Réponse Temporelle d'un circuit RLC dégradé en régime quelconque : fonctions intégration et dérivation

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1 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain éponse Temporelle d'un circui C dégradé en régime quelconque : foncions inégraion e dérivaion Philippe GUY 23-24

2 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain I- ) Circui C : éponse à l échelon en ension oi de Kirchhoff : U i = U + U = I +U dq Or on a i C du d'où l'équaion différenielle : C du uui a soluion s'écri u = u + u p avec u soluion de l'équaion homogène e u p soluion pariculière On rouve : u Ae C car U -> A en fin de charge u p = U i car U i = cse donc u p = cse D'où la soluion générale : uae C Ui Or la ension aux bornes d un condensaeur es coninue : u(=-) = u( =+) Ae C U iau i Condiions iniiales : u(=-) = e u( =+) = d'où A = - Ui D'OU A SOUTION GENEAE : u U i( e ) (voir graphe u aux bornes de C) C 2) Circui : éponse à l échelon en inensié E = U +U= (+r)i + di => E = o i + di avec = + r De la même manière, la soluion s'écri i = i + i p On rouve i = I T e car en régime permanen i=i di E ip = car E= cse => ip = cse D'où la soluion générale : i I e E Or l inensié du couran dans la bobine es coninue : i(=-) = i( =+) Ie Condiions iniiales : i(=-) = e i( =+) = i ( e E E ) d'où I E Philippe GUY 23-24

3 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain D'OU A SOUTION GENEAE Or on cherche la ension U avec U = E i => U = E (voir graphe u aux bornes de ) e 3) emarques : le régime libre correspond à l'évoluion du sysème laissé à lui-même, sans inervenion exérieure. Du poin de vue mahémaique, cela revien à laisser agir les seules condiions iniiales, sans membre de droie dans l'équaion différenielle ; la réponse libre du sysème es la soluion à l'équaion homogène, avec condiions iniiales. e régime forcé correspond à la réponse du sysème lorsque ses condiions iniiales son nulles e qu'il n'y a donc que l'exciaion qui agi sur le sysème. a consane de emps fourni un ordre de grandeur de la durée de la réponse d'un circui ou C. Circui C : τ = C Circui : Philippe GUY 23-24

4 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain II- )Circui C se comporan comme un circui inégraeur : v e ( : ension d enrée v s ( : ension de sorie aux bornes de la capacié v ( : ension aux bornes de la résisance oi des mailles à l insan : () On veu exprimer v ( en foncion de vs( : dq( dvs ( i( C i( on a : C e : v( i( donc : v( C v ( C ) On divise () par C = e on remplace : v ( v( vs( C C C e ) ve( v( vs( v ( vs( C C e ) vs ( dvs ( Si C es rès grand, on a rès pei devan C ve ( On peu donc faire une approximaion : C En inégran on obien la relaion enre la ension de sorie aux bornes de la capacié e la ension d enrée : vs ( ve( C vs ( dvs ( Si on se me dans les condiions où C es rès pei devan, c es-à-dire pour C rès grand, on voi que la ension de sorie es en première approximaion le signal inégré de la ension d enrée. e circui C se compore comme un «circui inégraeur». 2) Circui C se comporan comme un circui dérivaeur : v e ( : ension d enrée v s ( : ension de sorie aux bornes de la bobine v ( : ension aux bornes de la résisance ve( v( vs( Philippe GUY 23-24

5 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain vs oi des mailles à l insan : (2) On veu exprimer v ( en foncion de vs( : di( ( ( i( vs vs( v( on a v( i( e On muliplie (2) par = e on remplace : ve( vs( vs( vs( vs ( Si es rès pei, on a rès pei par rappor à ve ( vs( On peu donc faire une approximaion : En dérivan on obien la relaion enre la ension de sorie aux bornes de la bobine e la ension d enrée : e vs( dv ( Si on se me dans les condiions où vs( es rès pei devan vs, c es-à-dire pour ( rès pei, on consae que la ension de sorie es en première approximaion le signal dérivé de la ension d enrée. e circui se compore comme un «circui dérivaeur». e circui C peu aussi se comporer comme un comme un «circui dérivaeur» e le circui comme un «circui inégraeur» en prenan la ension de sorie aux bornes de la résisance e en suivan le même raisonnemen. Philippe GUY 23-24

6 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain III- ) Foncion de ransfer : a foncion de ransfer exprime la relaion enre le signal de sorie e le signal d enrée d un quadripôle. S S H(jω) H(jω) exp (j( )) E E s e e module de la foncion de ransfer exprime le rappor des ampliudes des deux ensions, on défini ainsi le Gain en ension : G( ) H( j) argumen de la foncion de ransfer exprime la différence de phase enre les 2 ensions, on défini ainsi la foncion Déphasage : ( ) arg( H( j)) On appelle représenaion de BODE de la foncion de ransfer l'associaion des graphes : Gain en ampliude : GdB () = 2 log G() Phase : j() a gamme de fréquence éan souven élevé on uilise une échelle logarihmique. On appelle bande passane bande de fréquences dans laquelle l'ampliude es supérieure à un pourcenage de sa valeur maximale. En général, U>Umax/ 2. Plus simplemen, c es la gamme de fréquence pour laquelle on considère qu un signal es ransmis. 2) C Inégraeur : es calculs de l expression complexe de la ension d enrée e de sorie donne : Vs /jcω jcω Vs On évalue la foncion de ransfer : H Ve /jcω jcω jcω On dédui le Gain e le déphasage : G H ( C)² V e V r V s II jcω I jcω e circui C inégraeur se compore comme un filre passe-bas, puisqu il ne ransme le signal que dans une bande de fréquence (voir graphe bande passane). G GdB Equivalence = Gmax= (filre passif) GdB max = = coupe circui =c=/c G(c)=/ GdB=-3 =-/4 " G# /(C) GdB# -2*log(C) =-/2 G" GdB "- (inégraeur) cour circui e circui C ne foncionne en inégraeur que pour des valeurs de fréquence siuées en dehors de la bande passane (voir diagrammes de Bode) 3) C Inégraeur : Filre passe-bas fc 2C orsque C es grand, on a fc " e filre C en foncionnemen inégraeur ne laisse passer que la composane coninue du signal. Philippe GUY arg( H ) arg( cos sin c arcg( C ) jc)

7 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain Dérivaeur : Filre passe-hau fc orsque / es pei, on a fc " 2 e filre C en foncionnemen dérivaeur supprime la composane coninue du signal. 4) Applicaions du circui Inégraeur : Oscilloscope : donne la composane coninue d un signal alernaif Amplis Hi-Fi : filre passe-bas qui supprime les haues fréquences (réglage graves \ aigus) ANNEXE U aux bornes de C U aux bornes de Graphe Bande Passane Diagrammes de Bode Philippe GUY 23-24

8 INGOD Charloe MEYE Anne DAEAU Mayeul 22 GESSET omain Philippe GUY 23-24