Triplets pythagoriciens

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1 Triplets pythagoriciens. Description arithmétique.. Description algébrique : Euclide via Gauss. 3. Description arborescente de Berggren. 4. Description géométrique. 5. Triangles héroniens. 6. Triplets «pythagoroniens». 7. Les équations x + y = pz, p premier impair. à la mémoire de Bertrand Heuschmidt Pierre-Jean Hormière «Pythagore estimait l arithmétique au-dessus de tout.» Aristoxène «Puiser une eau nouvelle dans les puits anciens» Frédéric II de Hohenstaufen Le «théorème» dit «de Pythagore» est sans doute la plus ancienne conquête des mathématiques. Son attribution à Pythagore n apparaît que tardivement dans la littérature grecque, et parfois sous une forme dubitative. Tout indique en effet qu il remonte aux babyloniens. Mais que disait-ce fameux théorème, au juste? Les documents anciens montrent qu il comportait deux volets : Un aspect géométrique : dans un triangle rectangle, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Un aspect arithmétique : la recherche des triangles rectangles dont les côtés se mesurent en nombres entiers. Pour les pythagoriciens, ces deux aspects se confondaient : «Tout est nombre», avait dit le maître, c est-à-dire nombre entier naturel, autrement dit, les trois côtés d un triangle rectangle étaient des multiples entiers d une même unité de longueur. Après la découverte des irrationnels, à la fin de l école pythagoricienne, arithmétique et géométrie se séparent pour de longs siècles, et les deux aspects du «théorème de Pythagore» divergent, tout en continuant d entretenir, comme on va le voir, des relations étroites. C est à ce dernier problème, la résolution de la plus ancienne des équations diophantiennes, qu est consacrée cette étude = 5, 5 + = 3, = 7, + = 9, etc. Je pensais qu il n y avait plus rien à dire sur le sujet depuis Euclide. Eh bien je me trompais! Un article de l Encyclopedia universalis, un article d André Stoll, une intéressante conférence de Claude Quitté et des remarques de Gilles Boutte m ont prouvé qu il n en était rien, et donné envie de retravailler ce sujet. Un récent article de Jean-Paul Delahaye est venu compléter mes informations. La tablette d argile ci-dessous, de,7 cm de largeur, 8,8 cm de hauteur et 3, cm d épaisseur maximum, a été découverte lors de fouilles illégales, probablement à Senkereh (anc. Larsa) au sud de l Irak, et achetée en 9 par l éditeur new-yorkais George Arthur Plimpton, qui légua sa collection à l université Columbia dans les années 93. Elle aurait été produite entre 8 et 784 av JC. Je renvoie à l intéressant article de wikipedia qui lui est consacré. Une équation diophantienne est une équation polynomiale dont les inconnues sont des entiers.

2 . Description arithmétique. Tablette babylonienne Plimpton 3 (8 e siècle av J-C).. Définition, premières propriétés. Définition : On nomme triplet pythagoricien tout triplet (a, b, c) N* 3 tel que a + b = c. Un triplet pythagoricien (a, b, c) est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble. On nomme triangles pythagoriciens, resp. triangles pythagoriciens primitifs, les triangles rectangles associés de côtés (a, b, c). Exemple : Le triplet pythagoricien le plus célèbre est (3, 4, 5). Il est primitif. C est de plus le seul triplet formé de nombres consécutifs. Proposition : Si (a, b, c) est un triplet pythagoricien, a et b sont 3, et c 5 Preuve : En effet, a = impliquerait + b = c, donc b < c, donc b + c, donc + b + b c = + b. Impossible! Par symétrie, b. Et a = impliquerait 4 + b = c, donc b < c, donc b + c, donc + b + b c = 4 + b, et finalement b 3/, et b =. Impossible! Du coup, a et b sont 3, et c = a + b 8 implique c 5. Cqfd. Proposition : Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien. L un au moins des nombres a et b est multiple de (resp. de 3, resp. de 4). L un au moins des nombres a, b, c est multiple de 5. Preuve : ) Si a et b étaient impairs, c serait pair. Posant a = p +, b = q + et c = k on aurait (p + ) + (q + ) = 4k. Le premier membre est congru à modulo 4, le second à. Impossible. ) Si a et b n étaient pas multiples de 3, ils seraient congrus à ou modulo 3. Leurs carrés a et b seraient congrus à modulo 3, donc a + b serait congru à modulo 3 : il ne pourrait être un carré, car les carrés sont congrus à ou modulo 3. 3) Après pas mal de réflexion, raisonnons modulo 6! En anglais : pythagorean triplets, resp. triangles, primitive pythagorean triplets, resp. triangles.

3 Si a et b n étaient pas multiples de 4, ils seraient congrus à ±, ±, ± 3, ± 5, ± 6, ± 7 modulo 6. Leurs carrés a et b seraient congrus à, 4 ou 9 modulo 6, donc a + b serait congru à, 5, 8,, 3 modulo 6. Or c est congru à,, 4 ou 9 modulo 6. 4) Supposons a, b et c non multiples de 5, donc congrus à,, 3 ou 4 modulo 5. Alors a, b, c seraient congrus à ou 4 modulo 5, donc a + b serait congru à, ou 3 modulo 5, contrairement à c. cqfd. Corollaire : Un triangle pythagoricien a pour aire un entier naturel. Nous améliorerons ce résultat dans la suite, en montrant que l aire est divisible par 6, et reviendrons sur ce sujet au 5. Remarques : ) Les triplets (x, y, z) Z 3 tels que x + y = z sont les (±a, ±b, ±c) où (a, b, c) est un triplet pythagoricien, ainsi que les (±a,, ±a) et (, ±a, ±a). ) Les triplets (X, Y, Z) Q 3 tels que X + Y = Z sont les (x/d, y/d, z/d) où (x, y, z) Z 3 vérifie x + y = z, et d est un entier. 3) Géométriquement, dans R 3, l ensemble des points M(x, y, z) tels que x + y = z forment un cône de révolution, le cône de révolution de sommet O, d axe z Oz et de demi-angle au sommet π/4. Et l on cherche les points de ce cône à coordonnées dans N*, dans Z ou dans Q. > with(plots): > plot3d([z*cos(t),z*sin(t),z],z=-5..5,t=..*pi, axes=normal);.. Premières listes de triplets. L historien des mathématiques Otto Neugebauer 3 a publié en 945 une liste de nombres contenus dans une tablette d argile en partie cassée, la tablette Plimpton 3 de l université de Columbia, remontant au 8 ème siècle avant J.-C. Cette tablette de petites dimensions (largeur 3 cm, hauteur 9 cm, épaisseur cm) comporte un tableau de nombres cunéiformes, rangés en 4 colonnes sur 5 lignes. Selon lui, cette tablette laisse supposer que les Babyloniens pouvaient calculer une infinité de triplets pythagoriciens, mais on ne sait comment ils les obtenaient. Depuis, d autres interprétations ont été données des nombres figurant sur cette tablette : selon Eleanor Robson, il s agirait de résoudre l équation du second degré x /x = c. Si l on en croit Proclus de Lycie (4-485) dans son commentaire du livre I des Eléments d Euclide, Pythagoras de Samos savait obtenir une suite infinie de triplets pythagoriciens. Partant d un entier impair n = m +, il formait le triplet : 3 Otto Eduard NEUGEBAUER (Innsbruck Lawrenceville, New Jersey, 99), mathématicien et historien des sciences autrichien, puis américain. Il servit comme officier d artillerie pendant la guerre de 4. Lors de ses études à Graz et Munich, il quitta l ingénierie électrique pour se tourner vers la physique puis les mathématiques. Il vint étudier à Göttingen en 9, et participa à la rédaction du grand traité de Hilbert- Courant sur la théorie des fonctions. Mais très vite il s intéressa aux mathématiques égyptiennes et assyriennes. Neugebauer aida Richard Courant dans ses tâches administratives. Contraint à s exiler en 933, car juif, Courant désigna Neugebauer pour lui succéder comme directeur de l Institut de mathématiques de Göttingen. Mais Neugebauer refusa de signer un document affirmant sa loyauté envers le régime nazi. Exclu de l université, il émigra au Danemark en 934, puis aux U.S.A. en 94 et y poursuivit ses travaux d histoire des mathématiques anciennes. Neugebauer a fondé deux importantes revues mathématiques : en 93, le Zentralblatt für Matematik, et après son émigration en 94, les Mathematical Reviews. Son livre Les sciences exactes dans l'antiquité, est traduit chez Actes Sud. 3

4 ( n, n ², n ²+ ) = ( m +, m + m, m + m + ). L idée est d écrire ( a + ) = a + a +. Si a + est un carré, c est le carré d un nombre impair m +, et le tour est joué. Cette liste fournit tous les triplets pythagoriciens (x, y, z) tels que z = y +, car z = y + donne x = y +, donc x est impair. Posant x = m +, x 3 m, et alors y = x ² = m + m, et z = m + m +. Ces triplets sont tous primitifs, car y et z sont consécutifs, donc premiers entre eux. Mais la liste obtenue ne contient pas tous les triplets primitifs, notamment (8, 5, 7) qui était déjà connu des Babyloniens. Si Pythagore avait fait un peu d algèbre linéaire, il aurait pu noter qu en posant : Pyth(m) = + ++ m m ² m, alors : Pyth() = m² m+ 3, Pyth() = 5 4 et Pyth(m+) = Pyth(m). 3 Nous retrouverons cette matrice dans la suite. Platon lui aussi savait obtenir une suite infinie de triplets pythagoriciens : partant d un entier pair n = m, il formait le triplet : ( n ², n, n ² + ) = ( m, m, m + ). 4 4 L idée est d écrire ( m + ) = ( m ) + (m). Il est facile de vérifier que cette liste fournit tous les triplets (x, y, z) tels que z = x +. Car z = x +, donne y y²4 = 4x + 4, donc y pair. Posant y = m, y 3 m, et x = = m et z = m +. 4 Les triplets où m est pair sont primitifs, les autres ont pour pgcd, car si d divise x et z, il divise. Mais, pas plus que celle de Pythagore, la liste de Platon ne contient le triplet (,, 9), lui aussi connu des Babyloniens. m Si l on note Platon(m) = ² m² m, alors Platon() = + / / et Platon(m+) = Platon(m). / 3/ Cette matrice laisse stable l ensemble des triplets (a, b, a + ) Z 3. On en déduit que : Platon() = 5 43 et Platon(m+) = Platon(m). 3 Nous retrouverons cette matrice plus tard. Exercice : Inversement, si l on définit les suites récurrentes suivantes : Pyth() = et Pyth(m+) = Pyth(m), démontrer que Pyth(m) = m m ² m. m² m+ Platon() = / / et Platon(m+) = m Platon(m), démontrer que Platon(m) = / 3/ ² m² m, + 4

5 Avant de poursuivre, faisons deux remarques géométriques. La première fournit une construction géométrique récurrente en spirale des triplets de Pythagore, qui aurait été trouvée par Luis Telia Gomes en 5 si j en crois Jean-Paul Delahaye. Si tard? Voici cette construction. Partant d un triangle rectangle initiale ABC de côtés (3, 4, 5) initial, on construit le carré circonscrit PQRA comme sur la figure, on reporte la longueur PB = 5 dans le prolongement du côté A P et on fait de même dans le prolongement de PQ, QR et RA. On obtient le triangle A B C de côtés 5,, 3, et l on recommence 5

6 La seconde est une propriété géométrique commune des triplets de Pythagore et de Platon : ce sont resp. les points à coordonnées entières situés sur les paraboles intersections du cône de révolution x + y = z et des plans z = y + et z = x +. Les intersections sont des paraboles, car ces plans sont parallèles à l une des génératrices du cône. > with(plots); > cone:=plot3d([r*cos(t),r*sin(t),r], r=-.5..3,t=..*pi,color=red): > plan:=plot3d([x,y,y+],x=-.., y=-..3,color=blue): parabole:=spacecurve([x,(x^-)/, (x^+)/],x=-..,thickness=, color=black): > display3d({cone,plan,parabole}); Dans son livre sur Pythagore, Pierre Brémaud signale que la fameuse suite de Fibonacci f =, f =, f n+ = f n + f n+ fournit également une suite infinie de triplets pythagoriciens. En effet, si l on considère quatre nombres de Fibonacci consécutifs f m, f m+, f m+, f m+3, le triplet (a m, b m, c m ) = ( f m f m+3, f m+ f m+, (f m+ ) + (f m+ ) ) est pythagoricien pour m. Cela découle de ce que a m = f m f m+3 = ( f m+ f m+ ) ( f m+ + f m+ ) = (f m+ ) (f m+ ). Les triplets obtenus ne sont pas tous primitifs. Plus précisément, le pgcd de a m, b m, c m vaut ou. En effet, si p premier divisait a m, b m, c m, c est-à-dire (f m+ ) (f m+ ), (f m+ ) + (f m+ ) et f m+ f m+, il diviserait (f m+ ), (f m+ ) et f m+ f m+ ; si p était impair, il diviserait f m+ et f m+ ; or ces nombres sont premiers entre eux. Un examen de parité montre que pgcd(a m, b m, c m ) = si 3 divise m, sinon ; autrement dit, dans la liste obtenue, deux triplets sur trois sont primitifs. Si l on note Fibo(m) = a b c m m m, alors : Fibo() = On en déduit que : Fibo() = 5 43 et Fibo(m+3) = Nous retrouverons cette matrice plus tard. et Fibo(m+) = Fibo(m) / / Fibo(m). / 3/ La suite de Lucas v =, v =, v n+ = v n + v n+, sœur jumelle de la suite de Fibonacci, fournit également une suite infinie de triplets pythagoriciens. En effet, considérant 4 nombres de Lucas consécutifs v m, v m+, v m+, v m+3, le triplet (a m, b m, c m ) = ( v m v m+3, v m+ v m+, (v m+ ) + (v m+ ) ) est pythagoricien. am / / Si l on note Lucas(m) = bm, alors : Lucas() = m c 68 et Lucas(m+) = Lucas(m). / 3/ On a vu que les triplets de Pythagore et de Platon se trouvent sur des sections planes paraboliques du cône. On peut de même se demander où se trouvent les triplets de type Fibonacci-Lucas. am Si Fibo(m) = bm, je dis que a m b m = () m. m c Cela découle de la formule aisément vérifiable par récurrence : (f m ) f m.f m+ = () m. 6

7 / / Mais cela découle aussi de ce que : [ ] = [ ]. / 3/ En clair, les triplets Fibo(m) vérifient alternativement x y = et x y =. Les Fibo(m) se trouvent alternativement sur l une ou l autre de deux sections hyperboliques du cône x + y = z par les plans verticaux x y = et x y =.. De même, les Lucas(m) se trouvent alternativement sur l une ou l autre des sections hyperboliques de x + y = z par les plans verticaux x y = et x y =. Remarque : Réciproquement, si l on cherche les solutions entières du système x + y = z, x y =, on tombe sur une équation de Fermat à étudier..3. Description arithmétique. En fait, on peut obtenir facilement une famille à deux paramètres de triplets pythagoriciens : Proposition 3 : Si m et n sont deux entiers tels que m > n : ( m n, mn, m + n ) et ( mn, m n, m + n ) sont des triplets pythagoriciens. Preuve facile. Du coup, toute suite strictement croissante (u m ) d entiers > engendre une suite de triplets pythagoriciens : ( u m+ um, um u m+, u m+ + um ). La solution précise et complète du problème est due à Euclide : si j en crois Thomas Heath (vol. I, p. 45), elle figure dans le livre X des Eléments (propositions 7-8). Théorème (Euclide) : Les triplets pythagoriciens sont : ( ( a b ).d, abd, ( a + b ).d ) et ( abd, ( a b ).d, ( a + b ).d ) où a, b, d N*, a et b étant de parités opposées et tels que a b = et < b < a. Les triplets primitifs sont ceux pour lesquels d =. Ainsi, le triplet (3, 4, 5) provient de (a, b, d) = (,, ), le triplet (,, 9) de (a, b, d) = (5,, ). Preuve : ) Soient (x, y, z) un triplet pythagoricien formé d entiers, d = pgcd(x, y, z). Alors (x, y, z ) = (x/d, y/d, z/d) est un triplet pythagoricien formé d entiers premiers dans leur ensemble. Ils sont alors premiers entre eux deux à deux, car si un nombre premier p divise deux d entre eux, il divise le troisième. ) Soit donc (x, y, z) un triplet formé d entiers premiers entre eux deux à deux. Si x et y sont pairs, z serait aussi pair, ce qui est impossible. Si x et y sont impairs, x = a +, y = b +, alors x + y = + 4.( a + b + a + b ) (mod 4). Or pour tout z, z ou (mod 4). Par conséquent, x et y sont de parités différentes. 3) Supposons x impair et y pair, donc z impair. On note que ( y )² = z x. z+ x. Les entiers A = z+ x et B = z x sont premiers entre eux, En effet, si p premier divisait A et B, il diviserait x = A B et z = A + B, ce qui est impossible. Comme le produit A.B est un carré, chacun d eux est un carré, en vertu du théorème fondamental de l arithmétique. Posons A = a, B = b, avec a b =. Alors x = a b, y = ab, z = a + b. Pour obtenir l inventaire complet, il reste à multiplier x, y et z par leur pgcd, et à échanger x et y. Voici quelques propriétés vérifiées par les triplets pythagoriciens. 7

8 Proposition 4 : Soit (x, y, z) un triplet pythagoricien primitif tel que x est impair. i) z est impair ; 4 divise y. ii) z y et z + y sont des carrés parfaits ; iii) A = z+ x et B = z x sont des carrés parfaits ; iv) Soit 3 divise x, soit 3 divise y, et alors divise y ; v) Un, et un seul, des entiers x, y, z est multiple de 5 ; vi) Les nombres premiers p qui divisent z sont tous ( mod 4 ). Preuve : i) z est impair comme somme d un impair et d un pair ; ab est pair, dans 4 divise ab. ii) et iii) découlent de ce qui précède. iv) Raisonnons modulo 3. x.y = ab.( a b ) = a 3 b ab 3 ab ab = ( mod 3 ), en vertu du petit théorème de Fermat. Par conséquent, 3 divise x ou y. Comme x et y sont premiers entre eux, le ou est exclusif. Mais comme 4 divise y, si 3 divise y, divise y. v) Raisonnons modulo 5. x.y.z = ab.( a 4 b 4 ) = a 5 b ab 5 ab ab = ( mod 5 ), en vertu du petit théorème de Fermat. Par conséquent, 5 divise x, y ou z. Comme x, y et z sont premiers entre eux à, le ou est exclusif. vi) Soit p un nombre premier divisant z. Alors p, car z est impair. De plus x + y ( mod p ), donc x + y = dans Z/pZ. Si p 3 ( mod 4 ), n est pas un carré dans Z/pZ. On en déduit x + y = x = y =. Donc p divise à la fois x et y, ce qui est impossible. Le lecteur est prié de vérifier ces propriétés sur les facteurs premiers des z, dans les listes de triplets suivantes, lorsque ceux-ci sont primitifs..4. Programmes informatiques. > pythagore:=m->(*m+,*m*(m+),*m^+*m+); pythagore := m ( m +, m ( m + ), m + m + ) > for m from to do pythagore(m);od;,, 3, 4, 5 5,, 3 7, 4, 5 9, 4, 4, 6, 6 3, 84, 85 5,, 3 7, 44, 45 9, 8, 8,, > platon:=m->(m^-,*m,m^+); platon := m ( m, m, m + ) > for m from to do platon(m);od; -,,,, 3, 4, 5 8, 6, 5, 8, 7 4,, 6 35,, 37 8

9 48, 4, 5 63, 6, 65 8, 8, 8 99,, > with(combinat):alias(phi=fibonacci): > Fibo:=proc(m) > print([phi(m)*phi(m+3),*phi(m+)*phi(m+),phi(m+)^+phi(m+)^]);end; > for m from to do Fibo(m);od; [,, ] [ 3, 4, 5 ] [ 5,, 3 ] [ 6, 3, 34 ] [ 39, 8, 89 ] [ 5, 8, 33 ] [ 7, 546, 6 ] [ 75, 48, 597 ] [ 869, 374, 48 ] [ 4896, 979, 946 ] [ 85, 563, 8657 ] > v:=m->*phi(m+)-phi(m); v := m φ ( m + ) φ( m ) > Lucas:=proc(m) > print([v(m)*v(m+3),*v(m+)*v(m+),v(m+)^+v(m+)^]);end; > for m from to do Lucas(m);od; [ 8, 6, ] [ 7, 4, 5 ] [ 33, 56, 65 ] [ 7, 54, 7 ] [ 3, 396, 445 ] [ 57, 44, 65 ] [ 368, 76, 35 ] [ 3567, 744, 7985 ] [ 9353, 8696, 95 ] [ 447, 48954, 5473 ] [ 6483, 856, 4385 ] Voici un programme Maple qui liste tous les triplets primitifs tels que x est impair, et correspondant à < b < a n. > euclide:=proc(n) > local a,b,triplet; > for a from to n do > for b from to a- do > if igcd(a,b)= then if (type(a,odd) and type(b,even)) or (type(b,odd) and type(a,even)) > then triplet:=[a^-b^,*a*b,a^+b^];print([[a,b],triplet]);fi;fi; od;od;end; > euclide(); [[, ], [ 3, 4, 5 ]] [[ 3, ], [ 5,, 3 ]] [[ 4, ], [ 5, 8, 7 ]] [[ 4, 3 ], [ 7, 4, 5 ]] 9

10 [[ 5, ], [,, 9 ]] [[ 5, 4 ], [ 9, 4, 4 ]] [[ 6, ], [ 35,, 37 ]] [[ 6, 5 ], [, 6, 6 ]] [[ 7, ], [ 45, 8, 53 ]] [[ 7, 4 ], [ 33, 56, 65 ]] [[ 7, 6 ], [ 3, 84, 85 ]] [[ 8, ], [ 63, 6, 65 ]] [[ 8, 3 ], [ 55, 48, 73 ]] [[ 8, 5 ], [ 39, 8, 89 ]] [[ 8, 7 ], [ 5,, 3 ]] [[ 9, ], [ 77, 36, 85 ]] [[ 9, 4 ], [ 65, 7, 97 ]] [[ 9, 8 ], [ 7, 44, 45 ]] [[, ], [ 99,, ]] [[, 3 ], [ 9, 6, 9 ]] [[, 7 ], [ 5, 4, 49 ]] [[, 9 ], [ 9, 8, 8 ]] Enfin, Maple «sait» retrouver les résultats précédents : > pythagore:=simplify(isolve({x^+y^=z^,z=y+})); pythagore := { x = + _Z, z = + _Z + _Z, y = _Z + _Z } > platon:=isolve({x^+y^=z^,z=x+}); Solutions may be lost platon := { z = + 4 _Z, x = + 4 _Z, y = 4 _Z } > euclide:=isolve(x^+y^=z^); euclide := { _Z3 _Z _Z x = igcd ( _Z _Z, _Z _Z, _Z + _Z ), _Z3 ( _Z _Z ) y = igcd ( _Z _Z, _Z _Z, _Z + _Z ), _Z3 ( _Z + _Z ) z = } igcd ( _Z _Z, _Z _Z, _Z + _Z ) Enfin, le nuage de points ci-dessous, trouvé sur Wikipédia, mais qu il serait facile de retrouver, visualise les couples d entiers (x, y) inférieurs à 45, tels que (x, y, x ² + y² ) soit un triplet pythagoricien. Ces couples sont les projections des triplets situés sur le cône de révolution.

11 .5. Description géométrique. Une approche géométrique du problème précédent consiste à chercher les couples (X, Y) Q tels que X + Y =. Notons Γ leur ensemble ; c est le «cercle unité» de Q Q. Proposition 5 : Les couples (X, Y) Q tels que X + Y = sont en bijection naturelle avec la droite rationnelle complétée Q { }, via l application F : m Q { } F(m), où : F(m) = ( m², + m ² m ) si m Q, F( ) = (, ). + m² Preuve : Pour obtenir cette description paramétrée, utilisons une idée d origine géométrique. Coupons Γ par une droite passant par un de ses points, par exemple le point A(, ). Soit (X, Y) Q, différent de (, ). Posons m = X Y Q. + Alors Y = m ( X + ) ; reportons! X + m (X + ) = s écrit ( X + ).( X + m (X + ) ) =. Comme X, il vient X = m², puis Y = + m ² m. + m² Reste à adjoindre le point (, ), qui correspond à m = (droite verticale). Remarque : Dans cet énoncé, on peut remplacer Q par un corps K de caractéristique dans lequel n est pas un carré. Si est un carré, m doit être tel que m + : Γ(K) doit plutôt être vue comme une hyperbole. Enfin, si K est de caractéristique, X + Y = (X + Y), de sorte que : X + Y = X + Y = ± X + Y = ; la conique Γ(K) X + Y = est la droite Y = X +. Corollaire : Les triplets (X, Y, Z) Q 3 tels que X + Y = Z sont de la forme : (( m ) u, mu, ( + m ) u) où (m, u) Q, ou (Z,, Z) où Z Q. Preuve : Si Z =, on trouve (,, ). Sinon, le couple ( Z X, Z Y ) obéit à la proposition précédente. Il est de la forme X = m², Y = Z + m ² Z m, donc (X, Y, Z) = ( m² Z, + m² + m ² m Z, Z ). + m² Posant Z = ( + m ).u, il vient : (X, Y, Z) = (( m ).u, mu, ( + m )u). A quoi il faut ajouter ( Z X, Z Y ) = (, ), c est-à-dire (X, Y, Z) = (Z,, Z).

12 Autre approche, pour obtenir une paramétrisation rationnelle du cône de révolution X + Y = Z. On note que : X + Y = Z Y = ( Z + X ).( Z X ). Si Z + X, posons Z + X = t et Y = s. Alors Z X = s u², d où X = t² t s², Y = s, Z = Si Z + X =, on tombe sur les triplets (Z,, Z). On retrouve aisément le corollaire. Retrouvons le théorème. Soit (x, y, z) un triplet pythagoricien primitif. t²+ t s². Alors (X, Y) = ( z x, z y ) est élément de Γ, plus précisément du quart de cercle X >, Y > de Γ. Par conséquent, il existe m Q ], [ tel que (X, Y) = ( x y, ) = z z ( m², + m ² Posons m = b, a b =, a et b >. Alors x = a ² b² y, = ab a z a ² + b ² z a ² + b ². + m m² er cas : Si a et b n ont pas même parité, je dis que ab et a + b sont premiers entre eux. En effet, si p premier divise ab et a + b, p divise, a ou b. Si p divise a, et alors il divise b : impossible ; idem si p divise b. Enfin p = est également impossible, car a + b est impair. En vertu de l unicité de la forme irréductible, x = a b, y = ab, z = a + b. ème cas : Si a et b sont impairs, posons u = a+ b, v = a b, a = u + v, b = u v. u et v sont de parités différentes (sans quoi a et b seraient pairs), et premiers entre eux. De plus x = uv y, = u ² v². z u ² + v ² z u ² + v ² Comme ci-dessus, on conclut que x = u v, y = uv, z = u + v..6. Compléments. «Les 4 propositions du livre VI des Arithmétiques de Diophante se rapportent aux triangles pythagoriques et elles ont exercé une grande influence sur les mathématiciens des XVI e et XVII e siècles, comme Stevin, Viète, et surtout Frenicle et Fermat.» écrit Jean Itard 4 (Que sais-je, p. 8). On trouvera les 4 propositions de Diophante dans Heath (vol. II, p ). Il est fort vraisemblable que c est en étudiant certaines classes de triangles pythagoriques que Fermat a été conduit à étudier l équation diophantienne qui porte son nom x a.y =. Cette équation de Fermat (ou de Pell-Fermat) est le point de départ de la théorie algébrique des nombres. Exercice : Montrer que l aire d un triangle pythagoricien est toujours divisible par 6. Indiquer un triangle pythagoricien d aire égale à 6. Solution : L aire est de la forme S = xy/ = ab ( a b ) d, où a et b etc. ). 4 Né en 9 à Serrières (petit village ardéchois situé au bord du Rhône, et ancien port de mariniers), et mort à Paris en 979, Jean ITARD est un historien français des mathématiques. Il sort de l Ecole normale d instituteurs d Avignon en 9, passe une licence de mathématiques à Marseille en 94, et l agrégation en 95. Il enseigne successivement au lycée d Alençon, au lycée Saint-Charles de Marseille, puis aux lycées Buffon, Michelet et Henri IV de Paris. De 96 à 936, il participe à la fondation de l Institut supérieur ouvrier (CGT) et enseigne le calcul différentiel et le calcul des probabilités à des militants syndicaux. Il publie des livres de mathématiques intégrant la dimension historique, en collaboration avec Th. Leconte, A. Huisman, puis avec son fils G. Itard. Il enseigne l histoire des mathématiques grecques à l Ecole Pratique des Hautes Etudes. Il prend sa retraite en 96. La maladie l empêche d achever sa monographie sur Fermat. Membre de l Académie internationale d Histoire des sciences, il participa au Séminaire d histoire des mathématiques de l Institut Henri Poincaré. Il était membre fondateur du Comité national d histoire et de philosophie des sciences. Jean Itard collabora à l édition de la correspondance de Mersenne et au Dictionary of Scientific Biography. Ses recherches ont porté sur toutes les époques, du 5 ème siècle à nos jours, mais surtout sur le 7 ème siècle, de Kepler à Newton en passant par Fermat.

13 Mais ab( a b ) est pair, car a et b sont de parités opposées, et c est un multiple de 3 en vertu du petit théorème de Fermat : ab.( a b ) = a 3 b ab 3 ab ab = ( mod 3 ). Exercice : Un sangaku. Un triangle est rectangle, ses côtés sont entiers, son aire est 6. Quels sont les diamètres de ses deux cercles, circonscrit et inscrit? Exercice 3 : grand théorème de Fermat pour n = 4. On se propose de démontrer que l équation (E) x 4 + y 4 = z n a pas de solutions en nombres entiers x, y, z ; on en déduira aussitôt qu il en est de même de x 4 + y 4 = z 4. Soit u le plus petit entier tel que l on ait (E) x 4 + y 4 = u, avec x et y. ) Montrer que x et y sont premiers entre eux. Déduire de ce qui précède qu il existe a et b N* de parités opposées tels que a b = et < b < a, et, par exemple : x = ab, y = a b, u = a + b. ) Montrer que b est pair, et a impair. On pose b = c. Montrer que a = α et c = γ et contredire la minimalité de u. Exercice 4 : Montrer que l aire d un triangle pythagoricien ne peut être un carré (Fermat). [ Indication : Si ab.(a b).(a + b) = m, où a b =, alors a = x, b = y, a + b = u, a b = v, où u et v sont impairs et premiers entre eux. On a y = (u + v)(u v), donc (u + v) (u v) = ; en déduire qu à l ordre près u + v = r, u v = s et x = r s 4, et noter que (r, s, x) formerait un triplet pythagoricien d hypoténuse < à celle du triangle initial.] Exercice 5 : Si A est un anneau intègre, on note O n (A) = { M O n (A) ; t M.M = M. t M = I n }. Décrire les éléments des groupes O n (Z) et O n (Q). Dans son article d août, Jean-Paul Delahaye signale une astucieuse disposition en spirale des triangles pythagoriciens de Pythagore Pyth(m), trouvée en 5 par Luis Teia Gomes. L Encyclopédie en ligne des suites d entiers (OEIS) de Neil Sloane contient bien sûr des informations sur les «primitive pythagorean triangles» : La suite de leurs hypoténuses est référencée A88 et A8846. Elle a pour premières valeurs 5,, 7, 5, 9, 37, 4, 53, 6, 65, 65, 73, 85, 85, 89, 97,, Les suites de leurs grands et petits côtés sont référencées resp. A883 et A884. La suite de leurs périmètres est référencée A4364. Elle a pour premières valeurs, 3, 4, 56, 7, 84, 9, 6, 3, 44, 54, 76, 8, 98, La suite de leurs aires est référencée A446. Elle a pour premières valeurs 6, 3, 6, 84, 8,,, 33, 54, 546, 63, 84, 94, 99, 3

14 . Description algébrique : Euclide via Gauss. Nous nous proposons de retrouver le théorème d Euclide à l aide des entiers de Gauss. En effet, l équation diophantienne de Pythagore s écrit aussi ( x + iy )( x iy ) = z, autrement dit αα = z, où α = x + iy est un «entier de Gauss»... L anneau Z[i] des entiers de Gauss. On note Z[i] = { α = x + iy ; (x, y) Z Z } l ensemble des «entiers de Gauss». Rappelons sans démonstration les principales propriétés de cet ensemble. ) Z[i] = { α = x + iy ; (x, y) Z Z } est un sous-anneau intègre de C. ) L application α = x + iy α = x iy est un automorphisme de Z[i]. 3) L application N : α = x + iy Z[i] x + y N vérifie : N(α) = α = ; N() = ; N(αβ) = N(α).N(β) (α, β) Z[i] Z[i] (χ, ρ) Z[i] Z[i] α = βχ + ρ, N(ρ) < N(β). 4) Le groupe multiplicatif des éléments inversibles de Z[i] est {, i,, i }. Deux entiers de Gauss α et β sont dits associés si β = υα, où υ {, i,, i }. 5) L anneau Z[i] est euclidien pour le stathme N. 6) Deux entiers de Gauss ont un pgcd et un ppcm. 7) Tout entier de Gauss non nul se décompose de façon essentiellement unique en produit de facteurs premiers. Il en résulte que si αβ est un carré et si α et β sont premiers entre eux, α et β sont des carrés, à associé près. 8) Les nombres premiers de Z ne restent pas toujours premiers dans Z[i] : i) n est pas premier dans Z[i] ; sa décomposition en facteurs premiers est = i 3.( + i ) ; ii) les nombres premiers de Z de la forme p = 4k + 3 restent premiers dans Z[i] ; ils sont dit inertes ; iii) les nombres premiers de Z de la forme p = 4k + ne restent pas premiers dans Z[i] ; ils s écrivent sous la forme p = π π, où π et π sont deux entiers de Gauss premiers, et non associés. 9) Les entiers de Gauss premiers sont de trois sortes : i) + i et ses associés (parmi lesquels se trouve son conjugué) ; ii) les nombres premiers de Z de la forme p = 4k + 3 ; ils sont dits inertes ; iii) les entiers de Gauss π tels que π π = p, où p est un nombre premier de la forme p = 4k +... Retour au triplets pythagoriciens. Commençons par examiner la relation = 5. Elle s écrit : ( 3 + 4i )( 3 4i ) = 5.5. Aucun des entiers de Gauss 3 + 4i, 3 4i et 5 n est premier dans Z[i]. La factorisation de 5 est : 5 = ( + i )( i ), celle de 3 + 4i est : 3 + 4i = ( + i ). Autrement dit, ( 3 + 4i )( 3 4i ) = ( + i ).( i ) = (( + i )( i )) = 5.5. Soit (x, y, z) un triplet pythagoricien primitif dans lequel x est impair et y pair. Posons α = x + iy. Tout d abord, α et α ne sont pas associés, car on ne peut avoir α = α, iα, α, iα. De plus z 5 est non inversible. α et α sont premiers entre eux. En effet, si α était divisible par + i, x et y auraient même parité. Si α était divisible par un premier inerte p = 4k + 3, x et y ne seraient pas premiers entre eux. Si α et α étaient divisibles par un entier premier π, alors α serait divisible π et par π, donc par un premier p = 4k +, et x et y ne seraient pas premiers entre eux. Comme α et α sont premiers entre eux, α.α = z implique que α est un carré dans Z[i]. α = β, ce qui s écrit x + iy = ( u + iv ), i.e. x = u v, y = uv, z = u + v. On a < v < u, u et v sont non premiers entre eux et de parités différentes. On retrouve ainsi le théorème d Euclide. 4

15 NB : le cas où α = υβ donnent le même résultat..3. Vers le grand théorème de Fermat. L équation diophantienne de Pythagore x + y = z a pour prolongement naturel l équation x 3 + y 3 = z 3, et plus généralement x n + y n = z n. Fermat a conjecturé au XVIIème siècle, et Andrew Wiles a démontré en 994 que ces équations n ont pas de solutions non triviales. Si l on s inspire de ce qui précède, l équation x 3 + y 3 = z 3 s écrit ( x + y )( x + jy )( x + j y ) = z 3, et renvoie à l arithmétique de l anneau Z[j] = { x + jy ; (x, y) Z Z } des «entiers d Eisenstein». En définitive, c est parce que cet anneau est euclidien que l équation x 3 + y 3 = z 3 n a pas de solution non triviale. 3. Description arborescente de Berggren. Dans ce, nous nous proposons de donner un procédé de fabrication matricielle automatique de tous les triplets pythagoriciens, à partir du plus simple d entre eux, (3, 4, 5). Si j en crois Jean-Paul Delahaye (Pour la Science, août ), cette description a été trouvée par un suédois, B. Berggren, en 934. L approche suivie est dogmatique. Elle sera éclairée dans le Une forme quadratique sur R 3 et son groupe. On confond R 3 et M 3, (R), de sorte que le triplet (x, y, z) de nombres réels s identifie avec le vecteur x colonne X = y. On confond de même M3 (R) et L(R 3 ), et on note I sa matrice unité. z On note q la forme quadratique sur R 3 définie par : q(x) = x + y z = t X.J.X, où J =, et Φ(X, X ) = xx + yy zz = t X.J.X la forme bilinéaire symétrique polaire de q. Rappelons que q(x) = Φ(X, X) et que Φ(X, X ) = [q(x + X ) q(x) q(x )] (*). Commençons par définir le groupe orthogonal de l espace vectoriel quadratique régulier (R 3, q). Proposition : Soit A Gl 3 (R). Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) X R 3 q(ax) = q(x) ; ii) (X, X ) R 3 R 3 Φ(AX, AX ) = Φ(X, X ) ; iii) t A.J.A = J. L ensemble G = O(R 3, q) = { A Gl 3 (R) ; X R 3 q(ax) = q(x) } est un sous-groupe de Gl 3 (R). De plus, A G det A = ±. Preuve : i) ii) par «dédoublement des variables», i.e. en vertu de (*). ii) iii) car ii) s écrit : (X, X ) R 3 R 3 t X. t A.J.A.X = t X.J.X. On en déduit t A.J.A = J en choisissant pour X et X les vecteurs canoniques. iii) ii) i) sont très faciles. G est un sous-groupe de Gl 3 (R) car I G ; A et B G A.B G et A G. Enfin t A.J.A = J implique (det A) = donc det A = ±. Variante de i) ii). Si S et T sont deux matrices symétriques réelles vérifiant, pour tout X, t X.S.X = t X.T.X, je dis que S = T. Par soustraction, ramenons-nous à T = O. Alors pour tous (x, y, z) s.x + s.y + s 33.z + s.xy +s 3.xz + s 3.yz =. 5

16 Si y = z =, x =, il vient : s = ; de même, s = s 33 =. Si z =, x = y =, il vient : s = ; de même, s 3 = s 3 =. Conséquences et remarques : ) J étant involutive, pour toute A G, on a A = J. t A.J. a a ) A = b b c c a3 b 3 G ssi : a + b c = a + b c =, a3 + b3 c3 =, c 3 a.a + b.b c.c = a.a 3 + b.b 3 c.c 3 = a.a 3 + b.b 3 c.c 3 =. G est une variété différentielle de dimension 3. 3) Le groupe G contient les matrices cosα sinα cosα sinα ± chβ shβ sinα cosα, sinα cosα, shβ ± chβ et leurs produits. Cela montre que G est fermé mais non borné., ± chγ shγ, shγ ± chγ 4) Chacune des matrices A G laisse stable le cône de révolution q(x) =, mais aussi chacun des hyperboloïdes q(x) = cte. 5) La forme q se rencontre dans la théorie de la relativité restreinte. En effet, si l on restreint la forme de Lorentz sur R 4 q(x) = x + y + z c.t (où c est la vitesse de la lumière), au plan z =, on obtient q(x) = x + y c.t. Définition : Nous dirons que deux vecteurs X et X de R 3 sont conjugués s ils sont orthogonaux relativement à Φ, autrement dit si Φ(X, X ) =. De même deux sous-espaces F et G de R 3 sont conjugués si (X, X ) F G Φ(X, X ) =. Un vecteur X de R 3 est dit isotrope s il est conjugué de lui-même, i.e. si q(x) =. On appelle cône isotrope l ensemble C des vecteurs isotropes. Proposition : Soient A(a, b, c) un vecteur non isotrope, D la droite RA, P le plan conjugué. Alors R 3 = D P. Les deux symétries associées à cette somme directe sont éléments de G. Elles engendrent le groupe G. Preuve : Soient A(a, b, c) un vecteur non nul, D la droite qu il engendre. Le plan conjugué P a pour équation ax + by cz =. De deux choses l une : Soit A est isotrope. Alors D P et P est le plan tangent au cône contenant la génératrice D. Soit A n est pas isotrope. Alors a + b c, A n appartient pas à P, et R 3 = D P. La symétrie par rapport à P parallèlement à D est donnée par : Φ( X, A) s A : X X.A. Φ( A, A) Tous calculs faits, elle a pour matrice a² + b² c² ab ac a ² + b ² c ² ab a² b² c² bc. ac bc a² + b² c² Montrons que s A appartient à G. Ecrivons X = λ.a + Y et X = λ.a + Y, où Y et Y P. Alors s A (X) = λ.a + Y, s A (X ) = λ.a + Y Et Φ(X, X ) = λλ.φ(a, A) + Φ(Y, Y ) = Φ(s A (X), s A (X )). Le fait que les s A engendrent G est le théorème d Elie Cartan (cf. mon chapitre sur les espaces quadratiques réguliers). Remarque : En tant qu éléments de G, toutes ces symétries conservent le cône isotrope C d équation x + y z =. Proposition 3 : Soient C le cône isotrope de la forme q, M Gl 3 (R). 6

17 7 Pour que C soit M-stable, il faut et il suffit que (a, N) R* + G M = an. Les symétries S laissant stable le cône C sont I, I, les s A et les s A de la prop précédente. Preuve : ) On veut que t X.J.X = t X. t M.J.M.X =. Posons t M.J.M = c r q r b p q p a. On veut que x + y z = ax + by + cz + pxy + qxz + ryz =. Prenant (x, y, z) = (,, ±), il vient a + c ± q =, donc a + c = et q =. Prenant (x, y, z) = (,, ±), il vient b + c ± r =, donc b + c = et r =. Prenant (x, y, z) = (3, ±4, 5), il vient 9a + 6b + 5c ± 4p + =, donc p =. Au final t M.J.M = a a a = aj. Passons au déterminant : ( det M ) = a, donc a >. Ainsi, M a est élément de G. Réciproque évidente. 3.. Une forme quadratique sur Z 3 et son groupe. Proposition 4 : a) M 3 (Z) est un sous-anneau de M 3 (R). Si l on note Gl 3 (Z) le groupe multiplicatif des éléments inversibles de l anneau M 3 (Z). b) Soit A M 3 (Z). On a l équivalence : A Gl 3 (Z) det A = ±. Preuve : a) est facile. b) l est moins. Soit A M 3 (Z) ; A Gl 3 (Z) B M 3 (Z) A.B = B.A = I. Passant au déterminant, il vient (det A) (det B) = ; det A est un inversible de Z, donc det A = ±. Réciproquement, si A M 3 (Z) est telle que det A = ±, alors A Gl 3 (Q), et : A = A coma t det = ± t com A M 3 (Z), donc A Gl 3 (Z). Proposition 5 : On note H le groupe H = G Gl 3 (Z). Les 7 matrices ± ± ±, ± ± ± et R = 3 sont éléments de H. Preuve : Les 6 premières matrices sont éléments de G, car les transformations (x, y, z) (±x, ±y, ±z) et (x, y, z) (±y, ±x, ±z) sont bijectives et conservent q. De plus, elles appartiennent à Gl 3 (Z). Elles sont donc éléments de H. Ces 6 matrices forment même un sous-groupe de H, engendré par les 4 involutions :,,,. Les 3 premières engendrent un groupe commutatif à 8 éléments, isomorphe à ((Z/Z) 3, +). Ces 4 symétries sont également des isométries de l espace euclidien R 3. On a : t R.J.R = 3 3 = 3 3 = = J. De plus, det R =, et R = J. t R.J = 3 = 3 = R, donc R = I. Remarque : Les 6 premières matrices sont assez évidentes Mais d où vient la matrice R?

18 8 Dans le 3, nous tâcherons de répondre à cette question. En tout cas, R est la symétrie par rapport à la droite R.(,, ) parallèlement au plan d équation x + y + z =. Cette droite et ce plan sont conjugués. Corollaire : Les matrices R = 3, R = 3, R 3 = 3 sont éléments de H. Preuve : En effet, R =.R., R =.R, R 3 =.R.. R = J. t R.J = 3 = 3 = 3. R = J. t R.J = 3 = 3 = 3. R 3 = J. t R3.J = 3 = 3 = 3. Proposition 6 : Soit C = { (x, y, z) Z 3 ; x + y = z }. i) Si X = (x, y, z) C et A H, alors A.X C. ii) Si X = (x, y, z) C et est primitif, et A H, alors A.X C et est primitif. Preuve : i) Si X C et A H, alors A.X Z 3 et q(a.x) = q(x) =, donc A.X C. ii) Si de plus X est primitif, X = A.X est primitif car si d divise x, y et z, il divise x, y et z Action sur les triplets pythagoriciens. Notons T l ensemble des triplets t = (a, b, c) pythagoriciens primitifs tels que a est impair. Il découle alors du que si t = (a, b, c) est élément de T, b est pair (raisonner modulo 4). Proposition 7 : Si t est élément de T, R.t, R.t et R 3.t sont aussi éléments de T. Preuve : Il y a trois preuves à faire. Soit t = (a, b, c), u = R.t = (α, β, γ). On a α = a b + c, β = a b + c, γ = a b + 3c. et a = α + β γ, b = α β + γ, c = α β + 3γ α, β et γ sont éléments de Z. Si d divise α, β et γ, il divise a, b, c, donc il vaut ±. Comme a est impair, α = a b + c est aussi impair. Et q(u) = q(r.t) = q(t) =. Reste à montrer que α, β et γ sont >. Comme b < c, α = a + ( c b ) > a > ; β = a + ( c b ) + c > ; γ = a + ( c b ) + c >. Soit t = (a, b, c), u = R.t = (α, β, γ). On a α = a + b + c, β = a + b + c, γ = a + b + 3c. et a = α + β γ, b = α + β γ, c = α β + 3γ α, β et γ sont éléments de N*. Si d divise α, β et γ, il divise a, b, c, donc il vaut ±. Comme a est impair, α = a + b + c est aussi impair. Et q(u) = q(r.t) = q(t) =. Soit t = (a, b, c), u = R 3.t = (α, β, γ). On a α = a + b + c, β = a + b + c, γ = a + b + 3c. et a = α β γ, b = α + β γ, c = α β + 3γ α, β et γ sont éléments de Z. Si d divise α, β et γ, il divise a, b, c, donc il vaut ±.

19 Comme a est impair, α = a + b + c est aussi impair. Et q(u) = q(r.t) = q(t) =. Reste à montrer que α, β et γ sont >. Comme a < c, α = b + c + ( c a ) > ; β = b + ( c a ) > b > ; γ = b + ( c a ) + c >. Proposition 8 : Soit t = (a, b, c) un élément de T différent de (3, 4, 5). Un, et un seul, des triplets R.t, R.t et R3.t est élément de T. Si l on note t = (a, b, c ) ce triplet, il vérifie : a > a. Preuve : Posons t = R.t = (α, β, γ). α = a + b c, β = a b + c, γ = a b + 3c. Alors t = R.t = (α, β, γ) et t3 = R 3.t = (α, β, γ). Comme R appartient à H, α + β = γ. De plus, pgcd(α, β, γ) =. Supposons γ =. Alors 3c = a + b ; c est impossible car 3c est impair. Montrons γ >, c est-à-dire 3c > a + b. Cela équivaut à 9c > 4a + 4b + 8ab, i.e. à 5a + 5b 8ab >. Or 5a + 5b 8ab = 5.( a 4b ) + 5 9b 5 ² >. Supposons α =. Alors a serait pair, ce qui est impossible. On a nécessairement α > ou α <. Supposons β =. Alors c = b + a et a + b = c impliquent 4c = b + 4ab + 4a = 4a + 4b. En simplifiant, 3b = 4a. Par Gauss, a divise 3 ; comme a 3, a = 3, donc b = 4 et c = 5. Exclu! Montrons enfin que α < β <. α < a + b < c a + 4ab + 4b < 4a + 4b 4b < 3a. β < c < a + b 4a + 4b < 4a + 4ab + b 3b < 4a. Or il est clair que : b < 3a b < 4a, car 4 3 3a < 4a. 4 3 Au final, il y a trois cas possibles : Si α >, β >, γ >, alors t T, t T, t 3 T ; de plus, < α < a. Si α >, β <, γ >, alors t T, t T, t 3 T ; de plus, < α < a. Si α <, β <, γ >, alors t T, t T, t 3 T ; de plus, < α < a, car c < a + b. Remarque : L indice k tel que t k T est donné par la formule sgn( x) k = + ϕ(α) + ϕ(β), où ϕ(x) =. Théorème (B. Berggren, 934) : Tout triplet t T différent de (3, 4, 5) peut être obtenu à partir de t = (3, 4, 5) par application répétée de R, R, R 3. De plus, cette décomposition est unique. En d autres termes, il existe un unique entier p et un unique p-uplet (i,, i p ) {,, 3} p tels que : t = R i R R t. i i p Preuve : La preuve de l existence va se faire par descente infinie de Fermat. Il existe un indice i tel que t = R u, où u = (α, β, γ) T, avec < α < a. Si u = (3, 4, 5), c est fini. i Sinon, on recommence. Mais on ne peut recommencer indéfiniment, car il n y a pas de suite infinie strictement décroissante d entiers >. Au bout d un nombre fini d itérations on est sûr de tomber sur (3, 4, 5). On peut aussi raisonner par récurrence forte sur la valeur de a, première coordonnée de t. Si t = R R t = R R t, alors i = j, et on recommence, ou on procède par R i i i p R j récurrence, soit sur p, longueur d une décomposition, soit sur a. j j q Remarque : (3, 4, 5) = R.(,, ) = R.(,, ). Si l on était parti du triplet (,, ), on aurait perdu l unicité. 9

20 Conséquences : ) L ensemble T peut être décrit comme un arbre trichotomique, c est-à-dire un arbre dans lequel chaque branche se subdivise indéfiniment en trois branches. Prenant comme racine t = (3, 4, 5) on obtient t = (5,, 3), t = (,, 9), t 3 = (5, 8, 7). t donne naissance à t = ( 7, 4, 5), t = (55, 48, 73), t 3 = (45, 8, 53) ; t donne naissance à t = (39, 8, 89), t = (9,, 69), t 3 = (77, 36, 85) ; t 3 donne naissance à t 3 = (33, 56, 65), t 3 = (65, 7, 97), t 33 = (35,, 37) ; etc. Pour obtenir tous les triplets pythagoriciens primitifs, il suffit d échanger a et b. On obtient donc deux arbres identiques. L arbre ternaire de Berggren des triplets pythagoriciens primitifs ) Le sous-monoïde multiplicatif de M 3 (R) engendré par les matrices R, R et R 3 est «libre», en ce sens que toute matrice A de ce monoïde s écrit de façon unique sous la forme A = R R. En effet, si A = R i R R = i i p R j de l unicité, p = q et (i,, i p ) = (j,, j q ). R R, alors Exemple : Considérons le triplet t = (5, 3648, 473). j j q R i R R t = u = R.t = ( 975, 448, 73 ), donc t = R.t = (975, 448, 73). u = R.t = (75, 5, 373 ), donc t = R 3.t = (75, 5, 373). u = R.t = ( 33, 56, 65 ), donc t 3 = R.t = (33, 56, 65). u = R.t3 = ( 5, 8, 7 ), donc t 4 = R.t = (5, 8, 7). u = R.t4 = ( 3, 4, 5 ), donc t 5 = R 3.t = (3, 4, 5). Bilan : (5, 3648, 473) = R.R 3.R.R.R 3.(3, 4, 5). i i p R j j R i i i p R R t, et en vertu j q

21 3.4. Une suite de triplets liée à la migration des oies sauvages. On observe que les triplets t, R.t, R.R.t, R.R.R.t, etc. vérifient alternativement y = x + et y = x. Cela découle de ce que si X = (x, y, z), et X = R.X = (x, y, z ), alors y x = x y. Obtient-on ainsi tous les triplets tels que y = x ±? La réponse est oui. Cela résulte du : Lemme : Si l on applique R ou R 3 à un triplet t = (a, b, c) T, le triplet R k.t = (x, y, z) (k = ou 3) vérifie : x y > a b. Preuve : En effet, x y = a + b > a b. Donc, si t = (x, y, z) = R i R R t et si l un au moins des indices i h vaut ou 3, alors x y >. i i p Proposition 9 : Les triplets pythagoriciens (x, y, z) tels y = x ± sont primitifs. Ce sont les triplets de la forme t, R.t, R.R.t, R.R.R.t, etc., et leurs symétrisés par l échange x y. Exercice : Diagonaliser R, et calculer (R ) n.t pour tout n N ; équivalents de ses coordonnées? Remarques : ) Dans R 3, x + y = z, y = x ± est l intersection d un cône et de deux plans verticaux. Ce sont des hyperboles. D ailleurs, le système { x + y = z, y = x ± } équivaut à : ( x ± ).z =, y = x ±. C est l intersection d un cylindre hyperbolique et d un plan. ) Si l on cherche les solutions entières du système x + y = z, y = x ±, on tombe sur l équation de Fermat : (x ± ).z =, laquelle équivaut à a ± b = ( a étant forcément impair ). Hommage à M. C. Escher Considérons maintenant un vol de canards sauvages en formation triangulaire. Ce vol contient donc n( n+) T n = n = canards. Cherchons pour quelles valeurs de n ce vol peut se scinder en deux vols identiques. On cherche donc les couples (n, p) tels que T n = T p, i.e. n + n = p + p. Cette relation équivaut à (n + ).(p + ) =, ou encore au fait que (n, n +, p + ) et (n +, n, p + ) sont des triplets pythagoriciens. Or ces triplets nous venons de les inventorier. Ce sont (3, 4, 5), (,, 9), (9,, 69), etc. Donc les premières valeurs de n sont les minimum de x et y : 3,, 9,. Comme ce sont alternativement le x et de y, c est la suite des premières coordonnées des vecteurs : X = t (3, 4, 5), X k+ =.X k. 3 Maple ne peut résoudre l équation diophantienne correspondante, mais affiche les couples (n, p).

22 > isolve(x*(x+)=*y*(y+)); > with(linalg): > R:=matrix(3,3,[,,,,,,,,3]);eigenvals(R);v:=vector([3,4,5]); > for n from to do print(v[],iquo(v[3]-,));v:=multiply(r,v):od; 3,, 4 9, , , , , , , , Exercice : Diagonaliser la matrice R = n k = Procédures ( + ) k +. Calculer X k. En déduire que ( ) k. Voici deux procédures Maple. La première, nommée «create», prend en argument un p-uplet L = (i,, i p ) {,, 3} p et affiche le triplet : t = R R t. La seconde, nommée «decomp», prend en argument un triplet pythagoricien t T et affiche l unique p-uplet (i,, i p ) {,, 3} p tel que : t = R R t. > with(linalg): > R:=[matrix(3,3,[,-,,,-,,,-,3]), matrix(3,3,[,,,,,,,,3]),matrix(3,3,[-,,,-,,,-,,3])]; - - R := -,, > S:=[inverse(R[]),inverse(R[]),inverse(R[3])]; S := - -, -, > create:=proc(l) > local p,h,t; > p:=nops(l); > t:=vector([3,4,5]); > for h from to p do t:=multiply(r[l[p+-h]],t);od;print(t);end; > L:=[,,3,,,3,,,3];create(L); L := [,, 3,,, 3,,, 3 ] [ 5587, 9836, 95 ] > phi:=x->(-signum(x))/ : > decomp:=proc(t) > local u,l; > L:=[]; > while(t[]<>3 or t[]<>4 or t[3]<>5) do u:=multiply(s[],t);l:=[op(l),phi(u[]))+phi(u[]))+]; R i R i i i i p i p

23 > t:=vector([abs(u[]),abs(u[]),abs(u[3])]);od;print(l);end; > t:=vector([5,3648,473]);decomp(t); t := [ 5, 3648, 473 ] [, 3,,, 3 ] > t:=vector([,,]);decomp(t); t := [,, ] [,,,,,,,, ] > t:=vector([99,,]);decomp(t); t := [ 99,, ] [ 3, 3, 3, 3 ] > t:=vector([85,563,8657]);decomp(t); t := [ 85, 563, 8657 ] [,,,,, ] > t:=vector([3,4,5]);decomp(t); t := [ 3, 4, 5 ] [ ] > L:=[,3,,,,3];create(L); L := [, 3,,,, 3 ] [ 9455, 5, 3873 ] > t:=vector([9455,5,3873]);decomp(t); t := [ 9455, 5, 3873 ] [, 3,,,, 3 ] Revenant aux familles de triplets indiquées en., on voit que : Pyth(m) = R R.t = (R ) m.t correspond au m uplet (,,, ) ; Platon(m) = R 3 R 3.t = (R 3 ) m.t correspond au m uplet (3, 3,, 3) ; Fibo(3m+) = R.R R.R.t = (R.R ) m.t correspond au m uplet (,,,, ) L équation diophantienne x + y = z +. Notons S = { (x, y, z) N N N ; x + y = z + }. S l ensemble des points à coordonnées naturelles d un hyperboloïde à une nappe. S contient les triplets (,, ), (,, ) et (,, ), et plus généralement les (, y, y) et les (x,, x). Lemme : Si X S, alors R.X S. Preuve : R.X N 3 car R est à éléments dans N, et q(r.x) = q(x) =. Remarque : Il n est pas vrai que X S R.X et R 3.X S. Il suffit de considérer X = (,, ) et (,, ). J ai dû modifier l article d André Stoll. Lemme : Soit X S. Alors Y = R.X = (α, β, γ) vérifie γ < c. Preuve : Posons X = (a, b, c), et Y = (α, β, γ), où : α = a + b c, β = a + b c, γ = a b + 3c. Comme R appartient à H, α + β γ = a + b c =. Je dis que γ < c. En effet : ( γ c )( a + b + c ) =.( c a b ).( c + a + b ) =.( ab + a + b c ) =.( ab + ) <. Comme a + b + c >, on conclut aussitôt. Cqfd. 3

24 Introduisons les matrices K = et L =. On ignore les signes de α et β, mais les 4 triplets Y, K.Y, L.Y et K.L.Y ont même troisième coordonnée, et l un d eux appartient à N N Z. Tant que γ, on réitère ce procédé. Par descente infinie de Fermat, on arrivera au bout d un nombre fini de transformations à un triplet Y = (x, y, z) S tel que γ = x y + 3z <. Or ces triplets sont en nombre fini, car 3z < x + y, x + y = z + est une région bornée (faire un dessin). Plus précisément, en élevant au carré, 9z = 9x + 9y 9 < 4x + 4y + 8xy s écrit : 5x + 5y 8xy < 9. Comme la matrice 5 4 est définie positive, c est un disque elliptique ouvert. Une étude graphique montre que ce disque contient 5 points à coordonnées dans N : (, 4 5 ), (, ), (, ), (, ) et (, ). Mais seuls (, ), (, ) et (, ) donnent une valeur entière de z. > with(plots): > c:=implicitplot(5*x^+5*y^-8*x*y=9,x= ,y= , thickness=,numpoints=): > d:=plot([,],x= ,color=black):d:=plot([,y,y= ], color=black):d3:=plot([,y,y= ],color=black): > display({c,d,d,d3}); Bien entendu, on peut montrer cela sans faire un dessin. En résumé, on a obtenu le : Théorème : Soit X = (x, y, z) S. On peut écrire X = X est l un des triplets (,, ), (,, ) ou (,, ). A i A i Donnons un exemple : Considérons le triplet X = (65, 76, ) S. R.X = (7, 6, 8) = Y. R.Y = (7, 4, 8), donc Z = K.L.R.Y = (7, 4, 8). R.Z = (,, ), donc T = K.L.R.Z = (,, ). R.T = (,, ). Au final, X = R.R.K.L.R.K.L.R.(,, ). A i p.x, où Corollaire : Soit X = (x, y, z) Z 3 tel que x + y = z +. On peut écrire X = où A { K, L, J, R i h } et X est l un des triplets (,, ), (,, ) ou (,, ). A { K, L, R i h } et A i A A i i p.x, 4

25 Remarque : la même méthode de descente permettrait d expliciter les solutions de l équation diophantienne x + y = z + t, t N*, à l aide des matrices K, L, J et R, et des triplets fondamentaux (a, b, c), où (a, b) N est tel que 5a + 5b 8bc < 9t, et c = t² a² b² est entier Générateurs du groupe H. Si (x i ) i I est une famille d éléments d un groupe, nous noterons <x i > i I le sous-groupe engendré. Rappelons que c est l ensemble des composés d un nombre fini de x i et x i. Proposition 9 : Les 4 matrices : R =, R =, R 3 =, J =, mais aussi les 4 matrices : R =, K =, L =, J =, 3 ou encore les 4 matrices : R = J.R =, K =, L =, J = 3 engendrent le même sous-groupe H de H. Preuve : On a : R = R.L et R 3 = R.K, de sorte que < R, R, R 3, J > < R, K, L, J >. De même, L = R.R, K = R.R3, de sorte que < R, K, L, J > < R, R, R 3, J >. Ainsi, < R, R, R 3, J > = < R, K, L, J >. On en déduit aisément que < R, R, R 3, J > = < R, K, L, J > = < J.R, K, L, J >. A noter que J.R, H, K et J sont 4 matrices involutives. Ainsi, < R, R, R 3, J > = < R, K, L, J > = < J.R, K, L, J > G. Maintenant nous allons montrer qu en fait H = H. Théorème 3 : < R, R, R 3, J > = < R, K, L, J > = < R = J.R, K, L, J > = H. a a Preuve : Soit A = b b c c a3 b 3 une matrice appartenant à H. On a vu en. que : c 3 a + b c = a + b c =, a3 + b3 c3 =, a.a + b.b c.c = a.a 3 + b.b 3 c.c 3 = a.a 3 + b.b 3 c.c 3 =. Notons e, e et e 3 les colonnes de A. Le triplet e = (a, b, c ) Z 3 vérifie a + b = c +. En vertu de.6 (corollaire), on peut écrire e = A A.f, où A { K, L, J, R i h } et f est l un des triplets (,, ), (,, ) ou (,, ). Posons e = A i Comme la matrice M = a a Notons B = b b c c A A i i p.f et e 3 = A i A i A i i A A i i p.f 3. i p A A i i p est élément de H, la matrice B = [ f f f 3 ] également. a3 b 3 par abus, pour simplifier. c 3 Si a = b = c =, on a : a + b c =, a3 + b3 c3 =, 5

26 a + b c = a 3 + b 3 c 3 = a.a 3 + b.b 3 c.c 3 =. Mais a + b c = et a + b c = impliquent a b = : impossible pour des entiers. Si a =, b = c =, on a : a + b c =, a3 + b3 c3 =, a = a 3 = a.a 3 + b.b 3 c.c 3 =. D où ( b c )( b + c ) =, ( c 3 b 3 )( c 3 + b 3 ) =, b.b 3 c.c 3 =. Comme on est dans Z, b c = b + c = ou b c = b + c =, etc. B = ±. A = MB est produit de générateurs. ± Si b =, a = c =, itou Exemple : Décomposons la matrice A = 4 7 comme produit de R, J, K et L On vérifie d abord que A est élément de H. > with(linalg): > A:=matrix(3,3,[3,34,46,4,7,,-34,-38,-5]);J:=diag(,,-); multiply(transpose(a),j,a);det(a); A := > R:=matrix(3,3,[,,,,,,,,3]);S:=inverse(R);K:=diag(-,,); L:=diag(,-,); R := 3 > e:=vector([3,4,-34]);multiply(s,j,e);multiply(k,s,j,e); multiply(s,k,s,j,e);multiply(s,s,k,s,j,e); [-9, 8, ] [ 9, 8, ] [,, ] [,, ] > M:=multiply(J,R,K,R,R);B:=multiply(inverse(M),A); M := B := Bilan : A = J.R.K.R.R. Remarque : on aimerait disposer d une présentation du groupe H. H est engendré par 4 involutions R, K, L et J, ces trois dernières commutant, mais encore? Je pense qu une présentation de H est justement : < R, K, L, J ; R = K = L = J = I, KL = LK, KJ = JK, LJ = JL >. 6

27 Il devrait être possible de démontrer cela à l aide du monoïde libre étudié en Description géométrique. «L algèbre et la géométrie sont comme l aveugle et le paralytique», disait Jean Frenkel, si l on en croît André Stoll, mais avant lui, Alain avait déjà noté : «C est la géométrie qui sauve l algèbre», et, avant lui encore, au cours de ses brèves études mathématiques, Jules Michelet avait observé que «La géométrie et l algèbre doivent se faciliter l une l autre». Si j en crois Jean-Paul Delahaye, l interprétation géométrique ci-dessous a été trouvée par Robert Vogeler, de l université du Connecticut. Considérons le cercle unité Γ = { (X, Y) Q ; X + Y = }. A tout triplet pythagoricien primitif t = (x, y, z), associons le point M = (X, Y) = ( z x, z y ). Ce point M sera appelé image circulaire de t. Proposition : La correspondance t M est une bijection de l ensemble des t. p. p. sur le quart de cercle Γ + = { (X, Y) Γ ; X >, Y > }. En effet, si (X, Y) est un point de Γ +, écrivons X = z x, Y = z y, où x, y, z sont des entiers > et z est le plus petit dénominateur commun de X et Y. On a x + y = z et pgcd(x, y, z) =. Comment interpréter géométriquement les transformations t R.t, t R.t et t R 3.t sur Γ +, autrement dit sur les images circulaires des triplets? Inscrivons Γ dans le carré de sommets (±, ±), et notons P le sommet (, ). Associons à tout point M(X, Y) Γ le second point d intersection M (X, Y ) de la droite P M avec Γ. Le calcul montre que : X = X + Y+, Y = X + Y+ 3 X X + + Y Y Pour obtenir ces formules, on peut poser M = ( t).m + t.p et reporter dans X + Y =. En effet si l on reporte X = ( t).x t = X t.(x + ), Y = ( t).y t = Y t.(y + ) dans X + Y =, il vient, compte tenu de X + Y = : t (X + Y + 3) t (X + Y + ) =. Or t, donc t = X + Y+, etc. X + Y + 3 De plus savants lecteurs peuvent aussi noter que l application M M n est autre que la restriction à Γ de l inversion de pôle P et de puissance. De sorte que : X + = X + = X +, Y + = Y + = Y +. ( X + )² + ( Y+ )² X + Y+ 3 ( X + )² + ( Y+ )² X + Y+ 3 7

28 Posons X = z x et Y = z y, où (x, y, z) Z Z Z. Alors on peut écrire X = x y z' '' = 3 x y. z x z' ' et Y = y ', où : z' La matrice obtenue, notée R, est de déterminant, et élément de H. De plus elle est involutive ; cela se vérifie aisément, et traduit le caractère involutif de la correspondance M M. La matrice R correspond à l application f = s O o f : M M, où M est symétrique de M par rapport à O. La matrice R correspond à l application f : M M, où M = ( f o s Oy )(M) = ( s O o f o s Oy )(M). En effet, il faut d abord changer x en x, puis appliquer f. La matrice R 3 correspond à l application f 3 : M M 3, où M 3 = ( f o s Ox )(M). En effet, il faut d abord changer y en y, puis appliquer f. Les images de Q par f, f et f 3 sont trois arcs de cercles 5. Triangles héroniens. 5.. Généralités. Nous avons établi (., corollaire de la prop ) que tout triangle pythagoricien a pour aire un entier naturel (et même multiple de 6). Nous allons généraliser ce résultat. Rappelons d abord quelques résultats de géométrie du triangle (voir chapitre ad hoc) : Théorème (Héron, al Kashi) : Soit T un triangle de sommets ABC, de côtés a = BC, b = CA, c = AB, et d angles A, B, C. L aire de T est donnée par la formule de Héron d Alexandrie S = p( p a)( pb)( pc), où p = a + b+ c est le demi-périmètre de T. De plus c = a + b ab.cos C et S = ab.sin C. Définition : Un triangle est dit héronien si ses trois côtés a, b, c et son aire S sont des nombres entiers. Le triplet (a, b, c) est alors appelé triplet héronien. Définition : Un triangle est dit presque équilatéral si ses trois côtés a, b, c sont des entiers consécutifs. 8

29 Proposition : Si T est un triangle héronien, et d un entier, son image par toute similitude de rapport d est un triangle héronien. Si T est un triangle héronien, et d = pgcd(a, b, c), son image par toute similitude de rapport /d est un triangle héronien, dit primitif, c est-à-dire dont les côtés sont premiers entre eux dans leur ensemble Exemples : ) Tout triangle pythagoricien est un triangle héronien. ) Il n y a pas de triangle héronien équilatéral, car on aurait S = a 4 3, or 3 est irrationnel. Proposition : Soit T un triangle héronien de côtés a, b, c. Les couples ( cos A, sin A ) ( cos B, sin B ) et ( cos C, sin C ) appartiennent à Q Q. Cela découle de ce que cos C = a ² + b ² ab c ² et sin C = S. ab 5.. Triangles héroniens presque équilatéraux. Soit T un triangle héronien presque équilatéral. Notons a = b, b, c = b + ses côtés. Alors p = 3b et S = p( p a)( pb)( pc ) = 3 b ²( b)( b+ ). 4 Par conséquent, 3b ( b )( b + ) = 6.S, ou encore 3( b ) = 6.S +. C est une équation diophantienne, que nous allons simplifier. Notons qu elle implique que b est pair et S est multiple de 3. Posant b = β et S = 3s, elle s écrit : ( β s 3 ).( β + s 3 ) =. Nous voilà en terrain connu : les équations de Fermat, liées ici aux unités de Z[ 3 ]. Les deux premières affirmations sont supposées connues. ) z = x + y 3 = β + s 3 est de la forme ( + 3 ) n, où n Z. ) Comme y est pair et x impair, on a nécessairement n pair, n = m. 3) x = m m [ ( + 3 ) + ( 3 ) ], y = s = m m [ ( + 3 ) ( 3 ) ]. 3 4) On constate que x est bien de la forme x = β, autrement dit que x + est un carré d entier. En effet x + = m m ( + 3) m+ ( 3) m [ ( + 3 ) + ( 3 ) + ] = 4 [ ( + 3) m+ ( 3) m Or β = est bien un naturel, et b = β. Théorème : Il y a une infinité de triangles héroniens presque équilatéraux, indexée par m N* : Ils ont pour côtés ( a m = b m, b m, c m = b m + ), où b m = ( + 3 ) m + ( 3 ) m et pour aires : S m = 4 3 [ ( + 3 ) m ( 3 ) m ]. Remarques : Si m =, on tombe sur le triangle de côtés (,, 3) et d aire nulle puisqu il est plat. Si l on change m en m, le triplet ( a m, b m, c m ) ne change pas, mais l aire devient <. Avec Maple : > alias(omega=rootof(x^-3));alpha:=+omega;beta:=-omega; > b:=m->alpha^m+beta^m;a:=m->b(m)-;c:=m->b(m)+; S:=m->omega/4*(alpha^(*m)-beta^(*m)); > T:=m->map(simplify,[a(m),b(m),c(m),S(m)]); > for m from to do T(m);od; ] 9

30 [,, 3, ] [ 3, 4, 5, 6 ] [ 3, 4, 5, 84 ] [ 5, 5, 53, 7 ] [ 93, 94, 95, 696 ] [ 73, 74, 75, 6974 ] [ 7, 7, 73, 3634 ] [ 83, 84, 85, ] [ 37633, 37634, 37635, ] [ 445, 445, 4453, ] [ 5473, 5474, 5475, ] [ 95643, 95644, 95645, ] [ 738, 738, 7383, ] [ , , , ] [ 68753, 68754, 68755, ] [ 37955, 37955, , ] [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] [ , , , ] 5.4. Description des triangles héroniens généraux. La proposition suivante donne une famille à trois paramètres de triangles héroniens Proposition : Soient m, n, k trois entiers tels que k mn. Le triangle de côtés : a = n.( m + k ), b = m.( n + k ), c = ( m + n )( mn k ) a pour demi-périmètre p = mn( m + n ) et pour aire S = kmn( m + n )( mn k ). Ces triangles sont héroniens. Mais tous les triangles héroniens ne sont pas de cette forme. Preuve : L existence de ces triangles suppose vérifiées les conditions c < a + b, b < c + a, a < b + c. Cela est fait dans le calcul ci-dessous, ainsi que le calcul de p et S. > a:=(m,n,k)->n*(m^+k^); b:=(m,n,k)->m*(n^+k^); c:=(m,n,k)->(m+n)*(m*n-k^); > p:=factor(simplify((a(m,n,k)+b(m,n,k)+c(m,n,k))/)); S:=simplify(sqrt(p*(p-a(m,n,k))*(p-b(m,n,k))*(p-c(m,n,k)))); p := m n ( m + n ) S := m n ( m + n ) ( m n k ) k > factor(a(m,n,k)+b(m,n,k)-c(m,n,k)); factor(a(m,n,k)+c(m,n,k)-b(m,n,k)); factor(b(m,n,k)+c(m,n,k)-a(m,n,k)); k ( m + n ) m ( m n k ) n ( m n k ) > for m from to 4 do > for n from to 4 do > for k from to ceil(sqrt(m*n))- do > print([a(m,n,k),b(m,n,k),c(m,n,k),p,simplify(s)]);od;od;od; 3

31 [ 4, 5, 3, 6, 6 ] [ 6,, 8,, 4 ] [ 8, 7, 5,, 6 ] [ 5, 4, 3, 6, 6 ] [,,, 6, 48 ] [ 5,, 5, 3, 5 ] [ 4, 6,, 3, ] [, 34, 4, 48, 336 ] [ 3, 4, 4, 48, 384 ] [, 6, 8,, 4 ] [, 5, 5, 3, 5 ] [ 6, 4,, 3, ] [ 3, 3, 48, 54, 43 ] [ 39, 39, 3, 54, 54 ] [ 4, 5, 77, 84, 94 ] [ 5, 6, 56, 84, 344 ] [ 7, 75,, 84, 756 ] [ 7, 8, 5,, 6 ] [ 34,, 4, 48, 336 ] [ 4, 3, 4, 48, 384 ] [ 5, 4, 77, 84, 94 ] [ 6, 5, 56, 84, 344 ] [ 75, 7,, 84, 756 ] [ 68, 68,, 8, 9 ] [ 8, 8, 96, 8, 37 ] [,, 56, 8, 688 ] Les triangles isocèles de côtés 5, 5, 6, resp. 5, 5, 8, sont héroniens, mais ils ne sont pas de ce type. Idem pour le triangle presque équilatéral (3, 4, 5). Les procédures Maple suivantes fournissent, pour un entier C donné, tous les triangles héroniens (resp. primitifs) tels que a b c C. > heronian:=proc(c) > local a,b,c,p,s,s; > for c from to C do for b from to c do for a from to b do if c < a+b then p:=(a+b+c)/;s:=p*(p-a)*(p-b)*(p-c); > if issqr(s) then S:=sqrt(s);print([a,b,c,p,S]);fi;fi; od;od;od;end; > heronian(); [ 3, 4, 5, 6, 6 ] [ 5, 5, 6, 8, ] [ 5, 5, 8, 9, ] [ 6, 8,,, 4 ] [,,, 6, 48 ] [ 5,, 3, 5, 3 ] [, 3, 3, 8, 6 ] [ 9,, 5, 8, 54 ] [ 4, 3, 5, 6, 4 ] [ 3, 4, 5,, 84 ] [,, 6, 8, 48 ] [ 9,, 7, 8, 36 ] [ 8, 5, 7,, 6 ] 3

32 [ 6, 7, 7, 5, ] [ 5, 5, 8, 4, 8 ] [, 3,,, 66 ] [ 7, 5,,, 4 ] [, 6,, 4, 96 ] > primitiveheronian:=proc(c) > local a,b,c,p,s,s; > for c from to C do for b from to c do for a from to b do if c < a+b and igcd(a,b,c)= then p:=(a+b+c)/;s:=p*(p-a)*(p-b)*(p-c); > if issqr(s) then S:=sqrt(s);print([a,b,c,p,S]);fi;fi;od;od;od;end; > primitiveheronian(3); [ 3, 4, 5, 6, 6 ] [ 5, 5, 6, 8, ] [ 5, 5, 8, 9, ] [ 5,, 3, 5, 3 ] [, 3, 3, 8, 6 ] [ 4, 3, 5, 6, 4 ] [ 3, 4, 5,, 84 ] [ 9,, 7, 8, 36 ] [ 8, 5, 7,, 6 ] [ 6, 7, 7, 5, ] [, 3,,, 66 ] [ 7, 5,,, 4 ] [, 7,, 4, 84 ] [ 3,,, 7, 6 ] [ 3, 3, 4, 5, 6 ] [, 7, 5, 7, 9 ] [ 7, 4, 5, 8, 84 ] [ 4, 5, 5, 3, 68 ] [ 3, 5, 6, 7, 36 ] [ 7, 5, 6, 34, 4 ] [ 7, 5, 8, 35, ] [,, 9, 35, ] [ 6, 5, 9, 3, 6 ] [ 7, 7, 3, 3, ] [, 5, 3, 33, 3 ] [ 5, 9, 3, 3, 7 ] 5.5. Quelques triangles héroniens. Les cinq triangles héroniens suivants, trouvés sur internet : (a, b, c, S) = (5,, 3, 3), (6, 8,, 4), (6, 5, 9, 6), (7, 5,, 4) et (9,, 7, 36) sont tels que S = P (aire = périmètre). Ils ont même rayon du cercle inscrit, à savoir. > with(plots): > th:=listplot([[,],[,5],[-,5],[,]],color=blue): th:=listplot([[,],[,6],[-8,6],[,]],color=red): th3:=listplot([[,],[,6],[,],[,]],color=green): th4:=listplot([[,],[,7],[,6],[,]],color=gold): th5:=listplot([[,],[,9],[8,5],[,]],color=violet): display({th,th,th3,th4,th5},thickness=); 3

33 5.5. Avec l OEIS. La suite des périmètres des triangles héroniens primitifs est référencée A Elle a pour premières valeurs :, 6, 8, 3, 3, 36, 4, 4, 44, 48, 5, 54, 56, 6, 64, 66, La suite des périmètres des triangles héroniens est référencée A558. Elle a pour premières valeurs :, 6, 8, 4, 3, 3, 36, 4, 4, 44, 48, 5, 54, 56, 6, 64, 66, La suite des plus grands côtés des triangles héroniens primitifs est référencée A3. Elle a pour premières valeurs : 5, 6, 8, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 7,,,,, 4, 5, 5, 6, 6, La suite des plus petits côtés des triangles héroniens presque équilatéraux est référencée A664. Elle a pour premières valeurs :, 3, 3, 5, 93, 73, 7, 83, 37633, 445, La suite des aires des triangles héroniens presque équilatéraux est référencée A945. Elle a pour premières valeurs :, 6, 84, 7, 696, 6974, 3634, , La suite des périmètres des triangles héroniens aux côtés quadratfrei est référencée A Elle a pour premières valeurs : 6, 36, 4, 48, 64, 78, 8, 84,, 8, Triplets pythagoroniens. Définition : Appelons triplet pythagoronien tout triplet (a, b, c) N* 3 tel que a + b = c. Un triplet pythagoronien (a, b, c) est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux dans leur ensemble. Exemples : ) Les triplets (a, a, a), où a décrit N*, sont pythagoroniens. ) Il y en a d autres, tels (7, 7, 3), (3, 7, 5), etc. Soit t = (a, b, c) un triplet pythagoronien. Si divise a, divise b et alors, posant a = a, b = b, on note aussitôt que divise c. Par récurrence, si l on pose a = k.a, où a est impair, alors b = k.b et c = k.c. 33

34 De plus, t = (a, b, c ) est un triplet pythagoronion dans lequel a est impair, ainsi donc que b. Posons alors a = p + et b = q +. Alors a + b = 4p + 4p + 4q + 4q + = c implique p + p + q + q + = c. Donc c est aussi impair. Posons c = r +. Alors p + p + q + q = ( r + r ). p( p+) Si l on note T p le nombre triangulaire T p =, cette relation s écrit T p + T q = T r. Si d est le pgcd de a et de b, qui est nécessairement impair, d divise c. Proposition : Tout triplet pythagoronien t = (a, b, c) est de la forme t = ( k.d.a, k.d.b, k.d.c ), où k est un exposant, d un nombre impair et (a, b, c ) est un triplet pythagoronien primitif formé de nombres impairs. Soit maintenant (x, y, z) un triplet pythagoronien primitif formé de nombres impairs. La relation x + y = z s écrit ( x + iy )( x iy ) = z. Posons x = p + et y = q +. x+ iy xiy Comme ( + i )( i ) =, il vient = z, c est-à-dire : + i i ( p + q + ) + ( q p ) = z. Nous voici ramenés à l équation de Pythagore! De plus, p + q + et q p sont premiers entre eux, car si d divise p + q + et q p, il divise leur somme et leur différence, c est-à-dire x et y ; donc il est impair et divise z : d =. En vertu du théorème d Euclide, p + q + = u v, p q = uv, z = u + v, où u et v sont de parités opposées, < v < u et u v = Et alors x = u v + uv, y = u v uv, z = u + v, Ou bien p + q + = uv, p q = u v, z = u + v, où u et v ont les mêmes propriétés. Et alors x = u v uv, y = u + v + uv, z = u + v. Théorème : Les triplets pythagoroniens sont de la forme : x = u v uv, y = u + v + uv, z = u + v. A revoir, mais c est presque ça! > isolve(x^+y^=*z^); _Z3 ( _Z _Z _Z + _Z { ) x = igcd ( _Z _Z _Z + _Z, _Z _Z _Z _Z, _Z + _Z ), _Z3 ( _Z _Z _Z _Z ) y = igcd ( _Z _Z _Z + _Z, _Z _Z _Z _Z, _Z + _Z ), _Z3 ( _Z + _Z ) z = } igcd ( _Z _Z _Z + _Z, _Z _Z _Z _Z, _Z + _Z ) 7. Les équations x + y = pz ( p premier impair ). Nous allons voir que ces équations sont de deux types, selon le reste de p modulo 4. L anneau des entiers de Gauss Z[i] est supposé connu. Ses propriétés ont été rappelées en.. Proposition : Soit p un nombre premier impair, F p = Z/pZ. p i) Il y a carrés non nuls dans F p. ii) Soit x F p * ; x est un carré si et seulement si x =. iii) est un carré dans F p si et seulement si p (mod 4). p 34

35 Solution : i) Soit Γ l ensemble des carrés non nuls de F p. L application x x est une surjection de F p * sur Γ, et chaque élément de Γ a deux antécédants ; en p vertu du principe des bergers, Γ a éléments. C est un sous-groupe de F p *. p ii) Si x est élément de Γ, x = y, alors x = p Ainsi Γ { x ; x = } = R. Mais R a au plus d une équation polynomiale de degré p p y = en vertu du petit théorème de Fermat. p éléments, en tant qu ensemble des solutions dans un corps commutatif. Par conséquent, Γ = R. iii) est un carré dans F p si et seulement si ( ) p = ; cela équivaut à p (mod 4). Remarque : il existe beaucoup d autres preuves de ce dernier résultat. Proposition : Soit p un nombre premier congru à 3 modulo 4. i) (a, b) Z Z p a + b p a et p b. ii) Dans Z 3 l équation diophantienne (E p ) x + y = p.z a pour unique solution (,, ). Preuve : i) La propriété demandée s écrit a + b (mod p) a (mod p) et b (mod p). ou encore (x, y) Z/pZ Z/pZ x + y = x = y =. Lemme : Soit K un corps commutatif. Les propriétés suivantes sont équivalentes : i) (x, y) K K x + y = x = y =. ii) n est pas un carré dans K. Comme n est pas un carré dans Z/pZ, on conclut aussitôt. ii) L équation diophantienne (E p ) x + y = p.z a pour seule solution (,, ). En effet, il découle de ) que p divise x et y. Posons x = p.x et y = p.y ; alors p ( x + y ) = p.z implique que p divise z ; soit z = p.z. Alors x + y = p.z. On conclut que (x, y, z ) = (,, ) par descente infinie de Fermat. Remarque : Autre solution, reposant sur les entiers de Gauss. Si p est premier congru à 3 modulo 4, p reste premier dans l anneau euclidien Z[i]. L équation x + y = p.z s écrit ( x + iy )( x iy ) = p.z, p divise l un des entiers x ± iy. Mais s il divise l un, il divise l autre, donc x + iy = p.( a + ib ) et x iy = p.( a ib ). Donc p.( a + ib ).( a ib ) = z ; p divise z, donc p divise z. Et l on conclut par descente infinie... Supposons désormais p premier congru à modulo 4. On sait que p se décompose dans Z[i], sous la forme p = ainsi que son conjugué, π = a ib, π et π. étant non associés. L équation x + y = p.z s écrit ( x + iy ).( x iy ) = π. π z. π étant premier, divise par exemple x + iy. Ecrivons : x + iy = π.( u + iv ). Alors x iy = π..( u iv ), et donc : u + v = z. Nous voilà ramenés à l équation diophantienne de Pythagore! Théorème : Soit p un nombre premier impair. i) Si p 3 (mod 4), l équation (E p ) a pour seule solution (,, ) ; π. π, où π = a + ib est premier dans Z[i] ii) Si p (mod 4), il existe (a, b) Z Z tel que p = a + b. L équation (E p ) a pour solutions (x, y, z) = (au bv, av + bu, z), où (u, v, z) est un triplet pythagoricien. Avec Maple : > isolve(x^+y^=*z^); 35

36 { x =, y =, z = } > isolve(x^+y^=5*z^); _Z3 ( _Z 4 _Z _Z + _Z { ) x = igcd ( _Z 4 _Z _Z + _Z, _Z _Z _Z _Z, _Z + _Z ), _Z3 ( _Z _Z _Z _Z ) y = igcd ( _Z 4 _Z _Z + _Z, _Z _Z _Z _Z, _Z + _Z ), _Z3 ( _Z + _Z ) z = } igcd ( _Z 4 _Z _Z + _Z, _Z _Z _Z _Z, _Z + _Z ) 36

37 Annexe : Problème HEC

38 38