Mécanique des Fluides TD 1

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1 TD 1 Ex. 1.1 Quelle est la pression au point A de la figure 1.1? air air A 30 cm P 0 h a 15 cm mercure eau l - figure figure Ex. 1.2 Etablir l'équation fondamentale de la statique des fluides dans le cas où le fluide est uniformément accéléré. Appliquer ce résultat au cas d'un tube en U partiellement rempli d'un liquide et subissant une accélération uniforme a horizontale (voir figure 1.2). Les deux branches du U étant distantes de l, trouver ainsi la différence de niveau h due à cette accélération. Ex. 1.3 Une porte rectangulaire de 2 m de large est placée dans la paroi verticale d'un réservoir contenant de l'eau (voir figure 1.3). On souhaite que cette porte s'ouvre automatiquement quand le niveau d'eau par rapport au bord supérieur de la porte dépasse 10 m. 1. établir l'expression littérale de la force exercée sur la porte en fonction du niveau d'eau. 2. à quelle distance, d, doit être situé l'axe de rotation de la porte pour qu'il y ait ouverture automatique au-delà d'un niveau d'eau de 10 m? Evaluer numériquement l'intensité de la force exercée. 10 m 4 m - figure d

2 Ex. 1.4 Un réservoir de 1 m de diamètre et de masse 90 kg est clos à son extrémité supérieure. L'autre extrémité est ouverte et descendue dans l'eau à l'aide d'un bloc d'acier de masse volumique 7840 kg.m -3 (voir figure 1.4). On suppose que l'air emprisonné dans le réservoir est comprimé à température constante. Déterminer : 1. la lecture d'un manomètre donnant la pression dans le réservoir ; 2. le volume du bloc d'acier. 0,6 m 2 m 3 m 4 m 5 m 6 m Ex figure figure La masse volumique de la digue représentée sur la figure 1.5 est de 2360 kg.m -3. Déterminer le coefficient de friction minimal requis entre la digue et ses fondations pour qu'il y ait absence de glissement. (effectuer l'analyse pour une unité de longueur de la digue). Ex. 1.6 Une bouteille de rayon R contient une hauteur H de liquide. Le fond est de forme hémisphérique. Déterminer la direction et l'intensité de la résultante des forces de pression qu'exercent le fluide sur les parois de cette bouteille. Comparer ce résultat avec celui qui aurait été obtenu avec une bouteille à fond plat. Conclure. H R - figure 1.6 -

3 TD 2 Ex Ecrire l'équation de continuité en symétrie sphérique pour l'écoulement stationnaire et conservatif d'un fluide incompressible. En déduire l'expression de la vitesse en un point quelconque lorsque cet écoulement est radial, dirigé vers l'origine O. 2. De l'eau coule en régime permanent à travers l'entonnoir représenté sur la figure 2.2. L'écoulement étant considéré comme radial, centré en O, l'expression de la vitesse est celle établie dans la question précédente. Déterminer l'accélération aux points A et B sachant que la vitesse en A est de 0,6 m.s -1. O A 0,12 m V 0,2 m r B 0,1 m - figure Ex. 2.2 L'écoulement d'eau à travers les orifices de la rampe d'arrosage représentée figure 2.3 génère un champ de vecteurs vitesse tel que V u0 sin t y v0 e x v0ey, où u 0, v 0 et sont des constantes. Ainsi, la composante de la vitesse selon l'axe y reste constante : vx, y; t v0 et celle selon l'axe x coïncide, en y 0, avec la y vitesse de déplacement de la rampe d'arrosage : u x y 0; t u sin t., 0 1. Déterminer la ligne de courant passant par l'origine à t 0 ; à t Déterminer la trajectoire de la particule émise à l'origine à t 0 ; à t Déterminer l'allure de la ligne d'émission relative à l'origine, à un instant t quelconque. O x - figure 2.3 -

4 Ex. 2.3 On considère l'écoulement stationnaire et unidimensionnel d'un fluide incompressible à l'intérieur de la buse représentée figure 2.4. La vitesse du fluide le long de l'axe est donnée par : V v e 1 x Le x où v e est la vitesse à l'entrée de la buse et L sa longueur. 1. Déterminer l'accélération d'une particule fluide traversant la buse le long de l'axe. 2. Déterminer, en fonction du temps, la position d'une particule initialement située à l'entrée de la buse. En déduire son accélération. 3. Les deux accélérations calculées sont-elles différentes? Pourquoi? V( 0) v e e x V (L) x 0 L - figure Ex Déterminer les deux composantes de l'accélération (normale et tangentielle) en un point d'une ligne de courant où le rayon de courbure vaut R et la vitesse V (l'écoulement sera considéré stationnaire). 2. De l'eau coule par dessus le sommet d'une digue A V comme le montre la figure 2.5. Calculer la R vitesse V de l'eau au point A sachant que l'accélération y est égale à celle de la pesanteur et que le rayon de courbure R de la surface vaut 0,6 m. - figure 2.5 -

5 TD 3 Ex. 3.1 La fonction de courant de l'écoulement plan d'un fluide incompressible est donnée par l'équation : 2 3 3x y y, où est en m 3.s -1 et x, y sont en m. 1. Tracer la(les) ligne(s) de courant passant par l'origine. 2. Déterminer le débit volumique à travers le segment AB de la figure 3.1. y B(0;1) A(1;0) - Figure x Ex. 3.2 L'écoulement plan de la figure 3.2 correspond au potentiel des vitesses suivant : Aln r Br cos, où A et B sont deux constantes réelles positives. Déterminer la fonction de courant associée et localiser d'éventuels points d'arrêt. Caractériser qualitativement cet écoulement en s'aidant de la représentation qui en est donnée. - Figure Ex. 3.3 Un écoulement plan est réalisé en disposant une source à l'origine des coordonnées dans un 1 champ dont le potentiel des vitesses s'écrit : r cos2 Localiser tout point d'arrêt situé dans 0.6 le demi-plan supérieur ( 0 ). 0.4 Caractériser qualitativement cet écoulement en s'aidant de la 0.2 représentation qui en est donnée sur la figure Figure 3.3 -

6 Ex. 3.4 On considère la superposition d'un écoulement uniforme dans la direction des x croissants, avec un vortex centré sur l'origine. La ligne de courant 0 passant par le point de coordonnées (2;0), déterminer l'équation de cette ligne de courant. Ex. 3.5 De l'eau s'écoule sur une surface plane avec une vitesse uniforme de 1,5 m.s -1 (voir la figure 3.5). Une pompe aspire l'eau à travers une fente placée dans la surface plane, avec un débit volumique de 4 l.s -1 par unité de largeur de fente. En supposant l'eau incompressible, l'écoulement peut être modélisé par la superposition d'un écoulement uniforme et d'un puits. 1. Localiser l'endroit où la vitesse de l'eau est nulle et déterminer l'équation de la ligne de courant passant par ce point. H 2. A quelle hauteur H par rapport à la A surface doit se situer une particule fluide pour ne pas être aspirée par la pompe? - Figure Ex. 3.6 On se propose de modéliser l'écoulement généré par un cyclone. Pour cela, on considère un cylindre de rayon r 0 contenant un fluide supposé parfait et incompressible, en rotation avec une vitesse angulaire constante. L'extérieur du cylindre est constitué du même fluide qui, par la rotation du cylindre, est entraîné et forme un écoulement de type tourbillon libre. On admettra de plus que le mouvement s'effectue dans un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre. 1. Déterminer le champ de vitesse à l'intérieur du cylindre. 2. Quelle est la fonction de courant? 3. Le mouvement du fluide interne est-il irrotationnel? 4. A partir d'une équation indiquant que l'écoulement du fluide externe est irrotationnel, déterminer le champ de vitesse dans le domaine r r0. Tracer la courbe donnant la r 0 vitesse en fonction de r pour 0 r. 5. Déterminer la circulation de la vitesse sur un cercle centré sur l'axe du cylindre, et tracer la fonction (r) pour 0 r. r V(r)

7 TD 4 Ex. 4.1 Soit l'écoulement plan résultant de la superposition d'une source de débit q v placée à l'origine et d'un écoulement uniforme de vitesse v U ex. 1. Ecrire le potentiel complexe de l'écoulement. 2. Déterminer le champ de vitesse. 3. Montrer qu'il existe un point d'arrêt. Donner ses coordonnées ainsi que l'équation de la ligne de courant 0 qui passe par ce point. Montrer que cette équation peut s écrire sous la forme y r 0 ( 0 ) et en déduire l allure de cette ligne de courant. 4. Qu'arrive-t-il lorsqu'on remplace la source de l'écoulement précédent par un puits? Ex. 4.2 Soient une source de débit q v placée en (-a;0), un puits de débit -q v placé en (a;0), et un écoulement uniforme de vitesse v U ex. 1. En se servant des résultats précédents, décrire l'écoulement résultant. 2. Déterminer le potentiel complexe à l'aide des variables r,, r 1, r 2, 1, 2 que l'on définira. qv 2arsin Montrer que la fonction de courant s'écrit : Ursin Arc tan r a 3. Déterminer les points d'arrêt. Donner l'équation de la ligne de courant passant par ces points d'arrêt. A quel solide correspond le volume ainsi formé par cette ligne de courant? Quelles sont ses dimensions (pour la hauteur on se contentera de donner l'équation permettant une résolution numérique)? Ex. 4.3 Toujours en se servant des résultats précédents, on se propose d'étudier l'écoulement résultant de la superposition d'un dipôle p 2qva placé à l'origine, et d'un écoulement uniforme. 1. Donner le potentiel complexe et le champ de vitesse de cet écoulement. 2. Déterminer la ligne de courant 0 qui passe par un point d'arrêt. 3. A quelle situation réelle cet écoulement pourrait-il correspondre? Ex. 4.4 Soit l'écoulement résultant de la superposition de l'écoulement précédent avec un tourbillon de circulation placé à l'origine. 1. Donner le potentiel complexe et le champ de vitesse. 2. Montrer que le cercle r = R est une ligne de courant. Déterminer R. 3. Quelle est la condition pour avoir un ou plusieurs points d'arrêt situés sur ce cercle? Discuter des trois cas possibles.

8 TD 5 Ex. 5.1 On considère un réservoir comportant une ouverture de diamètre d. On veut comparer le débit de vidange de ce réservoir, d'une part avec la seule ouverture, et d'autre part en prolongeant l'ouverture par un tube vertical de longueur L (voir la figure 5.1). Le liquide sera par ailleurs considéré parfait. 1. Déterminer, dans les deux cas, la vitesse du liquide à la distance verticale L en dessous de l'ouverture, ceci lorsque le réservoir est rempli d'une hauteur h. 2. Quelle est la vitesse du liquide au niveau de l'ouverture dans les deux cas? 3. En déduire le débit de vidange dans l'un et l'autre cas. Quel est le dispositif le plus efficace? 4. Quelle est la longueur maximale de tube que l'on peut utiliser sans qu'il y ait cavitation? Que vaut le débit pour cette longueur? A.N. : h = 5 m ; d = 20 cm ; pression de vapeur du liquide à 20 C = 2,34 kpa. d h d L - figure Ex. 5.2 Soit l'écoulement permanent d'un fluide réel incompressible entre deux plaques planes infinies horizontales situées en z = -h et z = +h. L'écoulement s'effectue suivant l'axe horizontal Ox. A - Les deux plaques sont fixes : 1. Déterminer le profil de vitesse. 2. Déterminer le tenseur des contraintes. En déduire les contraintes appliquées au fluide. 3. Déterminer l'expression du débit volumique à travers la surface délimitée par les deux plaques et la longueur unité suivant l'axe Oy. 4. Montrer que la pression diminue avec les x croissants. B - La plaque supérieure se déplace avec une vitesse U 0 suivant Ox : Déterminer le profil de vitesse en discutant les différentes solutions possibles.

9 Ex. 5.3 On considère le système constitué d'un fluide visqueux, incompressible, remplissant l'espace compris entre deux cylindres infiniment longs de même axe. Le cylindre intérieur, de rayon r 0, tourne à la vitesse angulaire constante 0, alors que le cylindre extérieur, de rayon r 1, est maintenu fixe. On considérera l'écoulement du fluide permanent et on négligera les forces de pesanteur. 1. Etablir les équations différentielles qui régissent l'écoulement du fluide. 2. Montrer que l'expression de la vitesse v ar b r est solution. Déterminer les constantes a et b. 3. Déterminer les contraintes et en déduire l'expression du couple nécessaire pour assurer une rotation du cylindre intérieur à vitesse angulaire constante. Quelle peut être l'utilité d'un tel dispositif? Ex. 5.4 Une lame de verre partiellement immergée dans un liquide visqueux est tirée verticalement vers le haut avec une vitesse constante V 0, comme l'illustre la figure 5.4. Grâce aux forces de viscosité, la lame entraîne dans son mouvement ascendant un film de liquide d'épaisseur h. A l'opposé, les forces de pesanteur vont agir de façon à entraîner le film fluide vers le bas. En supposant l'écoulement laminaire, permanent et uniforme, déterminer l'expression de la vitesse moyenne du film fluide lorsque son mouvement est globalement ascendant (on négligera la tension superficielle). h z g V 0 x - figure 5.4 -

10 TD 7 Ex. 7.1 L'appareil présenté sur la figure 7.1 est utilisé pour disperser un mélange approprié d'eau et d'insecticide. Le débit d'insecticide doit être de Q i = 75 ml.min -1 quand le débit d'eau vaut Q e = 4 l.min -1. Déterminer, dans ces conditions, la valeur de la pression au point A, ainsi que le diamètre D requis pour ce dispositif. eau 15 cm A D 0,4 mm 2,5 mm insecticide eau + insecticide - figure Ex. 7.2 On appelle hélice en tunnel l'ensemble constitué par une hélice placée dans une portion de conduite circulaire dont la longueur est de l'ordre de quelques fois le diamètre. Ce système, en principe réversible, est fréquemment utilisé : propulseur d'étrave des navires, systèmes de positionnement dynamique des plates-formes océaniques, aération des tunnels routiers, vidange de bassin et d'écluses, etc. Son fonctionnement se distingue à la fois des hélices classiques (absence de conduite) et des pompes axiales (conduites infinies). On considère donc une structure immobile, limitée par deux parois indéfinies (P 1 ) et (P 2 ), et traversée par un tunnel cylindrique de révolution, de section S 1, s'ouvrant de part et d'autre de la structure et dont l'axe Oz est perpendiculaire à (P 1 ) et (P 2 ). L'écoulement du fluide, provoqué par l'hélice d'axe Oz, placée dans le tunnel, se fait de la gauche vers la droite (voir figure 7.2). On fera par ailleurs les hypothèses suivantes : le fluide est parfait, non pesant, incompressible et homogène. à l'intérieur du tunnel et sauf, peut-être, au voisinage de l'hélice et des extrémités du tunnel, l'écoulement est permanent et uniforme, de vitesse U, la vitesse de rotation du fluide autour de Oz étant négligée devant la vitesse axiale U. loin de la section d'entrée du tunnel, à l'amont, l'écoulement est assimilé à celui créé par un puits placé en O. à l'aval de la section de sortie, il se forme un jet cylindrique de section S à la vitesse U. les pressions à l'infini amont et aval sont égales et notées p 0, le fluide à l'infini amont et le fluide hors du jet, à l'aval, étant dans les deux cas au repos. TSVP

11 1. En utilisant l'équation de Bernoulli entre l'infini amont et la section S 1 d'une part, et entre l'infini aval et la section S 2 d'autre part, calculer la différence de pression p 2 -p 1 entre les sections S 2 et S 1 du tunnel, choisies respectivement à l'aval et à l'amont de l'hélice. 2. En appliquant le théorème d'euler au cylindre entourant l'hélice et délimité par les sections S 1 et S 2, déterminer l'effort T h exercé par le fluide sur l'hélice. 3. On considère le volume de contrôle délimité par les surfaces suivantes : - les plans (P 1 ) et (P 2 ), - la surface latérale () du tunnel, - à l'amont, la demi-sphère ( 1 ), centrée en O et de rayon R suffisamment grand, - à l'aval, le cylindre de révolution ( 2 ), d'axe Oz, de hauteur h et de rayon R. Appliquer le théorème d'euler au fluide contenu dans le volume. En faisant tendre R vers l'infini, montrer que le flux de la quantité de mouvement à travers ( 1 ) tend vers zéro ; en déduire la résultante -T de l'ensemble des efforts exercés sur le fluide. Quelle est la signification physique de T? Comparer T et T h. Que représente la différence T-T h? (P 1 ) (P 2 ) R R ( 2 ) V (R) O S 1 S 2 S U z ( 1 ) () h (P 1 ) - figure (P 2 )

12 TD 8 Le dispositif suivant vise à alimenter deux réservoirs, situés en hauteur à deux altitudes différentes, en utilisant deux conduites connectées à une même pompe qui aspire l'eau dans un réservoir principal (voir la figure 8.1). La conduite (1) présente un diamètre nominal D N1 = 150 mm, une rugosité absolue 1 = 0,09 mm, une longueur L 1 = 1232 m et transite un débit q V1. Elle possède une vanne papillon et un clapet anti-retour à battant. En régime établi, le coefficient de perte de charge dans ce clapet est estimé à K CL1 = 0,17 et la vanne papillon est totalement ouverte (K V1 = 0,24). La conduite (2) présente un diamètre nominal D N2 = 200 mm et une rugosité absolue 2 = 0,15 mm. Le long du profil en long, la perte de charge due aux singularités est estimée à 7% de la perte de charge régulière. Elle comporte une vanne à opercule totalement ouverte (K V2 = 0,07) et un clapet à battant dont le coefficient de perte de charge est K CL2 = 0,23. Sa longueur est L 2 = 2450 m et elle transite un débit q V2 = 28,3 l.s -1. Les pertes de charge dans le té des conduites et à l'aspiration de la pompe seront négligées. On donne en annexe le diagramme de Moody permettant de connaître le coefficient de friction en fonction du nombre de Reynolds et du coefficient de rugosité relative /D. 1. Calculer la charge à la sortie de la pompe. 2. Si la charge à la sortie de la pompe est de 128 m d'eau, déterminer le débit q V1 dans la conduite (1). (Pour déterminer la perte de charge régulière dans la conduite il est nécessaire de connaître la vitesse, donc le débit ; on ne peut donc résoudre le problème que par approximations successives). 3. Calculer, en intensité et en direction, l'action de l'eau sur le té de raccordement A (voir figure 8.2). 107 m q V2 = 28,3 l.s -1 conduite (2) conduite (1) 87,4 m eau = 10 3 kg.m -3 q V1 eau = 10-6 m 2.s -1 D N2 7 m D N0 = 200 mm A 2 D N1 6,5 m pompe A A 0 30 A 1 - figure figure m

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14 TD 9 Ex. 9.1 Une maquette de digue (il s'agit d'une digue "talus"), constituée par un empilement de blocs de béton ayant chacun la masse m 1 = 1 kg, est soumise à la houle produite en laboratoire. Cette maquette ne subit pas de dommages tant que la hauteur h 1 de la houle ne dépasse pas 0,30 m. Quelle devra être la masse minimale m 2 des blocs de même béton constituant la digue prototype pour que celle-ci résiste à une houle géométriquement et hydrodynamiquement semblable, et pouvant atteindre une hauteur h 2 de 6 m? Ex. 9.2 Pour déterminer la puissance d'un navire de longueur L = 100 m, de surface immergée S = 2000 m 2 et destiné à naviguer en mer à la vitesse de 16 nœuds, on réalise une maquette à l'échelle 1/25 que l'on essaie dans un bassin d'eau douce. On admet que la traînée d'un corps flottant est la somme de deux forces : celle, F 1, due aux frottements visqueux et celle, F 2, due aux ondes de surface. On donne 1 nœud = 1,850 km.h -1. On notera F, V, S, les grandeurs relatives au navire prototype et F', V', S', celles relatives à sa maquette. 1. De quelles grandeurs dépendent F 1 et F 2? 2. Par analyse dimensionnelle, donner une expression de F 1 et F 2 en faisant apparaître leur dépendance envers les nombres de Reynolds ou de Froude. VL V On donne Re et Fr. gl F 1 Par la suite, on admettra que la traînée due aux frottements s'exprime : 1 2 CD V S, où le coefficient de frottement visqueux C D est donné par les formules : 2 C C D D 0,074 Re 0,2 0,455 logre 2,58 pour Re 10 pour Re 10 On prendra pour l'eau de mer : = 1, kg.m -3 et = 1, N.s.m -2 ; et pour l'eau douce : ' = 1, kg.m -3 et ' = 1, N.s.m -2 ; 3. En respectant la similitude de Froude, déterminer la vitesse à donner à la maquette. 4. Déterminer la traînée F' 1 exercée par les frottements sur la maquette. 5. On mesure sur la maquette une force de traînée totale F' = 17 N. En déduire la traînée F' 2 due aux ondes de surface. Calculer la traînée F Calculer la traînée totale F du navire prototype et la puissance nécessaire correspondante. 7 8