MK.2 : INTERACTIONS CONSERVATIVES

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1 MK.2 : INTERACTIONS CONSERVATIVES Au programme Notions et contenus 2. Interactions conservatives Énergie potentielle fonction d une seule variable spatiale Équilibre en référentiel galiléen Capacités exigibles Citer les expressions de l énergie potentielle de pesanteur associée à un champ uniforme et de l énergie potentielle élastique associée à un ressort. Identifier sur le graphe de l énergie potentielle les éventuelles positions d équilibre stable et instable. Exploiter d autres situations où l expression de l énergie potentielle est fournie. Plan du cours I) Interactions, interactions conservatives... 1 A) Notion d interaction... 1 B) Les interactions fondamentales (hors programme)... 2 C) Les interactions conservatives... 4 II) Energie potentielle d un système conservatif à un seul degré de liberté... 4 A) Généralités sur l énergie potentielle... 4 B) Energie potentielle de pesanteur... 5 C) Énergie potentielle élastique associée à un ressort... 5 D) Énergie potentielle totale... 6 E) Quelques exemples usuels... 6 III) Equilibre en référentiel galiléen de systèmes conservatifs à un seul degré de liberté... 7 A) Équilibre d un point matériel... 7 B) Équilibre et énergie potentielle... 8 Nous nous sommes jusque-là attachés à décrire le mouvement du point matériel étudié. Nous allons à présent nous intéresser à certaines causes de ce mouvement : les interactions (ou forces) dites conservatives, ainsi qu à une nouvelle forme d énergie qui leur est associée, l énergie potentielle, dont nous verrons par la suite qu il s agit d un concept particulièrement riche. Nous introduirons également dans ce chapitre les notions d équilibre et de stabilité de l équilibre. Pour tout le chapitre (R) représente le référentiel d étude qui sera toujours galiléen, et muni du repère cartésien. I) Interactions, interactions conservatives A) Notion d interaction 1) Introduction Lorsqu on lance une balle sur le sol, elle finit par s arrêter à cause des frottements ; lorsqu on la lance en l air, elle retombe à cause de la Terre qui l attire. Plus généralement, un système étudié sur Terre est toujours en interaction avec ce qui l entoure, il n est jamais isolé : il subit au minimum une interaction (ou force) attractive exercée par la Terre, correspondant au poids (ou force de pesanteur). Autres exemples d interactions : Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

2 2) Forces, exemple du poids Ces interactions peuvent avoir une description vectorielle, alors appelée force. Rappel : un vecteur v est caractérisé par la donnée de sa norme v = v, de sa direction et de son sens. Un vecteur unitaire u est un vecteur de norme u = u = 1. En choisissant un vecteur unitaire u de même direction et de même sens que le vecteur v considéré, on peut écrire v = v u. A la surface de la Terre, l attraction terrestre est proportionnelle à la masse du corps et à l accélération g de la pesanteur, ou champ de pesanteur terrestre 1, qui peut être considéré comme uniforme si l étude reste limitée à une zone restreinte à la surface de la Terre (un objet subira la même interaction attractive, à la fois en direction, sens et norme, si son déplacement reste limité à un stade de foot, une ascension en montgolfière, etc.). Accélération g de la pesanteur, ou champ de pesanteur terrestre Dimension : [g] = [a] = L. T 2 Norme : g = 9, 8 m. s 2, ou, pour un calcul plus rapide, g 10 m. s 2. Caractéristiques de la force de pesanteur ou poids P norme : P = mg avec m masse et g accélération de la pesanteur g = 9,81 m.s -2 Espace 1 de direction : la verticale e de sens : dirigé vers le bas z Ecriture vectorielle : P = mgu z = mge z Force (en newtons (N), avec 1 N = 1 kg.m.s 2 ) : grandeur vectorielle F S M permettant de décrire l interaction entre 2 points S et M, caractérisée par une direction, un sens et une norme. Cette approche vectorielle sera envisagée plus loin dans le cours (MECA 5). u z 3) Différents types d interactions Interaction à distance de contact localisées en un point Caractéristique interaction entre 2 systèmes Résultant d un contact direct sans contact entre eux. entre les 2 systèmes considérés Exemple Interaction gravitationnelle, électrostatique frottements solides tension d un fil ou d un ressort réparties en surface ou en volume frottements pesanteur solides, B) Les interactions fondamentales (hors programme) L ensemble des forces s exerçant sur la matière à l échelle microscopique (particules élémentaires) se limite à 4 interactions fondamentales avec lesquelles on tente d expliquer l ensemble des interactions observées : interactions électromagnétique, gravitationnelle, forte et faible. 1 Ce champ de pesanteur correspond essentiellement au champ de gravitation terrestre à la surface de la Terre. Il n est toutefois pas uniforme du fait de la présence de reliefs plus ou moins importants (présence de l Everest par exemple!) et du caractère non sphérique de la Terre. Il tient également compte de la rotation de la Terre sur elle-même. Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

3 INTERACTION Nature 2 Exemples de manifestation Portée Intensité relative Gravitation Découverte par Newton en 1687 Toujours attractive, s'exerce entre corps possédant une masse non nulle Pesanteur, marées ou encore phénomènes astronomiques Portée infinie ; Intensité variant en 1/r 2 (r distance entre les corps) fois < interaction électromagnétique Interaction électromagnétique 3 Attractive ou répulsive, s exerce entre tous les corps chargés électriquement (au niveau microscopique entre protons et électrons) et entre aimants Electricité, magnétisme, lumière ou encore réactions chimiques et biologiques Portée infinie ; Intensité variant en 1/r 2 Prise ici comme référence Interaction forte mise en évidence en 1930 Force toujours attractive, s'exerce entre les particules constituées de quarks Stabilité des noyaux (force de cohésion entre les protons et les neutrons) Très courte portée : m (intérieur du noyau) 10 3 fois > interaction électromagnétique Interaction faible 4 mise en évidence en 1934 lors de processus de désintégration Agit entre tous les fermions (dont électrons, quarks et neutrinos) Radioactivité bêta ; à la source de la désintégration du neutron (elle permet donc au soleil de briller) Portée extrêmement courte, m 10-4 fois < interaction forte Lois phénoménologiques : Pour passer au niveau macroscopique à partir des 4 interactions fondamentales, il faudrait effectuer une intégration extrêmement complexe de ces interactions sur un nombre très élevé de particules élémentaires (de l ordre de ), ce qui est impossible. On utilise donc un nombre très important de lois issues de l expérience (modélisation de tel ou tel phénomène particulier), dites lois phénoménologiques (pesanteur, pression, frottements, tension d un fil, d un ressort, aimantation, etc.) Interactions nucléaires : interactions à très courte portée, négligeables à des échelles supérieures au femtomètre (10-15 m) ; elles n ont donc d influence qu à des échelles nucléaires, inférieures à l échelle atomique, et a fortiori à notre échelle macroscopique (et plus généralement dans la mécanique newtonienne). Interaction gravitationnelle : très peu intense, mais dominante à l échelle du cosmos (des très grands systèmes) car les masses ne peuvent se neutraliser, tandis que les charges positives et négatives se neutralisent (ainsi, en mécanique terrestre, on se limite à l influence gravitationnelle du Soleil et de la Lune, les autres influences étant négligeables). Elle devient totalement négligeable à l échelle atomique devant les interactions électrostatiques. 2 Les interactions gravitationnelles et électromagnétiques sont transmises par des particules élémentaires respectivement appelées gravitons et photons, les particules élémentaires sensibles à l interaction forte (forces nucléaires) sont les hadrons (deux types : nucléons et hypérons), tandis que celles sensibles à l interaction faible sont les leptons. 3 En 1864, Maxwell a proposé un modèle unifié des phénomènes électriques et magnétiques, qui interviennent simultanément ; cependant, pour des charges immobiles, seule l interaction électrostatique subsiste. 4 Il existe un modèle électrofaible unifiant électromagnétisme et interaction faible ; qui a été vérifié expérimentalement en Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

4 C) Les interactions conservatives D un point de vue énergétique, toutes les interactions ne sont pas équivalentes. Ainsi, en l absence de tout frottement, une bille accrochée à un fil ou à un ressort oscillerait pendant un temps infiniment long, son énergie globale (nous verrons qu il s agit de l énergie mécanique) se conservant, tandis que plus les frottements sont importants, plus les oscillations s arrêteront rapidement, de l énergie mécanique étant perdue par la bille en raison de ces frottements. On distingue ainsi des interactions dites conservatives et des interactions non conservatives ; dans ce chapitre, nous nous limiterons aux interactions conservatives, auxquelles nous allons associer une nouvelle forme d énergie. Remarques : Attention, toutes les forces ne sont pas conservatives! Exemple le plus classique : forces de frottement, dites dissipatives ; on ne peut alors pas définir leur énergie potentielle. De façon rigoureuse, on verra que toute force perpendiculaire au déplacement du point «ne travaille pas» ; c est notamment le cas de la réaction d un support solide lors des déplacements sans frottement, de la tension d un fil lorsque ce dernier reste tendu (cas d un pendule par exemple). On pourrait associer une énergie potentielle nulle à une telle force. II) Energie potentielle d un système conservatif à un seul degré de liberté A) Généralités sur l énergie potentielle Exemple introductif Considérons un pot de fleurs posé sur le rebord d une fenêtre, immobile, donc sans énergie cinétique. S il est mal fixé, il peut tomber sur une voiture garée en dessous en arrivant avec une certaine vitesse ; il a donc acquit au cours de sa chute une énergie cinétique. De plus, s il tombe du premier ou du dixième étage, s il est très petit ou très gros, les dégâts causés à la voiture ne seront pas les mêmes, car l énergie cinétique acquise à l arrivée ne sera pas la même. En regardant le pot de fleur posé, en évaluant sa masse et la hauteur de la fenêtre où il se trouve, on peut évaluer l énergie qu il peut potentiellement acquérir via une chute : c est ce que nous allons appeler son énergie potentielle (il s agit ici de son énergie potentielle de pesanteur, associée au poids, seule force s exerçant sur le système). Une fois immobile sur le sol, il ne peut plus causer de dégâts : il a perdu son énergie potentielle initiale qui a été transformée au cours de sa chute en énergie cinétique. On dit qu il y a conversion d énergie potentielle (l énergie qu a l objet avant sa chute) en énergie cinétique. Energie potentielle Energie emmagasinée par le système 5 (par exemple bille de masse m amenée à une hauteur h par rapport au sol), qui est potentiellement disponible, et qui pourra être restituée dans certaines circonstances (si on lâche la bille, énergie récupérée sous forme d énergie cinétique). Elle est associée à une interaction dite conservative. L énergie cinétique d un corps est l énergie liée à son mouvement, tandis que l énergie potentielle d un corps peut être définie qu il soit immobile ou en mouvement, elle est liée à sa position ainsi qu à la nature de l interaction conservative qu il subit. Espace 2 5 Nous verrons que cette énergie potentielle est emmagasinée par un système lorsqu on lui fournit un travail via le déplacement du point d application d une interaction s exerçant sur lui. Il existe des définitions quantitatives précises de cette grandeur, pour le moment présentée de façon essentiellement qualitative. Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

5 Remarque : L énergie potentielle étant associée à une force conservative, la conversion inverse d énergie cinétique en énergie potentielle est également possible. Exemples Espace 3 Bille lancée vers le haut sur une pente, dont l Ec diminue puis s annule ; pendule lancé depuis le point bas avec une vitesse initiale v 0 atteignant un point d amplitude maximale, bille accrochée à un ressort horizontal à sa longueur à vide qu on lance avec v 0, etc. Dans ce qui suit, le système étudié sera assimilable à un point matériel de masse m dont la position sera repérée par un seul paramètre ou degré de liberté (problèmes à une dimension, système à un seul degré de liberté). Le point matériel peut être en mouvement sur une droite caractérisée par un axe Ox (il est alors repérable par sa position x), sur un cercle (il est alors repérable par un angle ), sur une trajectoire connue (par exemple, une voiture se déplaçant sur l autoroute Rouen-Le Havre, repérée par la distance parcourue depuis Rouen). B) Energie potentielle de pesanteur L énergie potentielle de pesanteur d un système ponctuel augmente avec : l altitude de son centre G ; sa masse, ainsi que l importance de l attraction exercée par la Terre (l énergie potentielle de pesanteur sur la Lune ou sur Jupiter ne seraient pas les mêmes!) Expressions de l énergie potentielle de pesanteur d un objet de masse m, situé à une altitude z, soumis à l accélération g de la pesanteur : E pp = ± mgz + cte. Plus le système (le pot de fleur!) est initialement situé à une hauteur importante, plus sa «chute» sera associée à une énergie importante, plus son énergie potentielle initiale sera donc élevée. Attention à l orientation de l axe vertical! Il faudra veiller à la cohérence physique de l expression utilisée. Energie potentielle de pesanteur d un objet de masse m dans le champ de pesanteur uniforme, situé - à une altitude z (axe (Oz) orienté vers le haut), est : E pp = mgz + cte - à une profondeur z (axe (Oz) orienté vers le bas), est : E pp = mgz + cte Espace 4 L énergie potentielle de pesanteur (comme toute énergie potentielle) est définie à une constante additive près 6 ; la valeur de cette constante est fixée par le choix d une origine arbitraire pour les énergies potentielles. C) Énergie potentielle élastique associée à un ressort 1) Ressort, ressort idéal Ressort : Selon la norme ISO 26909:2010, dispositif mécanique conçu pour emmagasiner de l'énergie lorsqu'il est déformé et en restituer la même quantité lorsqu'il est relâché. Ressort idéal : ressort linéaire de masse nulle 7, parfaitement élastique, qui reprend sa forme de repos après avoir subi une déformation. Ressort linéaire : tel que la déformation subie par un ressort est proportionnelle à la force appliquée, à condition que cette force ne soit pas trop importante, sinon le ressort sort de son domaine d élasticité. 6 Nous verrons ultérieurement que cette expression à une constante additive près est liée à la définition quantitative de l énergie potentielle, qui caractérise sa variation et non sa valeur. Par ailleurs, nous verrons que seules ces variations ou la comparaison de deux énergies potentielles entre elles ont un intérêt et une signification physique. 7 Un ressort idéal a de plus une tension uniforme quel que soit le point du ressort considéré. Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

6 Grandeurs caractéristiques d un ressort idéal droit Longueur à vide (ou longueur au repos) l 0 : longueur lorsqu il ne subit aucun effort (par exemple lorsqu il est posé sur un support horizontal) ; Allongement : l = (l l 0 ), avec l longueur du ressort. Constante de raideur, k, qui est la constante de proportionnalité entre l effort exercé et l allongement. Tension T : Force exercée par le ressort sur le système auquel il est relié ; selon la loi de Hooke, pour un ressort linéaire idéal, la tension est de norme ȁtȁ = kȁ lȁ = kȁl l 0 ȁ Plus l allongement algébrique est élevé, plus la constante de raideur du ressort est élevée, plus la tension exercée par le ressort est importante (et plus l effort à fournir pour obtenir un tel allongement est élevé). Espace 5 Unité de k : N/m 2) Energie potentielle élastique Energie potentielle élastique E pe associée à un ressort E pe = ½ k(l l 0 ) 2 où k raideur (ou constante de raideur) du ressort l longueur du ressort l 0 longueur à vide. Espace 6 Remarque : l énergie potentielle élastique est définie à une constante additive près, comme toute énergie potentielle, mais on choisit toujours par convention son origine pour une longueur égale à la longueur à vide du ressort (le ressort n a pas d énergie «stockée» s il n est ni étiré ni comprimé), ce qui revient à toujours choisir une constante nulle. D) Énergie potentielle totale Propriété : additivité des énergies potentielles Si un système subit plusieurs interactions conservatives, auxquelles sont associées plusieurs énergies potentielles E pi, alors l énergie potentielle totale du point est la somme des énergies potentielles des diverses interactions : E p tot = E pi i Espace 7 E) Quelques exemples usuels Il existe d autres interactions conservatives associées à d autres énergies potentielles ; voici quelques exemples usuels. Energie potentielle de pesanteur Epp dans le champ de pesanteur g supposé uniforme : E pp = mgz + cte, le signe dépendant de l orientation de z. Energie potentielle élastique d un ressort de constante de raideur k et de longueur à vide L 0 Ep e (L) = 1 2 k(l L 0) 2 Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

7 avec L longueur du ressort, l origine des potentiels correspondant au ressort non étiré. Energie potentielle d interaction électrostatique entre 2 charges q1 et q2 : Ep q = q 1q 2 4π 0 1 r + cte Energie potentielle d interaction gravitationnelle entre 2 masses m1 et m2 : Ep g = m 1 m 2 G 1 r + cte ; Energie potentielle d une particule chargée de charge q dans un champ électrique E = E u x uniforme : Ep = qex + cte III) Equilibre en référentiel galiléen de systèmes conservatifs à un seul degré de liberté A) Équilibre d un point matériel 1) Définition Système en équilibre Système immobile (position constante, vitesse toujours nulle) Les paramètres qui le décrivent sont alors constants au cours du temps. On s intéresse ici à la recherche des positions d équilibre d un point matériel. Propriétés des positions d équilibre Placé sans vitesse initiale dans une position d équilibre, le point matériel restera immobile Si le point possède une vitesse non nulle lorsqu il passe par la position d équilibre : alors il n y restera pas. Une position M 0 est une position d équilibre pour un point M si les actions qu il subit se compensent en M 0. L approche vectorielle sera reprise plus tard. Espace 8 On se limite dans la suite à l étude d une particule ponctuelle de masse m soumise uniquement à des forces conservatives ou ne travaillant pas, avec des mouvements déterminés par un seul paramètre ou degré de liberté (problèmes à une dimension), par exemple la position x si le mouvement du point est repéré sur un axe Ox, ou l angle pour un mouvement circulaire. On parle de système conservatif à un seul degré de liberté. 2) Stabilité d un équilibre Soit x 0 une position d équilibre pour le point matériel M(m). Position d équilibre stable pour M en x éq : si, quand on l écarte de sa position x éq, M a tendance à y revenir (existence d une force de rappel le ramenant en x éq ) Position d équilibre instable : dans le cas contraire. Espace 9 Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS

8 Point déplacé vers la droite : dx > 0 Mouvement résultant vers la gauche Équilibre Équilibre Équilibre Remarque : Équilibre Il peut se produire que le point matériel soit en équilibre partout, ou sur une large zone. L équilibre est alors qualifié d équilibre indifférent. B) Équilibre et énergie potentielle Lien entre positions d équilibre et énergie potentielle Pour un point matériel repéré par un paramètre x unique, Position d équilibre : correspond à un extremum de l énergie potentielle soit ቀ de p dx ቁ x éq = 0 Position d équilibre stable : minimum de l énergie potentielle soit ቀ d2 E p dx 2 ቁ x éq > 0 Position d équilibre instable : maximum de l énergie potentielle soit ቀ d2 E p dx 2 ቁ x éq < 0 Espace 10 Graphiquement : Les positions d équilibre sont associées localement à des puits ou des barrières de potentiel Espace 11 Mécanique Chapitre 2. : Interactions conservatives Sonia Najid Lycée Blaise Pascal ATS