Arithmétique. n(n + 1) 2. k = k=0. q k = 1 qn+1 1 q. n(n + 1)(2n + 1) 6. k 2 =

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1 Université de Provence Mathématiques générales 1 Récurrence Arithmétique Exercice 1. Prouver l identité suivante: n k = k=0 n(n + 1) valable pour tout entier naturel n. Exercice. Prouver l identité suivante: n k=0 q k = 1 qn+1 1 q pour tout entier naturel n et tout nombre (réel ou complexe) q 1. Exercice 3. Prouver, pour tout entier naturel n, l identité suivante. n k = k=0 n(n + 1)(n + 1) 6 Exercice 4. Par récurrence, prouver que tout entier naturel n peut s écrire sous l une des trois formes suivantes: n = 3q, n = 3q+1 ou n = 3q+ (avec q entier naturel). Exercice. Par récurrence sur l entier naturel n, prouver pour tout réel t 0 l inégalité suivante: e t n k=0 t k k! Divisibilité Exercice 6. Quels sont les multiples de? de 7? de 1? de ( 1)? de ( 3)? de 0? 1

2 Exercice 7. Quels sont les diviseurs positifs de 4? de 100? de 7? de 1? de 0? Exercice 8. On suppose que a divise b et que b divise c. Prouver que a divise c. Exercice 9. Vérifier que, si n est pair, n sera multiple de 4 et que si n est impair, n 1 sera divisible par 4. 3 Nombres premiers Exercice 10. Ecrire le nombre 1 comme un produit de facteurs premiers. Exercice 11. Pour tout nombre entier compris entre et 1, dire s il est premier. S il ne l est pas, le décomposer en un produit de nombres premiers. Exercice 1. a) Soit n un entier non premier. Prouver que cet entier admet un facteur premier inférieur ou égal au réel n. b) Décomposer en facteurs premiers tous les nombres compris entre 90 et 100. Exercice 13. Le but de cet exercice est de prouver qu il y a une infinité de nombres premiers. a) Prouver qu aucun entier ne divise à la fois deux entiers consécutifs. b) Soit une famille finie de nombres premiers. Trouver un entier 1 divisible par tous ces nombres premiers à la fois, puis un entier divisible par aucun de ces nombres premiers. c) Soit une famille finie de nombres premiers, prouver l existence d un nombre premier n appartenant pas à cette famille. d) En déduire que l ensemble des nombres premiers est infini. 4 Division euclidienne Exercice 14. Ecrire la division euclidienne de ( 37) par 4. Exercice 1. Calculer le reste de la division euclidienne de n par 7 pour tout entier n compris entre 0 et 1 puis pour tout entier n compris entre ( 1) et ( 10). Prouver que deux entiers relatifs quelconques a et b donnerons le même reste si et seulement si leur différence est un multiple de 7. Voici un exercice sur la suite de Fibonacci.

3 Exercice 16. a) Posons: ( + 3 ) ( u n = ) n ( + 3 )( 10 pour tout n N. Calculer u 0 et u 1. Vérifier l identité: 1 ) n u n+ = u n+1 + u n valable pour tout n N. En déduire les valeurs u, u 3, u 4 et u. b) Prouver par récurrence que u n est un entier strictement positif. En déduire que la suite u est strictement croissante. c) Prouver que, dans la division euclidienne de u n+ par u n+1, le quotient vaut 1 et le reste vaut u n. Remarque. Combien y a-t-il de façons de gravir un escalier si à chaque pas, on ne peut gravir qu une ou deux marches? Pour un escalier à trois marches, il y aura trois façons différentes qui sont: 1) les trois marches, une par une, ) deux marches d un seul coup, puis une marche, 3) une marche, puis deux d un coup. De façon plus générale, pour un escalier à n marches, il y aura u n 1 façons de procéder. Algorithme d EUCLIDE et PGCD Exercice 17. Dans un grand tableau, écrire le PGCD de a et de b pour tous a et b compris entre 0 et 1. Exercice 18. a) Soit n un entier. On note f(n) le nombre d entiers compris entre et n 1. Calculer f(n) pour toutes les valeurs de n comprises entre et 1 puis donner la formule générale de f(n) en distinguant les cas pairs et impairs. b) Pour tout n compris entre et 1, dessiner les f(n) étoiles à n branches. Plus précisément, pour tout a compris entre et n 1, dessiner une étoile que nous noterons E n,a et qui est un graphe dont les sommets sont n points du cercles qui divisent le cercle en n arcs de longueurs égales et dont les arêtes sont les cordes qui relient deux sommets s ils sont séparés par a portions (autrement dit si l un des deux sommets est l image de l autre par 3

4 la rotation centrée en le centre du cercle et d angle a tours ou, si on préfère, n d angle πa radians). n c) Observer quelle forme prend l étoile E n,a, quand a divise n. d) Colorier en bleu les étoiles pour lesquelles a et n sont premiers entre eux et en rouge les autres. Au centre de chaque étoile, inscrire le nombre P GCD(a,n). Observer que les étoiles rouges sont constituées de P GCD(a,n) morceaux (qui sont, selon le cas, des polygones réguliers ou des étoiles). Exercice 19. En utilisant la décomposition en facteurs premiers, calculer le PGCD et le PPCM de 3 et de 77, puis ceux de 1000 et de 480. Exercice 0. En utilisant l algorithme d EUCLIDE, calculer le PGCD de 47 et 91 et écrire une identité de BEZOUT. Même question avec 73 et 13. Exercice 1. Si a divise b, quel sera le PGCD de a et de b? Exercice. Prouver l identité suivante: PGCD(ab, ac) = a PGCD(b,c). Exercice 3. a) Les premiers termes de la suite de FIBONACCI sont u 0 = 1, u 1 =, u = 3, u 3 =, u 4 = 8 et u = 13. A l aide de l algorithme d EUCLIDE, calculer PGCD(u 3,u ), PGCD(u 4,u 3 ) et PGCD(u,u 4 ). Indiquer à chaque fois combien de divisions euclidiennes ont été nécessaires. b) On a vu, dans un exercice précédent, que la division euclidienne de deux termes consécutifs u n+1 et u n de la suite de FIBONACCI s écrivait: u n+1 = 1 u n + u n 1 pour tout n 1. En déduire une description simple de l algorithme d EU- CLIDE pour u n+1 et u n. Combien de divisions euclidiennes cet algorithme comporte-t-il? Remarque. Le cas de de deux termes consécutifs de la suite de FIBO- NACCI est un cas où l algorithme d EUCLIDE est particulièrement long. Exercice 4. Déterminer tous les couples (a,b) d entiers relatifs solutions de l équation: 13a + 1b = 1. Même question pour l équation: 18a + 1b = 6. Exercice. Déterminer tous les entiers qu on peut écrire sous la forme 10a + 14b avec a et b entiers relatifs. Même question avec a et b entiers naturels. 4

5 6 Congruences Exercice 6. Ecrire les tables d addition et de multiplication de Z/nZ, pour n =, et 10. Exercice 7. a) Ecrire tous les carrés d entiers modulo 4. Prouver qu un entier congru à 3 modulo 4 ne peut pas être la somme de deux carrés d entiers. b) Vérifier que ni 6 ni 1 n est la somme de deux carrés d entiers. Exercice 8. Ecrire tous les carrés d entiers modulo 8. Prouver qu un entier congru à 7 modulo 8 ne peut pas être la somme de trois carrés. Exercice 9. Calculer le reste de la division euclidienne de 7 n par 8, pour tout entier n 1. Exercice 30. Sans effectuer la division, calculer le reste de la division euclidienne de 38 par 9. Exercice 31. Soit p un nombre premier. a) Pour tout entier a compris entre 1 et p 1, prouver que p divise C a p en utilisant l identité suivante: p! = a! (p a)! C a p. b) A l aide du binôme de NEWTON, démontrer la congruence suivante, valable pour tous entiers x et y : (x + y) p x p + y p (mod p). c) Démontrer par récurrence sur l entier naturel n, la congruence suivante: n p n (mod p) (congruence appelée le petit théorème de FERMAT ). d) En déduire, pour tout entier n non divisible par p la congruence: n p 1 1 (mod p). e) Calculer le reste de la division euclidienne de par 13. Exercice 3. a) Prouver que tout entier naturel congru à 3 modulo 4 admet un facteur premier congru à 3 modulo 4 (observer la table de multiplication modulo 4). b) Soit une famille finie de nombres premiers impairs. A l aide du théorème des restes chinois, prouver l existence d un entier naturel congru à 3

6 modulo 4 qui ne soit divisible par aucun des nombres premiers de la famille finie. c) Soit une famille finie de nombres premiers, prouver l existence d un nombre premier congru à 3 modulo 4 n appartenant pas à cette famille. d) En déduire que l ensemble des nombres premiers congru à 3 modulo 4 est infini. Exercice 33. a) Prouver que tous les nombres premiers (sauf les nombres et ) admettent, en base décimale, un chiffre des unités égal à l un des quatre chiffres suivants: 1, 3, 7 ou 9. b) En observant la table de multiplication modulo 10, prouver que tout entier naturel dont le chiffre des unités vaut 3 ou 7 admet un facteur premier finissant lui aussi par 3 ou par 7. c) Soit une famille finie de nombres premiers différents de et de. A l aide du théorème des restes chinois, prouver l existence d un entier naturel finissant par 3 qui ne soit divisible par aucun des nombres premiers de la famille finie. d) Soit une famille finie de nombres premiers, prouver l existence d un nombre premier finissant par 3 ou par 7 qui n appartienne pas à cette famille. e) En déduire que l ensemble des nombres premiers finissant par 3 ou par 7 est infini. Remarque. En fait, il y a quatre infinités de nombres premiers finissant par 1, 3, 7 et 9 respectivement, mais la démonstration est assez difficile pour 1 et pour 9 et encore plus difficile pour 3 et pour 7! Exercice 34. Dans Z/Z, déterminer toutes les classes dont le carré vaut 1. Même question dans Z/8Z. En utilisant le théorème des restes chinois, indiquer combien il y a de classes de carré 1 dans Z/40Z. 7 Bases de numération Exercice 3. Ecrire en base, en base 7 et en base 16 tous les entiers compris entre 1 et 0. Exercice 36. Quelle est l écriture décimale du nombre dont l écriture en base est: ? Exercice 37. Quelle est l écriture en base de n 1? Remarque. Le non-mathématicien Boby LAPOINTE a proposé pour la numération en base seize d employer les mots: 6

7 HO, HA, HE, HI BO, BA, BE, BI KO, KA, KE, KI DO, DA, DE, DI pour désigner les seize chiffres (de zéro à quinze). Par exemple, le mot BOBI désignera le nombre décimal 71 car: = 71. Exercice 38. Ecrire en base 10, en base et en base 3 chacun des trois nombres rationnels suivants: 1, 1 et 1. Dans chacun des neuf cas, dire si 3 l écriture est unique ou s il y a deux écritures possibles. Exercice 39. On considère l application de {0,1} N vers [0,1] qui associe à une suite de zéros et de uns le nombre dont l écriture en base commence par zéro virgule suivi des chiffres de la suite. Par exemple, l image d une suite (1,1,0,1,0,0,1,...) sera le nombre s écrivant 0, en base. Prouver que cette application n est pas injective. Exercice 40. On considère l application de {0,} N vers [0,1] qui associe à une suite de zéros et de deux le nombre dont l écriture en base 3 commence par zéro virgule suivi des chiffres de la suite. Prouver que cette application est injective mais n est pas surjective. Son image est appelée l ensemble triadique de CANTOR. 8 Questionnaire de révisions VRAI FAUX Le reste de la division euclidienne de 4 n par 9 vaut 1, 4 ou 7 pour tout n 1. VRAI FAUX Le reste de la division euclidienne de n par 13 vaut 1, ou 1 pour tout n 1. Quelles classes de congruence modulo 7 sont des carrés? VRAI FAUX Si 8 divise le produit ab, 8 divisera a ou b. VRAI FAUX Si 17 divise le produit ab, 17 divisera a ou b. 7

8 VRAI FAUX Si 10 divise le produit ab, divisera a ou b. VRAI FAUX Si divise le produit abc, divisera a, b ou c. Combien y a-t-il de classes de congruence modulo 1 qui soient inversibles? Combien y a-t-il de classes de congruence modulo 16 qui soient inversibles? Combien y a-t-il de classes de congruence modulo 4 qui soient inversibles? VRAI FAUX Tout nombre entier relatif peut s écrire sous la forme 1a + 1b (avec a et b entiers relatifs). VRAI FAUX Tout nombre entier relatif peut s écrire sous la forme 6a + 13b (avec a et b entiers relatifs). VRAI FAUX Tout multiple de 3 peut s écrire sous la forme 1a+1b (avec a et b entiers relatifs). VRAI FAUX Il n y a qu une seule façon d écrire le nombre 1 sous la forme a + 7b (avec a et b entiers relatifs). Quelles classes de congruence modulo 13 sont des cubes? Quelles classes de congruence modulo sont des cubes? Quelles classes de congruence modulo 13 sont des puissances quatrièmes? VRAI FAUX Soient a et b deux entiers. Si a et b sont congrus modulo 14, 3a et 3b seront congrus modulo 14. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 1, ils seront congrus modulo 17. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 7, a + 3a et b + 3b seront congrus modulo 7. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 7, 3 a et 3 b seront 8

9 congrus modulo 7. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 10, a et b seront congrus modulo 10. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 9, a et b seront congrus modulo 9. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 10, a et b seront congrus modulo. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 10, 3a et 3b seront congrus modulo 1. Quelles classes de congruence modulo 7 sont des puissances sixièmes? VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 6 et modulo 10, ils seront congrus modulo 60. VRAI FAUX Si a et b sont congrus modulo 4 et modulo 17, ils seront congrus modulo 68. 9