Physique - Résumés de cours PCSI. Harold Erbin

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1 Physique - Résumés de cours PCSI Harold Erbin

2 Ce texte est publié sous la licence libre Licence Art Libre : Contact : harold.erbin@gmail.com Version : 8 avril 2009

3 Table des matières Table des matières iii 1 Cinématique Systèmes de repérage Vitesse, accélération, trajectoire Dynamique Lois de Newton Forces usuelles Application du PFD Énergétique Définitions et théorèmes Mouvements à un degré de liberté Mouvement libre d un oscillateur à un degré de liberté Introduction Régime libre d un oscillateur non amorti Régime libre d un oscillateur amorti Régime pseudo-périodique (Q > 1/2) Régime apériodique (Q < 1/2) Régime critique (Q = 1/2) Oscillateurs mécaniques en régime sinusoidal forcé 15 6 Théorème du moment cinétique Moment cinétique Moment cinétique d un point matériel Moment d une force Théorème du moment cinétique Mouvements à force centrale conservative Définition Lois de conservation Etude des mouvements dans un champ de force Relations Etude des trajectoires iii

4 TABLE DES MATIÈRES 8 Changements de référentiels Définitions Lois de composition Dynamique en référentiel non galiléen Systèmes formés de deux points matériels Cinétique Dynamique Système isolé Référentiels galiléens approchés Statique des fluides dans le champ de pesanteur Pression et force Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur La lumière en optique géométrique Ondes Milieux Rayons Formation des images Définitions générales Relations Le prisme Relations Conditions d émergence Miroirs sphériques Caractéristiques et relations Rayons Lentilles minces Définitions Foyers, plans focaux Construction des images Relations Bases de l électrocinétique Définitions générales Circuit électrique Définitions Lois de Kirchhoff Conventions d étude des dipôles Grandeurs Dipôles Association de dipôles passifs Dipôles linéaires réels Association de dipôles passifs et actifs linéaires iv

5 TABLE DES MATIÈRES 19 Réponses libres et réponses à un échelon de circuits R, L, C Considérations énergétiques Réponse à un échelon indiciel d un circuit du premier ordre Réponse libre d un circuit du second ordre Sans amortissement Avec amortissement Réponse à un échelon d un circuit du second ordre Amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire Régime sinusoidal forcé Formalisme complexe Etude de circuits Filtres du premier et second ordre Généralités Diagramme de Bode Caractéristiques Filtres du premier ordre Passe-bas du premier ordre Passe-haut du premier ordre Filtres du second ordre Passe-bas du second ordre Passe-haut du second ordre Passe-bande du second ordre Electrostatique Charges et champ électrostatique Champ créé par une charge ponctuelle Champ créé par une distribution continue de charges Symétries et antisymétries Théorème de Gauss Topographie Magnétostatique Définitions Champ magnétique créé par un courant Mouvement d une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique Généralités Particule soumise uniquement à un champ Champ électrique Champ magnétique Lois locales Dipôle électrostatique et dipôle magnétostatique Dipôle électrostatique Interaction entre un dipôle et un champ extérieur Dipôle magnétostatique v

6 TABLE DES MATIÈRES 27 Premier principe de la thermodynamique Energie Transformations et transferts Energie interne Enthalpie Travail Cas particuliers Second principe de la thermodynamique Définitions Systèmes non calorifugés : entropie d échange Machines thermiques Le réfrigérateur La pompe à chaleur Compléments Changements d état : étude descriptive du corps pur diphasé en équilibre Les changements d état d un corps pur Projection dans le plan(p,t) Equilibre liquide-gaz Grandeurs thermodynamiques Gaz parfait monoatomique Modèle du gaz parfait monoatomique Coefficients thermoélastiques A Résoudre une équation différentielle 101 A.1 Premier ordre A.2 Second ordre A.3 Equation sinusoidale B Elements infinitésimaux 103 B.1 Déplacement B.2 Surface B.3 Volume C Constantes et unités 105 C.1 Constantes C.2 Unités C.3 Notations C.3.1 Mécanique C.3.2 Thermodynamique C.3.3 Symboles D Glossaire 107 D.1 Général D.2 Mécanique D.3 Optique D.4 Thermodynamique vi

7 TABLE DES MATIÈRES Index 109 Table des figures 113 vii

8 TABLE DES MATIÈRES viii

9 Chapitre 1 Cinématique 1.1 Systèmes de repérage Référentiel repère spatial (définit un espace géométrique dans lequel on effectue des mesures) + repère temporel Coordonnées cartésiennes (figure 1.1) M(x, y, z) < x, y, z < + OM = x. u x + y. u y + z. u z Fig. 1.1 Repérage cartésien Coordonnées cylindriques (figure 1.2) M(r, θ, z) r > 0 0 < θ < 2π < z < + 1

10 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE OM = r. u r + z. u z remarque : en coordonnées polaires, u z disparait on a d u r dθ = u θ Fig. 1.2 Repérage cylindrique Coordonnées sphériques (figure 1.3) M(r, θ, φ) r > 0 0 < θ < π 0 < θ < 2π OM = r. u r Fig. 1.3 Repérage sphérique 1.2 Vitesse, accélération, trajectoire Vitesse d un point : le vecteur vitesse v est tangent à la trajectoire de M. d OM v = dt 2

11 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE Accélération d un point : le vecteur accélération a est dirigé vers la concavité de la trajectoire de M. a. v > 0 : accélération a. v < 0 : décélération a. v = 0 : vitesse constante a = d v dt Trajectoire horaires. équation obtenue en éliminant le temps à partir des équations Exemples : cercle : { x(t) = R cos ωt y(t) = R sin ωt parabole : { x(t) = v0 t y(t) = g 2 t2 3

12 CHAPITRE 1. CINÉMATIQUE 4

13 Chapitre 2 Dynamique Masse : additive et indépendante du référentiel (en kg). Quantité de mouvement p = m v 2.1 Lois de Newton 1. Principe d inertie si v = cste alors le point a un mouvement rectiligne et uniforme (si v = 0, le point est immobile). 2. Principe fondamental de la dynamique m a = F i avec F i les forces appliquées au point. 3. Loi des actions réciproques soient deux points M 1 et M 2 en interaction, alors = (réaction non causale). F M1 M 2 F M2 M 1 Référentiel galiléen référentiel où peut s appliquer le principe d inertie. 2.2 Forces usuelles gravitationnelle : F M1 M 2 = G m 1m 2 r 2 u 12 électrostatique (attractive ou répulsive) : F = q E de rappel par un ressort : F = k(l l0 ) u 5

14 CHAPITRE 2. DYNAMIQUE Avec l 0, longueur à vide et k, raideur du ressort. Dans le cas d un ressort idéal (masse nulle, linéaire), k = cste exercée par un fil (attractive) : la tension est inconnue lors d un problème : il faut choisir une base où la force n intervient pas. On a la relation module de la force = tension. Elle est constante dans le cas d un fil idéal (masse nulle, raideur infinie). de frottements : visqueux : F = h v fluide : F = A v v de liaison avec un support (réaction) : R = R N + R T si v 0 : R est de même direction que v mais de sens opposé. On a R T = µ R N, avec µ, facteur de frottement dynamique. si v = 0 : R T µ S R N avec µ S, facteur de frottement statique. il existe deux sortes : uni- et bilatérale. 2.3 Application du PFD 1. définition du système (point, objet...) 2. définition du référentiel (galiléen ou non...) 3. bilan des forces s appliquant au système 4. application du PFD 5. choix d une base de projection adaptée 6. résolution des équations 6

15 Chapitre 3 Énergétique Soit F une force appliquée au point M. 3.1 Définitions et théorèmes Puissance P = F v (en W) P > 0 : F motrice P < 0 : F résistante P = 0 : F ne travaille pas Travail élémentaire : δw = F d OM = P dt (en J) avec d OM, le déplacement élémentaire. Travail entre deux points W 1 2 = M2 M 1 δw Théorème de la puissance cinétique P = de c dt Théorème de l énergie cinétique W 1 2 = E c1 E c2 Remarque : les deux théorèmes précédents ne permettent de déterminer l équation différentielle d un mouvement que pour les systèmes à un degré de liberté. 7

16 CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE Force conservative force dont le travail ne dépend pas du chemin emprunté. Travail d une force conservative variation d une fonction (définie à une constante près) appelée énergie potentielle W 1 2 = E p (M 1 ) E p (M 2 ) Exemples d énergies potentielles : de pesanteur : E p = mgz de rappel d un ressort : de gravitation : Théorème de l énergie mécanique E p = 1 2 k(x x 0) 2 E p = G m 1m 2 r E m2 E m1 = W 1 2,nc Avec W nc, travail des forces non conservatives. Si W nc < 0, alors ces forces sont dissipatives. Système conservatif toutes les forces appliquées sont conservatives. Intégrale première du mouvement Pour un système conservatif, on a E m = cste 3.2 Mouvements à un degré de liberté Dérivée de l énergie potentielle : puit de potentiel : état lié (mouvement périodique) (figure 3.1) barrière de potentiel : état de diffusion (figure 3.2) Fig. 3.1 Barrière de potentiel Un exemple (figure 3.3) 8

17 CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE Fig. 3.2 Puit de potentiel Fig. 3.3 Exemple d énergie potentielle E m1 : état de diffusion E m2 : état lié (mouvement périodique) Positions d équilibre si de p (x 0 ) dt Alors x 0 est une position d équilibre (voir figure 3.4), cela correspond à une tangente horizontale : stable : correspond à un minimum instable : correspond à un maximum indifférent = 0 Fig. 3.4 Positions d équilibre 9

18 CHAPITRE 3. ÉNERGÉTIQUE Approximation parabolique Au voisinnage de x eq, E p parabole. On a donc E p (x) = E p (x eq ) + k(x x 0) 2 2 Si E m = cste, on applique le TEM, et on obient l équation ẍ + k m x = k m x eq Il s agit de l équation d un oscillateur harmonique (solution sinusoïdale). 10

19 Chapitre 4 Mouvement libre d un oscillateur à un degré de liberté 4.1 Introduction Approximation parabolique mẍ + k(x x 0 ) = 0 On pose ε = x x 0, donc ε = ẍ (valable pour de petits déplacements), et on obtient ε + k m ε = Régime libre d un oscillateur non amorti ẍ + ω 2 0x = 0 Solution : x = A cos(ω 0 t) + B sin(ω 0 t) = C cos(ω 0 t + ϕ) Portait de phase ellipse (harmonique), trajectoire fermée (oscillateur). 11

20 CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ On a E m = 1 2 k C2 Elle est constante pour des conditions initiales données. 4.3 Régime libre d un oscillateur amorti Forme normalisée de l équation différentielle ẍ + 2ξω 0 ẋ + ω0x 2 = 0 Avec ξ, coefficient d amortissement. On définit le facteur de qualité Q tel que Q = 1 2ξ Résolution : Equation caractéristique r 2 + 2ξω 0 r + ω 2 = 0 Calcul du discriminant si > 0 (ξ > 1) : 2 racines réelles r 1 et r 2 x = A exp(r 1 t) + B exp(r 2 t) si < 0 (ξ < 1) : 2 racines complexes conjuguées r 1 = r 2 = ξω 0 + jω A avec ω A = ω 0 1 ξ 2 ( ) x = A cos(ω A t) + B sin(ω A t) exp( ξω 0 t) = C cos(ω A t + ϕ) exp( ξω 0 t) si = 0 (ξ = 1) : une racine double r 0 = ω 0 x = (A + Bt) exp(ω 0 t) Régime pseudo-périodique (Q > 1/2) T A : pseudo-période ω A : pseudo-pulsation (T A ω A = 2π) Enveloppe : exp( ξω 0 t) Temps caractéristique de décroissance τ = 1 ξω 0 (ou temps de relaxation) 12

21 CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ Décrément logarithmique x(t 0 + T A ) x(t 0 ) δ = = exp( ξω 0 T A ) = exp( δ) 2π 2π = 1 ξ 2 1 4Q2 1 Décroissance de l énergie mécanique E m (t 0 + T A ) E m (t 0 ) = exp( 2δ) Portrait de phase : la trajectoire contourne le point attracteur dans le sens indirect, à t +, le point retrouve une position d équilibre stable Régime apériodique (Q < 1/2) Allure : pas d oscillations, x somme de deux exponentielles décroissantes. On pose La plus grande impose la décroissance. τ 1 = 1 r 1 τ 2 = 1 r 2 Portrait de phase : le point est directement attiré malgré une tentative de contournement Régime critique (Q = 1/2) Allure : pas d oscillations, il s agit du régime pour lequel le retour à la position d équilibre est le plus rapide. On définit le coefficient de frottement pour régime critique : h = 2mω Portrait de phase : semblable à celui du régime apériodique. 13

22 CHAPITRE 4. MOUVEMENT LIBRE D UN OSCILLATEUR À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ 14

23 Chapitre 5 Oscillateurs mécaniques en régime sinusoidal forcé Equation de mouvement mẍ + hẋ + kx = f a Où f a correspond à la force d excitation qui s applique à M(a), qui peut s exprimer ainsi f a (t) = F am cos(ωt) On cherche x(t) = X m cos(ωt + ϕ) Réponse en élongation : on utilise le formalisme complexe pour trouver la solution en régime permanent. Etude de v(t) v(t) = V m cos(ωt + ψ) Relations : V = ωx ψ = ϕ + π/2, V m = ωx m. Q = ω 0 où ω est la largeur de la bande passante. ω Il y a toujours résonnance en vitesse (l intensité dépend de ξ). Réponse en puissance P(t) = f a v = f a v = F am cos(ωt)v m cos(ωt + ψ) Puissance moyenne P(t) = F amv m 2 cos ψ 15

24 CHAPITRE 5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES EN RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ Il y a toujours résonnance en puissance pour ω = ω 0 car la puissance fournie par f a (t) vaut P = 1 2 hv 2 m 16

25 Chapitre 6 Théorème du moment cinétique Soit M un point matériel de masse m, de vitesse v dans un référentiel R, et O un point de l espace. 6.1 Moment cinétique Moment cinétique d un point matériel Par rapport à un point Il s agit du moment de la quantité de mouvement par rapport à O (en kg m 2 s 1 ) L 0 = OM m v Propriétés : Si M se déplace radialement par rapport à O ou si le support de v passe par O, L 0 = 0. Sinon, L 0 0. Sa direction est perpendiculaire par rapport à v et OM. Son sens est donné par la règle du tire-bouchon. Son module vaut L 0 = OM mv sin( OM, v ). Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M autour du point O. 17

26 CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE Expression de L 0 dans le cas d un mouvement plan en coordonnées polaires L 0 = mr 2 θ uz Où θ = ω, vitesse de rotation angulaire. Par rapport à un axe orienté Il s agit de la projection du moment cinétique L 0 sur un axe orienté L = L 0 u Propriétés : L est indépendant du point O choisi sur l axe. Si le support de v est parallèle à l axe ou si les supports de v et sont concourants, L = 0. Le moment cinétique renseigne sur le mouvement de rotation de M par rapport à l axe Moment d une force Par rapport à un point M 0 ( F ) = OM F Unité : N m = J Si le support de F passe par O, M 0 ( F ) = 0 Par rapport à un axe M ( F ) = M 0 ( F ) u Il possède les mêmes propriétés que L. Calcul de M ( F ) à partir du bras de levier (cas où le support de F est perpendiculaire à ) M ( F ) = OH F = b F M ( F ) > 0 si F tend à faire tourner M autour de dans le sens positif, et inversement. 18

27 CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE Théorème du moment cinétique Théorème du moment cinétique En un point O fixe dans R g d L 0 dt = i M 0 ( F i ) Il en découle par projection sur l axe dl dt = i M ( F i ) 19

28 CHAPITRE 6. THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE 20

29 Chapitre 7 Mouvements à force centrale conservative 7.1 Définition Mouvement à force centrale Dans un référentiel donné, une force est dite centrale si elle pointe en permanence vers un point fixe de ce référentiel, appelé centre de force. La force est de la forme Soit M soumis à la seule force centrale conservative Dérivant de l énergie potentielle F = K r 2 ur E p = K r 7.2 Lois de conservation Conséquences (théorème du moment cinétique) : conservation du moment cinétique ; le mouvement est plan et mr 2 θ = cste ; Loi des aires Durant des intervalles de temps égaux, le rayon vecteur OM balaie des surfaces égales : r 2 L 0 θ = = C, où C est la constante des m aires. Rappel : On a la relation δw = de p 21

30 CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE Exemples de forces centrales Force d interaction gravitationnelle (attractive) : K = Gm 0 m Force d interaction électrostatique (attractive ou répulsive) : K = q 0q 4πε 0 Il y a conservation de l énergie mécanique L 2 0 E m = 1 2 mṙ2 + 1 } {{ } 2 mr 2 + K } {{ r } Ec Ep Où E p est l énergie potentielle effective et E c l énergie cinétique effective(ou radiale). 7.3 Etude des mouvements dans un champ de force Etude qualitative de la trajectoire : Interaction attractive : E m < 0 (état lié) ellipse. E m > 0 (état de diffusion) hyperbole. E m = 0 (état de diffusion) parabole. Interaction répulsive : on a forcément E m > 0 (état de diffusion) hyperbole. Lois de Kepler ce sont des lois expérimentales 1. Les planètes décrivent des trajectoires elliptiques dont un foyer est le Soleil. 2. Loi des aires. 3. Le carré de la période de révolution T des planètes autour du Soleil est proportionnel au cube du demi grand-axe de l ellipse qu elle parcourt T 2 a 3 = 4π2 Gm 0 = cste Relations Vitesse de rotation dans le cas d une trajec- Gm0 v = R Première vitesse cosmique toire circulaire Vitesse de libération Appelée aussi deuxième vitesse cosmique, il s agit de la vitesse minimale que l on doit fournir à M de masse quand il se trouve à r = r 0 de O pour qu il se libère de son attraction 2Gm0 v = 22 r 0

31 CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE Relations énergétiques E p = 2E c E m = 1 Gm 0 m = E c 2 a Etude des trajectoires Equations liant r à θ (méthode de Binet) Où r = r = p 1 e cos θ p 1 e cos θ si K > 0 si K < 0 p = L 2 0 KM e = AL 2 0 KM Relation énergie mécanique-excentricité E m = K 2p (1 e2 ) Trajectoires possibles pour K > 0 La trajectoire est une branche d hyperbole (car e > 1 forcément) de foyer O ne contournant pas le centre de force, avec ( ) 1 θ < arccos e Au péricentre, on a ṙ = 0 r min = p 1 e Trajectoires possibles pour K < 0 e > 1 : la trajectoire est une branche d hyperbole de foyer O contournant le centre de force, avec ( ) 1 θ < arccos e Au péricentre, on a ṙ = 0 r min = p 1 + e 23

32 CHAPITRE 7. MOUVEMENTS À FORCE CENTRALE CONSERVATIVE e = 1 : la trajectoire est une parabole de foyer O. Au péricentre, on a ṙ = 0 r min = p 2 e < 1 : la trajectoire est une ellipse dont l un des foyers est O. Si e = 0, la trajectoire est un cercle. Trajectoire elliptique Fig. 7.1 Ellipse A : apocentre, P : péricentre, C : centre, F et F : foyer, O : centre de force, p : paramètre, r : rayon, a : demi grand-axe, b : demi petit-axe, c : distance focale. On peut montrer les relations suivantes e = c a a 2 b 2 = c 2 OP = r(0) = a c OA = r(π) = a + c Vitesse aréolaire ds dt = C 2 = πab T 24

33 Chapitre 8 Changements de référentiels 8.1 Définitions Décrire le mouvement de R par rapport à R revient à décrire le mouvement du solide S par rapport à R. Pour cela, il suffit de donner : La vitesse d un point quelconque de S (par exemple O ). La rotation de S par rapport à R, notée Ω R /R. Torseur cinématique des vitesses d un solide v R (P ) = v R (N ) + Ω R /R N P Formule de Varignon Aussi appelée formule de dérivation vectorielle d ) A = Ω R /R A dt R Si R est en translation par rapport à R, son mouvement relatif est décrit par : Une rotation nulle Ω R /R = 0. La vitesse de n importe laquelle de ses points. Si R est en rotation pure par rapport à un axe fixe de R orienté par le vecteur unitaire u auquel appartient le point O, son mouvement relatif est décrit par : Une Ω R /R = ω u, où ω est la vitesse de rotation angulaire de R par rapport à R. v R = 0. Point coincident On appelle point coincident avec M à l instant t le point P fixe dans R qui est confondu avec M à l instant t. 25

34 CHAPITRE 8. CHANGEMENTS DE RÉFÉRENTIELS 8.2 Lois de composition Vitesse d entrainement Vitesse par rapport à R du point P fixe dans R coincidant avec M à l instant t ve = v R (O ) + Ω R /R O M Loi de composition des vitesses v R (M) = v R (M ) + v e Accélération d entrainement Accélération par rapport à R du point P fixe dans R coincidant avec M à l instant t ae = a R (O dω ) + dt O M + Ω R /R ( Ω R /R O M) Accélération de Coriolis Aussi appelée accélération complémentaire, elle n existe que que si le point M est mobile par rapport à R et si R est en rotation par rapport à R ac = 2 Ω R /R v R (M) Loi de composition des accélérations a R (M) = a R (M ) + a e + a c Cas particuliers : Translation pure ve = v R (O ) ae = a R (O ) ac = 0 Rotation pure ve = Ω R /R HM ae = ω 2 HM Où H est le projeté orthogonal de M sur l axe de rotation et ω la vitesse de rotation angulaire. L accélération d entrainement est centripète. 26

35 Chapitre 9 Dynamique en référentiel non galiléen Tous les référentiels galiléens sont en translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. Principe fondamental de la dynamique en référentiel non galiléen Soit M(m) auquel s applique F dans R g galiléen, et soit R un référentiel non galiléen. m a R (M) = F + F ie (M) + F ic (M) Avec F ie (M) = m a e (M) la force d inertie d entrainement et F ic (M) = m a c (M) la force d inertie de Coriolis. Ces forces d inertie ne découlent d aucune interaction fondamentale. Lorsque l on s intéresse à un équilibre, on a F ic = 0. Les différents théorèmes (théorème du moment cinétique, de la puissance cinétique, de l énergie cinétique, de la puissance mécanique, de l énergie mécanique) peuvent être appliqués d L 0 dt ) E 1 2 cr R = M O ( F )+ M O ( F ie )+ M O ( F ic ) = W 1 2 R ( F )+W 1 2 ( F ie ) R ) de cr = P R ( F )+P R ( F ie ) dt R ) de m R = P R ( F NC ) dt R Em 1 2 R = W 1 2 m R ( F NC ) Remarques : La force de Coriolis ne travaille pas. 27

36 CHAPITRE 9. DYNAMIQUE EN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN Généralement, la force d entrainement n est pas conservative. Une force peuvent travailler dans un référentiel et pas dans un autre. 28

37 Chapitre 10 Systèmes formés de deux points matériels 10.1 Cinétique Quantité de mouvement totale dans R p = m1 v1 + m 2 v2 = M v G avec M = m 1 + m 2 Moment cinétique total par rapport à un point dans R L O = OM 1 p 1 + OM 2 p 2 Formule de changement de point pour le moment cinétique L O = L O + O O p Energie cinétique totale dans R E c = 1 2 m 1v m 2v 2 2 Barycentre G de deux points m 1 GM 1 + m 2 GM 2 = 0 OG = m 1OM 1 + m 2 OM 2 m 1 + m 2 29

38 CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS Référentiel barycentrique On appelle référentiel barycentrique R associé au référentiel d étude R, un référentiel en translation par rapport à R dans lequel G est fixe. Il n est pas forcément galiléen. Quantité de mouvement totale dans R p = 0 Moment cinétique total dans R ou barycentrique indépendant du point par rapport auquel il est calculé, il est noté L Théorème de Koenig relatif au moment cinétique L O = L + OG p Théorème de Koenig relatif à l énergie cinétique E c = E c Mv2 (G) 10.2 Dynamique Forces intérieures : forces d interaction entre M 1 et M 2 : F 1 2 = F 2 1 Forces extérieures : forces exercées sur M 1 et M 2 n appartenant pas au système Théorème de la quantité de mouvement dans R galiléen d p dt = F ext Théorème du centre d inertie (ou de masse) dans R galiléen M a G = F ext Théorème du moment cinétique dans R galiléen d L O dt = M O ( F ext ) Travail des forces intérieures δw ( F int ) = F 1 2 dr. Si M 1 et M 2 forment un système rigide (M 1 M 2 = cste), ce travail est nul. Son calcul ne dépend pas du référentiel. Théorème de l énergie cinétique pour un système de deux points E c = W ( F int ) + W ( F ext ) 30

39 CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS Théorème de la puissance cinétique pour un système de deux points de c dt = P ( F int ) + P ( F ext ) avec P ( F int ) = F 1 2 dr dt Energie mécanique E m = E c + E p,int + E p,ext Théorème de l énergie mécanique E m = W ( F int,nc ) + W ( F ext,nc ) 10.3 Système isolé Comme F ext = 0, R est galiléen, alors on a p = cste, R est galiléen, L = cste, et, si les forces intérieurs sont conservatives, Em = cste. L étude du mouvement relatif se ramène à l étude la particule réduite : de masse µ = m 1m 2 m 1 + m 2 situé en M tel que GM = r = M 1 M 2 soumise à la force centrale F = F 1 2 passant par G répondant à l équation µ d2 r dt 2 = F Les mouvements de M 1 et M 2 sont homothétiques (de centre G) de celui de la particule réduite : GM 1 = m 2 m 1 + m 2 r m 1 GM 2 = r m 1 + m 2 31

40 CHAPITRE 10. SYSTÈMES FORMÉS DE DEUX POINTS MATÉRIELS 32

41 Chapitre 11 Référentiels galiléens approchés Champ de gravitation créé en M par A : F grav = m G a (M) avec A B G a (M) = Gm A r 2 Un champ extérieur et uniforme n a aucune influence sur les mouvements de M 1 et M 2 dans R et a G = G A. Sinon m 2 a M2 = F m 1m 2 γa m 1 + m 2 avec γ A = G a (M 2 ) G a (M 1 ), le terme différentiel (ou de marée). La résultante des forces de marées et d attraction est une force centrale, et le système (non rigide) peut se déformer. Origine des référentiels : de Copernic : centre de masse du système solaire ; héliocentrique : centre du Soleil ; géocentrique : centre de la Terre. Note : les référentiels hélio- et géocentrique sont en translation par rapport à celui de Copernic, dont les trois directions sont données par trois étoiles "fixes" (lointaines). Le référentiel terrestre est en rotation uniforme par rapport au référentiel géocentrique. Poids En référentiel terreste, le poids est défini comme la force opposée à celle qui le maintient en équilibre dans le référentiel terrestre et on a P = R = m G T (M) + F ie 33

42 CHAPITRE 11. RÉFÉRENTIELS GALILÉENS APPROCHÉS Champ de pesanteur P = m g Noté g, il est défini tel que g = GT (M) m a e L accélération d entrainement fait varier g d environ 0.3%. Force de Coriolis Expression dans le référentiel terrestre F ic = 2m Ω ω cos λ v = 2m 0 ω sin λ ẋ ẏ ż Si v = 700m.s 1, le rapport entre la force de Coriolis et le poids vaut 1%. Première approximation : résoudre le problème (PFD) en négligeant F ic, puis on introduit le terme correctif qui correspond à F ic, et dans l expression, on remplace v par celle obtenue juste avant. 34

43 Chapitre 12 Statique des fluides dans le champ de pesanteur 12.1 Pression et force Pression Elle est définie par d F = p d S, avec p en Pa, F en N et S en m 2. La force pressante s interprète comme la force exercée par les chocs des molécules de fluide sur la surface. Son module est indépendant de l orientation de la surface. Autres unités : 1 bar = 10 5 P a 1 atm = 1, 013 hp a mm de Hg, torr, PSI Equivalent volumique des forces pressantes fv = d F dv = dp(z) u z dz F = fv dv avec dv = dx dy dz Relation fondamentale de la statique des fluides dp dz = ρg Modèle de l atmosphère isotherme dp dz = pm air g RT 0 35 Pour T = T 0 z. On a l équation

44 CHAPITRE 12. STATIQUE DES FLUIDES DANS LE CHAMP DE PESANTEUR Et la solution est ( ) Mair gz p = p 0 exp RT 0 Où M air est la masse de l air. Application aux fluides incompressibles (ρ = cste) p A p B = ρg(z A z B ) Théorème de Pascal différences de pression. Un fluide incompressible transmet intégralement les Théorème d Archimède Un corps entièrement plongé dans un fluide subit de la part de celui-ci une force unique appelée poussée d Archimède, qui est opposée au poids du volume déplacé, notée F A. Notes : elle s applique au centre d inertie du fluide déplacé par le solide. Le fluide déplacé et le fluide environnant doivent être à l équilibre Cinétique des fluides dans le champ de pesanteur Densité particulaire Il s agit du nombre de particules par unité de volume, noté n. Dans le cas du modèle de l atmosphère isotherme, on a la relation ( ) n Ep (z) = n 0 exp k b T 0 Avec E p (z) = mgz, l énergie potentielle d une particule. Le terme k b T 0 rend compte de l agitation thermique. Loi de Boltzmann Dans un système en équilibre, la probabilité de trouver une particule dans un état d énergie E donné est proportionnel au facteur de Boltzmann ( ) E exp k b T 0 36

45 Chapitre 13 La lumière en optique géométrique 13.1 Ondes Onde électromagnétique propager. elle ne nécessite pas de milieu matériel pour se Caractéristiques d une onde monochromatique : longueur d onde λ ; période T ; fréquence ν ; célérité v ; pulsation ω ; amplitude. On a les relations suivantes λ = vt = v ν ν = 1 T ω = 2πν 37

46 CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE Spectre électromagnétique (figure 13.1) Fig Spectre électromagnétique 13.2 Milieux Caractéristique d un milieu : homogène ; isotrope ; indice de réfraction n = c v en changeant de milieu, v varie, mais pas ν ; Quelques indices : n air = 1, n eau = 1.33, n verre = 1.5 Milieu dispersif n dépend de la fréquence de l onde. 38

47 CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 13.3 Rayons Fig Dioptre Lois des rayons indépendants : ils n intéragissent pas entre eux ; ils se propagent en ligne droite. Dioptre 13.2). Surface de séparation entre deux milieux transparents (voir figure Plan d incidence plan contenant le rayon incident et la normale au dioptre. Rayon réfracté (ou transmis) rayon du second milieu. Rayon réfléchi rayon renvoyé dans le premier milieu. Lois de Snell-Descartes n 1 sin i 1 = n 2 sin i 2 i 1 = i 1 Si n 2 > n 1 alors n 2 est plus réfringent et i 2 < i 1. Le rayon réfracté se rapproche de la normale. Angle limite de réfraction i 1 = π/2 i 2,lim = arcsin ( n1 n 2 ) Angle de réfraction totale i 2 = π/2 i 1,lim = arcsin ( n2 n 1 ) 39

48 CHAPITRE 13. LA LUMIÈRE EN OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE 40

49 Chapitre 14 Formation des images 14.1 Définitions générales Système optique succession de miroirs et/ou de milieux de propagations séparés par des dioptres. Stigmatisme tous les rayons de A convergent en A, ce dernier est le point image de A (on dit que A et A sont conjugués). Système optique centré système optique qui possède un axe de révolution appelé axe optique. Aplanétisme l image d un objet perpendiculaire à l axe l est aussi. Point réel intersection des rayons, située après la sortie pour une image, ou avant l entrée pour un objet. Point virtuel intersection du prolongement des rayons, située avant la sortie pour une image, ou après l entrée pour un objet. Foyer image image d un point A situé à l infini sur l axe. Foyer objet il a pour image un point A situé à l infini sur l axe. Plan focal image l image ϕ (foyer image secondaire) d un point objet situé à l infini hors axe est située dans le plan focal image. Plan focal objet un point ϕ (foyer objet secondaire) appartenant au plan focal objet a pour image un point situé à l infini hors axe. remarque : une image virtuelle n est pas projetable sur un écran. Pour déterminer l emplacement d un objet à partir de l image, on utilise le principe du retour inverse de la lumière. Conditions de Gauss les rayons sont faiblement inclinés sur l axe optique ; les rayons interceptent les dioptres à une hauteur faible devant les rayons de courbure. remarque : les rayons sont dits paraxiaux. 41

50 CHAPITRE 14. FORMATION DES IMAGES Dans ce cas, on a un système optique centré approximativement stigmatique et aplanétique Relations Relations de conjugaison miroir plan HA = HA dioptre plan HA n 2 = HA n 1 Grandissements transversal angulaire γ = A B AB γ a = α α si γ > 0, l image est droite, sinon, elle est renversée. 42

51 Chapitre 15 Le prisme Fig Prisme 15.1 Relations sin i = n sin r n sin r = sin i A = r + r Déviation D = i + i A Angle limite de réfraction ˆl = arcsin 1 n 43

52 CHAPITRE 15. LE PRISME 15.2 Conditions d émergence si A > r, A r + ˆl et A 2ˆl si A < r, A r + ˆl si A = 2ˆl, r = r = ˆl et i = i = π/2 A ˆl r ˆl Pour les petits angles i = nr i = nr D = A(n 1) 44

53 Chapitre 16 Miroirs sphériques 16.1 Caractéristiques et relations Le foyer objet est confondu avec le foyer image. Vergence v = 1 f exprimée en dioptrie δ Relations de conjugaison origine au sommet origine au centre origine aux foyers grandissement 1 SA + 1 SA = 2 SC = 1 SF = 1 f 1 CA + 1 CA = 2 CS = 1 SF = 1 f F A F A = f 2 γ = A B AB = CA CA = SA SA 16.2 Rayons 45

54 CHAPITRE 16. MIROIRS SPHÉRIQUES Fig Miroir concave Fig Miroir convexe 46

55 Chapitre 17 Lentilles minces 17.1 Définitions La lentille est dite mincce si e S 1 C 1 ; e S 2 C 2 ; e S 1 C 1 S 2 C 2. Avec e = S 1 S 2. Aplanétisme et stigmatisme approchés dans les conditions de Gauss Foyers, plans focaux Un rayon passant par O n est pas dévié. Distance focale f = OF. Si f > 0, la lentille est convergente. Si f < 0, la lentille est divergente. Vergence V = 1 f exprimée en dioptrie δ Foyer objet Symétrique de F par rapport à O (utilisation du principe du retour inverse de la lumière). 47

56 CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES 17.3 Construction des images Fig Lentille convergente Fig Lentille divergente 17.4 Relations Relations de conjugaison Origine au centre Origine au sommet Grandissement Origine au centre 1 OA 1 OA = 1 f F A F A = f 2 γ = OA OA 48

57 CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES Origine au sommet γ = f F A = F A f 49

58 CHAPITRE 17. LENTILLES MINCES 50

59 Chapitre 18 Bases de l électrocinétique 18.1 Définitions générales Courant électrique déplacement de porteurs de charges. Intensité du courant débit de charge à travers une surface. i(t) = dq(t) dt A = C s Par convention, le courant se déplace dans le sens contraire des électrons. Potentiel état électrique d un point de l espace. Tension différence de potentiels. Approximation des régimes quasi-stationnaires les retards dus aux phénomènes de propagation sont négligeables par rapport à la durée d évolution des signaux. Cette approximation est valable si l c f = λ l : longueur du circuit 18.2 Circuit électrique Définitions Réseau électrique ensemble de conducteurs reliés les uns aux autres et dans lesquels circulent des porteurs de charge. Aussi appelé circuit. Dipôle composant dont l accès de fait par deux bornes (ou pôles). Multipôle l accès se fait par plus de deux bornes. 51

60 CHAPITRE 18. BASES DE L ÉLECTROCINÉTIQUE Fil de connexion fil conducteur dont la résistance est négligeable devant les autres résistances du montage. Noeud point de jonction entre tois fils ou plus. Branche tronçon de circuit compris entre deux noeuds. Maille ensemble de branches formant un contour fermé (elle peut être orientée arbitrairement) Lois de Kirchhoff Loi des noeuds e k i k = 0 Loi des mailles on a e k = 1 si i k arrive sur le noeud, sinon, e k = 1. e k u k = 0 on a e k = 1 si u k est dans le sens de la maille, sinon, e k = 1. remarque : ces lois ne sont valables que dans l ARQS. k k Conventions d étude des dipôles Convention récepteur orientations opposées de u et de i. si p(t) > 0, fonctionnement récepteur ; si p(t) < 0, fonctionnement générateur. Convention générateur même orientations de u et de i. Les fonctionnements sont inversés par rapport à la convention récepteur Grandeurs Puissance instantannée Puissance moyenne p(t) = u(t) i(t) P = < p(t) >= 1 Tf p(t) dt T f 0 Caractéristique statique graphe de I = f(u) en régime statique. a 0 I + b 0 U = F Si la caractéristique passe par l origine, alors on a un dipôle passif. 52

61 CHAPITRE 18. BASES DE L ÉLECTROCINÉTIQUE Remarque : en régime statique, on a u(t) = U = cste, i(t) = I = cste, f(t) = cste Dipôle linéaire la relation entre u et i est une équation différentielle linéaire à coefficients constants Dipôles Source de tension une source de tension parfaite e(t) (constante ou variable) impose la tension à ses bornes quelque soit l intensité. Source de courant une source de courant parfaite i(t) (constante ou variable) impose le courant qui la traverse quelque soit la tension. Résistance (ou résistor) caractérisé par sa résistance R en ohms (Ω). On a u(t) = R i(t) De plus (on suppose u(t) et i(t) constants) P = U I = R I 2 > 0 La résistance ne peut donc que recevoir de la puissance, qu elle dissipe à son environnement sous forme de chaleur (effet Joule). On a aussi P = U 2 R Bobine caractérisée par son inductance propre (ou autoinductance) L en henry (H). En régime permanent, la bobine se comporte comme un fil. On a u(t) = L di(t) dt Condensateur caractérisé par sa capacité C en farad (F). L armature par laquelle entre le courant porte une charge +q(t). On a i(t) = C du(t) dt = dq(t) dt Association de dipôles passifs Association en série Résistance R eq = j R j Bobine L eq = j L j 53

62 CHAPITRE 18. BASES DE L ÉLECTROCINÉTIQUE Condensateur 1 C eq = j 1 C j Formule du pont diviseur de tension u 1 (t) R 1 = u 2(t) R 2 = u(t) R 1 + R 2 Cette formule n est applicable que si i(t) = 0. Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique statique, il faut additionner les tensions à même intensité. Association en parallèle Résistance 1 R eq = j 1 R j Parfois, on travaille avec les conductances (G j = 1 R j ). On a alors G eq = j G j Bobine 1 L eq = j 1 L j Condensateur C eq = j C j Formule du pont diviseur de courant i 1 (t) R 2 = i 2(t) R 1 = i(t) R 1 + R 2 Association en série de dipôle quelconque : pour obtenir la caractéristique statique, il faut additionner les intensités à même tension. 54

63 CHAPITRE 18. BASES DE L ÉLECTROCINÉTIQUE Dipôles linéaires réels Fil de connexion Un câble est résistif. Soit l sa longueur, S sa section, ρ la résistivité du métal (en Ω m). On a R = ρ l S Source de tension réelle Soit r sa résistance interne. On a u(t) = e(t) r i(t) En continu, on a U = E RI. Le terme RI est appelée chute de tension ohmique. Il ne s agit pas d une source de tension idéale car U dépend de I. On a P = UI = (E RI) I = EI RI 2 RI 2 : puissance dissipée par effet Joule. Source de courant réelle Soit r sa résistance interne. On a En continu, on a De plus, on a P = UI = U i(t) = i 0 (t) u(t) R I = I 0 U R U = R(I 0 I) ( I 0 U ) = UI 0 U 2 R R Association de dipôles passifs et actifs linéaires Théorème de superposition La réponse en courant ou en tension d un réseau linéaire contenant différentes sources indépendantes agissant simultanément est égal à la somme des réponses en tension et en intensité dues à chaque source agissant séparément. 55

64 CHAPITRE 18. BASES DE L ÉLECTROCINÉTIQUE Point de fonctionnement Soient D 1 et D 2 deux dipôles dont on connait les caractéristiques statiques. On connecte D 1 et D 2. { I = I1 = I 2 U = U 1 = U 2 U et I sont lus au point d intersection des deux caractéristiques statiques. Ce point est appelé point de fonctionnement du circuit. Association de sources uniquement Sources de tension e(t) = e 1 (t) + e 2 (t) Remarque : montage en parallèle interdit si e 1 (t) e 2 (t). De plus, le montage fermé par un fil (e 2 (t) = 0) est interdit. Sources de courant i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) Remarque : montage en série interdit si i 1 (t) i 2 (t). De plus, un circuit ouvert (i 2 (t) = 0) est interdit. Modèles équivalents de Thévenin et de Northon U AB = E T h R eq I I = I N U AB R eq Théorème de Thévenin Méthode pour obtenir E T h et R eq : 1. on impose I = 0 (le dipôle est à vide) et on calcule U AB = E T h ; 2. on procède à la passivation des sources du dipôle ; 3. on calcule alors la résistance équivalente entre A et B. Méthode pour obtenir le modèle équivalent de Norton : 1. on court-circuite A et B, on calcule I = I N dans le fil (courant du courtcircuit) ; 2. passivation des sources. 56

65 Chapitre 19 Réponses libres et réponses à un échelon de circuits R, L, C 19.1 Considérations énergétiques L énergie (en J) reçue par un dipôle entre t 1 et t 2 est donnée par Résistance E = t2 t 1 t2 u(t)i(t) dt E = Ri 2 (t) dt > 0 t 1 La résistance ne peut que recevoir de l énergie de la part du reste du circuit. Cette énergie n est pas emmagasinée mais restituée à l environnement sous forme d effet Joule. Condensateur t2 E = u c (t)c du [ ] t2 c(t) 1 dt = t 1 dt 2 Cu2 c(t) = E c (t 2 ) E c (t 1 ) = E c t 1 Avec l énergie du condensateur égale à E c = 1 2 Cu2 c = 1 2 Remarque : un condensateur ne peut avoir une tension discontinue à ses bornes. Bobine E = t2 t 1 i L (t)l di L(t) dt dt = q 2 C [ ] t2 1 2 Li2 L(t) = E L (t 2 ) E L (t 1 ) = E L t 1 57

66 CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS R, L, C Avec l énergie du condensateur égale à E L = 1 2 Li2 L Remarque : Le courant ne peut pas subir de discontinuité. E c et E L peuvent être positif ou négatif : le condensateur et la bobine peuvent donc recevoir ou donner de l énergie au reste du circuit. Ils sont des éléments de stockage de l énergie Réponse à un échelon indiciel d un circuit du premier ordre En régime libre, on a ds(t) dt Avec τ : constante de temps et S = + 1 τ s(t) = S τ lim s(t). t + La solution est s(t) = (S 0 S ) exp ( ) t + S τ Dans le cas d une réponse libre, on a S = Réponse libre d un circuit du second ordre Sans amortissement d 2 s(t) dt Avec ω 0 la pulsation propre du circuit. La solution est + ω 2 0s(t) = 0 s(t) = A cos(ω 0 t) + b sin(ω 0 t) = C cos(ω 0 t + ϕ) 58

67 CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS R, L, C Avec amortissement d 2 s(t) dt + 2ξω 0 ds(t) dt + ω 2 0s(t) = 0 Solutions Si ξ < 1 : régime pseudo-périodique ( ) s(t) = A cos(ω A t) + B sin(ω A t) exp( ξω 0 t) Avec ω A = ω 0 1 ξ2 et T A ω A = 2π. Si ξ = 1 : régime critique Si ξ > 1 : régime apériodique Avec r 1 et r 2 solutions de s(t) = (At + B) exp( ξω 0 t) s(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r 2 t) r 2 + 2ξω 0 r + ω 2 = Réponse à un échelon d un circuit du second ordre d 2 s(t) dt + 2ξω 0 ds(t) dt + ω 2 0s(t) = ω 2 0S 59

68 CHAPITRE 19. RÉPONSES LIBRES ET RÉPONSES À UN ÉCHELON DE CIRCUITS R, L, C 60

69 Chapitre 20 Amplificateur opérationnel idéal en fonctionnement linéaire Il faut toujours alimenter l amplificateur opérationnel avant d imposer des tensions à ses bornes d entrée. La caractéristique statique fait apparaitre : Une zone linéaire, où v s = A d ε et alors V sat < v s < +V sat. A d est le gain différentiel de l AO. Une zone non linéaire (fonctionnement saturé), où v s = ±V sat. Hypothèses de fonctionnement AO idéal : A d et i + i 0. Remarque : le courant de sortie est non nul. Fonctionnement linéaire : ε = 0. On suppose que l AO est en fonctionnement linéaire dès qu il existe une rétroaction négative sur l entrée -. 61

70 CHAPITRE 20. AMPLIFICATEUR OPÉRATIONNEL IDÉAL EN FONCTIONNEMENT LINÉAIRE 62

71 Chapitre 21 Régime sinusoidal forcé Décomposition en série de Fourier Sous certaines conditions, un signal périodique de pulsation ω 0 et de valeur moyenne nulle peut se décomposer en une somme infinie de sinusoides de pulsations multiples de ω 0 f(t) = n C n cos(nωt + ϕ n ) 21.1 Formalisme complexe Grandeurs complexes à un signal f(t) = F cos(ωt + ϕ) On peut associer son amplitude complexe F = F exp(jϕ) Et la fonction complexe du temps associée est f(t) = F exp(jωt) exp(jϕ u ) = F exp(jωt) Opérations : Dériver une fonction revient à multiplier par jω la fonction complexe associée. Intégrer une fonction revient à diviser par jω la fonction complexe associée. Impédance complexe d un dipôle linéaire Un dipôle est linéaire si u(t) et i(t) sont liés par une équation différentielle du type a 0 u(t) + a 1 du(t) dt + a 2 d 2 u(t) dt 2 + = b 0 i(t) + b 1 di(t) dt 63 +

72 CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ En passant aux amplitudes complexes, on obtient la relation ( b0 + b 1 jω + b 2 (jω) 2 ) + U = a 0 + a 1 jω + a 2 (jω) 2 I = Z I + Où Z est l impédance complexe du dipôle (en ohms Ω), et l impédance dépend donc de l impédance du générateur. On a aussi U = Z I U = ZI Impédance de dipôles usuels : Résistance : Z = R. u(t) et i(t) sont en phase (même argument). Bobine : Z = jlω. i(t) est en retard de π/2 sur u(t). Condensateur : Z = 1. i(t) est en avance de π/2 sur u(t). jcω Tous les théorèmes vu en continu avec les résistances sont valables Etude de circuits Phénomène de résonnance Pulsation pour laquelle la tension ou l intensité aux bornes du dipôle est maximale. Il y a résonnance en tension si ξ 1/ 2. Alors ω r = ω 0 1 2ξ 2 Remarque : si ξ 1/ 2, alors ω r ω et donc U dipole QU generateur. Q est parfois appelé coefficient de surtension. Il y a toujours résonnance en courant pour ω = ω 0 et on a I max = U R Il y a aussi toujours résonnance en puissance pour ω = ω 0. On utilise la fonction arctan pour obtenir la valeur de la phase ϕ. Puissance moyenne (ou active) Puissance constante qui donnerait la même valeur que l énergie reçue pendant une période entière (de la tension ou du courant) En sinusoidal, on obtient P = p(t) = 1 T T 0 P = U mi m cos ϕ 2 cos ϕ est appelé facteur de puissance. 64 p(t)dt

73 CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ I = I a + I r Avec I r la partie réactive (en quadrature par rapport à U) et I a la partie active du courant (en phase avec U). Valeur efficace On pose U eff = Um 2 I eff = Im 2 L expression de la puissance devient alors P = U eff I eff cos ϕ 65

74 CHAPITRE 21. RÉGIME SINUSOIDAL FORCÉ 66

75 Chapitre 22 Filtres du premier et second ordre 22.1 Généralités Fonction de transfert Fonction, notée H ayant un effet de filtrage si elle dépend de ω (son effet sera différent selon la fréquence d entrée). en jω : isochrone - pour les signaux sinusoidaux. en p : symbolique - pour les signaux causaux. La fonction de transfert est perturbée par le circuit en aval. Remarque : on peut écrire H = H 1 H 2 seulement si l impédance de sortie du premier quadripôle est négligeable devant celle du second.s calcul de Z e : V e I e calcul de Z s : détermination de l impédance équivalente du générateur de Thévenin en passivant les sources Diagramme de Bode H(jω) est une fonction complexe de la pulsation ω ( ) H(jω) = H(jω) exp jϕ(ω) Représentation graphique : le module G = H(jω) ( est appelé ) gain de la fonction de transfert. l argument ϕ(ω) = arg H(jω) est appelé phase de la fonction de transfert. 67

76 CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE Le diagramme de Bode est constitué de deux courbes : la courbe de gain (en db), défini par la courbe de phase (en rad). On utilise une échelle logarithmique. G db = 20 log G Le diagramme de Bode du produit de deux fonctions de transfert (H = H 1 H 2 ) est obtenu par : la somme des courbes en gain (en db) pour le gain : G db,h = G db,h1 +G db,h2. la somme des courbes de phase pour la phase, car arg(h 1 H 2 ) = arg H 1 + arg H Caractéristiques Pulsations de coupure Les pulsations de coupures d une fonction de transfert correspondent aux pulsations pour lesquelles son gain est réduit d un facteur 2 par rapport à sa valeur maximale. G(ω c ) = G max 2 On parle aussi de pulsation de coupure à -3 db car 20 log 2 = 3. Bande passante Il s agit du domaine de pulsation pour lequel le gain est compris entre G max et G(ω c ). Types de filtre : Un filtre passif n est constitué que d éléments passifs. Un filtre actif comporte au moins un amplificateur opérationnel. Filtres spéciaux : gain pur (réel) H(jω) = K > 0 ou < 0 dérivateur pur (imaginaire pur) H(jω) = j ω ω 0 G db = 20 log ω 20 log ω 0 Equation correspondand à une droite croissante passant par 0 db pour ω = ω 0 dont la pente est de 20 db par décade. intégrateur pur (imaginaire pur) ϕ = +π/2 H(jω) = 1 j ω ω 0 68

77 CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE G db = 20 log ω 0 20 log ω Equation correspondand à une droite décroissante passant par 0 db pour ω = ω 0 dont la pente est de -20 db par décade. ϕ = π/ Filtres du premier ordre Passe-bas du premier ordre H(jω) = j ω ω 0 Fig Filtre passe-bas du premier ordre Passe-haut du premier ordre H(jω) = j ω ω j ω ω 0 69

78 CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE Fig Filtre passe-haut du premier ordre 22.4 Filtres du second ordre Passe-bas du second ordre H(jω) = j 2ξω ω 0 ω2 ω 2 0 Fig Filtre passe-bas du second ordre 70

79 CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE Passe-haut du second ordre H(jω) = ω2 ω j 2ξω ω 0 ω2 ω 2 0 Fig Filtre passe-haut du second ordre Passe-bande du second ordre H(jω) = j 2ξω ω j 2ξω ω 0 ω2 ω

80 CHAPITRE 22. FILTRES DU PREMIER ET SECOND ORDRE Fig Filtre passe-bande du second ordre 72

81 Chapitre 23 Electrostatique 23.1 Charges et champ électrostatique Loi de Coulomb Soient une charge q A placée en A et une charge q b placée en B, toutes deux fixes dans le référentiel d étude. La force exercée par A sur B s exprime par F A V = q aq b 1 uab 4πε 0 ε r r 2 Remarque : ε r est la permittivité relative du vide. Dans le vide : ε r = 1 Dans l air : ε r Champ créé par une charge ponctuelle Champ électrostatique q i E (M) = 4πε 0 ε r Il s agit d une grandeur locale. créé par q i située en P i P i M P i M 3 (V m 1 ) On a donc la relation F = q E Principe de superposition Si, dans une région de l espace, on dispose de n sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés 73

82 CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE séparément en M par les n sources E (M) = 1 4πε 0 n i=1 q i P i M P i M Champ créé par une distribution continue de charges Densité volumique de charges ϱ(p ) = dq dτ (C m 3 ) La charge totale comprise dans le volume V est Q = dq = ϱdτ V V Le champ créé par une distribution volumique est donc ϱ P i M E (M) = V 4πε 0 P i M dτ 3 Densité surfacique de charges σ(p ) = dq ds (C m 2 ) La charge totale comprise dans le volume V est Q = dq = σds S S Le champ créé par une distribution surfacique est donc σ P i M E (M) = S 4πε 0 P i M ds 3 Densité linéique de charges λ(p ) = dq dl (C m 1 ) La charge totale comprise dans le volume V est Q = dq = λdl L L 74

83 CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE Le champ créé par une distribution surfacique est donc E (M) = L λ 4πε 0 P i M P i M 3 dl 23.2 Symétries et antisymétries Soient P et P deux points (entourés par les volumes élémentaires dτ et dτ ) symétriques par rapport à un plan de symétrie géométrique Π d une distribution de charges. Plan de symétrie électrostatique Π est un plan de symétrie si pour tout couple (P, P ), la densité de charge vérifie ϱ(p ) = ϱ(p ). Au contraire, Π est un plan d antisymétrie si ϱ(p ) = ϱ(p ). Un plan de symétrie des charges est aussi un plan de symétrie des champs de même pour un plan d antisymétrie. Direction du champ : Si Π est un plan de symétrie, alors M Π E (M) Π. Si Π est un plan d antisymétrie, alors M Π E (M) Π. Invariance Transformation géométrique qui laisse le champ inchangé. Exemple : si le champ est invariant par rotation, alors E(r, θ, z) = E(r, z) Théorème de Gauss Flux élémentaire Le flux élémentaire dφ de E à travers l élément de surface orienté ds est défini par dφ = E ds φ = dφ Si la surface S est fermée, on notera φ = dφ S S Théorème de Gauss Le flux du champ E à travers une surface fermée S est proportionnel à la charge q int enfermée dans la surface S φ = q int ε 0 Méthode : 75

84 CHAPITRE 23. ELECTROSTATIQUE Chercher les symétries et les invariances. Chercher une surface de Gauss fermée, perpendiculaire au champ en tout point, et la compléter éventuellement par des morceaux de surfaces sur lesquelles le flux est nul pour la refermer Topographie Equipotentielle Une surface (ou ligne) équipotentielle est définie par l ensemble des points de même potentiel. Le champ E est perpendiculaire aux équipotentielles en tout point. On a E = grad V Lignes de champ Courbes tangentes au vecteur champ électrostatique. Elles sont orientées dans la direction du champ. On obtient leur équation par d OM E = 0 En un point où se coupent deux lignes de champ, E est soit nul, soit indéfini. 76

85 Chapitre 24 Magnétostatique 24.1 Définitions La Terre est source d un champ magnétique, appelée champ géomagnétique. Le pôle nord magnétique correspond au pôle sud d un aimant droit (et inversement). Le pôle nord d une aiguille aimantée pointe vers le pôle nord magnétique. Champ magnétique Le champ magnétique en un point M peut être représenté par un vecteur B (M), qui est caractérisé par : une direction (celle d une aiguille placée en M) ; un sens : du pôle sud vers le pôle nord de l aiguille ; une intensité (en tesla - T). La valeur d un champ magnétique peut être mesuré avec un teslamètre. Remarque : 1T représente un champ intense. Principe de superposition Si, dans une région de l espace, on dispose de n sources, alors le champ en un point M est égal à la somme des champs créés séparément en M par les n sources B tot (M) = n B i (M) i=1 Lignes de champ Courbes tangentes au vecteur champ magnétique. Une ligne de champ créée par un aimant est orientée du pôle nord vers le pôle sud. Spectre magnétique Ensemble des lignes de champ. 77

86 CHAPITRE 24. MAGNÉTOSTATIQUE Remarque : Le spectre magnétique d aimant courbe contient des lignes de champs parallèles entre elles et perpendiculaires aux branches de l aimant dans l entrefer. Le champ a la même valeur en tout point de l entrefer Champ magnétique créé par un courant Composants bobine enroulement de fil conducteur protégé par une gaine isolante. Composants solénoïde bobine constituée d un enroulement en hélice, de spires régulièrement réparties, dont la longueur est grande (au moins 6 à 7 fois son diamètre). Remarques sur le solénoïde : Les lignes de champs sortent par la face nord et entrent par la face sud. A l intérieur, le champ est uniforme. Il est dirigé du sud vers le nord. Le sens du champ dépend de la circulation du courant. Soit un circuit filiforme parcouru par un courant d intensité I. A une petite portion du circuit dl (orientée dans le sens du courant), située en P, est associée un élément de courant d C = I dl. Loi de Biot et Savart Elle permet d exprimer la contribution de l élément de courant d C situé en P au champ magnétique total au point M d B = µ 0 4π d P M C P M 3 Soit Π, plan de symétrie de la distribution de courant : Si M Π, alors B Π. Π est un plan d antisymétrie pour B. Soit Γ un contour fermé qui enlace un certain nombre de courant I k. Théorème d Ampère la circulation C Γ du champ magnétique B sur le contour Γ est égaleau produit de µ 0 par la somme algébrique des courants enlacés par Γ C = B d l = µ0 ε k I k Avec e k = 1 si I et n sont dans le même sens, sinon, e k = 1. Γ k 78

87 Chapitre 25 Mouvement d une particule chargée dans un champ électrique ou magnétique 25.1 Généralités Le poids d une particule chargée peut être négligée car P F elec F magn Force de Lorentz Force globale que subit une particule en présence de deux champs, l un électrique et l autre magnétique F tot = q E + q v B }{{} } {{ } F elec F magn Remarque : on a la relation µ 0 ε 0 c 2 = 1 79

88 CHAPITRE 25. MOUVEMENT D UNE PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP ÉLECTRIQUE OU MAGNÉTIQUE 25.2 Particule soumise uniquement à un champ Champ électrique Le mouvement d une particule chargée dans un champ électrique uniforme se fait dans un plan définit par : le point d entrée O de la charge dans la zone de champ ; le vecteur vitesse initial v 0 de la particule ; le vecteur champ électrique E. L application d un tel champ à une particule chargée permet de faire varier sa vitesse. Cas particuliers : Si v 0 // E alors le mouvement est uniformément varié. Si v 0 E alors le mouvement est un arc de parabole Champ magnétique La vitesse d une particule chargée dans un champ magnétique reste constante car la force magnétique ne travaille pas. Le mouvement est : rectiligne uniforme si v 0 // E ; circulaire si v 0 E ; hélicoïdal sinon Lois locales Vecteur densité de courant Vecteur dont le flux est défini par l intensité du courant traversant une surface S à la date t I = j d S (A m 2 ) S On a donc j = jk = k k n k q k vk Loi d Ohm Interprétation microscopique j = σ E Où σ désigne la conductivité du milieu, en S m 1. 80

89 Chapitre 26 Dipôle électrostatique et dipôle magnétostatique 26.1 Dipôle électrostatique Dipôle électrostatique On appelle dipôle électrostatique un ensemble de deux charges ponctuelles opposées, placées en deux points N (-q) et P (+q) distants de d, et auquel on associe un moment dipolaire. Moment dipolaire µ = q NP Remarque : parfois il est noté p Propriétés (figure 26.1) : NO = OP Potentiel total créé en M V tot (M) = V N (M) + V P (M) = q 4πε 0 ( 1 r + 1 ) r Approximation dipolaire d r, r +, r Cette approximaion est fausse au voisinnage du dipôle. 81

90 CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE Fig Représentation d un dipôle électrostatique Interaction entre un dipôle et un champ extérieur Energie potentielle d interaction Energie potentielle d interaction entre le dipôle de moment dipolaire µ et le champ électrostatique extérieur E p = p E ext E ext Moment en O (centre du dipôle) de la force du champ extérieur exercé M 0 = p E Dans un champ électrostatique, le dipôle tend à s aligner avec le champ et à se placer dans le même sens. Une fois aligné, dans le cas d un champ non uniforme, le dipôle subit une force qui l amène vers les zones de plus fort champ. Dans un champ extérieur uniforme, la résultante des forces est nulle Dipôle magnétostatique Moment magnétique Vecteur associé à un champ créé par une spire M = I S n (A m 2 ) Approximation dipolaire Elle consiste à dire que la distance r où l on 82

91 CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE calcule le champ est très supérieure aux dimensions caractéristiques de la distribution de courant r R Le champ créé, dans le cadre de l approximation dipolaire, par une spire de courant est µ 0 1 B (M) = 4π r 3 (2M cos θ u r + M sin θ u θ ) Les lignes de champ électrostatique ont la même allure que les lignes de champ magnétique créées par une spire de courant. 83

92 CHAPITRE 26. DIPÔLE ÉLECTROSTATIQUE ET DIPÔLE MAGNÉTOSTATIQUE 84

93 Chapitre 27 Premier principe de la thermodynamique 27.1 Energie Les formes d énergie : énergies cinétiques macroscopique et microscopique (E c ) ; énergies potentielles d interactions externes et internes. Ainsi, à tout système on associe une énergie interne (U = E c + E p,int ), et une énergie mécanique (E m = E c + E p,ext ) : E = E m + U. En thermodynamique, l énergie interne est considérée comme extensive : l énergie interne d un système composé de deux sous-systèmes vaut la somme des énergies internes de ces derniers. Premier principe de la thermodynamique pour système isolé Pour tout système qui n échange ni matière ni énergie avec le milieu extérieur, la fonction énergie est une grandeur conservative Transformations et transferts L énergie d un système ne peut varier que par transfert avec l extérieur. Il existe deux formes de transfert : le travail W ; le transfert thermique Q (ou chaleur). 85

94 CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE Premier principe de la thermodynamique pour un système macroscopique en mouvement Entre un instant t et un instant t + t Sous forme de différentielle (E m + U) = W + Q d(e m + U) = δw + δq note : W est le travail des forces extérieures qui n ont pas été prises en compte dans E p,ext. W et Q dépendent du "chemin" emprunté. remarque : dans le cas d un système au repos, E m = 0 Transformations particulières : cyclique : U = 0 (mais du 0) adiabatique : Q = 0 et U = W pas de travail : W = 0 et U = Q Le transfert thermique : par conduction : non contrôlable ; même en calorifugeant le système, on peut ralentir le transfert thermique mais pas l annuler, les températures finiront toujours par s uniformiser. par convection. par rayonnement. Le travail est défini comme un transfert d énergie maitrisable et/ou directement mesurable. Il peut être de nature mécanique, électrique, électromagnétique Energie interne Gaz parfait On appelle gaz parfait tout gaz dont le comportement est décrit par la fonction d état pv = nrt A basse pression, tous les gaz ont un comportement de gaz parfait. L énergie interne de n moles de gaz parfait ne dépend que de sa température : monoatomique : U = 3 2 nrt diatomique : U = 5 2 nrt Système thermoélastique système dont l état est décrit par les variables p, T et V. Il est possible de lier ces trois variables par une équation d état 86

95 CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE f(p, V, T ) = 0. L énergie interne peut alors s exprimer en fonction de deux variables, souvent T et V. Une variation infinitésimale s écrit : du = U U dt + T V dv système subissant une transfor- Capacité thermique à volume constant mation isochore (dv = 0). On a : du = C v (V, T )dt avec C v = U T en J.K 1 Cas particuliers : gaz parfait, C v est une constante (obtenue en dérivant U). phase condensée : la pression n influence presque pas le volume, donc C v ne dépend que de T Enthalpie Enthalpie fonction d état dont la variation ne dépend que de l état initial et de l état final (et pas du chemin parcouru). On peut l exprimer en fonction de deux des variables d état, souvent p et T. H = U + pv dh = H H dt + T p dp système subissant une trans- Capacité thermique à pression constante formation isobare (dp = 0). On a : du = C p (p, T )dt avec C p = H T en J.K 1 Relation de Mayer pour les gaz parfaits C p = C v + nr. De plus, on définit le coefficient γ = C p C v. Dans le cas d un gaz parfait, l enthalpie ne dépend que de la température (dh = C p dt ). Dans le cas des phases condensées, C p = C v = C et du dh CdT 27.5 Travail Transformations : 87

96 CHAPITRE 27. PREMIER PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE brutale : les variables intensives ne sont pas définies à tout instant, non mesurables, et le système n est pas en équilibre interne. L expression du travail est de la forme W = p ext V, avec p ext à déterminer. quasi-statique : suite d états d équilibres internes. Les variables sont bien définies. Le travail élémentaire vaut : δw = pdv (qu il suffit d intégrer entre l instant initial et l instant final pour trouver le travail W). détente : V augmente, le travail reçu est négatif ; compression : V diminue, le travail reçu est positif. Travail reçu par un dipôle électrique (en convention récepteur) : δw = p(t)dt 27.6 Cas particuliers Transformations : isochore : W = 0 monobare : W = p V U = Q = H = Q = C v (T, V )dt C p (T, p)dt isotherme d un gaz parfait : elle implique une transformation quasi-statique. On a U = 0. Loi de Laplace Pour une transformation quasi-statique adiabatique, on a pv γ = cste 88

97 Chapitre 28 Second principe de la thermodynamique 28.1 Définitions Causes d irréversibilité : les phénomènes dissipatifs (frottements, effet Joule...) ; les phénomènes de diffusion liés à la non uniformité des grandeurs intensives (température, pression...) ; les réactions chimiques. Une transformation non quasi statique est forcément irréversible. Une transformation est réversible si à chaque instant le système est en équilibre internet et externe. Second principe de la thermodynamique Pour tout système, il existe une fonction S appelée entropie qui possède les propriétés suivantes : fonction d état ; fonction extensive ; pour tout système calorifugé (pouvant échanger du travail mais pas de la chaleur) on a { = 0 pour une transformation réversible ds 0 > 0 pour une transformation irréversible Si ds < 0 alors la réaction est impossible. L entropie d un système calorifugé ne peut que croitre ou rester constante. 89

98 CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE Généralement, on choisira d exprimer S en fonction de U et V. On a ds = S U du + S V V dv U Au voisinnage de l équilibre thermodynamique, on a T = 1 S p = T S V U V U Identité thermodynamique du = T ds pdv On a une identité semblable avec l enthalpie dh = T ds + V dp 28.2 Systèmes non calorifugés : entropie d échange Source de travail Une source de travail n échange pas de chaleur avec l extérieur et sa variation d entropie est nulle pendant une transformation quelconque. Elle n intervient donc pas dans un bilan d entropie. Source thermique Une source thermique n échange pas de travail avec l extérieur et est capable d échanger de la chaleur sans que sa température T s n évolue (source idéale) (C v0 ). On appelle aussi ces sources des thermostats. Echange entre un système et une source thermique à température T 0 Variation d entropie de la source ds 0 = δq 0 T 0 = δq T 0 Variation de l entropie du système en contact avec la source ds = δs c + δs e Avec S c l entropie de création et S e l entropie de création (ce ne sont pas des fonctions d état, et leur valeur dépend du "chemin" emprunté), et on a Et δs e = δq T 0 { = 0 pour une transformation réversible δs c 0 > 0 pour une transformation irréversible 90

99 CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE Une système est à l équilibre thermodynamique quand il est stationnaire et qu il n y a pas de création d entropie : δs c = Machines thermiques Une machine thermique est une machine qui : décrit des cycles ; échange du travail et de la chaleur avec le milieu extérieur. Si la machine reçoit du travail, c est un récepteur, sinon, c est un moteur. Méthode d étude : on applique successivement le premier principe à la machine ; le deuxième principe à l univers. Inégalité de Clausius sources Il y a égalité dans le cas de la réversibilité. Q i T i Le réfrigérateur Efficacité ε = Q f W T f T c T f Il s agit d une limite supérieure de l efficacité du réfrigérateur. Elle peut être supérieure à 1 si T c < 2T f. Cette limite est théorique et ne peut être atteinte que pour une transformation réversible La pompe à chaleur Efficacité ε = Q c W T c T c T f 28.4 Compléments Troisième principe de la thermodynamique Lorsque la température absolue d un corps pur parfait tend vers 0 K, son entropie tend vers 0. 91

100 CHAPITRE 28. SECOND PRINCIPE DE LA THERMODYNAMIQUE Nombre de complexion nombre de micro-états qui mènent à un macroétat. Il est noté Ω. Un état final a d autant plus de chances d être observé que son nombre de complexion est grand. A chaque macro-état, on associe une entropie "statistique", liée au nombre de complexion S = k b ln Ω Où k b est la constante de Boltzmann. 92

101 Chapitre 29 Changements d état : étude descriptive du corps pur diphasé en équilibre 29.1 Les changements d état d un corps pur Fig Les différents changements d état Représentation : un corps pur à l équilibre thermodynamique interne peut exister sous plusieurs formes : une seule phase, deux ou trois phases. L existence de ces phases dépend des valeurs des variables d état p, V, T. 93

102 CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE Fluide hypercritique liquide ou d un gaz. Phase où l on ne peut distinguer s il s agit d un Projection dans le plan(p,t) Fig Diagramme (p,t) Il n y a équilibre entre deux phases que si le point est situé sur l une des courbes. Point triple Point où le corps pur peut exister sous ses trois phases en même temps. Il se situe à une pression et à une température bien définies caractéristiques de chaque corps pur. Point critique Point au-delà duquel il n y a plus d équilibre liquide-vapeur. Fig Diagramme (p,t) de l eau 94

103 CHAPITRE 29. CHANGEMENTS D ÉTAT : ÉTUDE DESCRIPTIVE DU CORPS PUR DIPHASÉ EN ÉQUILIBRE Fig Diagramme (p,v) 29.2 Equilibre liquide-gaz On appelle : courbe de rosée le lieu des points G ; courbe d ébullition le lieu des points L ; courbe de saturation l ensemble des courbes de rosée et d ébullition. Fraction massique de vapeur Appelée aussi "titre en vapeur", notée x Où m G est la masse de la vapeur. x = m G m On peut définir également la fraction massique de liquide y = m L m = (1 x) Théorème des moments Pour un point M sur une isotherme dans la zone d équilibre liquide-vapeur, les fractions massiques de vapeur et de liquide vérifient x = LM y = MG LG LG 29.3 Grandeurs thermodynamiques Enthalpie massique de changement d état Variation d enthalpie massique, notée h 1 2, quand le corps pur passe d une extrémité à l autre d un palier de changement d état. Elle est aussi appelée chaleur latente. 95