PREMIER PROBLEME : ANALOGIES ENTRE OSCILLATEURS MECANIQUES ET ELECTRIQUES

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1 Concors Commn Marocain Session : 1988 Option : MM' Epre de Physiqe Drée : 4 h N.B. : es dex problèmes sont indépendants. PREMIER PROBEME : NOGIES ENTRE OSCITEURS MECNIQUES ET EECTRIQUES I. Oscillations libres 1. Un pendle de torsion est réalisé ac ne tige horizontale homogène sspende en son milie O à n fil de torsion dont l'atre extrémité est fixe (figre I.1). a constante d fil de torsion est C. e moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe rtical de rotation est J. On repère la position de la tige par rapport à sa position d'éqilibre par l'angle θ. Etablir l'éqation différentielle vérifiée par θ. 2. Un circit est constité d'ne indctance et d'ne capacité en série (figre I.2). O Figre I.1 i θ Etablir l'éqation différentielle à laqelle satisfait la tension ax bornes de la capacité. Figre I.2 3. On établit ne correspondance entre dθ/dt et i d'ne part et entre J et d'atre part. qelle grander correspond la constante de torsion C? II. Oscillations forcées 1. a tige horizontale précédente est sspende en son milie O à n fil de torsion rtical O de constante C 1. Un dexième fil de torsion rtical OB de constante C 2 est fixé à la tige en O. a position de la tige est tojors repérée par l'angle θ dans le plan horizontal à partir de sa position d'éqilibre. On impose à l'extrémité n moment de rotation ator de O : α=α 0 cos(t), B restant fixe (figre I.3). k C1 θ α On tient compte des forces de frottement exercées par l'air en les assimilant à n cople de moment -h(dθ/dt)κ, par rapport à O, κ étant le cter nitaire de l'axe de rotation et h ne constante positi indépendante de θ. O C2 a. Etablir l'éqation différentielle satisfaite par θ. B b. On prend C 1 =C et C 2 =2C. Déterminer l'amplitde anglaire θ m d moment lorsqe le régime Figre I.3

2 CCM-88 Physiqe MM' 8 permanent est atteint. pplication nmériqe : Calcler θ m ac les données sivantes J=4, kg.m 2 ; C= m.n ; =3 s -1 ; h= m.n.s ; α 0 =1,4. c. Déterminer la valer de prodisant l'amplitde maximale. d. Qelle condition doit satisfaire le coefficient h por qe cette résonance pisse se prodire? 2. On réalise le circit de la figre I.4 comportant ne indctance pre, ne capacité, ne résistance R et ne sorce de tension de force électromotrice e= E 0 cost. e i R Figre I.4 a. Etablir l'éqation différentielle satisfaite par la tension ax bornes de la capacité. b. On établit la même correspondance qe dans le I., déterminer les granders qi correspondent ici à C,h et α 0. c. En dédire, en régime permanent, la plsation de résonance d circit et la condition sr R por qe cette résonance ait lie. III. Oscillaters coplés non amortis 1. Dex tiges horizontales identiqes entre elles et identiqes à celles tilisées dans les qestions précédentes sont reliées par des fils de torsion rticax comme l'indiqe la figre I.5. C1 es constantes de raider des fils sont C 1 por O 1, C 2 por O 2 B et C por O 1 O 2. O 1 et O 2 sont les miliex des tiges. On repère les positions des tiges par θ 1 por la tige spériere θ 2 por la tige infériere à partir de lers positions d'éqilibre. O1 C θ1 a. Ecrire le système d'éqations différentielles satisfait par θ 1 et θ 2. O2 θ2 b. On prend C 1 =C/2 et C 2 =2C. Déterminer les plsations propres de ce système coplé, c'est à dire les valers des plsations commnes ax angles θ 1 et θ 2. B C2 Figre I.5 2. Dex circits indctance-capacité sont coplés comme l'indiqe la figre I.6 par ne capacité.

3 CCM-88 Physiqe MM' 9 i1 i Figre I.6 a. Etablir le système d'éqations différentielles d second ordre satisfait par les tensions 1 et 2 ax bornes des capacités 1 et 2. On tilisera le fait q'à la date zéro : =0. b. On établit la correspondance entre dθ 1 /dt et i 1 d'ne part et entre J et d'atre part. qelles granders correspondent C 1, C 2, C et θ 2. c. Dans le cadre de cette correspondance, qelles sont, en fonction de, les valers prises par 1 et 2 si C 1 =C/2 et C 2 =2C? d. On se place dans le cas d c. Ecrire les éqations différentielles sos ne forme qi permette de vérifier q'elles satisfont bien à la correspondance ac celles d 1. En dédire les plsations propres des circits coplés. DEUXIEME PROBEME : ETUDE D'UN MPIFICTEUR DE TENSION e bt de ce problème est l'étde de l'amplificater de tension représenté ci-contre (figre II.1). 'amplificater opérationnel tilisé est caractérisé par n gain et ne tension entre les entrées non inrsese et inrsese. Il fonctionne en régime linéaire. ie - R2 is R1 I. Cas idéal : 'amplificater opérationnel est idéal. Figre II.1 1. Préciser les valers prises alors par et. 2. Calcler le gain G 0 =v s /v e d dispositif. 3. Représenter l'amplificater de tension ac la schématisation tilisée por les opératers. Dans tote la site d problème l'amplificater opérationnel n'est pls idéal, en particlier son gain est fini. En régime permanent sinsoïdal de plsation, le gain de l'amplificater opérationnel est complexe et les granders calclées sont donc éntellement complexes.

4 CCM-88 Physiqe MM' 10 II. Calcls de l'impédance d'entrée et d gain de l'amplificater de tension. Dans cette partie on prend en compte le fait qe la résistance d'entrée R e de l'amplificater opérationnel n'est pas infinie. e schéma électriqe de l'amplificater opérationnel est alors celi de la figre II.2. ie Re 1. On définit l'impédance d'entrée Z e =v e /i e. Calcler Z e en fonction de, R 1, R 2 et R e. Figre II.2 2. En dédire le gain G=v s /v e de l'amplificater de tension en fonction de G 0,, R e, R 1 et R Qe devient l'expression de Z e si on tient compte d fait qe et R e sont très grands? 4. partir d résltat d 2. et en tenant compte d fait qe R e est grand donner l'expression de G en fonction de G 0 et. III. Calcl de l'impédance de sortie de l'amplificater de tension Por ne pas obtenir ne expression trop compliqée et sans signification, on tient compte d fait qe R e est très grand. e schéma électriqe de l'amplificater opérationnel est alors celi de la figre II.3. On fait les calcls en prenant v e =0. ie=0 Rs is Figre II.3 1. 'impédance de sortie de l'amplificater de tension est définie par Z s =v s /i s. Calcler Y s =1/Z s en fonction de, G 0, R 1, R 2 et R s résistance de sortie de l'amplificater opérationnel. 2. est tojors très grand et R s est tojors très petit. Donner l'expression de Z s en fonction de G 0, et R s. 3. Représenter l'amplificater de tension ac la schématisation tilisée por les opératers en tenant compte de son impédance d'entrée et de son impédance de sortie.

5 CCM-88 Physiqe MM' 11 IV. Comportement en fréqence de l'amplificater de tension En régime permanent sinsoïdal de plsation, le gain complexe de l'amplificater opérationnel est donné par : 0 = 1 j c ac 0 réel, c =2πf c, et j 2 = partir de l'expression de G trovée en II.4., mettre le gain de l'amplificater de tension sos la forme : ' 0 G = 1 j ' c ac ' 0 réel. Donner l'expression littérale de ' 0 en fonction de 0 et G 0 ainsi qe celle de ' c en fonction de c, 0 et G pplication nmériqe : 0 =10 5 ; f c =10 Hz ; R 1 =1 kω ; R 2 =99 kω. Calcler ' 0 et ' c. 3. Tracer dans n même système d'axes les asymptotes de db =20log et de G db =20log G en fonction de log. 4. Qelle est la relation simple entre 0, f c, ' 0 et f' c (' c =2π f' c ). Commenter. 5. On se place dans le cas où << c. a. En tilisant le résltat d II.3. calcler la valer nmériqe de Z e /R e. b. En tilisant le résltat d III.2. calcler la valer nmériqe de Z s /R s. c. Commenter les résltats précédents. V. Comportement de l'amplificater de tension en régime transitoire Por t<0, on a v e =0 et v s =0. t=0 on impose v e =E=10 mv. 1. Porqoi pet-on obtenir l'éqation différentielle vérifiée par v s à partir de la relation entre v e et v s en régime sinsoïdal permanent en remplaçant jv s par dv s /dt? 2. Déterminer littéralement et nmériqement v s (t) et en tracer le graphe. 3. Qe pensez vos de la transmission d signal par l'amplificater de tension? a limitation pet-elle pronir d'n atre phénomène? FIN DE 'EPREUVE

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