Raisonnement par récurrence
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- Denis Bordeleau
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1 CHAPITRE 2 Raisonnement par récurrence On veut démontrer une propriété qu ont tous les entiers naturels n, par exemple : «la somme de tous les entiers de 0 à n est égale à n(n 1)/2». Comme on considère une propriété quelconque, on va la noter P(n), à lire : n a la propriété P. On veut donc montrer que P(0) est vraie, ainsi que P(1), P(2), jusqu à l infini. On utilise pour cela, le raisonnement par récurrence, ou par induction. Commençons par l exemple ci-dessous. 2.1 Exemple P(n) est la propriété «la somme des entiers de 0 à n est égale à n(n 1)/2». La propriété P(0) est vraie, puisque 0 = 0(0 1)/2. Nous faisons maintenant ce qu on appelle l hypothèse de récurrence, i.e. nous supposons que P(n) est vraie et essayons d en déduire P(n 1). L hypothèse de récurrence implique que la somme des entiers de 0 à n vaut n(n 1)/2; nous en déduisons que la somme des entiers de 0 à n 1 vaut n(n 1)/2 n 1 = (n 1) ( n 2 1) = (n 1) (n 2)/2 = (n 1) ((n 1) 1)/2, ce qui démontre que P(n 1) est vraie. Ainsi nous avons montré que : P(0) est vraie, et (ii) si P(n) est vraie, alors P(n 1) est vraie. Le principe de récurrence nous assure alors que P(n) est vraie quel que soit l entier naturel n. 2.2 Principe de récurrence On veut démontrer une propriété P(n) de tous les entiers naturels. On fait comme suit : (ii) On démontre que P(0) est vraie. On fait l hypothèse que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence), et on démontre que P(n 1) est vraie. Autrement dit, on démontre que «P(n) vraie» implique «P(n 1) vraie». Ceci étant fait, on est sûr que la propriété est vraie pour tous les entiers : intuitivement en effet, P(0) est vraie par, donc P(1) est vraie par (ii), donc P(2) est vraie par (ii) etc Attention : pour (ii), il faut prendre un entier n quelconque, non spécifié, et pas 17, ou 2789, ou autre. 25
2 2.1 Exemple (suite) Revoyons cet exemple avec des notations «plus mathématiques». P(0) est vraie car 0 = 0(0 1)/2. (ii) Supposons que P(n) soit vraie, i.e n = n(n + 1)/2. De cette égalité on déduit, par addition de n 1 de chaque côté : n (n 1) = n n 1 n n n 1 n 1 2n 2 2 démontrer. n 2 Pour illustrer le principe de récurrence, démontrons le théorème suivant., ce qu il fallait 2.3 Théorème Tout sous-ensemble non vide de N a un minimum. Démonstration 1. Nous commençons par démontrer qu une certaine propriété P(n) est vraie pour tout n dans N. Puis nous verrons que le théorème s en déduit. On prend pour P(n) l énoncé «tout sous-ensemble de N qui contient un entier n a un minimum». Démontrons que P(n) est vrai, en utilisant le principe de récurrence. P(0) signifie que si un sous-ensemble de N contient 0, alors il a un minimum. C est clair, puisqu alors 0 est son minimum. Donc P(0) est vraie. (ii) L hypothèse de récurrence est : si un sous-ensemble A de N contient un élément n, alors A a un minimum (c est la propriété P(n)). Nous en déduisons P(n 1) : en effet, soit E un sous-ensemble de N qui contient un élément n 1. Si E contient un élément n, l hypothèse de récurrence implique que E a un minimum. Si par contre E ne contient aucun élément n, comme il contient un élément n 1, il doit 26
3 contenir n 1. Mais alors n 1 est son minimum. Ainsi P(n 1) est vraie. 2. Pour finir la preuve du théorème, soit maintenant E un sous-ensemble non vide quelconque de N. Comme E est non vide, il existe n N tel que n E. Le fait que P(n) est vraie implique alors que E a un minimum. 2.4 Remarque On observera où est intervenue l hypothèse «non vide». Le théorème 2.3 est faux si l on omet cette hypothèse. 2.5 Principe de récurrence (variante) On laisse tel quel et on remplace (ii) par : (ii) On fait l hypothèse que P(0), P(1), P(n) sont toutes vraies (hypothèse de récurrence), et on démontre qu alors P(n 1) est vraie. Une autre variante consiste, au lieu de commencer par 0, à commencer par un nombre plus grand, comme dans la preuve de l énoncé suivant. Rappelons d abord qu un entier naturel est dit premier s il est 2 et s il n est divisible que par 1 et par lui-même. 2.6 Théorème Tout entier naturel 2 est divisible par un entier naturel premier. Démonstration Nous prenons pour P(n) la propriété «n est divisible par un entier naturel premier». (ii) P(2) est vraie, car 2 est premier et se divise lui-même. Supposons que P(2), P(3), P(n) soient vraies (hypothèse de récurrence). Démontrons que P(n 1) l est aussi. Si n 1 est premier, P(n 1) est vraie. Par contre, si n 1 n est pas premier, il est divisible par un entier naturel a tel que 2 a n. L hypothèse de récurrence implique alors que P(a) est vraie, i.e. a admet un diviseur premier p : nous pouvons donc écrire a = pq, où q est un entier naturel, et enfin que n 1 = 27
4 ab = pqb, ce qui montre que n 1 est divisible par p premier. Donc P(n 1) est vraie, ce qui achève la preuve. Exercices résolus Démontrer par récurrence les assertions suivantes, où n est un entier naturel quelconque. Indications : dans tous ces exercices, la difficulté est comment passer de l expression avec n à l expression avec n n 2 n est divisible par n 3 n est divisible par n 1 est divisible par n1 1 est divisible par 3. *5. 9 n 8n 1 est divisible par n 3 n est divisible par n > n n1 n! (on suppose n 1; n! désigne le produit n, appelé factorielle n) n 2 = n(n 1)(2n 1)/ n = 2 n ! +1 1! 2 2! n n! = (n 1)! 1 (par convention 0! = 1) n 3 = (1 2 n) 2. *13. Soit P(n) une propriété de l entier naturel n. Soit P(n) la propriété : «P(0), P(1), P(n) sont toutes vraies». En utilisant le principe de récurrence 2.2 pour P(n), démontrer la validité du principe
5 Exercices non résolus 14. Prouver par récurrence les formules suivantes où n N : a (a b) (a 2b) (a nb) n 1 (2a nb); 2 (ii) a ac ac 2 ac n a cn1 1 c 1 ; où a, b, c sont des nombres réels avec c 15. Prouver par récurrence la formule : n n 1 1 n n 1 3 n 2. *16. Prouver par récurrence la formule : n nn 1 2n 1 3n2 3n Prouver par récurrence la formule : n n n 1. *18. Prouver que tout entier n = 1, 2, 3, = N* s'écrit comme le produit d'un entier impair avec une puissance de 2, i.e. n 1, k, 0 tel que n = 2 k (2 + 1). Prouver aussi que k, sont uniques. 19. Montrer que : n 3 n Montrer que : n 0, on a: a n1 b n1 a ba n a n1 b a n2 b 2... b n. *21. On définit une suite de nombres (appelés nombres de Fibonacci) par : F 0 F 1 1 et n 2, F n2 F n1 F n. Montrer que n 0, on a : F n2 F n F n1 1 2 n. *22. Soit f : 1, 2,, n R une fonction non croissante (f est dite croissante si x y f(x) f(y)). Montrer, par récurrence sur n, qu'il existe i 1, 2,, n tel que f f(i + 1). *23. Montrer que le th. 2.3 implique le principe de récurrence (indication : poser E = n N P(n) est faux). 24. Montrer que pour tout n 7, 3 n n!. 25. Montrer que pour tout n 0, n 5 n est divisible par 5. Montrer que la propriété analogue pour n 4 n n est pas vraie (cf. ex. 1 et 2). 29
6 26. Trouver l erreur. On veut démontrer la propriété P(n) suivante : tout sous-ensemble à n éléments de N, qui contient un nombre pair, est constitué uniquement de nombres pairs. La propriété est clairement vraie pour n = 0 (et même n = 1). Supposons P(n) vraie, et soit E une partie de N, à n + 1 éléments, contenant un nombre a pair. Si E ne contient que des nombres pairs, ok. Sinon, soit E = E \ x, où x E est impair. Par hypothèse de récurrence, tous les éléments de E sont pairs. Soit b E, b a. Alors E = (E \ b) x, satisfait aussi à l hypothèse de récurrence, donc E n est constitué que d éléments pairs. Donc E = E E aussi. 30
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