«Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.

Transcription

1 «Aucune investigation humaine ne peut être qualifiée de science véritable si elle ne peut être démontrée mathématiquement.» Léonard de Vinci MATHEMATIQUES Les mathématiques revêtaient un caractère particulier chez Léonard de Vinci puisque cette discipline était le ferment de toutes les autres. Le recours insistant aux procédés mathématiques était une garantie de rationalité et l'unique moyen de s'assurer des principes stables dans les deux domaines de prédilection où Léonard entendit se «réaliser», la peinture et la mécanique. C'est Léonard de Vinci qui introduisit les mathématiques dans l'art, notamment à travers le nombre d'or φ (rapport d'harmonie) et l'effet de perspective qui était jusqu'alors très mal maîtrisé. Le nombre d Or φ (lettre grecque qui se lit «phi») Son écriture décimale est infinie comme pour le nombre ; une valeur approchée de φ est 1,618. On connaissait déjà ce nombre dans l architecture. A partir de ce nombre, ont été construits la pyramide de Chéops, le temple de Salomon, le Parthénon, et la plupart des églises romanes. En Egypte par exemple, coïncidence ou volonté d'y parvenir, le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops (mesurée par Thalès de Milet (-624 ; -548)) par sa demi-base est égal au nombre d'or. La façade du Parthénon s'inscrit dans un rectangle d'or montré sur le dessin ci-contre, c'est-à-dire tel que le rapport de la longueur sur la hauteur était égal au nombre d'or. Cette proportion «flatte» l œil. A l époque de Léonard de Vinci, beaucoup de tableaux de la Renaissance respectent eux aussi cette proportion. Ce nombre n'est pas qu'un produit de l'imagination humaine, il se vérifie aussi dans la nature. C'est par exemple, le rapport d'écartement entre les feuilles des arbres fixées sur une tige, afin d'éviter que, mutuellement, elles ne se fassent de l'ombre. On retrouve également le nombre d'or dans le corps humain : Dans le fameux dessin de Léonard de Vinci (l'homme de Vitruve), l homme aux bras écartés s'inscrit à la fois dans un cercle et dans un carré. Sur cet homme parfait, Léonard de Vinci a montré que les proportions de l'homme "idéal" respectaient le rapport du nombre d'or : Par exemple, le nombril divise le corps humain suivant le nombre d or, en effet le rapport de la hauteur totale du corps humain à la hauteur du nombril est égal au nombre d or.

2 Construction d un rectangle d Or ABCD est un carré. Place K au milieu du segment [AD]. Trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la demi-droite [AD) en E. On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle. ABFE est un rectangle d'or. Triangle d Or et triangle d Argent Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Leurs angles à la base doivent mesurer 36 ou 72. Le triangle d Or a ses deux angles à la base qui mesurent 72 (et le 3 ème mesure 36 ). Il y a un deuxième triangle d'or appelé triangle d'argent dont les deux angles à la base mesurent 36 (et le 3 ème mesure alors 108 ). A toi de jouer avec ces triangles : Sur une feuille, à l aide tes outils de géométrie, reproduis 3 triangles d or et 3 triangles d argent. Construis et colle les deux puzzles décrits ci-dessous : En juxtaposant un triangle d or et un triangle d argent, crée un nouveau triangle d argent. En juxtaposant un triangle d or et deux triangles d argent, crée un pentagone régulier. Complète ton puzzle avec un 2 ème triangle d or et tu obtiens à nouveau un triangle d or. On peut ainsi créer de multiples pavages.

3

4 doc prof Le rectangle d'or Un rectangle est appelé rectangle d'or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d'or. Construction Le tracé d'un rectangle d'or se fait très simplement à l'aide d'un compas, il suffit de pointer le milieu d'un côté d'un carré, pointer l'un des deux angles opposés, puis de rabattre l'arc de cercle sur la droite passant par le côté du carré pointé. Ceci est un des "secrets" de compagnonnage. ABCD est un carré de côté 1. K est le milieu du segment [AD]. On trace un arc de cercle de centre K et de rayon [KC]; il coupe la droite (AD) en E. On construit alors F tel que ABFE soit un rectangle. ABFE est un rectangle d'or. Avec cette technique, il vous est possible de définir les proportions d'un mur, d'un cadre, de toute sorte d'objets rectangulaires. Par exemple, vous souhaitez créer un cadre (pour une peinture) selon la proportion divine. Il vous faudra tout simplement décider d'une des longueurs de celui-ci, puis d'utiliser la technique précédente (avec la longueur, formez un carré, prenez le milieu d'un segment...) afin d'avoir un rectangle d'or. Pour calculer la longueur de L, il faut juste multiplier un côté du carré par le côté du rectangle et diviser par 2. La spirale d'or Prenez un rectangle d'or (L/l = φ). Enlevez-lui un carré formé à partir du plus petit côté. Le rectangle restant est un rectangle d'or! On peut ainsi continuer l'opération à l'infini. Et si maintenant on souhaite relier les côtés opposés des carrés, on obtient une spirale logarithmique, dite spirale d'or.

5 doc prof Le triangle d'or Un triangle d'or est un triangle isocèle dont les longueurs des côtés sont dans le rapport du nombre d'or. Leurs angles doivent mesurer 36 et 72. Le triangle d Or a ses angles à la base qui mesurent 72 (et donc le 3 ème angle mesure 36 ). Il y a un deuxième triangle d'or appelé triangle d'argent dont les angles à la base mesurent 36. avec BC = BD AB / BC = φ, le triangle ABC est appelé Triangle d'or. AB / BD = φ, le triangle ABD est appelé Triangle d'argent. Le triangle d'or a aussi la particularité (comme toutes les proportions divines) de pouvoir se répliquer à l'infini: NB : contrairement à, le nombre d or φ a une valeur exacte :.