Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS
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- Louis Lafond
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1 Cours 4 SUITES DE NOMBRES RÉELS A/ GÉNÉRALITÉS 1. Défiir ue suite de ombres réels Ue suite u de ombres réels, est ue foctio défiie sur N qui, à chaque etier aturel, associe u ombre oté u. Ce ombre u s appelle le terme d idice ou de rag. La suite u se ote aussi ( ). Remarque u N ou ecore ( u ). Ue suite u pourrait être défiie seulemet à partir d u idice p et das ce cas o la ote ( u ) p. 3. Deux procédés pour défiir ue suite O peut défiir ue suite par ue formule explicite doat u e foctio de. O peut défiir ue suite par ue relatio de récurrece qui permet de calculer les termes de proche e proche. 4. Représetatio graphique d ue suite Das u repère du pla, la représetatio graphique d ue suite u est l esemble des poits ; u. de coordoées ( ) B/ QUELQUES EXEMPLES Exemple 1 ( suite défiie par ue formule ) Suite u défiie par u = + 1 pour u = 1 u = 1 u = u = 1 3 u = 4 u = u = Exemple ( Suite défiie par ue relatio de récurrece ) Suite u défiie par u = et u +1 = 3 +,8 u pour Ici les termes se calculet les us après les autres. u = u = 3 +,8 u = 4, 1 u = 3 +,8 u =,8 1 u = 3 +,8 u = 8,344 3 u = 3 +,8 u = 9,7 4 3 u = 3 +,8 u = 1,741 4 u = 3 +,8 u = 11,
2 Exemple 3 ( suite défiie par ue formule à partir de l idice 1 ) Suite u défiie par u = +1 pour 1. u = 3 1 u = =, 7 u 3 = =, u 4 = =, 4 11 u = =, etc... Exemple 4 ( suite défiie par ue relatio de récurrece ) Suite u défiie par u =, u 1 = 1, u + = u + u +1 pour. Il s agit de la suite de Fiboacci. O calcule u ouveau terme e additioat les deux termes précédets. u =, u = 1, u = 1, u =, u = 3, u =, u = 8, C/ SENS DE VARIATION 1. Défiitios u est croissate si u +1 u pour tout idice u est strictemet croissate si u +1 > u pour tout idice. u est décroissate si u +1 u pour tout idice. u est strictemet décroissate si u +1 < u pour tout idice. u est costate si u garde la même valeur pour tout idice ce qui reviet à dire u +1 = u pour tout idice.. Exemples Ex1 - La suite u défiie par u = pour. Cette suite est strictemet croissate à partir de l idice Ex - La suite u défiie par u = pour 1. Cette suite est strictemet décroissate à partir de l idice 1. Ex3 - La suite u défiie par u = + 1 pour. Cette suite est strictemet croissate à partir de l idice 3.
3 D/ SUITES ARITHMÉTIQUES 1. Défiitio Soit r u ombre réel. Ue suite u est dite arithmétique de raiso r lorsque u + 1 = u + r pour tout idice. Cela sigifie qu o passe d u terme au suivat e ajoutat r. + r + r + r + r 1 3 u u u u.... Expressio de u à partir de u O a u 1 = u + r u = u + r u 3 = u + 3 r... D ue maière géérale u = u + r 3. Expressio de u à partir de u 1 O a u = u 1 + r u 3 = u 1 + r u 4 = u r... D ue maière géérale 4. Relatio etre deux termes u = u 1 + ( 1 ) r O a u = u + r et u p = u + p r. O e déduit u u p = ( p ) r ce qui doe u = u p + ( p ) r. Somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique a/ Explicatio O cosidère par exemple termes cosécutifs a, a + r, a + r, a + 3 r, a + 4 r, a + r d ue suite arithmétique de raiso r. La somme S de ces termes s écrit de deux maières : S = ( a ) + ( a + r ) + ( a + r ) + ( a + 3 r ) + ( a + 4 r ) + ( a + r ) S = ( a + r ) + ( a + 4 r ) + ( a + 3 r ) + ( a + r ) + ( a + r ) + ( a ) O e déduit S = ( a + r ) + ( a + r ) + ( a + r ) + ( a + r ) + ( a + r ) + ( a + r ) ( a ) + ( a + r) puis S = ( a + r ) et fialemet b/ Résultat gééral S =. Si S est la somme de termes cosécutifs d ue suite arithmétique alors S = ( ombre de termes ) premier terme + derier terme
4 E/ SUITES GÉOMÉTRIQUES 1. Défiitio Soit q u ombre réel. Ue suite u est dite géométrique de raiso q lorsque u + 1 = u q pour tout idice. Cela sigifie qu o passe d u terme au suivat e multipliat par q. q q q q 1 3 u u u u.... Expressio de u à partir de u O a u = u q u = u q u = u q... D ue maière géérale u = u q 3. Expressio de u à partir de u 1 O a u = u q u = u q u = u q... D ue maière géérale 4. Relatio etre deux termes 1 u = u q. 1 Lorsqu o pred deux termes u et u p avec p alors o a ( o gééralise les deux formules précédetes ) u = u q p p. Somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso q différete de 1 a/ Explicatio 3 4 O cosidère par exemple termes cosécutifs a, a q, a q, a q, a q, a q d ue suite géométrique de raiso q avec q 1. La somme S de ces termes s écrit et e multipliat par q, O e déduit et fialemet 3 4 S = a + a q + a q + a q + a q + a q 3 4 q S = a q + a q + a q + a q + a q + a q q S S = a q a puis S = a b/ Résultat gééral S ( q 1 ) = a ( q 1 ) Si S est la somme de termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso q avec q 1 alors S = ( premier terme ) ( ombre de termes ) c/ Remarque Des termes cosécutifs d ue suite géométrique de raiso 1 sot évidemmet égaux. Das ce cas, la somme S est doée par S = ( ombre de termes ) ( premier terme ).
5 F/ SENS DE VARIATION ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE SUITE ARITHMÉTIQUE O cosidère ue suite arithmétique u de raiso r défiie sur N. 1. Ses de variatio Pour tout etier aturel, o a u +1 = u + r. 1 er cas : Si r > alors u +1 > u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est strictemet croissate. ème cas : Si r < alors u +1 < u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est strictemet décroissate. 3 ème cas : Si r = alors u +1 = u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est costate.. Représetatio graphique Pour tout etier aturel, o a u = u + Les poits de coordoées ( ; u ) sur la droite D d équatio y = r x + u. Le coefficiet directeur de D est la raiso r. L ordoée à l origie de D est le premier terme u. Exemple : Sur la figure suivate, o doe la représetatio graphique de la suite arithmétique u de raiso r =,8 et de premier terme u =. Les poits sot situés sur la droite D d équatio y =,8 x +. r. qui formet la représetatio graphique de u sot situés
6 G/ SENS DE VARIATION ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE DE RAISON STRICTEMENT POSITIVE O cosidère ue suite géométrique u défiie sur N, de premier terme u o ul et de raiso q strictemet positive. 1. Ses de variatio Pour tout etier aturel, o a O peut doc écrire u = u q. +1 u +1 u = u q u q +1 et par suite u u = u q ( q 1 ) a/ Etude lorsque u > 1 er cas : Si q > 1 alors ( ) u q q 1 > doc u +1 > u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est strictemet croissate. ème cas : Si < q < 1 alors ( ) u q q 1 < doc u +1 < u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est strictemet décroissate. 3 ème cas : Si q = 1 alors u +1 = u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est costate. b/ Etude lorsque u < 1 er cas : Si q > 1 alors ( ) u q q 1 < doc u +1 < u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est strictemet décroissate. ème cas : Si < q < 1 alors ( ) u q q 1 > doc u +1 > u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est strictemet croissate. 3 ème cas : Si q = 1 alors +1 u = u pour tout etier aturel. Das ce cas la suite u est costate.
7 . Représetatio graphique a/ Exemple 1 La figure suivate motre la représetatio graphique de la suite géométrique u de premier terme u = et de raiso q = 1,. Cette suite est strictemet croissate. b/ Exemple La figure suivate motre la représetatio graphique de la suite géométrique u de premier terme u = et de raiso q =,8. Cette suite est strictemet décroissate. b/ Exemple 3 La figure suivate motre la représetatio graphique de la suite géométrique u de premier terme u = et de raiso q =,8. Cette suite est strictemet croissate.
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