Morceaux choisis pour développer des compétences scientifiques

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Louise Bruneau
il y a 7 ans
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1 Activité 4 : Vitesse (devoir en temps libre) Morceaux choisis pour développer des compétences scientifiques Conception Ce devoir maison a été proposé en classe de terminale S. Il permet de renforcer et d approfondir la notion de comportement asymptotique à travers une situation qui doit susciter la curiosité des élèves et les conduire à agir. Les champs disciplinaires abordés sont divers : la physique avec la notion de vitesse moyenne et les sciences économiques avec le rapport socio-économique. Objectif Approfondir et renforcer les connaissances sur le champ analyse. Cette activité spiralaire aborde plusieurs notions : Les variations d une fonction. Les limites d une fonction. Le comportement asymptotique. Prérequis Les parties du programme citées dans les objectifs doivent être traitées. Organisation Cet énoncé est celui d un travail en temps libre à rendre dans un délai d une semaine. Ce travail favorise la maîtrise des compétences suivantes : être capable d élaborer des pistes de recherches ; mener des raisonnements ; avoir une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus ; communiquer à l écrit. Rôle du professeur Le professeur évalue la qualité de la rédaction, la justesse des explications et la pertinence du vocabulaire utilisé pour l étude de la fonction. énoncé du devoir Problème : Pas si vite! Théo, élève de terminale, profite qu il étudie les comportements asymptotiques pour évaluer les frais occasionnés par les déplacements de son père pour aller au travail. Il lui explique la situation suivante : Papa, tu fais 60 km aller-retour pour te rendre au travail à une vitesse moyenne de 60 km/h. Ta voiture te coûte 0,50 (crédit, carburant, entretien, assurance ) au kilomètre. Tu gagnes 10 de l heure. 1. Théo demande donc à son père : le nombre d heures de travail pour payer ses frais de transport. le rapport de la distance parcourue pour aller au travail au temps pour effectuer le déplacement auquel on ajoute le temps passé au travail pour payer les frais de déplacement. On nommera ce rapport vitesse généralisée. a. Donner les réponses du père. b. Théo, écologiste et favorable au déplacement non motorisé, compare la vitesse généralisée du père obtenue ci-dessus avec sa vitesse moyenne de 20 km/h quand il circule à vélo. Théo affirme alors qu il va plus vite à vélo. Que pensez-vous de cette affirmation? 1

Les champs disciplinaires abordés sont divers : la physique avec la notion de vitesse moyenne et les sciences économiques avec le rapport socio-économique.

2 n mathématiques en classe de terminale 2. Théo se lance alors dans la généralisation du problème. d la distance parcourue en km. Vm la vitesse moyenne en km/h. C le coût moyen du transport en /km. S le salaire horaire moyen en /h. VG la vitesse généralisée en km/h définie dans la question 1. a. Déterminer le temps T1 écoulé pour se déplacer en fonction de d et Vm. b. Déterminer le temps T2 passé au travail pour payer les frais de déplacement en fonction de d, C et S. c. Montrer que le rapport VG peut s écrire sous la forme VG = S x VmS + C x Vm. 3. Dans cette question, on applique cette formule à la situation du père de Théo en choisissant comme variables, x pour Vm et y pour VG. a. Écrire y en fonction de x. Par la suite, on notera par f la fonction telle que f (x) = y. b. Tracer la courbe représentative de la fonction f à l écran de la calculatrice. c. Conjecturer le sens de variation de f puis la limite de f en + 3. d. Valider ou invalider les conjectures précédentes. e. Donner une interprétation socio-économique du problème. f. Préciser l équation de l asymptote en + 3 à la courbe représentative de f. 4. Déterminer la vitesse moyenne du père de Théo pour que sa vitesse VG soit supérieure à 10 km/h, vitesse moyenne de Théo à vélo. Quelques exemples de productions d élèves Question 1 Certains élèves ressentent le besoin de schématiser le problème. 2

Déterminer le temps T2 passé au travail pour payer les frais de déplacement en fonction de d, C et S. c. Montrer que le rapport VG peut s écrire sous la forme VG = S x VmS + C x Vm. 3.

3 La copie ci-dessous est celle d un élève qui malgré ses difficultés montre des capacités à raisonner. Aucun élève ne mentionne que l on ne peut pas comparer une vitesse moyenne avec une vitesse généralisée telle qu elle est définie. Question 2 Sur la copie suivante, l élève ne s appuie pas sur l entrée numérique du problème, mais raisonne en termes d unité. 3

Aucun élève ne mentionne que l on ne peut pas comparer une vitesse moyenne avec une

4 n mathématiques en classe de terminale Question 3 Cette démarche a été évaluée positivement. Sur la copie suivante, l élève pense qu une fonction croissante tend nécessairement vers + 3, quand x tend vers + 3. Il s agit de corriger cette erreur en lui proposant des exemples issus de situations concrètes permettant de repérer des comportements asymptotiques. Ci-dessous l élève confond la notion de suite et fonction en justifiant la croissance de f avec les méthodes énoncées sur les suites. Sur la copie ci-dessous, l élève ne maîtrise pas la notion de variation d une fonction. 4

Il s agit de corriger cette erreur en lui proposant des exemples issus de situations concrètes permettant de repérer des comportements

5 On est ci-dessous en présence d une copie d élève qui maîtrise le cours sur les limites. Un apport ponctuel sur l étude du sens de variation d une fonction sera nécessaire. Mais l acquisition se fera surtout dans le temps avec d autres activités d entraînement. Sur la copie suivante, on peut voir un des élèves qui automatise la résolution d une équation. Conclusion Ce type de devoir a été choisi pour susciter l intérêt des élèves et les conduire à agir. Le bilan est plutôt positif avec l adhésion des élèves et la diversité de leurs copies montrant un vrai travail personnel. 5

Mais l acquisition se fera surtout dans le temps avec d autres activités d entraînement.

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