Minoration effective de la hauteur des points d une courbe de G_m 2 définie sur Q

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1 Minoration effective de la hauteur des points d une courbe de G_m définie sur Q Corentin Pontreau To cite this version: Corentin Pontreau. Minoration effective de la hauteur des points d une courbe de G_m définie sur Q hal HAL Id: hal Preprint submitted on 8 Sep 005 HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of scientific research documents, whether they are published or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers. L archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

2 Minoration effective de la hauteur des points d une courbe de G m définie sur Q. Corentin Pontreau. 000 Mathematics Subject Classification : 11G50, 14G40. ccsd , version 1-8 Sep 005 Résumé We are concerned here with Lehmer s problem in dimension ; we give a lower bound for the height of a non-torsion point of G m on a non-torsion curve defined over Q, depending on the degree of the curve only. We have first been inspired by [Am-Da3]; we develop a new approach, inherent in the dimension two or more precisely the codimension two, and then obtain a better result where the error s term is improved significantly, moreover we give an explicit expression for the constant.

3 Minoration effective de la hauteur des points d une courbe de G m définie sur Q. Corentin Pontreau. I Introduction. Dans tout cet article nous considérerons le plongement naturel de G n m := Gn m Q dans Pn, défini par α 1,..., α n 1 : α 1 :... : α n, en particulier la hauteur d un point α sera la hauteur de Weil logarithmique du point projectif correspondant, soit, si k est un corps de nombres contenant α 1,..., α n : hα := [k v : Q v ] log max{ α 0 v,..., α n v }. [k : Q] v M k De même si V est une sous-variété de G n m, nous noterons degv le degré de son adhérence de Zariski dans P n. Enfin, si F est un polynôme à coefficients algébriques, nous noterons hf la hauteur du point projectif défini par ses coefficients. Nous utiliserons la structure naturelle de groupe commutatif donc de Z-module de G n m ainsi, si α et l désignent respectivement des éléments de G n m et de Z, alors, pour toute variété V, nous noterons α V := {αβ β V } et [l]v := {β l β V }. Rappelons que l indice d obstruction ω Q α d un point α G n m n est autre que le plus petit degré d une hypersurface de G n m définie sur Q passant par α. Remarquons de plus que cette quantité est contrôlée par le degré du corps de définition de α; en effet un argument d algèbre linéaire nous donne l inégalité : ω Q α ndeg Q α 1/n 1 qui est d ailleurs une égalité si n = 1. Dans [Am-Da] les auteurs proposent une conjecture c.f. Conjecture généralisant celle de D.H. Lehmer c.f. [Le] en dimension supérieure : Conjecture 1 Pour tout entier n 1, il existe une constante cn > 0 telle que, pour tout α G n m dont les coordonnées sont multiplicativement indépendantes, on ait : hα cn ω Q α. Dans le même article, ils montrent que cette conjecture est vraie à un facteur log près, généralisant un théorème de E. Dobrowolski c.f. [Do] en dimension supérieure. Ils poursuivent cette étude dans [Am-Da3] et affinent ce résultat : 1 Dans op. cit. l indice d obstruction ω Q α est noté δα. 1

4 Théorème 1 Soit V une sous-variété algébrique de G n m, définie sur une extension cyclotomique K de Q, intersection d hypersurfaces de G n m définies sur K et de degré au plus ω. Alors il existe une constante c n > 0 effectivement calculable telle que l on ait, pour tout α V n appartenant à aucune sous-variété de torsion de V : où κn := nn + 1! n 1. hα c n ω log3[k : Q]ω κn, Remarquons qu un point α est à coordonnées multiplicativement indépendantes si et seulement s il n appartient à aucune sous-variété de torsion de G n m, auquel cas le théorème 1 nous donne la minoration : hα c est précisément le résultat obtenu dans [Am-Da]. cn ω Q α log3ω Qα κn ; Notre principal résultat est le suivant, analogue du théorème 1 où l exposant du log κ = 143 est sensiblement amélioré. De plus, contrairement à ce dernier, il est complètement explicite : Théorème Soit V une courbe de G m définie sur Q et Q-irréductible de degré ω qui ne soit pas de torsion, et soit α V \ G m tors, on a : 1, log log ω 11 hα ω log ω 13 où ω := max{ω, 16}. Notons qu ici l hypothèse α V n appartenant à aucune sous-variété de torsion de V se réduit à α non de torsion, hypothèse minimale puisque les points de torsion sont précisément les points de hauteur nulle. F. Amoroso et S. David montrent dans [Am-Da] que si α G n m est un point à coordonnées multiplicativement indépendantes, alors il existe une constante Cn telle que : hα 1...hα n 1/n Cn1/n D 1/n log 3D κn, où D := [Qα : Q] et κn est la même quantité que dans le théorème 1. Une observation de Bilu voir [Bi] mène à la minoration : hα 1...hα n 1/n C1/ D log 1/ 3D κ. En effet, si l on applique l inégalité en dimension pour α 1, α,..., α n 1, α n et α n, α 1, on obtient : n 1/n hα i C1/ D log 1/ 3D κ. i=1 Le théorème nous permet d expliciter la constante C et d améliorer l exposant κ : on appellera sous-variété de torsion une réunion de translatés de sous-groupes algébriques de G n m par des points de torsion.

5 Corollaire I.1 Soient α G n m et σ une permutation de {1,...,n} telle que, pour tout i dans {1,...,n}, les coordonnées α i et α σi soient multiplicativement indépendantes, alors : où D := [Qα : Q]. hα 1...hα n 1/n 10 1 D 1/ log 3D 13, Dès que l on fixe un entier n 3, ce résultat est moins bon que lorsque D est grand, néanmoins il est bien meilleur pour les petites valeurs de D rappelons que κn := nn+1! n 1, de plus il est entièrement explicite et les conditions sur α sont un peu plus faibles. Remerciements. Je tiens à remercier Francesco Amoroso pour l aide et le soutien qu il m a apportés tout au long de ce travail. Je voudrais également tout particulièrement remercier Federico Pellarin pour les lectures très soignées qu il a pu faire sur des versions préliminaires de ce travail, ainsi que les nombreux conseils et remarques qu il a pu me donner par la suite à ce sujet. II Schéma de la preuve Dans le paragraphe III on développe les outils d une démonstration de transcendance lemme de Siegel, extrapolation et au paragraphe IV, on montre des minorations explicites pour les courbes non de torsion de G m et des points de G m. La démonstration du théorème à proprement parler est l objet du paragraphe V. La stratégie est la suivante : par l absurde on suppose la hauteur de α petite, on peut alors construire un polynôme s annulant sur V avec multiplicité, de degré et de hauteur contrôlés via un lemme de Siegel proposition III.4. Ensuite on extrapole dans le paragraphe V. en montrant, grâce à la proposition III.6, que ce polynôme s annule sur les puissances α pq, où p et q parcourent des ensembles de premiers P 1 et P. Nous reprenons au paragraphe V.3 le lemme de zéros de [Am-Da3] théorème.6; nous obtenons ainsi une suite décroissante Y 1 Y Y 3 de sous-variétés de G m contenant des puissances α pq de α. Deux de ces variétés étant de même dimension, on obtient une sous-variété obstructrice Z, composante Q-irréductible de Y 3 ou Y contenant une puissance α l de α et dont on contrôle le degré. Deux cas se présentent alors. Si la variété obstructrice Z est de dimension 0 paragraphe V.3.1, alors Z est simplement l union des conjugués de α. Comme ici l = 1, on arrive, grâce notamment à l inégalité 1, à un encadrement du type : CardP ω Q α CardP degz log ω Q α a ω Q α ainsi, de par nos choix de paramètres, on arrive à une contradiction. Dans le cas où la variété obstructrice Z est de dimension 1 paragraphe V.3., la puissance l est a priori différente de 1. On peut obtenir l encadrement : CardP 1 ω Q α l CardP 1 degz log ω Q α b ω Q α 3

6 ainsi l indice d obstruction de α l est très petit par rapport à celui α. Ceci n étant pas suffisant pour conclure, dans [Am-Da3] les auteurs utilisent un argument de descente pour arriver à une contradiction. Ici notre démonstration diffère; des arguments plus simples nous donnent de meilleurs résultats. On travaille avec la hauteur normalisée; on majore celle de Z en fonction de la hauteur de notre fonction auxiliaire F, sur laquelle on a un bon contrôle : CardP 1 ĥz hf. Si Z n est pas une courbe de torsion, on arrive à une contradiction en utilisant une minoration explicite de ĥz proposition IV.1. Dans le cas contraire, on se ramène dans le lemme V.3 à une étude en dimension 1, auquel cas, via la proposition IV.3, on obtient une minoration de hα. III Résultats préliminaires. III.1 Premiers exceptionnels. Dans ce paragraphe V désigne une sous-variété de G n m irréductible sur son corps de définition. Nous allons voir que pour tout nombre premier p sauf pour certains appartenant à un ensemble exceptionnel EccV, introduit dans [Am-Da], la variété [p]v a un bon comportement, dans un sens que nous allons préciser. Définition III.1 On note W 1,...,W k les composantes Q-irréductibles de V, on pose : EccV := { l Z i, j, i < j ; [l]w i = [l]w j } { l Z i ; deg[l]wi < degw i }. La proposition.4 de [Am-Da] donne des informations sur cet ensemble; nous en rappelons quelques propriétés. Proposition III.1 Nous avons CardEccV {p premier} dimv + 1 log log degv. De plus, si Λ est un ensemble fini de nombres premiers et si V n est pas de torsion, alors : deg [p]v CardΛ \ EccV degv. p Λ Nous utiliserons dans la suite cette proposition dans le cas où Λ est l ensemble des premiers dans [N/, N], pour un certain paramètre N, d où la nécessité du lemme suivant : Lemme III. Pour tout réel x on note πx le nombre de premiers inférieurs ou égaux à x. Pour N 41 on a πn πn/ 0, 41 N logn. 4

7 Démonstration - Le théorème 1 de [Ro-Sc] nous donne : x 59, x log x + 3x log x πx > x log x + x log x, si on note c N := logn// logn on en déduit : N πn πn/ > log N + N logn N = log N c N 4c N N c N log N log N 3N 4c N log N Ainsi, pour N 5000, nous avons bien l inégalité voulue et une vérification numérique pour les petites valeurs de N nous permet de conclure. III. Construction de la fonction auxiliaire. On cherche ici un polynôme F de degré L nul en α à un ordre T. Fixons dans un premier temps quelques notations, k désignant un corps de nombres. On notera k[x] := k[x 1,..., x n ]. Pour µ, λ N n, on pose : µ λ := µ1 λ 1 λ µn λ n. D λ := 1 λ! x λ = 1 λ 1! λ n! λ1 x λ1 1 λn x λn On dira que α Q n est racine de F C[x] de multiplicité au moins T N si λ N n, λ λ n = λ < T = D λ Fα = 0. On notera ω k α := min { degf F k[x]\{0}, Fα = 0 } et k[x] L le k-espace vectoriel des polynômes de degré total L. Pour toute partie S de C n on pose : E k S, L, T := { F k[x] L β S, F nul en β avec multiplicité T }1.. Nous aurons besoin dans la suite d encadrements pour l indice d obstruction ω k α et pour la dimension du k-espace vectoriel E k {α}, L, T. Propriétés III.3 Soient n N, α G n m et L, T N, on a : 1. dime k {α}, L, T L Tω k α+n n. 1 on a donc E k S, L, T = [P T ] L {0} si S est une variété et P est l idéal de définition sur k de sa clôture projective. 5

8 . 1 ω Q α n[kα : k] 1/n. Démonstration - 1. Soit F k[x] non nul de degré ω k α tel que Fα = 0. Pour tout H k[x] de degré inférieur ou égal à L Tω k α, on a F T H E k S, L, T, de plus le sous-espace vectoriel de k[x] des polynômes de degré L Tω k α est de dimension L Tω k α+n n, d où le résultat.. Posons ω := [n[kα : k] 1/n ] et considérons l application linéaire : k[x] ω kα P Pα. Remarquons que dim k k[x] ω = ω+n n n n ω + 1 n. Or n n ω + 1 n > [kα : k], cette application n est donc pas injective, i.e. il existe P k[x] ω non nul tel que Pα = 0, donc ω k α ω n[kα : k] 1/n. Ci-dessous nous donnons la version du lemme de Siegel que nous utiliserons dans la suite analogue à la proposition.1 de [Am-Da3]. Proposition III.4 Soient θ un réel > 0 et E {α G n m hα θ} un ensemble fini non vide. Soient k un corps de nombres et L, T N. Si E k E, L, T est non réduit à {0}, alors il existe un polynôme F E k E, L, T O k [x] non nul tel que : hf r T + n 1logL Lθ + log c k. 3 N r { } 1 où c k := π s [k:q] k, s le nombre de places complexes de k et k son discriminant, N := dim k k[x] L et r := dim k k[x] L dim k E k E, L, T. Démonstration - On reprend ici principalement les preuves de la proposition 4. de [Am-Da] et du théorème 7 de [St-Va]. Fixons un ordre sur E et sur N n et considérons la matrice A de taille CardE T+n 1 n L+n n définie par µ A := α µ λ λ où les lignes respectivement les colonnes sont indexées par les couples α, λ, où α E et λ N n est tel que λ T 1 respectivement par les multi-indices µ N n tels que µ L. Autrement dit, si on pose A := {x k N, Ax = 0}, alors A = E k E, L, T d où r = ranga. Soit Y une matrice N N r à coefficients dans k telle que A soit l image de l application k-linéaire définie par Y. Comme E k E, L, T est non réduit à {0}, on a rangy = N r < N ; le théorème 8 de [Bo-Va] appliqué à Y 6

9 montre alors qu il existe N r vecteurs linéairement indépendants u 1,...,u N r de k N r tels que, si l on pose F i := Y u i, pour i = 1,..., N r, on ait F i Ok N pour tout i et : N r j=1 hf j log HY + N rlog c k = log HA + N rlog c k, où HA est la hauteur non logarithmique du sous-espace A et HY la hauteur du sous-espace engendré par ses lignes définies p. 499 de [St-Va]. Remarquons que F 1,...,F N r est une une base de A, en particulier il existe F dans A Ok N non nul tel que nous allons montrer que ce F vérifie bien 3. N rhf log HA + N rlog c k, 4 Soit F la clôture galoisienne de ke/k, considérons la matrice : σ 1 A B :=. σ R A où les σ i sont les éléments de GalF/k, et posons : B := {y F By = 0}. On a alors dim F B = dim k A et HA = HB voir [St-Va],.31 page 506. Soit B une sous-matrice de B de rang maximal B est une matrice r L+n n de rang r, par le principe de dualité, voir [St-Va] p. 500,., on a : HA = HB = H B. En majorant H B par le produit des hauteurs de ses lignes inégalité de Hadamard, voir [Bo-Va], équation.6, on obtient : log H B r log max { Hb α,λ α E et λ T 1 }, 5 où les b α,λ désignent les lignes de B : b α,λ = b α,λ µ µ L = µ α µ λ. λ µ L Soit α, λ un multi-indice réalisant ce maximum λ T 1, on a : µ L 1 µ λ = µ L µ = λ L + 1 λ L µ 1=1 L + 1 λ n + 1 L µ n=1 µ1 µn λ 1 λ n L + 1 T+n 1

10 où l on a utilisé L µ µ=1 λ = L+1 λ+1 L + 1 λ+1. Notons d le degré de F sur Q, en utilisant cette inégalité nous trouvons, pour toute place archimédienne v M k, H v b α,λ d = µ L Pour v M k ultramétrique, on obtient : b α,λ µ v dv L + 1 T+n 1dv max { 1, α 1 v,..., α n v } Ldv. H v b α,λ d = max µ L bα,λ µ dv v max { } Ldv. 1, α 1 v,..., α n v En faisant le produit sur toutes les places on obtient : Hb α,λ d L + 1 T+n 1 v dv Hα Ld d log Hb α,λ dt + n 1logL dlhα, d où, en reprenant l inégalité 5 log H B r T + n 1logL Lθ, donc 4 devient : hf 1 N r log H B + log c k r N r T + n 1logL Lθ + log c k. Dans la suite, on utilisera cette proposition dans le cas n = : Corollaire III.5 Soient α G m, T N, D le degré de Qα sur Q, et ω ω Q α. [ Si L = min{ ωt, TD 1/ T + 1 ] }, alors il existe un polynôme F E Q {α}, L, T Z[x] non nul tel que : hf 1 T + 1logL Lhα. T 1 Démonstration - Comme D 1/ 1 ω Qα, on a L 1 ω QαT + 1T 1/ ω Q αt, en particulier E Q {α}, L, T n est pas réduit à {0}, d après la proposition III.3. Considérons le polynôme F donné par la proposition III.4, on a : hf r T + 1logL Lhα, N r où r := dim Q[x] L dim Q E Q {α}, L, T et N := dim Q[x] L. On a, si L = ωt : r N r L+ L ωt+ L L ωt 1 = 1 = 8 L + 1 L ωt + 1 L + L ωt + 1 T 1 1 T 1 T 1.

11 Sinon, si L = [ TD 1/ T + 1 ] : r N r L+ T+1 D T+1 D = TT + 1D L + 1L + TT + 1D TT + 1D T + 1 TD TT + 1D = 1 T 1 T 1. III.3 Extrapolation Nous allons utiliser le lemme clef de Dobrowolski c.f. [Do] dans le cadre plus large de polynômes à plusieurs variables à coefficients dans un anneau d entiers d une extension cyclotomique de Q. Soient k/q une extension galoisienne, p un nombre premier non ramifié dans k et Q un idéal premier de O k tel que Q p. Si l extension k/q est abélienne, alors l automorphisme de Frobénius associé φ Q,p Galk/Q ne dépend que de p et on le notera φ p ; on a α O k, φ p α α p mod po k. Dans tout ce paragraphe, on supposera k/q cyclotomique et on notera k son discriminant. De plus α désignera un élément de G n m, F la clôture galoisienne de kα, et L, T deux entiers naturels. Le résultat qui suit correspond au théorème. de [Am-Da3] : Théorème 3 Soit F E k {α}, L, T O k [x]; pour tout nombre premier p k et pour tout v M F divisant p, on a la majoration où l on a noté α p = α p 1,..., αp n. F φp α p v p T F v max{1, α 1 v,..., α n v } pl, Proposition III.6 Soit F E k {α}, L, T O k [x]. Pour tout nombre premier p k, le polynôme F φp est nul en α p à un ordre T 1 vérifiant : T 1 logl log p > T log p hf plhα n logl + 1. Démonstration - Soit λ N n tel que λ = T 1 et D λ F φp α p 0 on peut supposer T 1 < T. Soit v M F ; on déduit de l inégalité µ L µ λ L + 1 λ L + 1 L + 1 λ +n λ n + 1 et de l inégalité ultramétrique les majorations : F v max{1, α 1 v,..., α n v } pl si v et v p D λ F φp α p v L + 1 λ +n F v max{1, α 1 v,..., α n v } pl si v 9

12 De plus, si v p, le théorème 3 donne : D λ F φp α p v p T λ F v max{1, α 1 v,..., α n v } pl. On a, par la formule du produit : 1 = v. v M F D λ F φp α p [Fv:kv]/[F:k] En passant au log, et en utilisant les trois majorations obtenues ci-dessus on obtient : 0 λ + nlogl hf + plhα T λ log p, soit λ logl log p > T log p hf plhα n logl + 1. IV Versions explicites de certaines minorations IV.1 Une minoration pour les courbes Dans [Am-Da], F. Amoroso et S. David obtiennent une minoration de la hauteur d une hypersurface de G n m définie sur Q et Q-irréductible qui n est pas de torsion; de plus notre résultat principal dans [P] donne une version explicite de ce résultat. Nous reprenons celui-ci en améliorant la constante pour n =, cas qui nous intéresse ici. Proposition IV.1 Soit V une courbe définie sur Q et Q-irréductible de G m de degré D. Alors, si V n est pas de torsion, on a où 3 D := max{16, D}. log log D ĥv log D, Notons que si P Z[x 1, x ] est irréductible sur Z en particulier de contenu 1 et est une équation de V, alors ĥv = log MP, où MP est la mesure de Mahler de P. Supposons l inégalité fausse pour une courbe V de degré D définie sur Q, Q-irréductible qui 1 ne soit pas de torsion. D après un théorème de Zhang [Zh] on a ˆµ ess V DĥV, ainsi : ˆµ ess V < D log log D 3. 6 log D Choix des paramètres et fonction auxiliaire 3 Nous avons choisi de mettre D dans le log car la fonction x logx est croissante sur [16,+ [, et afin log logx de pouvoir minorer log log D par 1 dans les calculs. 10

13 On pose ] log D T := [5 log log D L := DT N := 5 4 log D log log D. Nous utiliserons plusieurs fois l inégalité suivante, valable pour tous réels a, b, x > 0 : x a ea b log x b. 7 b Notons que : Fait IV. On a T [5e] 13, L T 4 ln et N 5 ln ln N/ log D 1,99 et 6, 1 logl + 1 T logn/. Démonstration - Pour la première inégalité, il suffit d utiliser 7 avec a, b = 0.01, 1. Pour la seconde, on a : log L log D T logn/ T logn/ + log T T logn/. De plus, comme T 13, la premiére inégalité du fait nous donne T logn/ 9, logd. Ainsi, puisque N 4000 : log L T logn/ 1 9, + log log ,. Pour conclure, il suffit de remarquer que logl + 1 1, 01 logl, d où le résultat. En appliquant la proposition III.4 à un ensemble fini suffisamment gros de points de V de hauteur θ où log log D θ := log D, on trouve, par le même argument que celui utilisé dans le théorème 4.1 de [Am-Da], un polynôme non nul F Z[x], de contenu 1 et de degré au plus L, qui s annule en tout point de V à un ordre T et tel que { } hf l T + logl Lˆµ ess V, où l := L+ L DT+ L DT+. 11

14 Extrapolation Soit p un nombre premier dans [N/, N] et notons ε := T log p hf logl + 1 plˆµ ess V T logn/ lt + + logl + 1 N + llˆµ ess V. La proposition III.6 nous assure, via le même argument de densité que dans le lemme 4. de [Am-Da], que F s annule sur [p]v si ε > 0 ; il suffit donc de montrer que notre choix de paramètres assure cette condition. Majorons tout d abord l : l L + 1 L DT + 1 L + L DT + 1 en particulier, comme T 13, nous obtenons : lt + + T + 3T T 1 + Nous avons, puisque l < 1 et N > 100 : L L DT 1 = T 1 T 1 = T T T T ε T log N/ 5 logl + 1 1, 01NLˆµ ess V. Remarquons maintenant que, d après le fait IV. nous avons T logn/ 6,1 logl + 1, et d après 6 nous avons NLˆµ ess V < log D logl + 1, ainsi ε > 0. p Λ Conclusion Soit Λ l ensemble des nombres premiers dans [N/, N]; nous avons vu que, sous l hypothèse 6, F s annulait sur [p]v pour tout premier p Λ. Comme N 4000, la proposition III.1 et le lemme III. nous donnent : L deg [p]v 0, 4 N logn log log D D. 8 Minorons le membre de droite : log log D d où log N log log D 4 log5 + log log D 3 5, N 5 log D log N 3 log log D. En reportant ceci dans l inégalité 8 on obtient : L 0, 4 3 log log D log 5 log D 1, log log 16 log 5 L log 16 d où une contradiction. > L D 5 log D log log D 1

15 IV. Dans les extensions d un corps cyclotomique F. Amoroso et U. Zannier donnent une minoration de la hauteur d un nombre algébrique en fonction de son degré sur une extension abélienne de Q c.f. [Am-Za] : Théorème 4 Soient K un corps de nombres et L une extension abélienne de K. Alors, pour tout γ Q \ Q tors, on a : hγ CK 13 log log 5d, d log d où d := [Lγ : L] et CK est une constante dépendant uniquement de K. Nous aurons besoin de ce résultat dans le cas particulier d une extension cyclotomique, aussi nous nous proposons d en montrer une version faible, mais explicite : Proposition IV.3 Soient k = Qζ m un corps cyclotomique et γ Q \ Q tors, alors : hγ 10 3 d où d := [kγ : k], D := [kγ : Q] et D. 3 log log D, log D Notons ϕm l indicatrice d Euler de m ; nous pourrons supposer dans la suite ϕm = D/d 3 4. En effet, supposons le contraire, en particulier [Qγ : Q] D = ϕmd < 3 4 d. Si [Qγ : Q] 15, alors hγ 10, et si 16 [Qγ : Q] < 3 4 d, le théorème principal de [Vo] nous dit que : hγ Par décroissance de la fonction x hγ 1 4D 1 4[Qγ : Q] log log x log x 3 log log[qγ : Q]. log[qγ : Q] sur [16, + ] on en déduit 3 log log D 1 log D 34d 3 log log D. log D Notons toutefois qu il est possible d obtenir le même résultat sans [Vo], avec toutefois une constante un peu plus petite :.10 4 au lieu 10 3 la différence étant due à une moins bonne majoration de logl + 1 dans l extrapolation. Choix des paramètres et fonction auxiliaire On pose T = L = dt [ 3 log D ] log log D log D N = 175 log log D. Fait IV.4 Nous avons : T 8, L 64, N 175, T 3D 1/4 et, 15 logl + 1 < 3, logd log ϕm. 13

16 Démonstration - L inégalité 7 nous donne T [3e] = 8, en particulier L 64, et N 175 e 951. Pour montrer T 3D 1/4, comme log D log ϕm 4 log 3, il suffit de remarquer que la fonction x x log x e0.5x est négative en 4 log3 et de dérivée négative sur ]1, + [. Pour la dernière inégalité nous avons : log L = log D log ϕm + log T 1, 5 logd + log3 log ϕm car T 3D 1/4. Ainsi, puisque ϕm 3 4 il vient log L 1, 5 logd 1 log ϕm. Comme L 64 on a logl + 1 < 1, 0038 logl, ainsi, 15 logl + 1 < 3, logd log ϕm. Supposons par l absurde : hγ < 10 3 d 3 log log D. 9 log D D après la proposition III.4, il existe un polynôme F O k [x] non nul, de degré au plus L, et nul en γ à un ordre T tel que : hf dt Lhγ + T logl log ck L + 1 dt 1 Lhγ + T logl log ϕm. T 1 En effet, comme k m ϕm, on a c k = π 1/ϕm m k π ϕm. Ainsi, comme T 8 : hf Lhγ + 1, 15 logl log ϕm. 10 Extrapolation Soit maintenant p [N/, N] un nombre premier ne divisant pas m en particulier p k et soit ν est une place ne divisant pas p. Notons T 1 l ordre d annulation de F φp en γ p ; nous devons donc montrer T 1 > 0. D après la proposition III.6, on a T 1 logl log p > ε où ε := T log p hf plhγ logl+1, il nous suffit ainsi de voir que ε est strictement positif. Par hypothèse sur F on a : ε T log p Lhγ1 + p, 15 logl + 1 log ϕm 14

17 soit, d après le fait IV.4 : ε > T log p Lhγ1 + p 3, logd. Nous allons voir que F φp s annule en γ p, en montrant que ε > 0. Par hypothèse p N/ 1,99 log D d après 7 avec x = log D, a = 0, 01 et b = 1 et T 8, ainsi : ε > 8 9 T + 11, 99 loglog D 3, logd Lhγ1 + p > logd Lhγ1 + N > logd log D4 d log log D 3 hγ. Donc, d après 9, on a ε > 0, en particulier T 1 > 0 et F φp γ p = 0. Conclusion Remarquons que si F φp γ p = 0 et si τ GalQ/k prolonge φ 1 p, alors Fτγp = 0. Notons Σ l ensemble des τγ p, où p parcourt l ensemble des premiers p de [N/, N] ne divisant pas m, τ GalQ/k prolonge φ 1 p. Sous l hypothèse 10 sur la hauteur de γ, nous avons vu que F s annule sur Σ. Pour arriver à une contradiction, nous allons montrer que CardΣ > degf. Soient p 1 < < p s les diviseurs premiers de m dans {N/,..., N}, nous avons : ϕm p 1 1p 1 p s 1 N/ 1 s, en particulier s logϕm logn/ 1 log D. 6 Remarquons maintenant que si p est un nombre premier tel que Qγ p = Qγ, alors kγ p = kγ c est-à-dire [kγ p : k] = [kγ : k], auquel cas les k-automorphismes de Q prolongeant φ 1 p sont au nombre de d = [kγ : k]. Ainsi, d après la proposition III.1 page 4, le nombre de premiers p tels que [kγ p : k] < [kγ : k] ou tel que γ p soit égal σγ p pour un certain σ GalQ/k, σ id, est inférieur à : log[qγ : Q] log log D log. De plus, comme γ n est pas racine de l unité, γ p et γ p ne sont pas conjugués si p p, d où : 1 CardΣ d πn πn/ log + 1 log D 6 15

18 soit, d après le lemme III. page 4 et 7 avec x = log D, a = 1 et b = : CardΣ d 0,4 N 1,7 logd logn d 0,4 N log D log N 1,7. e log log D De plus, log N + log 175loglog D, donc : 0, log D CardΣ d + log 175 1, log log D d où log D CardΣ > 3 d. log log D Ainsi CardΣ > L degf ; en particulier F ne peut pas s annuler sur Σ tout entier, contradiction avec l hypothèse 9. V Démonstration du théorème principal Si V α désigne la variété de dimension zéro définie sur Q par un point α de G n m, c est-à-dire {σα σ GalQ/Q}, l inégalité 1 nous dit ω Q α ndegv α 1/n. De façon générale, si V est une variété définie sur Q et Q irréductible contenant α, il découle immédiatement d un résultat de M. Chardin cf. [Ch], corollaire, chapitre 1, page 310 et exemple 1, page 311 l inégalité : ω Q α n degv 1/codimV. 11 Afin de pouvoir conclure leur démonstration, [Am-Da4] considèrent des variétés de différentes dimensions contenant un translaté de la variété qu ils étudient, aussi ont-ils été amenés à introduire l indice d obstruction généralisé de poids T : ωt; α := min{t degw 1/ codimw }, où T est un réel > 0 et W parcourt l ensemble des variétés définies sur Q et Q irréductibles contenant α. Notons en particulier qu aucune hypothèse sur le corps de définition de V n est faite ici. Nous utiliserons cet indice d obstruction généralisé un peu modifié, en gros : { min ωt, TD 1/}, où D est le degré sur Q d un point α et le ω le degré d une courbe V définie sur Q fixée contenant α voir dans le choix des paramètres ci-dessous. Celui-ci dans notre cas n est pas nécessaire pour retrouver la minoration du théorème à une puissance du log près, néanmoins il permet de gagner non seulement sur la constante, mais surtout dans le terme d erreur sur la puissance du log. 16

19 V.1 Choix des paramètres et fonction auxiliaire Notons D le degré de Qα sur Q et posons : [ ] log ω T = 9 log log ω { [ ]} L = min ωt, TD 1/ T + 1. Notons c 1 := 3,7 10 4, c :=, et considérons les réels N 1, N suivants : log ω N 1 := c 1 log log ω N := c log ω 8 log log ω 6. Fait V.1 Nous avons : 1. T [9e ] = 66 et N 1 N.. logl + 1 4,3 logω. 3. logn 1 / 1,999 loglog ω et logn / 7,9 loglog ω. 4. Les inégalités suivantes nous permettrons de majorer le cardinal d ensembles de premiers exceptionnels : Démonstration - log log L 0,01 N 1 log N 1 et log logn 1L 0,01 N log N. 1. Pour la première inégalité on utilise 7 avec a = b =. La seconde découle immédiatement du choix des constantes.. Comme T 66 nous avons L + 1 ω T + 1 1, 000 ω T or : d où le résultat. log L log + log ω + log9/ loglog log log ω 1 + log + log8, loglog 16/ log16 log ω 4, 99 logω 3. Il suffit de remarquer que, d après 7 avec a, b = 0.001, 1 puis 0.08, 6 nous avons : N 1 c 1 0,001elogω 1,99 et N 1 c 1 6 0,08e log ω 7, Comme log N 1 + log c 1 log log ω on a 0,01 N 1 log N 1 c 1 log ω 4, 3 logω log c 1 log log ω log log ω log log ω 17

20 log ω or 4, 3 logω log L et d après 7, e log log ω Enfin nous avons, puisque N N 1 : 4 1, d où l inégalité voulue. 0,01 N log N 0,01N 1 N 1 logn N 1 log N 1 de plus log logn 1L = log log N 1 + log L log log N 1 + 0,0 N 1 log N 1. Le corollaire III.5 nous donne un polynôme F E{α}, L, T Z[x] vérifiant : hf 1 T + 1logL Lhα T 1 Pour j = 1, posons P j := {p [N j /, N j ] premier} {1} et notons T 1 := min p P 1 ord α pf, en particulier, comme 1 P 1 nous avons T 1 T. Nous allons montrer le théorème par l absurde, aussi nous supposerons dans la suite α de hauteur petite, plus précisément : On a alors : hα T 1 log N T N 1 N L 10L. 1 hf T logl + 1 T 1 10 logl + 1 ainsi, comme T 66 et L + 1 T 3/ 500 on obtient hf 1, 05 logl + 1. V. Extrapolation Proposition V. Sous l hypothèse 1 sur la hauteur de α, nous avons, pour tout p, q dans P 1 P, Fα pq = 0. Démonstration - Soit p, q P 1 P, puisque T 1 T et N nous avons d après 1 Lhα T 1 log N T log N. 10N 1 N 1000 N Par décroissance de la fonction x logx/x, comme p N 1 N / q N il découle plhα 0,001T log p et pqlhα 0,1T 1 log q

21 Notons T 1,p l ordre d annulation de F en α p, comme hf 1,05 logl + 1, la proposition III.6 nous donne : Deux cas apparaissent : si L + 1 p : T 1,p logl log p > 0,999T log p 3,05 logl + 1. donc, comme T 66, on obtient T 1,p 3. si L + 1 > p : T 1,p log p > 0,999T 3,05logp, 14 T 1,p + 3, 05logL + 1 > 0,999T log p 0,999T logn 1 / 15 Comme T 66, on a, d après le point du fait V.1 : T 1,p + 3,05 > 0,999T T + 1 T + 1logN 1/ 4,3 logω > 0, logn 1/ 4,3 log ω log log ω Soit, en utilisant les inégalités N 1 / c1 log 16 log log 16 et log ω log log ω e 4 via 7 : T 1,p + 3, 05 > 45,05 car c 1 = 3, Ainsi dans les deux cas on a T 1,p. Notons maintenant T,pq l ordre d annulation de F en α pq ; nous avons d après 13 plhα q = pqlhα 0,1T 1,p log q. Comme hf 1,05 logl + 1, de nouveau la proposition III.6 nous donne : T,pq logl log q > 0,9T1,p log q 3,05 logl + 1. Il nous faut ici montrer que le membre de droite de cette inégalité est > 0. Si L + 1 p, c est évident, car T 1,p et q p. Supposons donc L + 1 > p ; comme T 1,p nous avons : 0,9T 1,p > 0,4T 1 + 3,05, ainsi d après 15 0,9T 1,p logn / > 0,4 0,999T logn 1/ logl + 1 D où, d après les points 1, et 3 du fait V.1 : logn /. 0,9T 1,p logn / > 0,4 0, ,999 4,3 7,9 9 logω > 13,5 logω. Ainsi 0,9T 1,p log q > 3,05 4,3 logω 3,05 logl

22 V.3 Conclusion Notons X 1 la variété définie par F et posons : X := [p] 1 X 1, p P 1 X 3 := [pq] 1 X 1. p,q P 1 P Notons que, puisque P 1 et P contiennent 1, nous avons les inclusions suivantes : X 3 X X 1. Nous travaillons ici avec α, aussi nous ne considérerons que les composantes de ces variétés rencontrant une puissance de α; plus précisément posons : Y 1 l union des composantes Q-irréductibles de X 1 contenant α pq pour au moins un p, q dans P 1 P Y l union des composantes Q-irréductibles de X contenant α q pour au moins un q P Y 3 l union des composantes Q-irréductibles de X 3 contenant α. On a les inclusions suivantes : α Y 3 Y Y 1 En particulier, deux de ces trois variétés ont même dimension ce qui nous permettra de comparer leurs degrés ou leur hauteurs normalisées. V.3.1 Cas où Y et Y 3 sont de dimension 0 Soit Z une composante Q-irréductible de Y 3 ; comme Z rencontre α on a : Z = En particulier degz = D. De l inclusion on obtient une première inégalité : σ GalQ/Q σα. q P [q]z Y, deg [q]z deg Y. 17 q P Soient F 1,..., F r les facteurs Q-irréductibles de F. Les composantes Q-irréductibles de X de dimension 1 sont les ZF j, où : F j gcd {Fx p, p P 1 }. Quitte à les réordonner, on peut supposer que 1,...,l sont les indices i pour lesquels F i ne divise pas gcd {Fx p, p P 1 }. En particulier, comme Y est de dimension zéro par hypothèse, si 0

23 j {l + 1,...,r}, alors F j α q 0 pour tout q P. Choisissons maintenant un polynôme G de la forme Gx = λ p Fx p λ p Q p P 1\{1} tel que G ne soit pas un diviseur de zéro de Q[x]/ F. Un tel polynôme existe bien, il suffit en effet de remarquer que pour tout j dans {1,...,l}, le sous-espace vectoriel λ QCardP1 1 λ p Fx p F j p P 1\{1} est propre. Comme Y Z F ZG et ce dernier est de dimension 0, le théorème de Bézout nous donne : deg Y degfdegg N 1 L N 1 DTT + 1. Considérons maintenant le membre de gauche de 17. Comme N 5000, la proposition III.1 et le lemme III. nous donnent : 0,41 N log N log log D D deg [q]z. q P De plus, comme Z Y, on a D degy N 1 L, soit, d après le point 4 du fait V.1 : En reportant tout ceci dans 17 on en déduit log log D log logn 1L 0,01 N. log N 0,4N log N N 1 TT + 1. D où, en utilisant les inégalités log N 8 + log c log log ω et T 66 : 0,4c 67 c 1 9 3, 8 + log c 66 contradiction, car c 1 = 3, et c =, V.3. Cas où Y 1 et Y sont de dimension 1 Soit Z une composante Q-irréductible de Y de dimension 1, et soit q P tel que α q Z. Supposons dans un premier temps que Z soit de torsion. Si B désigne [q] 1 Z, alors α B et B est de torsion. Comme Z et Y 1 sont de même dimension, on a : degb N degz N degy 1 N L c 9 ω log ω 1. De plus, V étant irréductible et non de torsion, V et B n ont pas de composante commune, le théorème de Bézout nous donne : D degv degb = ω degb, 1

24 où D est le degré de α sur Q. Ainsi, comme ω 16 : D degb c 9 ω 3 log ω 4 ω 3 log ω 4 ω 47. Le lemme V.3 ci-dessous nous dit alors : ce qui nous donne bien le théorème. hα 10 9 ω log log ω 3 log ω. Lemme V.3 Soit V une courbe de G m définie sur Q et Q-irréductible de degré ω qui ne soit pas de torsion, et soit α V \ G m tors. S il existe une courbe B de torsion définie et irréductible sur Q contenant α, alors : hα ω 3 logd degb. log logd degb Démonstration - Il existe un sous-groupe algébrique H de G m et un θ G m tors tels que : B = σθh. Soient a, b Z tels que : σ GalQ/Q H = { x, y G m x a y b = 1 }. Comme α B, il existe η G m tors tel que α a 1α b = η. Soit γ une racine b-ième de α 1 α n étant pas de torsion, γ G m tors, on a α b = ηγ ab. En particulier, il existe η G m tors tel que α = η γ a. Posons M := max{ a, b }, on a : hα max{hα 1, hα } max{hγ b, hη γ a } M hγ Considérons gt := t λ Gt b, ηt a Qη[t], où G Q[x] est une équation de de V et λ Z est choisi le plus petit possible. En particulier G est nul en α de degré ω et a fortiori on a gγ = 0. Notons que, comme V n est pas de torsion, le polynôme g est non nul. Notons D γ := [Qη, γ : Q] et d γ := [Qη, γ : Qη] ; l extension Qη/Q étant cyclotomique, la proposition IV.3 nous dit que : hγ 10 3 d γ 3 logdγ, log logd γ or d γ degg deggm = ωm et D γ DM, d où : hγ ωm 3 logmd, log logmd

25 ainsi : hα M hγ ω 3 logmd. log logmd Pour finir, il suffit de remarquer que, comme H et B ont la même dimension, on a M degh degb. Nous supposerons dans la suite que Z n est pas de torsion. Nous avons l inclusion p P 1 [p]z Y 1. Comme les variétés Z et Y 1 sont de même dimension, on en déduit : ĥy 1 ĥ [p]z p P 1 Notons W 1,..., W l les composantes géométriquement irréductibles de Z. Comme Z n est pas de torsion, le lemme.3 de [Am-Da] nous dit que, si p, i et p, j sont deux couples distincts d éléments de P 1 \ EccZ {1,...,l}, alors les sous-variétés [p]w i et [p ]W j sont distinctes ; ainsi ĥy 1 p P1 p EccZ l ĥ[p]w i. 18 Si W désigne une composante géométriquement irréductible de Z, il nous faut donc majorer le cardinal de EccZ et évaluer ĥ[p]w en fonction de ĥw. Rappelons que le stabilisateur de W est par définition : G W := {y G n m y W = W } = y 1 W, en particulier dimg W dimw = 1. Notons ici que les premiers divisant le cardinal de G W /G 0 W quotient de G W par sa composante neutre G 0 W sont dans EccW4. On sait de plus, d après la proposition.1 de [Da-Ph] que : ĥ[p]w = i=1 y W pdimw+1 ker[p] G W ĥw, et ker[p] G W = p dim GW ker[p] G W /G 0 W p ker[p] G W/G 0 W. En particulier si p EccZ, auquel cas p ne divise pas G W /G 0 W, on a : ĥ[p]w p ĥw. 4 cardinal qui est indépendant du choix de la composante W. 3

26 La proposition III.1 et le point 4 du fait V.1 nous donnent de plus Ainsi, en reportant ceci dans 18 : ĥy 1 CardEccZ P 1 logdegz log p P1 p EccZ Comme N , nous déduisons du lemme III. : logl log 0,01 N 1 log N 1. p ĥz πn 1 πn 1 / 0,01 N 1 N1 log N 1 ĥz. ĥy 1 0, N 1 ĥz. 19 log N 1 Comme dim Z = dim Y 1 = dim X 1 = 1 et Z Y 1 X 1 on a degz deg Y 1 L. La variété Z n étant pas de torsion, la proposition IV.1 nous dit : 3 log log L ĥz 5 6, log L de plus, l inégalité de Landau hf + log degf log MF nous donne :,05 logl hf + log degf log MF = ĥx 1 ĥy 1. En reportant tout cela dans 19 on obtient alors,05 logl 5 7 N 1 log N 1 3 log log L. log L Remarquons maintenant que log N 1 + logc 1 log log ω et, d après le point du fait V.1, que log L 4,3 logω, soit N 1 log N 1 car c 1 = 3,7 10 4, contradiction. c 1 log ω 4 log ω + log c 1 log log ω 3 >, ,3 4 4 log log ω 3 V.3.3 Conclusion de la démonstration du théorème L hypothèse 1 est donc fausse, ainsi : hα T 1 log N 10N 1 N L. Fait V.4 On a T 1 log N 15 logω 4

27 Démonstration - Soit p, q P 1 P, tel que l ordre d annulation T 1,p de F en α p vérifie T 1,p = T 1. Si L+1 > p, c est exactement l inégalité 16. Supposons donc L+1 p, comme N N 1 et N 1 p N 1 /, l inégalité 14 donne : soit, d après le point 3 du fait V.1 : T 1 log N T 1 log N 1 > 0,999T 3,05logN 1 / T 1 log N > 1,9990,999T 3,05loglog ω > T + 1loglog ω > 9 log ω log log ω > 9e logω Par définition, L ωt, le Fait V.4 montre alors que ainsi, hα hα 1,5 1 log log ω 11 9 c 1 c ω log ω 13 1, ω log log ω 11 log ω 13 car c 1 = 3, et c =, VI Démonstration du corollaire I.1 Soient α := α 1, α un point à coordonnées multiplicativement indépendantes. On peut supposer sans perte de généralité hα 1 hα 1 et D := [Qα : Q]. Soient A N et β := β 1, β tels que β 1 = α 1 et β A = α. Comme β est à coordonnées multiplicativement indépendantes, toute courbe Q-irréductible de G m passant par β n est pas de torsion. D après le théorème nous avons alors : On choisit maintenant : en particulier et Nous obtenons alors hβ A := 1, ω Q β max {log ω Q, log 16} 13. [ ] hα > hα hα 1 hα 1 1 hα hα 1 hβ hβ 1 + hβ = hα 1 + A 1 hα hα 1, ω Q β [Qβ : Q] 1/ AD 1/ hα hα 1 D1/. hα 1 1, max hα hα D1/ 1 5 { } 13 logad 1/, log 16

28 soit hα 1 hα 1/ D 1/ max { logad 1/, log 16} Minorons le membre de droite, nous avons : 1/ D AD 1/. hα 1 Comme α est à coordonnées multiplicativement indépendantes, α 1 n est pas une racine de l unité et la version explicite du théorème de Dobrowolski par Voutier [Vo] nous donne : On en déduit hα 1 1 4D log3d 3. log AD 1/ log 4 Dlog 3D 3/ log3d. Comme D, nous avons log3d log 16, et, en reportant ceci dans 0 nous obtenons : hα 1 hα 1/ 3 13, log3d 13. D 1/ Ainsi C 1/ =.10 1 et κ = 13. Références [Am-Da] F. Amoroso et S. David, Le problème de Lehmer en dimension supérieure, J. Reine Angew. Math , p [Am-Da] F. Amoroso et S. David, Minoration de la hauteur normalisée d une hypersurface, Acta Arithmetica , p [Am-Da3] F. Amoroso et S. David, Distribution des points de petite hauteur dans les groupes multiplicatifs, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Sci. Serie V Vol III Fasc. 004, p [Am-Da4] F. Amoroso et S. David, Minoration de la hauteur normalisée dans un tore, Journal of the Inst. of Math. Jussieu 003 3, p [Am-Za] F. Amoroso et U. Zannier, A Relative Dobrowolski Lower Bound over Abelian Extensions, Ann. Scuola Nom. Sup. Pisa Serie IV 9 000, p [Bo-Va] E. Bombieri and J. Vaaler, On Siegel s Lemma, Inv. math., [Bi] Y. Bilu, Math. Reviews MR 000g : [Ch] M. Chardin, Une majoration de la fonction de Hilbert et ses conséquences pour l interpolation algébrique., Bul. Soc. Math. France t , p [Da-Ph] S. David et P. Philippon, Minorations des hauteurs normalisées des sous-variétés des tores, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Sci. 4 XXVIII 1999, pp

29 [Do] E. Dobrowolski, On a question of Lehmer and the number of irreductible factors of a polynomial, Acta Arithmetica , p [Le] D. H. Lehmer, Factorization of certain cyclotomic functions, Ann. Math. 34, 1933, p [P] C. Pontreau, Mémoire de DEA, Université de Caen 001 [Ro-Sc] [St-Va] [Vo] J. B. Rosser and L. Shœnfeld, Approximate formulas for some functions of prime numbers, Ill. J. Math. t. 6, pages 64-94, 196. T. Struppeck and J. Vaaler, Inequalities for heights of algebrais subspaces and the Thue- Siegel principle, in : Analytic Number Theory, Boston, 1990, p P. Voutier, An effective lower bound for the height of algebraic numbers, Acta Arithmetica 74, 1996, p [Zh] S. Zhang, Positive line bundles on arithmetic varieties, J. Amer. Math. Soc. 8, 1995, p Laboratoire de mathématiques Nicolas Oresme, CNRS UMR 6139 Université de Caen BP Caen Cedex FRANCE 7

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