Estimation par intervalle de conance

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1 SQ20 - ch7 Page 1/6 Estimatio par itervalle de coace Pricipe de costructio : Das le chapitre précédet, ous avos déi les estimateurs, et l'estimatio poctuelle d'u paramètre θ. Soit : X ue variable aléatoire de paramètre icou θ X 1, X 2,..., X ) u échatillo de taille d'ue variable parete X dot la loi déped d'u paramètre réel θ. T = ϕ X 1, X 2,..., X ) u bo estimateur de θ ϕ x 1, x 2,..., x ) ue observatio de X 1, X 2,..., X ) O xe : u risque α ]0, 1[ u iveau de coace 1 α O cherche deux réels t 1 θ) et t 2 θ) tels que P t 1 θ) T t 2 θ)) = 1 α. Il faut esuite iverser cet itervalle pour T a d'obteir u itervalle pour θ dot les bores vot dépedre de l'estimateur T, c'est-à-dire détermier les variables aléatoires at ) et bt ) telles que P [at ) θ bt )]) = O obtiet aisi u itervalle de coace aléatoire [at ), bt )] tel que P θ I 1 α ) = 1 α. L'observatio permet d'obteir u itervalle de coace observé Remarques : I 1 α, obs = [ae ), be )] i) Das la plupart des cas, o predra u risque symétrique : O cherche t 1 θ) tel que P T < t 1 θ)) = et t 2 θ) tel que P T > t 2 θ)) = ii) I 1 α, obs cotiet écessairemet l'estimatio poctuelle θ, mais pas toujours la valeur réelle du paramètre θ.

2 SQ20 - ch7 Page 2/6 I Itervalle de coace pour ue moyee I.1 Das le cas d'ue loi ormale O suppose que X N µ, σ). I.1.1 Écart-type σ cou O suppose σ cou, et o veut estimer θ = µ. Soit X la moyee empirique de l'échatillo. O sait que X est u estimateur sas biais et coverget de µ et que O itroduit alors X U = X µ σ/ N 0, 1). O cherche le réel t α tel que P t α U t α ) = 1 α c'est-à-dire P U t α ) = Or t α U t α Ce qui doe l'itervalle de coace aléatoire : La largeur de l'itervalle de coace déped de α, de la taille de l'échatillo, et de la variace σ. I.1.2 Écart-type σ icou Das la pratique, si o e coaît pas la moyee, o e coaît pas la variace o plus. Doc l'exemple précédet est peu utilisé. Le paramètre icou σ va être remplacé par u estimateur, basé sur l'estimateur sas biais de σ 2 : S 2 = 1 1 Xk X ) 2 O utilise alors comme ouvelle variable de coace : dot la loi est : T = X µ S 2 = X µ σ/ S 2 σ 2 = T = X µ S/ U 1 1 ) 2 = T 1 X k X σ où T 1 s'appelle la loi de Studet à 1 degrés de liberté.

3 SQ20 - ch7 Page 3/6 O cherche t α tel que P t α T t α ) = 1 α. Ce qui doe l'itervalle de coace aléatoire : Lorsque est grad > 100), o peut approcher la loi de Studet T 1 par la loi ormale N 0, 1). I.2 Das le cas d'ue loi icoue avec > 50 O suppose que X suit ue loi quelcoque. Lorsque la taille de l'échatillo est grade > 50), grâce au théorème de la limite cetrée, o peut approcher la loi de X par la loi O costruit alors les itervalles de coace précédets pour µ. Exemple : le gérat d'u restaurat souhaite estimer le motat moye des repas pris par les cliets de so établissemet. Pour cela, il prélève au hasard 60 tickets de caisse : la moyee sur cet échatillo du prix d'u repas est de 21 euros et l'écart type de 2,60 euros Costruire u itervalle de coace au iveau de coace 95%, pour le prix moye µ d'u repas.

4 SQ20 - ch7 Page 4/6 II Itervalle de coace pour ue proportio O cosidère ue populatio dot l'eectif est importat das laquelle ue proportio icoue p d'idividus possèdet u caractère particulier. O souhaite costruire u itervalle de coace pour cette proportio p. O dispose d'u échatillo observé de taille qui doe ue estimatio poctuelle f e de p. L'estimateur de p est la fréquece empirique F = 1. Par le théorème cetral limite, F p lorsque est grad, o sait que l'o peut approcher la loi de U = par la loi p1 p)/ O cherche t α tel que Ce qui doe P t α U t α ) = 1 α P F t α p1 p) ) = Les bores de l'itervalle de coace dépedet du paramètre p à estimer. O recourt habituellemet à l'ue des 3 méthodes : 1. La foctio polyomiale x x1 x) admet pour maximum absolu atteit e. O peut remplacer p par ce maximum. E particulier pour α = 5%, o obtiet : 2. O remplace p par so estimatio poctuelle sur l'échatillo observé et o obtiet l'itervalle de coace observé : I 1 α,obs = [ f e t α fe 1 f e ), ) 3. O veut que P p F ) 2 t 2 p1 p) α = 1 α. O détermie les bores p 1 et p 2 de l'itervalle de coace, à α xé, comme solutios de l'iéquatio du secod degré d'icoue p : ] Exemple : vous lacez 100 fois ue pièce de moaie, et obteez 60 fois Pile. Quel est l'itervalle de coace pour p au risque de 5%?

5 SQ20 - ch7 Page 5/6 III Itervalle de coace pour la variace d'ue loi ormale O suppose que X N µ, σ) et o souhaite estimer sa variace σ 2 à partir d'u échatillo X 1, X 2,..., X ) de taille de X. III.1 Espérace µ coue O pred comme estimateur de σ 2 la variace empirique d'échatillo T = 1 T est u estimateur sas biais et coverget de σ 2. Alors Z = T σ 2 = Xk µ σ ) 2 χ 2. Das la table de cette loi, à α xé, o cherche des réels strictemet positifs a et b tels que P a Z b) = 1 α, ce qui doe ) T P σ 2 = b Le couple a, b) 'est pas uique. E gééral, o détermie ces valeurs e répartissat le risque α de faço symétrique : O obtiet comme itervalle de coace aléatoire :

6 SQ20 - ch7 Page 6/6 III.2 Espérace µ icoue U bo estimateur de σ 2 est la variace empirique corrigée de l'échatillo S 2 = 1 1 O sait que S 2 est u estimateur sas biais et coverget de σ 2. Alors Z = 1)S2 σ 2 = Xk X σ ) 2 χ 2 1. O cherche des réels strictemet positifs c et d telles que P c Z d) = 1 α, ce qui doe ) 1) S 2 P σ 2 = d E gééral, o détermie c et d par : O obtiet comme itervalle de coace aléatoire : Exemple : das ue etreprise, le motat de la prime auelle suit ue loi ormale de paramètres µ et σ. O cosidère u échatillo de taille = 20 dot la variace est v e = 121. Calculer u itervalle de coace I pour la variace σ 2 au iveau de coace 90%.