Fréquence et signaux

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1 Fréquence e signaux On désigne par signal la variaion, emporelle par exemple, d une grandeur physique comme la empéraure, l éclairemen, la conraine mécanique, l inensié d un son, la ension élecrique ec... On renconre des signaux analogiques ou numériques d allures exrêmemen variées. Les signaux les plus faciles à exploier son les signaux élecriques e, plus pariculièremen, les ensions élecriques. On sai que les capeurs permeen de ransformer oues sores de grandeurs physiques en grandeurs élecriques, noammen ensions. L uilisaion des capeurs perme ainsi de oujours ravailler avec des grandeurs élecriques. Le signal élémenaire en physique des signaux es le signal sinusoïdal : x() = a sin(w + f) = a sin(2p + f ) a, e f éan respecivemen les, e phase à l origine. C es le seul signal mono ; il ne conien que la. n praique, ou signal périodique ininerrompu x() de n es pas aure chose qu une somme discrèe, infinie, de signaux sinusoïdaux élémenaires de s, appelé fondamenal), (2 ) appelé premier harmonique, (3 ) appelé deuxième harmonique ec... x() peu s exprimer sous la forme d une décomposiion en séries de Fourier : x() = x() + Â a n sin(2p [(n +1) ] + f n ) avec n =,1,2,3... n= x() représene la valeur moyenne ou composane coninue du signal (correspondan à la = ). Les différens coefficiens de cee série se déerminen mahémahiquemen. La plupar des signaux ne son pas périodiques ou on une durée limiée : ils représenen alors une somme coninue de signaux sinusoïdaux (oues les s son possibles). x() = a()sin 2p + f( ) d Ú [ ] D une manière générale, les harmoniques d ordre élevé son responsables des variaions rapides de x(). Quelques conséquences praiques Ceci explique que la réponse en s d un disposiif doi êre effecuée à l aide de signaux sinusoïdaux. Un hau-parleur donne par exemple un son différen selon qu il es excié par un signal sinusoïdal de 5 Hz (signal mono) ou par un signal carré de 5 Hz (signal muli) Specres de s des signaux Il exise 2 façons complémenaires de représener un signal variable dans le emps : - une représenaion emporelle classique x() - une représenaion fréquenielle conduisan à définir le specre de s du signal. Le specre de s d un signal es une représenaion des s des différenes composanes sinusoïdales servan à consruire ce signal en foncion de leur. Pour êre comples, il faudrai y associer une représenaion phase- : 2 signaux ayan le même specre de s mais des specres de phase différens n auron pas la même représenaion emporelle x(). Dans la suie, on s inéresse surou à la représenaion - e on propose différens exemples de specres de s relaivemen simples. Fréquence e signaux - B.Monégu

2 Specres de de signaux périodiques coninus (signaux non ronqués = ininerrompus) On a affaire à des specres de raies (specres discres). Dans la suie, on propose la décomposiion de Fourier de foncions périodiques x() classiques e les specres - associés. Ces specres son sables dans le emps. Specre de s d un signal sinusoïdal ininerrompu a x() = asin(2p + f) xemple de specre de s d un signal composé périodique ininerrompu x x() = acos[ 2p] +1,5asin[ 2p(2) ] + a sin 2p(3) 2 [ ] a 2 3 Décomposiion de Fourier e specre de s d un signal carré périodique ininerrompu x() x() = 4 È sin[ 2p 3 sin[ 2p] ( + ) ] sin[ 2p ( 5 + ) ] p Î 3 5 Specre - - (sur le dessin, on se limie à l harmonique 7) Fréquence e signaux - B.Monégu

3 Décomposiion de Fourier e specre de s d un signal riangulaire périodique ininerrompu x() = 8 È sin[ 2p 3 sin[ 2p] ( - ) ] sin[ 2p ( 5 + ) ] x() p 2 Î Specre - (sur le dessin, on se limie à l harmonique 7) Décomposi T/ Décomposiion de Fourier e specre de s d un signal périodique en dens de scie ininerrompu x() = 2 È sin[ 2p 2 sin[ 2p] ( - ) ] sin[ 2p ( 3 + ) ] p Î 2 3 x() T = 1/ - Specre - (sur le dessin, on se limie à l harmonique 8) Décomposiion de Fourier e specre de s d une impulsion recangulaire périodique (rain d impulsions ininerrompu) x() = È T 1+ 2sin [ p T ] cos[ 2p] sin np [ T ] cos[ 2p(n)].. p T np Î T x() Le specre de raies (noires) es limié en par l enveloppe rouge d équaion : y() = 2 sin[ np T ] T np T Les raies corresponden aux s, 2, 3 ec... 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ Fréquence e signaux - B.Monégu

4 Specres de s de signaux non périodiques On a affaire mainenan à des specres coninus (= formés d un coninuum de s) Cas simple : specre de s coninu d une impulsion carrée unique de durée (signal non périodique). y() = sin(p) p 1/ 2/ 3/ 4/ 5/ - C es le cas de l impulsion recangulaire périodique raié plus hau avec une période T infinie : les harmoniques son infinimen proches. La disribuion des s devien coninue. - Il y a donc mainenan un coninuum de raies don les s son limiées par les différens lobes. - Plus l impulsion es brève, plus les lobes s élargissen (noammen le lobe dominan) : on peu ainsi obenir une disibuion specrale quasi-uniforme dans une large bande de s. - Ce specre n exise cependan que pendan la durée de l impulsion : il es rès bref! Specres de s de signaux ronqués ` Les analyseurs de specres calculen les specres de s à parir d une porion de signal de durée D limiée. Le specre d un signal quelconque, par exemple un signal correspondan à l enregisremen d une conversaion ou d un morceau de musique, va évoluer consammen. On l analysera par ranches emporelles successives D. On obiendra un specre différen quand on passera d une ranche à une aure. S il s agi d un signal sonore, on sai simplemen qu on pourra limier chaque specre à la plage des s audibles (enre 2 Hz e 2. Hz). Le signal sinusoïdal éan à la base de oue l analyse specrale, il es uile de voir l effe de la limiaion de la durée d observaion sur le specre de s alors obenu quand on a affaire à un nombre fini de périodes. Fréquence e signaux - B.Monégu

5 Specre - d un signal sinusoïdal de = 1/T calculé sur l inervalle de emps limié D = nt (signal sinusoïdal observé à ravers une fenêre emporelle recangulaire de largeur D ) y() = D 2 sin[ p( - )D] p( - )D +1/D s 1/D 1/D 2/D 1/D 1/D Le specre composé de la raie unique infinimen éroie à la correspondan à une sinusoïde ininerrompue es devenu un specre coninu élargi auour de. Specre - calculé à parir d un échanillon de n périodes du signal sinusoïdal de (en marron) Même specre calculé à parir d un échanillon de n/2 périodes (en viole) s Fréquence e signaux - B.Monégu