I Calcul de longueur 1) Vocabulaire, noms des côtés : 2) Formules : Cosinus: Soit ABC un triangle rectangle en A. hypoténuse. Sinus.
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- Hélène Poulin
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1 Relations trigonométriques dans le triangle rectangle Problème : On est à 20 mètres d'un arbre dont on veut estimer la hauteur. A l'aide d'un graphomètre, on a mesuré un angle de 35. On le représente par un schéma : On cherche à déterminer la longueur AC. I Calcul de longueur 1) Vocabulaire, noms des côtés : Soit A un triangle rectangle en A. Le côté le plus grand est l. Il est du côté opposé à l angle droit. Ici c est le segment []. Si on s intéresse à l angle A : A C m B Le côté adjacent à l angle A : est [BA] Le côté opposé à l angle A : est [AC] Remarque : ACB + A = 90 On dit que ces deux angles sont complémentaires. 2) Formules : Cosinus: Soit A un triangle rectangle en A. cos A = côté adjacent à l ' angle A = AB Sinus
2 sin A = côté opposé à l ' angle A = AC Tangente côté opposé à l ' angle tan A A = côté adjacent à l ' angle A = AC AB Remarque : Il y a un moyen pour se souvenir facilement des formules : S O H C A H T O A opposé adjacent opposé sin = cos = tan = adjacent ( ou CAH SOH TOA ) 3) Déterminer une longueur Méthode générale : Pour déterminer une longueur dans un triangle rectangle connaissant un angle et une mesure : 1 Faire un croquis 2 Ecrire dessus les mesures connues 3 Par rapport à l'angle donné : écrire les noms des deux côtés connu et inconnu ( que l'on veut déterminer ). si on a on utilise la formule du O et H sinus A et H cosinus O et A tangente 4 Rédiger ce que l'on fait. Exemple avec le problème de départ : Dans le triangle A, rectangle en A, pour l'angle A : [AC] est le côté opposé ; [AB] est le côté adjacent tan A = donc côté opposé à l ' angle A côté adjacent à l ' angle A = AC AB tan 35 = AC 20 soit AC = 20 tan 35 et AC 14,0 m. L'arbre a donc une hauteur d'environ 14 m. Autres calculs possibles : a longueur : 20 cos35 20 cos 35 = que l'on peut écrire = pour faciliter le produit en croix 1 Soit = 20 cos 35 et 24,42 m. Remarque : on pourrait calculer AC à l'aide du théorème de Pythagore. On peut seulement calculer la longueur AC à partir de : sin 35 AC 24,42 Soit AC 22,42 sin 35 et AC 14,0 m.
3 II Calcul d'angle Problème : on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle et on veut déterminer un angle. Méthode : 1 Faire un croquis 2 Ecrire les mesures connues 3 Donner le nom des côtés connus par rapport à l'angle que l'on cherche : si on a on utilise la formule du Op et Hy sinus Ad et Hy cosinus Op et Ad tangente 4 Rédiger ce que l'on fait. Exemple : Dans le triangle RST rectangle en S, tan SRT = côté opposé côté adjacent tan SRT = ST RS donc tan SRT = 7 4. À l'aide de la calculatrice, on en déduit la mesure de l'angle SRT arrondie au degré : SRT 60. R 4 cm S 7 cm T
4 1 ENT est un triangle rectangle en E. Écris les rapports de longueurs donnant cos TNE, sin TNE et tan TNE. 2 NOE est un triangle rectangle en O. Pour chacun des rapports suivants, précise s'il s'agit du cosinus, du sinus ou de la tangente d'un des angles aigus du triangle NOE : NO NE ; OE ON ; EO ON et. Tu préciseras lequel. EN OE 3 Sur la figure ci-contre, H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle A rectangle en A. a. Écris de deux façons différentes les rapports de longueurs donnant cos ACB, sin ACB et tan ACB. b. Recommence avec l'angle A. Exemples (on donnera des valeurs approchées à 0,1 près) : a) Soit IJK rectangle en K tel que IJ = 8 cm et Î = 50. Calculer KJ. b) Soit LMN rectangle en N tel que LN = 6,5 cm et NM = 3 cm. Déterminer une mesure des angles LMN puis NLM. c) Soit OPQ rectangle en O tel que OP = 5 cm et QP = 7 cm. Déterminer une mesure de OQP. 1) (cos Â) 2 = (sin Â) 2 = (cos Â) 2 + (sin Â) 2 = Conclusion, quel que soit le nombre x : (cos x ) 2 + (sin x ) 2 = 1 2) Valeurs remarquables : a) Soit STU un triangle rectangle isocèle en S tel que ST = a. Quelle est la mesure de l angle TU ˆ S? En utilisant le théorème de Pythagore, calculer TU en fonction de a. En déduire les valeurs exactes de cos 45 et sin 45. b) Soit EFG un triangle équilatéral de côté a et H le pied de la hauteur issue de E. Quelles sont les mesures des angles EF ˆ H et FE ˆ H? Exprime en fonction de a les longueurs FH et EH. Trouve les valeurs exactes de cos 30 ; cos 60 ; sin 30 et sin 60. E Bilan : Angle F H60 G Cosinus Sinus
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