Module de statistiques

Transcription

1 Module de statstques On utlsera les exemples suvants dans tout le chaptre : Exemple 1 : Dans une maternté, on a référencé les pérmètres crânens à la nassance de 290 nouveaux nés. Pérmètre ( en cm ) 32 32, , , , , ,5 Effectf Exemple 2 : Le tableau suvant donne le nombre d enfants âgés de 0 à 16 ans dans un échantllon de 99 famlles : Nombre d enfants Effectf Exemple 3 : En 2009, d après une étude réalsée par le mnstère de la Culture et de la Communcaton, la répartton des vsteurs dans les musées par groupes socaux a été la suvante : Etudants Classe populare Classe moyenne nféreure Classe moyenne supéreure Classe supéreure 9 % 32 % 16 % 22 % 21 % Exemple 4 : Une machne remplt automatquement des sachets de médcaments en poudre. On a pesé un échantllon consttué de 100 sachets. Les résultats sont ndqués dans le tableau suvant : Masse ( en g ) Fréquence ( en % )

2 Module de statstques I- Vocabulare Les premères études statstques étaent démographques : on a conservé le vocabulare. 1) Une étude statstque commence par un recuel de données. L ensemble sur lequel porte l étude statstque s appelle la populaton. Un élément de cet ensemble s appelle un ndvdu. 2) L étude statstque étude un aspect des ndvdus d une populaton appelé caractère ou varable. Le caractère étudé prend un certan nombre de valeurs, qu peuvent être numérques ou non. a) Lorsque les valeurs de ce caractère sont des nombres, on dt que ce caractère est quanttatf. S le caractère quanttatf ne prend que quelques valeurs, on dt qu l est dscret. S le caractère quanttatf prend n mporte quelle valeur d un ntervalle, on dt qu l est contnu : on regroupe alors les valeurs dans des ntervalles appelés classes. On note alors le centre de chaque classe. On appelle ampltude d une classe la valeur. b) Lorsque les valeurs de ce caractère ne sont pas des nombres, on dt que ce caractère est qualtatf. 3) Le nombre d ndvdus chez lesquels on observe la valeur x d un caractère est l effectf de cette valeur. On note les effectfs respectfs des valeurs. Le nombre d ndvdus de la populaton est appelé effectf total : l est en général noté. 4) La proporton d ndvdus ayant une valeur du caractère est appelée fréquence. effectf de la valeur Elle est égale à :. effectf total On note les effectfs respectfs des valeurs. Une fréquence est un nombre comprs entre 0 et 1. On l écrt sous forme de fracton ou de pourcentage. 2

3 Module de statstques Compléter le tableau suvant : Exemple 1 Exemple 2 Exemple 3 Exemple 4 Indvdus de la populaton Caractère étudé Nature du caractère x n x n valeurs f Centre des classes x f Valeurs prses par le caractère et effectfs ou fréquences correspondants Effectf total 3

4 Module de statstques II- Représentaton graphque Pour vor et tradure rapdement les nformatons d une étude statstque, on a recours à des représentatons graphques dfférentes selon la nature du caractère. 1) Dagrammes en bâtons ou en barres Ce dagramme peut être utlsé dans le cas d un caractère qualtatf ou quanttatf dscret. Il est formé de barres dont l abscsse est x (valeurs du caractère ) et dont la hauteur est proportonnelle à n ( effectf de la valeur x ) ou à f ( fréquence de la valeur x ). Exercce : Construre le dagramme en bâtons de l exemple 1 en prenant 1 cm pour un effectf de 10 en ordonnée. 4

5 Module de statstques 2) Nuage de ponts Ce dagramme peut être utlsé dans le cas d un caractère quanttatf dscret. Il est formé de ponts dont l abscsse est x ( valeurs du caractère ) et dont l ordonnée est n ( effectf de la valeur x ) ou à f ( fréquence de la valeur x ). Exercce : Construre le nuage de ponts de l exemple 2 en prenant 1 cm pour 1 enfant en abscsse et 1 cm pour un effectf de 10 en ordonnée. 3) Dagrammes crculares Ce dagramme peut être utlsé dans le cas d un caractère qualtatf ou quanttatf dscret. L angle de chaque secteur est proportonnel à n ( effectf de la valeur x ) ou à f ( fréquence de la valeur x ). Il exste également des dagrammes sem crculares. Exercce : on reprend l exemple 3 Classe socale Etudants Classe populare Classe moyenne nféreure Classe moyenne supéreure Classe supéreure Total Fréquence 9 % 32 % 16 % 22 % 21 % Angle ( arrond à 1 ) Compléter le tableau, pus construre le dagramme crculare correspondant. 5

6 Module de statstques 4) Hstogrammes Ce dagramme est toujours utlsé dans le cas d un caractère quanttatf contnu ( valeurs regroupées en classes ). Lorsque les classes ont la même ampltude, on construt des rectangles ayant pour base chacune des classes et une hauteur proportonnelle à n ( effectf de la valeur x ) ou à f ( fréquence de la valeur x ). Exercce : Construre l hstogramme de l exemple 3 en prenant 1cm pour 0,5g en abscsse et pour chaque classe, tracer un rectangle de hauteur l effectf correspondant 6

7 Module de statstques III- Effectfs cumulés, fréquences cumulées Défntons : On note x une valeur prse par un caractère quanttatf. 1) L effectf cumulé crossant (respectvement décrossant) de x est la somme des effectfs des valeurs nféreures (respectvement supéreures) ou égales à x. 2) La fréquence cumulée crossante (respectvement décrossante) de x est la somme des fréquences des valeurs nféreures (respectvement supéreures) ou égales à x. Exercce 1 : 1) Reprendre l exemple 2 et compléter le tableau suvant : Nombre d enfants Effectf Effectfs cumulés crossants 2) Comben de ces 99 famlles ont au plus deux enfants? Exercce 2 : 1) Reprendre l exemple 3 et compléter le tableau suvant : Masse ( en g ) Total Fréquence ( en % ) Fréquence cumulée crossante ( en % ) 3) On suppose que la répartton est unforme dans chaque classe. Construre la courbe des fréquences cumulées crossantes formée de segments relant, à partr du pont de coordonnées les ponts de coordonnées ( ; ) de cette classe. x N où x est la borne supéreure de chaque classe et N est la fréquence cumulée crossante Prendre comme untés graphques : 1 cm pour 0,5 g en abscsse et 1cm pour 10 % en ordonnée., tous 7

8 Module de statstques 3) Quel est le pourcentage de sachets pesant mons de 100 g? IV Paramètres d une sére statstque 1) Mesures de poston Moyenne : 1) On note n1, n2,..., n p les effectfs respectfs des valeurs x1, x2,..., x p prses par le caractère étudé et l effectf total, alors la moyenne de cette sére statstque est le nombre noté. 2) On peut calculer la moyenne à partr de la dstrbuton des fréquences. 8

9 Module de statstques f, f,..., f p les fréquences respectves des valeurs x1, x2,..., p S on note 1 2 statstque est le nombre noté. La moyenne est fortement nfluencée par les valeurs extrêmes Exercce 1 : Reprendre l exemple 1 et calculer le pérmètre moyen des 290 nouveaux nés. x prses par le caractère étudé alors la moyenne de cette sére Exercce 2 : 1) Reprendre l exemple 4 et compléter le tableau suvant. Masse ( en g ) Centre de la classe ( x ) Fréquence ( en % ) ( f ) ) A partr de la dstrbuton des fréquences, calculer la masse moyenne des sachets :. Médane et quartles On consdère une sére statstque de valeurs rangées dans l ordre crossant. 1) La médane de cette sére statstque, notée Me, partage la populaton en deux partes de telle sorte que : a) au mons 50 % des ndvdus prennent une valeur nféreure ou égale à la médane. b) au mons 50 % des ndvdus prennent une valeur supéreure ou égale à la médane. 2) a) S l effectf total est mpar, la médane est la valeur de la sére de rang. b) S l effectf total N est par, la médane est la moyenne des valeurs de la sére de rang et. 3) La médane n est pas sensble aux valeurs extrêmes. 4) a) Le 1 er quartle de cette sére statstque, notée, est la plus pette valeur de la sére telle qu au mons 25 % des valeurs sot nféreures ou égales à. est la valeur de la sére statstque dont le rang est le plus pett enter supéreur ou égal à. 5) a) Le 3 ème quartle de cette sére statstque, notée, est la plus pette valeur de la sére telle qu au mons 75 % des valeurs sot nféreures ou égales à. est la valeur de la sére statstque dont le rang est le plus pett enter supéreur ou égal à. 9

10 Module de statstques Exercce 1 : 6) L ntervalle nterquartle est égal à la dfférence 1. Reprendre l exemple 1 et compléter le tableau suvant. Pérmètre ( en cm ) 32 32, , , , , ,5 Effectf Effectfs cumulés crossants a)calculer la médane de cette sére statstque : b) Calculer le pourcentage de nouveaux nés ayant un pérmètre crânen nféreur ou égal au pérmètre médan. c) Calculer le pourcentage de nouveaux nés ayant un pérmètre crânen supéreur ou égal au pérmètre médan. a) Calculer le premer quartle de cette sére statstque : b) Calculer le pourcentage de nouveaux nés ayant un pérmètre crânen nféreur ou égal au premer quartle. c) Calculer le pourcentage de nouveaux nés ayant un pérmètre crânen supéreur ou égal au premer quartle. a) Calculer le trosème quartle de cette sére statstque : 10 b) Calculer le pourcentage de nouveaux nés ayant un pérmètre crânen nféreur ou égal au trosème quartle. c) Calculer le pourcentage de nouveaux nés ayant un pérmètre crânen supéreur ou égal au trosème quartle. 5. Calculer l ntervalle nterquartle de cette sére statstque :

11 Module de statstques Exercce 2 : En s adant du tableau du paragraphe III ( page? ) : 1) a) Calculer la médane de la sére statstque de l exemple 2. b) Que sgnfe ce nombre? 2) a) Calculer le premer quartle de la sére statstque de l exemple 2. b) Interpréter ce nombre. 3) a) Calculer le trosème quartle de la sére statstque de l exemple 2. b) Interpréter ce nombre. 11 4) Calculer l ntervalle nterquartle de cette sére statstque : Exercce 3 : En s adant de la courbe des fréquences cumulées crossantes du paragraphe III : 1) Détermner graphquement la médane de la sére statstque de l exemple 4. 2) Détermner graphquement le premer quartle de la sére statstque de l exemple 4.

12 Module de statstques 3) Détermner graphquement le trosème quartle de la sére statstque de l exemple 4. 2) Mesure de dsperson Etendue 1) On appelle étendue d une sére statstque la dfférence entre la plus grande et la plus pette valeur. 2) L étendue est sensble aux valeurs extrêmes Exercce 1 : Calculer l étendue de la sére statstque de l exemple 1. Exercce 2 : Calculer l étendue de la sére statstque de l exemple 4. 12