3 e. En avant, les maths! année troisième année. Une approche renouvelée pour l enseignement et l apprentissage des mathématiques MINILEÇON

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1 3 e année troisième année En avant, les maths! Une approche renouvelée pour l enseignement et l apprentissage des mathématiques MINILEÇON $ SENS DE L'ESPACE Comparer et mesurer l aire à l aide d unités de mesure non conventionnelles

2 RÉSUMÉ Dans cette minileçon, l élève compare et mesure l aire à l aide d unités de mesure non conventionnelles. PISTES D OBSERVATION L élève : montre sa compréhension du concept de l aire; utilise des unités de mesure non conventionnelles appropriées; mesure l aire à l aide d unités de mesure non conventionnelles; compare l aire à l aide d unités de mesure non conventionnelles. MATÉRIEL feuilles de papier; balle de soccer; cartes à jouer; papier quadrillé; tangrams. CONCEPTS MATHÉMATIQUES Le concept mathématique nommé ci-dessous sera abordé dans cette minileçon. Une explication de celui-ci se trouve dans la section Concepts mathématiques. Domaine d étude Concept mathématique Sens de l espace Utilisation d unités non conventionnelles pour l aire 2

3 PARTIE 1 EXPLORATION GUIDÉE Déroulement - Consulter, au besoin, la fiche Utilisation d unités non conventionnelles pour l aire de la section Concepts mathématiques afin de revoir avec les élèves les concepts relatifs à la mesure de l aire à l aide d unités non conventionnelles, ainsi que la terminologie liée à ces concepts en vue de les aider à réaliser l activité. - Présenter aux élèves l Exemple 1, soit choisir des unités de mesure non conventionnelles appropriées pour comparer et mesurer l aire de différentes figures. - Allouer aux élèves le temps requis pour effectuer le travail. À cette étape ci, l élève découvre diverses stratégies pour mesurer l aire. - Demander à quelques élèves de faire part au groupe-classe de leur solution et d expliquer les stratégies utilisées pour mesurer et comparer l aire. Inviter les autres élèves à poser des questions afin de vérifier leur compréhension. - À la suite des discussions, s assurer que les élèves établissent des liens entre l aire des différentes figures. Note : Au besoin, consulter le corrigé de la partie 1 pour obtenir des exemples de stratégies. - Encourager les élèves à améliorer leur travail en y ajoutant les éléments manquants. - Au besoin, présenter aux élèves l Exemple 2, soit d autres activités pour comparer et mesurer l aire de différentes figures à l aide d unités de mesure non conventionnelles. 3

4 CORRIGÉ EXEMPLE 1 Dans la cour d école, il y a un jeu de marelle et beaucoup d élèves s y intéressent. Il serait intéressant de trouver l aire du jeu de marelle afin de vérifier s il serait possible d en peindre un deuxième dans l espace pavé disponible. De cette façon, plus d élèves pourraient jouer en même temps. a) Compare et choisis l unité de mesure appropriée pour mesurer l aire de la case 1 du jeu de marelle en utilisant les unités de mesure suivantes : Choix 1 : Ballon de soccer Choix 2 : Feuille de papier Choix 3 : Cartes à jouer STRATÉGIE 1 Mesurer l aire en utilisant l itération Choix 1 : Ballon de soccer Je place le ballon de soccer dans la case 1. C est difficile de mesurer l aire avec le ballon de soccer. Le ballon roule et il ne pourra pas recouvrir tout l espace de la case 1. Ce n est pas un bon choix parce que sa surface courbe ne se prête pas bien à la mesure de l aire du jeu de marelle. Choix 2 : Feuille de papier Je place successivement la feuille de papier dans la case 1 sans espace ni chevauchement, sur toute la surface de la case 1. Je vois que j ai besoin de 4 feuilles pour recouvrir la surface de la case 1. La forme rectangulaire permet de recouvrir la surface sans créer de chevauchement ni laisser d espaces. La feuille garde la même aire et représente bien une unité d aire. Elle pourrait aussi être décomposée et recomposée au besoin. 4

5 STRATÉGIE 2 Mesurer l aire en utilisant la structure associée aux unités de mesure de l aire d un rectangle Choix 3 : Cartes à jouer Je place les cartes dans la case 1 du jeu de marelle, de façon à ce qu il n y ait pas d espace ni de chevauchement. Je vois que je forme des rangées et des colonnes. J obtiens une disposition rectangulaire. Je compte 6 rangées et je compte sept colonnes. J ai donc six groupes de sept cartes. J additionne et je vois que j ai besoin de 42 cartes pour recouvrir la surface de la case 1. La forme rectangulaire permet de recouvrir la surface sans créer de chevauchement ni laisser d espaces. Les cartes gardent la même aire et représentent bien une unité d aire. Cependant, il faudrait un grand nombre de cartes pour recouvrir tout l espace du jeu de marelle. En comparant les trois choix, je réalise que le ballon n est pas un choix approprié pour mesurer l aire du jeu de marelle. Je remarque que j ai utilisé plus de cartes à jouer que de feuilles de papier. Je comprends que plus l unité de mesure de l aire utilisée est petite, plus le nombre d unités requis pour déterminer la mesure de l aire est grand. Cependant, l aire de la case ne change pas. Je vois que la feuille de papier serait le meilleur choix pour mesurer l aire de la case 1 du jeu de marelle. La feuille de papier convient pour représenter une unité de mesure d aire; elle ne crée aucun espace ni chevauchement, elle garde la même aire, elle peut être décomposée et recomposée au besoin. b) Mesure l aire du jeu de marelle. STRATÉGIE Mesurer l aire en utilisant l additivité Je sais que l aire d une figure est égale à la somme de l aire de chacune de ses parties. Dans le jeu de marelle, je vois qu il y a huit cases identiques et une section courbée. J ai déjà trouvé l aire de la case 1. Je sais que l aire de la case 1 est égale à quatre feuilles de papier. Alors, je vais additionner quatre feuilles de papier huit fois; = 32, ou 4 8 = 32. L aire de toutes les cases du jeu de marelle mesure 32 feuilles de papier. Pour la section courbée, je vais commencer par placer les feuilles sans espace ni chevauchement. Afin de bien recouvrir toute la surface courbée, je vais donc découper ma feuille de papier pour bien remplir l espace. Je sais que l aire de ma feuille demeure la même, même si elle est décomposée. Ensuite, j additionne le nombre de feuilles pour recouvrir l espace. J ai besoin de trois feuilles de papier et la moitié d une autre pour recouvrir l espace de la section courbée. J additionne la mesure de l aire des sections rectangulaires et la mesure de l aire de la section courbée : 32 feuilles + trois feuilles et demi. L aire du jeu de marelle mesure 35 feuilles et demi. 5

6 c) Trouve une nouvelle façon de placer le jeu de marelle. Que remarques-tu de la mesure de son aire? STRATÉGIE Comparer l aire à l aide de la conservation Je crée une nouvelle façon de placer le jeu de marelle comme dans l image ci dessous : En comparant les deux jeux de marelle, je remarque que même si les cases ont été déplacées, la mesure de l aire du jeu de marelle est la même. L aire d une surface demeure la même que la surface soit déplacée, transformée ou décomposée. d) Trois amis ont été créatifs en créant leur jeu de marelle. En sachant que le jeu de marelle de Josée a une plus grande aire que celui de Paule et que le jeu de Paule a une plus grande aire que celui de Christian, que peux-tu conclure? STRATÉGIE Utiliser la transitivité pour établir une relation d égalité ou d inégalité entre l aire de différents objets Puisque le jeu de marelle de Josée a une plus grande aire que celui de Paule et que celui de Paule a une plus grande aire que celui de Christian, je peux conclure que le jeu de marelle de Josée a également une plus grande aire que celui de Christian. 6

7 PARTIE 2 PRATIQUE AUTONOME Déroulement - Au besoin, demander aux élèves de faire quelques exercices de la section À ton tour!. Ces exercices peuvent servir de billet de sortie ou autre. - Recueillir les preuves d apprentissage des élèves et les interpréter pour déterminer leurs points forts et cibler les prochaines étapes en vue de les aider à s améliorer. Note : Consulter le corrigé de la partie 2, s il y a lieu. CORRIGÉ 1. Voici 4 hexagones. Recouvre-les avec les triangles et les trapèzes afin d en déterminer l aire. Que remarques-tu? Je recouvre les hexagones avec les triangles. Je vois que j ai besoin de 24 triangles pour recouvrir les quatre hexagones. L aire des hexagones est de 24 triangles. 7

8 Je recouvre les hexagones avec les trapèzes. Je vois que j ai besoin de huit trapèzes pour recouvrir les quatre hexagones. L aire des hexagones est de huit trapèzes. Je remarque qu un plus grand nombre de triangles que de trapèzes est nécessaire afin de recouvrir toute la surface des hexagones. Je comprends que plus mon unité de mesure est petite, plus la quantité nécessaire est grande. 2. J ai construit un carré en utilisant tous les tangrams suivants : Construis une autre forme en utilisant les mêmes tangrams. Que remarques-tu au sujet de l aire des 2 formes? Je remarque que l aire du carré est la même que l aire de l avion. Je sais que même si une surface est déplacée, transformée ou décomposée, l aire demeure identique. 8

9 3. Choisis une unité de mesure appropriée et mesure l aire de chaque objet. Objets à mesurer Choix d unités de mesure Mesure Livre de lecture Tuile du plancher Table Coffre à crayons Dessus du pupitre Siège de la chaise Vestiaire Objets à mesurer Choix d unités de mesure Mesure Livre de lecture Carreaux de couleur 35 Tuile du plancher Papillons autocollants 16 Table Grands carrés en carton 50 Coffre à crayons Carreaux de couleur 28 Dessus du pupitre Feuilles de papier 5 Siège de la chaise Feuilles de papier 3 et 1 demi Vestiaire Papier journal à doubles pages 20 9

10 4. Découpe le rectangle suivant de 2 façons différentes afin de former de nouvelles figures planes. Que peux-tu dire au sujet de l aire des 3 figures? Option 1 : Je vais découper le rectangle en deux en suivant les pointillés. J obtiens deux triangles : Option 2 : Je vais découper le rectangle en quatre en suivant les pointillés. 10

11 J obtiens quatre petits rectangles : Je peux dire que l aire des trois figures demeure la même. Chaque figure occupe la même aire, mais elle est disposée différemment. L aire n a pas augmenté ni diminué. Le rectangle est simplement disposé de différentes façons. 11

12 Version de l élève 3 e année troisième année En avant, les maths! Une approche renouvelée pour l enseignement et l apprentissage des mathématiques MINILEÇON $ SENS DE L'ESPACE Comparer et mesurer l aire à l aide d unités de mesure non conventionnelles

13 PARTIE 1 EXPLORATION GUIDÉE EXEMPLE 1 Dans la cour d école, il y a un jeu de marelle et beaucoup d élèves s y intéressent. Il serait intéressant de trouver l aire du jeu de marelle afin de vérifier s il serait possible d en peindre un deuxième dans l espace pavé disponible. De cette façon, plus d élèves pourraient jouer en même temps. a) Compare et choisis l unité de mesure appropriée pour mesurer l aire de la case 1 du jeu de marelle en utilisant les unités de mesure suivantes : Choix 1 : Ballon de soccer Choix 2 : Feuille de papier Choix 3 : Cartes à jouer b) Mesure l aire du jeu de marelle. c) Trouve une nouvelle façon de placer le jeu de marelle. Que remarques-tu de la mesure de son aire? d) Trois amis ont été créatifs en créant leur jeu de marelle. En sachant que le jeu de marelle de Josée a une plus grande aire que celui de Paule et que le jeu de Paule a une plus grande aire que celui de Christian, que peux-tu conclure? 13

14 TA STRATÉGIE 14

15 PARTIE 2 PRATIQUE AUTONOME À ton tour! 1. Voici 4 hexagones. Recouvre-les avec les triangles et les trapèzes afin d en déterminer l aire. Que remarques-tu? TA STRATÉGIE 15

16 2. J ai construit un carré en utilisant tous les tangrams suivants : Construis une autre forme en utilisant les mêmes tangrams. Que remarques-tu au sujet de l aire des 2 formes? TA STRATÉGIE 16

17 3. Choisis une unité de mesure appropriée et mesure l aire de chaque objet. Objets à mesurer Choix d unités de mesure Mesure Livre de lecture Tuile du plancher Table Coffre à crayons Dessus du pupitre Siège de la chaise Vestiaire TA STRATÉGIE 17

18 4. Découpe le rectangle suivant de 2 façons différentes afin de former de nouvelles figures planes. Que peux-tu dire au sujet de l aire des 3 figures? TA STRATÉGIE 18

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