TD de Physique n o 1 : Mécanique du point

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1 E.N.S. de Cachan Département E.E.A. M FE 3 e année Phsique appliquée TD de Phsique n o 1 : Mécanique du point Exercice n o 1 : Trajectoire d un ballon-sonde Un ballon-sonde M, lâché au niveau du sol, s élève avec une vitesse verticale v 0 supposée constante. Le vent lui communique une vitesse horizontale v = v x u x orientée suivant l axe (Ox) proportionnelle à son altitude z : v x = z/τ où τ > 0. À l instant t = 0, le ballon-sonde est lâché depuis le point O. On note (x(t), z(t)) les coordonnées cartésiennes du point M. 1. En utilisant le vecteur vitesse v du ballon, écrire les deux équations différentielles vérifiées par x et z.. En déduire les équations horaires x(t) et z(t) en fonction de v 0, τ et t. 3. Déterminer l équation z(x) de la trajectoire suivie par le ballon-sonde au cours de son ascension. Quelle est la nature de la trajectoire? 4. Exprimer dans la base cartésienne ( u x, u z ) le vecteur accélération a(t) du ballon-sonde. z u z O v 0 M u x v x Exercice n o : Étude de quelques mouvements 1. (Cours) Soit un mobile M possédant une trajectoire circulaire de centre O et de raon R. Exprimer les vecteurs vitesse et accélération. Traiter le cas particulier du mouvement uniforme.. Un mobile parcourt avec une vitesse constante v la spirale d équation polaire : r = aθ avec a constant. Exprimer en fonction de θ et de v, le vecteur vitesse de M. 3. Un mobile M décrit dans le plan (Ox) une spirale suivant les équations horaires polaires suivantes : { r(t) = b exp( t/τ) θ(t) = ωt où b, τ et ω sont des constantes positives. Tracer l allure de la trajectoire de M. Exprimer les vecteurs vitesse et accélération. Montrer que le vecteur vitesse v forme à tout instant un angle α constant avec le vecteur position r. Exercice n o 3 : Vecteur vitesse en coordonnées sphériques Exprimer le vecteur vitesse d un mobile M en coordonnées sphériques en utilisant la loi de composition des vitesses. ATTENTION : ceci n est pas applicable au vecteur accélération. Exercice n o 4 : Mouvement hélicoïdal Un point M, repéré par ses coordonnées cartésiennes x, et z dans le repère (O, e x, e, e z ), a pour trajectoire la courbe d équation paramétrique : x = R cos θ, = R sin θ, avec θ 0 z = hθ. où R et h sont des constantes positives. On suppose aussi que le point M parcourt la courbe dans le sens des θ croissants, soit θ > 0. 1

2 1. Représenter la trajectoire du point M dans l espace, ainsi que la projection de cette trajectoire dans le plan (Ox).. Exprimer le vecteur vitesse v de M en fonction de R, θ, h et θ, dans le repère cartésien et dans le repère clindrique (O, e r, e θ, e z ). 3. Montrer que l angle α = ( e z, v) est constant. Donner son expression en fonction de R et de h. 4. Déterminer l hodographe du mouvement dans le cas où l hélice est parcourue à vitesse constante v. 5. Exprimer le raon de courbure ρ au point M de la trajectoire en fonction de R et de h. 6. Exprimer l abscisse curviligne s du point M en fonction de θ, R et de h. Exercice n o 5 : Course poursuite Quatre mouches A, B, C et D se trouvent initialement aux quatre coins d un carré ABCD de côté a centré sur l origine du repère O. À partir de t = 0, chacune court après la suivante (A court après B, B après C,...), à la vitesse V constante. Pour des raisons de smétrie les mouches forment à tout instant t 0 un carré. Nous noterons l(t) la longueur d un coté du carré formé par les quatre mouches à l instant t. 1. Établir l équation différentielle vérifiée par l(t).. Au bout de combien de temps les mouches se rencontrent-elles? 3. Quelle distance L auront-elles parcourue? 4. Déterminer la trajectoire de la mouche A en coordonnées polaires. A O B x Exercice n o 6 : Échelle double Une échelle double est posée sur le sol, un de ses points d appui restant constamment en contact avec le coin O d un mur. La position de l échelle à l instant t est repérée par l angle α(t) formé par la portion OA de l échelle avec le mur. L extrémité B de l échelle glisse sur le sol. L échelle est telle que OA = AB = l. 1. Déterminer les composantes des vecteurs vitesse v A et accélération a A du point A dans la base polaire ( u r, u θ ), en fonction de l, α, α et α.. Exprimer dans la base cartésienne ( u x, u ) les composantes des vecteurs vitesse v B et accélération a B du point B, en fonction de l, α, α et α. Exercice n o 7 : Traversée d une rivière On considère une rivière rectiligne de largeur D. La vitesse du courant est uniforme et vaut V e, parallèle aux rives. Un bateau, assimilé à un point M, situé initialement en A, sur la rive, effectue une traversée de la rivière, en maintenant sa vitesse v, par rapport à l eau, de norme constante et toujours dirigée vers le point O en face de A sur la rive opposée. 1. Exprimer le vecteur vitesse absolue du bateau.. En déduire les équations différentielles du mouvement en coordonnées polaires d origine O. Intégrer ces équations (cf indication). 3. Tracer l allure de la trajectoire du bateau dans le cas où v = V e Indication : d ( ln 1 + cos(x) ) dx sin(x) = 1 sin(x) D O A D A α O v Ve M B C x x

3 Exercice n o 8 : Sstème missile-cible Une cible C suit l axe (0, e x ) à une vitesse V 0 = V 0 e x. À l instant t = 0 elle est à l origine O du repère. Un missile M qui part à t = 0 du point D de coordonnées (0, a) a une vitesse λv 0 toujours dirigée par un sstème de guidage vers la cible C. On notera x et les coordonnées de M, r = MC et θ l angle entre la direction de la vitesse de M et l horizontale. et d dt en fonction de λ, V 0, et θ, puis x et en fonction 1. Exprimer dx dt de V 0, r, θ et t. En déduire deux équations différentielles en r(t) et θ(t).. En déduire une équation différentielle en r(θ). 3. Démontrer que r(θ) = a ( ( θ λ tan sin(θ) )) O a D v M C x en utilisant : dx ( x ) sin(x) = ln + cste 4. Quelle doit être la condition sur λ pour que le missile atteigne la cible? Exprimer la durée τ de poursuite sachant que : π 0 1 ( ( x )) λdx λ sin tan = (x) λ 1 Exercice n o 9 : Déplacement sur une cardioïde Un mobile décrit une courbe plane dont l équation en coordonnées polaires est : r(θ) = r 0 (1 + cos(θ)) où r 0 est une constante. Cette courbe est appelée "cardioïde", à cause de sa ressemblance avec un coeur. Elle admet l axe (O, e x ) comme axe de smétrie. 1. Tracer succinctement cette courbe.. Calculer l abscisse curviligne en fonction de θ, en prenant comme origine θ = 0, s = Pour quel angle θ 0, s = r Exprimer la vitesse linéaire en fonction du temps t, de r 0 et de ω = dθ dt constant. Puis en fonction de r, r 0 et ω. 5. Déterminer les composantes a r et a θ de l accélération en fonction du temps t et de ω. Exercice n o 10 : Temps de montée et temps de descente On lance une bille verticalement. Met-elle plus de temps à monter qu à redescendre? Exercice n o 11 : Parabole de sureté À t = 0, un projectile de masse m assimilé à un point matériel est tiré à partir d un point O avec une vitesse initiale v 0. Le dispositif de tir impose la norme de v 0 mais permet de choisir l angle α entre l axe (Ox) et v 0 (α [0, π [). Les frottements de l air sont négligés. 1. Déterminer les équations paramétriques du mouvement et l équation de la trajectoire.. Préciser les coordonnées du point d altitude maximale et l instant correspondant. v 0 e α O e x 3. On définit la portée comme étant la distance OI avec I le point de la trajectoire autre que O vérifiant (I) = 0. La calculer. 4. On suppose v 0 constante mais α variable. Soit A(X, Y ) un objectif à atteindre par le projectile. Déterminer l équation de la courbe dans le plan (O, e x, e ), séparant les points de ce plan pouvant être atteints par le projectile de ceux qui ne seront jamais atteints (parabole de sureté). 5. Dans le cas où l objectif A peut être atteint, monter que deux cas sont possibles : un tir atteignant A avant le point de tangence de la parabole de chute avec la parabole de sureté, I x 3

4 un tir atteignant A après le point de tangence. 6. Dans le premier cas, montrer que ce tir n est pas toujours direct (c est à dire objectif atteint avant le sommet de la parabole de chute) en particulier montrer qu il existe une ellipse qui délimite la nature du tir (direct ou indirect). Faire un schéma pour illustrer tous les cas de figure. Exercice n o 1 : Viscosimètre à chute de bille Une bille sphérique, de masse volumique µ B et de raon R, est lâchée sans vitesse initiale dans un fluide de masse volumique µ. En plus du poids et de la poussée d Archimède, on tient compte de la force de viscosité exercée par le fluide sur la bille, opposée au déplacement et de norme : f = 6πηRv où η est la viscosité du fluide et v la norme de la vitesse de la bille. Le champ de pesanteur a pour intensité g. Le référentiel d étude est supposé galiléen et la bille est assimilée à un point matériel. 1. Exprimer la vitesse limite v atteinte par la bille. On suppose que la bille atteint très rapidement cette vitesse limite. On mesure la durée t nécessaire pour que la bille parcoure une distance H donnée.. Déterminer la relation entre t, g, H, R, µ B, µ, et η. 3. Montrer que l expression de la viscosité peut se mettre sous la forme η = K(µ B µ) t, en exprimant la constante d étalonnage K. 4. La durée de chute de la bille est de 83 s. Calculer la viscosité η du fluide. Données : K = m.s, µ B = 7880 kg.m 3, µ = 91 kg.m 3, g = 9, 8 m.s. Rem : la viscosité s exprime en Pascal-seconde (P a.s) ou en poiseuille (P l) : 1 P a.s = 1 P l = 1 kg.m 1.s 1. A 0 C, la viscosité de l eau est de 10 3 P l, celle du glcérol est de 1, 49 P l. Exercice n o 13 : Prise en compte du frottement de l air À t = 0, un projectile de masse m assimilé à un point matériel est tiré à partir d un point O avec une vitesse initiale v 0 formant un angle α avec l axe (0, e x ). On tient compte du frottement de l air, modélisé par F = k v avec (k > 0). 1. Trouver les composantes de la vitesse au temps t, et les équations paramétriques du mouvement.. Préciser les coordonnées du point d altitude maximale et l instant correspondant. Retrouver les expressions correspondant au cas sans frottement. 3. Montrer que l on tend vers un mouvement rectiligne uniforme vertical. Exercice n o 14 : Ressorts équivalents Soit deux ressorts de raideur respectives k 1 et k, et de longueur à vide l 01 et l Déterminer le ressort équivalent de ces deux ressorts en parallèle.. Déterminer le ressort équivalent de ces deux ressorts en série. Exercice n o 15 : Glissement avec frottement Un petit parallélépipède, assimilable à un point matériel M de masse m, est lancé depuis le point origine O d un plan (Ox) incliné d un angle α par rapport à l horizontale, avec un vecteur vitesse initial v 0 dirigé suivant la ligne de plus grande pente (Ox) et vers le haut. La position du point M à l instant t est repérée par son abscisse x(t). On tient compte des forces de frottement. On rappelle que tant qu il a glissement, la composante tangentielle de la force de frottement R T (celle qui s oppose au mouvement) est proportionnelle à la composante normale R N de cette même force, ce que l on note R T = fr N où la constante positive f est appelée le coefficient de frottement dnamique. En outre, une fois que le mobile s arrête, il reste immobile à condition que l inégalité R T fr N soit vérifiée. 1. Montrer qu au début du mouvement, i.e. tant qu il a glissement vers le haut, l accélération ẍ du mobile est du tpe ẍ = Kg. Exprimer K en fonction de α et f.. Quelle distance d le mobile parcourt-il avant que sa vitesse ne s annule? 3. À quelle condition sur l angle α le mobile s arrête-t-il définitivement? 4

5 Exercice n o 16 : Coulissement sur une tige en rotation Une tige τ horizontale passant par O tourne autour de l axe vertical (Oz) à la vitesse angulaire constante ω. Un point matériel M de masse m peut coulisser sans frottement sur la tige. Il est repéré par ses coordonnées polaires (r, θ) dans le plan (Ox). À l instant t = 0, le point M est abandonné sans vitesse initiale par rapport à la tige à la distance r 0 de l origine O. On suppose de plus qu à ce même instant, la tige est confondue avec l axe (Ox) : θ(t = 0) = Déterminer l équation différentielle du second ordre vérifiée par r(t).. Déterminer la loi horaire r(t) en fonction de r 0 et ω. Tracer l allure de la courbe r(t) pour t Donner les expressions des composantes dans la base clindrique de la réaction de la tige. Exercice n o 17 : Le palan Un palan est constitué de n poulies et d un fil disposés comme indiqué sur le schéma ci-contre. Les axes des poulies supérieures sont fixes et ceux des poulies inférieures sont liés à une tige AB qui ne peut se déplacer que verticalement. Les poulies et le fil sont supposés idéaux. Un opérateur exerce une force F sur l extrémité libre du fil. Déterminer l accélération de l objet soulevé, de masse m. Exercice n o 18 : Décollement d une masse Soit un point O fixe situé au dessus d une table à coussin d air horizontale. La projection orthogonale de O sur la table est notée O. Une masse m assimilée à un point matériel est reliée à O par un ressort de raideur k et de longueur à vide l 0. La distance OO est l 0. La masse peut glisser sans frottement sur la table à coussin d air. 1. Initialement, la masse est en O. On lui communique une vitesse initiale, V 0 (horizontale). Quelle condition doit être vérifiée pour que le ressort puisse décoller la masse du sol. Dans le cas où cette condition est vérifiée, quelle vitesse initiale minimale doit-on lui imposer pour observer ce décollement.. Dans le cas de petits déplacements autour de la position d équilibre (x l 0 ), déterminer l équation différentielle du mouvement. Exprimer la vitesse de la masse en fonction de x. Exercice n o 19 : Pendule dont le fil casse Un pendule simple - masse m, fil de longueur l, inextensible et de masse négligeable - est suspendu en un point fixe O et lâché sans vitesse initiale depuis une position où le fil est horizontal et tendu. Il tourne d un angle α π et casse. Soit h la différence d altitude entre le point O et le sommet de la trajectoire décrite par la masse après que le fil ait cassé. 1. Donner qualitativement le domaine de variation de h.. Déterminer h. Exercice n o 0 : Mouvement d un point sur un cercle Un point matériel M de masse m peut coulisser sans frottement sur un cercle de centre O et de raon R, placé dans un plan vertical (Ox) où (Oz) est orienté suivant la verticale ascendante. Le point M est attaché à l extrémité d un ressort de longueur à vide l 0 = R et de constante de raideur k, dont l autre extrémité est fixée au point A. Un dispositif non représenté impose au ressort de rester constamment rectiligne. La position du point M est repérée par l angle θ = ( OB, OM). Le champ de pesanteur est g = g u z. Données : R = 10 cm, m = 100 g, k = 10 N.m 1, g = 10 m.s. 1. Déterminer l expression de la distance AM en fonction de R et de θ. 5

6 . Exprimer l énergie potentielle totale E p (θ) du point M. L énergie potentielle élastique est prise nulle lorsque le ressort a sa longueur à vide, l énergie potentielle de pesanteur est prise nulle lorsque la cote z du point M est nulle. 3. Représenter à l aide de la calculatrice le graphe E p (θ), pour 0 θ En déduire la valeur θ eq pour laquelle le point M est à l équilibre sur le cercle. Cet équilibre est-il stable ou instable? 5. Le point M est abandonné sans vitesse initiale depuis B. Déterminer la valeur θ max de l angle θ maximal atteint au cours du mouvement ainsi que la valeur v max de la vitesse maximale atteinte. Exercice n o 1 : Looping Une petite voiture, assimilable à un point matériel M de masse m, est lancée avec une vitesse v 0 sur une piste horizontale plane prolongée par un demi-cercle vertical de raon R. La voiture glisse sans frottement sur le support, qu elle est susceptible de quitter (la liaison n est pas bilatérale). Sa position à l intérieur du demi-cercle est repérée par l angle θ(t) formé par le raon OM avec la verticale descendante (OH). 1. Comment varie la vitesse de la voiture jusqu au passage au point H?. Déterminer l expression de la norme v de la vitesse de la voiture lorsqu elle est située dans la piste semi-circulaire à la position repérée par l angle θ, en fonction de v 0, g, R et θ. 3. Par projection du principe fondamental de la dnamique dans la base polaire ( u r, u θ ), déterminer l intensité N de l action de contact exercée par la piste semi-circulaire sur la voiture, en supposant le contact maintenu, en fonction de m, v 0, R, g et θ. Comment la fonction N(θ) varie t-elle? 4. A quelle condition sur la vitesse de lancement v 0 la voiture atteindra t-elle le sommet de la piste sans que le contact avec celle-ci soit rompu? Exercice n o : Équilibre et stabilité d un point matériel Un point matériel M de masse m est attaché à l extrémité d un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide l 0, dont l autre extrémité est fixée en un point A situé sur un axe vertical ascendant (Oz). La distance entre le point A et le point O est OA = a. Le point matériel M est assujetti à se déplacer suivant l axe horizontal (Ox), il coulisse sur cet axe sans frottement ; il est repéré par son abscisse x sur cet axe. 1. Exprimer l énergie potentielle E p totale du point M, en fonction du paramètre x et des données.. À partir du tableau de variation, en déduire le graphe représentatif de la fonction E p (x). On distinguera les cas a > l 0 et a < l En déduire l existence et la nature des positions d équilibre du point M. Exercice n o 3 : Trois méthodes pour un même mouvement Un point matériel M de masse m est assujetti à glisser sans frottement sur un cerceau vertical de raon R et de centre O. Il est lié au point A par un ressort de raideur k et de longueur au repos nulle. 1. Établir l équation du mouvement du mobile en utilisant successivement les trois méthodes suivantes : la relation fondamentale de la dnamique, le bilan énergétique, le théorème du moment cinétique.. Discuter l existence de positions d équilibre, leur stabilité, et dans l affirmative, la période des petites oscilla -tions au voisinage de l équilibre. 6

7 Exercice n o 4 : Théorème du moment cinétique appliqué en un point mobile Prenons un pendule simple, de masse m et de longueur L, et imposons de petites oscillations horizontales à son extrémité : x A = x 0 sin(ωt). 1. Pour utiliser le théorème du moment cinétique, pourquoi vaut-il mieux l appliquer au point mobile A plutôt qu au point fixe O? Reprendre la démonstration du théorème pour exprimer la dérivée : d L A dt.. Établir l équation du mouvement du pendule simple effectuant de petites oscillations. 3. Quel est son mouvement lorsqu un régime sinusoïdal permanent s est établi. 4. Quelle est la pulsation ω 0 au voisinage de laquelle nos hpothèses d étude sont à reprendre? Que dire des mouvements du point A et du mobile selon que ω < ω 0 ou ω > ω 0? Exercice n o 5 : Décroissance de l énergie mécanique (cours) Un sstème oscillant est constitué par une masse supposée ponctuelle m attachée à l extrémité d un ressort horizontal dont l autre extrémité est fixée au point O. La masse m peut glisser sans frottement sur un support horizontal. L action de l air sur la masse est modélisée par une force de frottement fluide de la forme : f = h v avec h un coefficient positif et v le vecteur vitesse de la masse ponctuelle m. On note k la constante de raideur du ressort, l 0 sa longueur à vide et X(t) la distance séparant le point O fixe et la masse m. 1. Établir l équation différentielle du second ordre vérifiée par le déplacement x(t) = X(t) X eq de la masse m par rapport à sa position d équilibre X eq. La mettre sous la forme : ẍ + ω 0 Q ẋ + ω 0x = 0 en identifiant Q et ω 0.. Donner l équation caractéristique de l équation différentielle précédente et rappeler les différents régimes d évolution possibles selon les valeurs de Q. 3. On pose α = ω0 Q. Montrer que, dans le cas du régime pseudo-périodique, la solution de l équation différentielle précédente peut se mettre sous la forme x(t) = Ce αt cos(ωt + φ). Exprimer ω, C et φ en fonction de ω 0, α et des conditions initiales x(t = 0) = x 0 et ẋ(t = 0) = v Exprimer la pseudo-période en fonction de ω 0 et Q. 5. On définit le décrément logarithmique par δ = ln ( x(t) x(t+t )). Donner son expression en fonction de Q. 6. Entre deux élongations maximales successives x(t 0 ) et x(t 0 + T ) l énergie mécanique passe de E m à E m + E m. Exprimer E m /E m en fonction de δ puis en fonction de Q dans le cas d un oscillateur faiblement amorti. 7. Toujours dans le cas de faibles amortissements, combien faut-il de pseudo-périodes environ pour que l amplitude reste en permanence inférieure à 5% de l amplitude initiale? Pour simplifier on se placera dans le cas où v 0 = 0. Exercice n o 6 : Mouvement newtonien (cours) Soit M un point matériel soumis à un champ de force central F de centre O. 1. Montrer que le mouvement de M est contenu dans un plan contenant O.. Établir la loi des aires. On se place dans le cas d un champ newtonien : F = α e r /r. 3. Montrer que ce champ de force est conservatif et exprimer l énergie potentielle associée en la prenant nulle infiniment loin de O. 4. Retrouver l expression de l énergie potentielle effective et utiliser cette dernière pour indiquer les valeurs que peut prendre r. 7

8 5. Montrer, en multipliant vectoriellement la relation fondamentale de la dnamique par le moment cinétique, que le vecteur : A = v L 0 e r α dit vecteur de Runge-Lenz, est une constante du mouvement. 6. Exprimer les composantes de A dans la base polaire. En déduire que la trajectoire du point M est une conique dont l excentricité est A. Donner l expression du paramètre de cette conique en fonction de m, α et la constante des aires C. 7. Développer l expression du carré de la norme de A. En déduire une relation entre l excentricité e de la conique et l énergie mécanique E m de M. 8. Retrouver la loi de Képler dans le cas de l orbite circulaire. 9. Donner les expressions de la 1 re et de la e vitesse cosmique. Faire l application numérique avec g = 9, 8 m.s (accélération de la pesanteur) et R T = 6400 km (raon de la Terre). Exercice n o 7 : Orbite de Hohman On désire transférer un satellite terrestre en attente sur une orbite circulaire "basse" de raon r 1 = 6700 km vers une orbite circulaire "haute" de raon r = 4000 km. On communique pour cela en un point quelconque P de l orbite basse un supplément de vitesse orthoradiale v P en allumant les moteurs pendant une durée très brève. Le satellite décrit une orbite de transfert elliptique - dite orbite de Hohman - qui se raccorde tangentiellement en un point A à l orbite haute. Au point A, un nouvel allumage des moteurs pendant une durée très brève permet de stabiliser le satellite sur son orbite haute en communiquant une variation v A à la vitesse orthoradiale. Données : G = 6, N.m.kg, M T = kg. 1. Exprimer en fonction de r 1 et de r l excentricité de l ellipse de transfert.. Exprimer les vitesses v 1 et v du satellite sur les orbites circulaires de raons respectifs r 1 et r. Calculer v 1 et v. 3. Déterminer l expression des vitesses v P et v A du satellite sur l ellipse de transfert respectivement au point P (juste après l extinction des moteurs) et A (juste avant le rallumage des moteurs). Les calculer. Indication : dans une ellipse on a, avec les notations habituelles : a = p p 1 e et b = 1 e 4. En déduire les accroissements de vitesse orthoradiale v P et v A. Exercice n o 8 : Comète de 1843 En 1843, une comète est passée extrêmement près du Soleil, de masse M S : sa distance au périhélie était d = 6, a 0 où a 0 est la raon de l orbite terrestre. Des mesures précises ont montré que l excentricité de la comète était e = 1 x avec x = 9, Données : u = 30 km.s 1 vitesse de révolution de la Terre autour du soleil. 1. Exprimer le produit GM S en fonction de u et a 0.. En considérant que la trajectoire de la comète est quasi-parabolique, calculer sa vitesse de passage v P au périhélie. Indication : dans une ellipse on a, avec les notations habituelles : a = p p 1 e et b = 1 e 3. Exprimer le demi-grand axe a de la trajectoire de la comète, en fonction de d et x. Calculer a en fonction de a En déduire la vitesse v A de passage à l aphélie en fonction de v P et x. Faire l application numérique. 5. En quelle année cette comète reviendra-t-elle dans le sstème solaire? 8

9 Exercice n o 9 : Dnamique dans le référentiel géocentrique (cours) Soit un point matériel M de masse m dont on étudie le mouvement dans le référentiel géocentrique R Rappeler les définitions des référentiels de Copernic R C, de Képler R K et géocentrique R 0.. Appliquer la relation fondamentale de la dnamique à M dans le référentiel géocentrique non galiléen. Faire apparaître les termes de marée des différents astres définis par : γ astre (M) = G astre (M) G astre (O) où G astre est le champ de gravitation de l astre considéré. 3. Proposer alors une explication aux phénomènes de marée en considérant uniquement l influence de la lune. Exercice n o 30 : Dnamique dans le référentiel terrestre (cours) Soit un point matériel M de masse m dont on étudie le mouvement dans le référentiel terrestre R T. On note ω T le vecteur rotation de la Terre par rapport au référentiel géocentrique. 1. Appliquer la relation fondamentale de la dnamique à M dans le référentiel terrestre non galiléen. Remarques : le référentiel galiléen de base à considérer est le référentiel de Copernic et les expressions des accélérations d entraînement et de Coriolis doivent être explicitées.. Rappeler la définition du poids de M et donner l expression du champ de pesanteur en négligeant les termes de marée. Réécrire la relation fondamentale de la dnamique en introduisant le poids de M. 3. Soit α l angle formé par le poids de M et le champ de gravitation de la Terre. Déterminer α en fonction de λ (la latitude), R T (le raon de la Terre), ω T et g l intensité de la pesanteur. 4. Faire l application numérique pour λ = 45 et g = 9, 81 m.s. On rappelle que R T = 6370 km. Exercice n o 31 : Oscillations dans un référentiel en rotation Un point matériel M de masse m peut coulisser sans frottement sur une tige τ, d extrémité O, contenue dans le plan (Ox) et tournant autour de l axe vertical (Oz) à la vitesse angulaire constante ω. De plus, le point M est attaché à l extrémité d un ressort de longueur à vide l 0 et de constante de raideur k, enfilé sur la tige τ, dont l autre extrémité est fixée en O. La position du point M est repérée par son abscisse X(t) mesurée sur la tige par rapport au point O. On pose ω 0 = k m. 1. Faire le bilan des forces exercées sur le point M dans le référentiel lié à la tige.. Montrer qu il existe une position d équilibre X eq du point M sur la tige, sous réserve d une condition portant sur ω à expliciter. 3. En posant X(t) = X eq + x(t), déterminer l équation différentielle vérifiée par x(t). 4. En déduire la pulsation ω des oscillations du point M autour de sa position d équilibre. Que peut-on dire de la période des oscillations par rapport au cas où la tige est immobile? Exercice n o 3 : Sstème de deux points matériels (cours) Soient deux points matériels M 1 et M de masses respectives m 1 et m et repérés par leur vecteur position r 1 = OM 1 et r = OM. On posera r = M 1 M. 1. Déterminer la position r G de leur barcentre G. Exprimer, à l aide de r, les positions relatives r 1 = GM 1 et r = GM de M 1 et M respectivement.. On suppose que M 1 (resp. M ) est soumis à la force extérieure F ext 1 (resp. Fext ) et à la force intérieure f 1 (resp. f 1 ). Établir le théorème du centre de masse. 3. On suppose dans cette question que le sstème constitué des deux points matériels est isolé. Introduire la notion de mobile réduit pour décrire le mouvement des deux points matériels dans le référentiel barcentrique. 9

10 Exercice n o 33 : Binaires On considère deux étoiles E 1 et E, assimilées à des points matériels de masses respectives m 1 et m, en interaction gravitationnelle et telles que le sstème S = {E 1, E } soit isolé. Dans leur référentiel barcentrique R, on suppose que ces deux étoiles décrivent des orbites circulaires de raons r 1 et r. On pose D = r 1 + r. La constante gravitationnelle est G = 6, N.m.kg. 1. Pourquoi les deux étoiles ont-elles nécessairement la même période de révolution T?. Montrer que r1 r = m m Établir la relation : T D 3 = 4π G(m 1 + m ) 4. Deux étoiles α et β décrivent des orbites circulaires de raon r 1 = 1, km et r = 5, km avec une période de orbitale T = 44, 5 années terrestres. Calculer leurs masses m 1 et m. Exercice n o 34 : Comète SHOEMAKER-LEVY 9 La comète de SHOEMAKER-LEVY 9 est passée en juillet 199 suffisamment près de Jupiter pour se fragmenter et éclater en morceaux à cause des forces de marée de Jupiter. Les différents morceaux de la comète se sont finalement écrasés sur Jupiter en juillet 1994 et cette collision a été suivie en détail et en direct par les astronomes du monde entier. Le but de cet exercice est de comprendre, à l aide d un modèle simple, l origine de la fragmentation. On supposera que le référentiel Jupiterocentrique R J est galiléen et on négligera dans tout le problème les effets dus au Soleil dans ce référentiel. Jupiter est supposée sphérique et homogène. Données numériques : raon de Jupiter : R J = km, masse de Jupiter : M J = 1, kg, constante de gravitation : G = 6, N.m.kg, masse volumique de la glace : µ C = 1, kg.m 3. On cherche à déterminer la distance en dessous de laquelle un corps (ici la comète) s approchant de Jupiter se séparerait en plusieurs morceaux sous l effet des forces de marée dues à Jupiter. Pour cela, on fait les deux hpothèses suivantes : La comète de masse volumique µ C est en orbite circulaire de raon r autour de Jupiter. La comète est constituée de deux sphères identiques de masse m et de raon d, homogènes et disposées comme indiqué sur la figure cicontre. Les deux sphères (1) et () ne sont liées entre elles que par leur attraction gravitationnelle mutuelle. On suppose que la disposition des sphères reste inchangée au cours de la rotation de la comète, leurs centres étant toujours alignés avec le centre de Jupiter. On définit enfin le référentiel R en rotation avec la comète autour de Jupiter ainsi que la base polaire ( u r, u θ ) liée à ce référentiel. 1. En appliquant le théorème du centre de masse à la comète en mouvement dans le référentiel Jupiterocentrique, exprimer la vitesse ω de rotation de la comète autour de Jupiter. En utilisant le fait que d r, en déduire la relation : ω GM J r 3. Le référentiel R est-il galiléen? Justifier. 3. Faire le bilan complet des forces exercées sur la partie (1) de la comète dans le référentiel R, dans le cas où le contact entre les deux sphères est maintenu, en distinguant les forces intérieures et les forces extérieures. 10

11 4. En traduisant l équilibre de la sphère (1) dans le référentiel R, montrer que l action de contact N 1 exercée par la sphère () s écrit de manière approchée : N 1 = GM ( Jm m 1 ) r 4M J ɛ 3ɛ où ɛ = d r En déduire que le contact entre les deux sphères est rompu lorsque la distance r devient inférieure à r lim (r lim est appelée limite de Roche). Exprimer r lim R J en fonction de µ J et µ C. Faire l application numérique. 6. En réalité, les observations ont montré que la fragmentation de la comète s est produite lorsque celle-ci est arrivée à une distance r 0 = 1, 5R J de Jupiter. Proposer une explication. 11