(x). x+ c) Voir -c - - 7

8 d) è manière : g () = ; f(x) = ; x + f (x) x + = ; x = x + x - x + = x + ; x = 0 ; donc g () = è manière : g (x) = x+ x x+ x+ ; g () = 6 6 =. f (0) =. 8