MASTER GESTION DES ORGANISATIONS

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1 MASTER GESTION DES ORGANISATIONS COURS DE GESTION FINANCIERE CHOIX DE PROJETS ET CHOIX D INVESTISSEMENT ANALYSE CLASSIQUE ET RÉCENTS DÉVELOPPEMENTS VOLUME I THEME 1 : LES FACTEURS D'ACTUALISATION ET DE CAPITALISATION Les mathématiques fnancières rendent compte de la valeur des fux en fonction de leur apparition au cours du temps. Le taux d'intérêt et les concepts d'actualisation et de capitalisation sont à l'origine des outils et des techniques de mathématiques fnancières.

2 1. Les facteurs d'actualisation et de capitalisation Cette section présente les fondements du calcul fnancier en illustrant les techniques de base des mathématiques fnancières. Ces techniques qui débouchent sur l'élaboration des tables fnancières sont illustrées par plusieurs exemples L'intérêt simple Les notations suivantes sont conservées : I : le montant déboursé ou reçu à l'instant initial, F : la valeur d'un fux futur correspondant à un placement I, ou encore la valeur acquise, A : le montant déboursé ou reçu à chaque période, (une annuité), r: le taux d'intérêt périodique, quotidien, mensuel, trimestriel ou annuel, n : le nombre de périodes, Lorsqu'un taux d'intérêt, r, est appliqué à un capital initial I, placé ou emprunté sur une certaine période de temps, l'intérêt est dit simple. Le montant de l'intérêt est égal à : Intérêt = I (r) n La valeur de (n) s'exprime en termes annuel. Par exemple, 1 an, 2 ans,..., ou en fraction d'année du type 2/360 ou 2/365 jours pour une période de deux jours. Lorsque le montant de l'intérêt est calculé sur la base de l'année commerciale, l'année comporte 360 jours. Si l'année civile est utilisée, le nombre de jours est de 365 jours. L'année civile est souvent utilisée pour le calcul de l'intérêt sur les instruments du marché obligataire et du marché monétaire. L'intérêt simple peut être précompté ou post compté selon la nature de l'opération. L'intérêt est précompté lorsqu'il est payé en début de période. Il est également dit intérêt terme à échoir. L'intérêt est post compté lorsqu'il est versé en fn de période. Il est dit intérêt terme échu. L'intérêt est souvent post compté pour les prêts interbancaires et les bons du Trésor à taux fxe et intérêt annuel. L'intérêt post compté exige que l'emprunteur verse l'intérêt le jour de la réception du capital prêté. Exemple Si I = 100, r = 10%, n = 1 an, l'application de la formule précédente donne le montant de l'intérêt correspondant à une opération d'une année : 10, soit 100(0,1)(1) L'intérêt composé, la capitalisation et l'actualisation L'intérêt est composé lorsque le taux est appliqué à un capital sur plus d'une période. Les mathématiques fnancières sont fondées sur la notion d'intérêt composé ou encore d'intérêt gagné sur le placement de l'intérêt reçu. En plaçant un montant I à l'instant initial, la valeur future de ce fux dans un an est: F 1 = I + ri ou encore: F 1 = I(1+r) Lorsque le montant F 1 est replacé dans un an, il génère une valeur future F 2 à la fn de l'année 2 soit : F 2 = F 1 + F 1 r ou encore: F 2 = I(1+r) + I(1+r)r = I(1 + r + r + r2) = I(1 + 2r + r2) D'où : F 2 = I(1 + r)2 2

3 Ce raisonnement s'applique pour la fn de l'année 3, 4, etc. Ainsi, dans n années, le montant placé devient: Fn = I(1 + r)n (1) La valeur future F n, souvent désignée par F est appelée la valeur acquise ou la valeur d'un fux futur. La quantité (1+r) n est appelée le facteur de capitalisation d'un seul fux, Single Payment Compound Amount Factor, (SPCAF). En utilisant la formule (2), l'investissement initial I est : I = F [1/(1+r)n] (2) Cette expression rapporte la valeur d'un fux futur à l'instant initial : c'est l'actualisation. Le facteur d'actualisation, [1/(1+r) n ] donne la valeur présente d'un seul versement dans l'avenir, ou encore Single Payment Present Worth Factor, (SPPWF), autrement dit la valeur présente I d'un montant F payable dans n années au taux d'intérêt r La valeur présente d'une série uniforme et le facteur de récupération du capital En recevant un montant constant A à la fn de chaque période, la valeur présente d'une telle série sur n périodes s'écrit : I = A[1/(1 + r)] + A[1/(1 + r)2] + A[1/(1 + r)3] A[1/(1 + r)n] ou encore : I = A[1/(1 + r)+ 1/(1+r)2 + 1/(1 + r) /(1 + r)n] = A 1/(1 + r)i En multipliant les deux côtés de cette égalité par (1/1+r), il vient : I/(1+r) = A[1/(1 + r)2 + 1/(1 + r)3 + 1/(1 + r) /(1 + r)n+1] En soustrayant cette égalité de la précédente et en factorisant par I, nous obtenons : I (1/1+ r - 1) = A[1/(1 + r)n+1-1/(1 + r)] Soit encore : I(-r/1+r) = A[(1/(1+r)n) - 1] (1/1+r) En divisant par -r/(1+r) pour r différent de zéro, il vient : I = A [((1 + r)n - 1)/r(1 + r)n] = A 1/(1+r)i (3) Le facteur d'actualisation 1/(1 + r) i = [((1 + r) n - 1)/r(1 + r) n ] est appelé le facteur de la valeur présente d'une séquence de fux standard, une annuité, ou encore Uniform Series Present Worth Factor, (USPWF). Ce facteur donne la valeur présente I d'une série standard équivalente A qui débute à la fn de l'année 1 et qui s'étend sur n périodes. L'expression (3) s'écrit aussi: A = I [r(1 + r)n/((1 + r)n - 1)] = I i (4) Le terme [r(1 + r) n /((1 + r) n - 1)] correspond au facteur de récupération du capital, Capital Recovery Factor, (CRF) qui donne pour un investissement initial I, l'annuité constante équivalente A sur n années Le facteur d'amortissement du capital 3

4 La valeur présente d'un montant F placé pendant n périodes est : I = F [1/(1+r)n]. En remplaçant I par sa valeur dans (4), il vient: A = F [1/(1 + r)n] [r(1 + r)n /((1 + r)n - 1)] Soit : A = F [r/((1+r)n -1)] = F i /(1+r)n (5) Le facteur d'actualisation [r/((1+r)n -1)] constitue le facteur d'amortissement du capital ou encore, Sinking Fund Factor, (SFF). L'égalité (5) est utilisée pour le calcul de la valeur d'une séquence de fux standard ou encore de l'annuité équivalente à la valeur future F. En écrivant la valeur future F en fonction de A, il vient: F = A [((1+r)n - 1)/r] = A (1+r)n / i (6) Le terme entre crochets correspond au facteur de capitalisation d'une séquence de fux standard avec intérêt composé ou encore, Uniform Series Compound Amount Factor, (USCAF). La valeur future F apparaît à la même date que le dernier versement A Applications aux tables fnancières Désignons par (a/b,r,n) les formules de (1) à (6) où (a) représente la valeur recherchée, (b) une valeur donnée, r le taux d'intérêt et n le nombre de périodes. Le tableau 1 donne la procédure d'élaboration des tables fnancières et des calculs fnanciers usuels. Tableau 1 LES PRINCIPALES FORMULES D'ACTUALISATION Montant (recherché, donné) Facteur approprié Facteur approprié Formule d'évaluation de (1) à (6) I, F Actualisation simple ; [1/(1+r)n] F, I Capitalisation simple (1+r)n (I/F,r,n) : SPPWF Le facteur de la valeur présente d'un seul versement dans l'avenir,: Single Payment Present Worth Factor, (SPPWF), (F/I,r,n) : SPCAF Le facteur de capitalisation d'un seul fux, Single Payment Compound Amount Factor Formule (1) : I = F [1/(1+r)n] Formule (2): F = I(1+r)n 4

5 I, A Facteur donnant I en fonction d'une annuité équivalente. Ce facteur est parfois noté : A= 1/(1+r)i A, I Facteur d'une annuité équivalente à I i A, F Facteur d'amortisseme nt du capital i /(1+r)n F, A Le facteur donnant la valeur future d'une annuité constante (1+r)n / i 1.6. Applications (I/A,r,n) : USPWF Le facteur de la valeur présente d'une séquence de fux standard, une annuité : Uniform Series Present Worth Factor, (USPWF). (A/I,r,n) : CRF Le facteur de récupération du capital : Capital Recovery Factor, (A/F,r,n):SFF Le facteur d'amortissement du capital : Sinking Fund Factor (F/A,r,n) : USCAF Le facteur de capitalisation d'une séquence de fux standard avec intérêt composé : Uniform Series Compound Amount Factor Formule (3) : I = A [((1+r)n - 1) /r(1+r)n] Formule (4): A = I [r(1+r)n/((1+r)n -1)] Formule (5): A = F [r/((1+r)n -1)] Formule (6): F = A [((1+r)n - 1)/r] Application de la formule (1) La recherche de la valeur présente I d'un fux futur, F, s'obtient à partir de la formule (1). Lorsque le taux d'intérêt est de 8% et la période de placement est de 8 ans, l'application de la formule (1) donne: (I/F,6%,8) = 1/(1,06)8 = 0, Si F = 1000 alors I = 627,4126. Application de la formule (3) La recherche de la valeur présente I d'une séquence de fux constant, A, lorsque le taux d'intérêt est de 6%, (8%), (11%) et la période de placement est respectivement de 11 ans (20 ans) et (14 ans), s'effectue par l'application de la formule (3), qui donne les facteurs suivants : - (I/A,6%,11) = (1+0,06)11-1 /0,06(1+0,06)11 = 7, (I/A,8%,20) = (1,08)20-1 / 0,08(1,08)20 = 9, (I/A,11%,14) = (1,11)14-1 / 0,11(1,11)14 = 6,

6 Application des formules (4), (5) et (6) : En appliquant un raisonnement similaire, il vient : - (A/I,6%,5) = 0,06(1,06)5/(1,06)5-1 = 0, , - (A/F,6%,5) = 0,06/(1,06)5-1 = 0, , - (F/A,6%,5) = (1,06)5-1 /0,06 = 5, Ces calculs sont donnés dans les tables fnancières. 2. Les formules des séquences de fux et des rentes Les formules des chroniques des fux monétaires sont élaborées par référence aux formules (1) à (6) et aux défnitions des suites arithmétiques et des suites géométriques. Rappelons que dans une suite arithmétique chaque élément se déduit du précédent en ajoutant un nombre constant G qui s'appelle la raison de la suite. Si l'on désigne par U n le dernier terme d'une suite de rang n, ce terme s'écrit : Un = U0 + n G (7) Dans une suite géométrique, chaque élément s'obtient en multipliant le précédent par un nombre "q" appelé également la raison de la suite. Si l'on désigne par U n le dernier terme d'une suite géométrique de rang n, il s'écrit : Un = U0 qn. La somme des n premiers termes d'une suite géométrique est : q1 + q qn = qi = q(1 - qn)/(1 - q) (8) 2.1. Les valeurs présente, future et l'annuité pour une croissance lineaire arithmétique Une chronique de fux peut croître ou décroître d'une façon linéaire. Le montant de la hausse (de la baisse) demeure constant dans chaque période. Par exemple, en effectuant une dépense initiale de euros à la fn de l'année 1 et des dépenses subséquentes de l'année 2, l'année 3, l'année 4,... et (n-1) 50 l'année n, la raison de la séquence, G, (50 euros), apparaît entre l'année 1 et 2, 2 et 3,... et (n-1) et n. Le montant de base est de euros. Cette suite arithmétique est représentée par le schéma 1. Échéancier des fux Schéma 1 Échéancier des fux Année n-1 n G 2G 3G (n-2)g (n-1)g Il convient de noter que la raison de la suite démarre l'année 2 alors que la valeur présente est calculée l'année 0. Dans la mesure où la valeur présente est égale à la somme des valeurs présentes de chaque montant G, il vient : I = G[1/(1+r)2 + 2/(1+r)3 + 3/(1+r) (n-2)/(1+r)n-1 + (n-1)/(1+r)n] (9) En multipliant les deux membres de l'égalité (9) par (1+r), il vient: 6

7 I(1+r)=G[1/(1+r)+2/(1+r)2+3/(1+r)3+...+(n-2)/(1+r)n-2+(n-1)/(1+r)n-1] (10) En faisant soustraire l'égalité (10) de l'égalité (9), il vient: I(1 + r)-i = G[1/(1 +r ) +(2-1)/(1+r)2 + (3-2)/(1+r)3+...+((n-1)-(n-2))/(1+r)n-1 - (n-1)/ (1+r)n] ou encore : I(1 + r ) - I = G[1/(1+r) +(1)/(1+r)2+(1)/(1+r)3+...+(1)/(1+r)n-1 + (1 - n)/ (1+r)n] (11) En factorisant I et en divisant les deux membres de l'égalité par r, il vient: I = G/r[1/(1+r)+1/(1+r)2+1/(1+r) /(1+r)n-1 +1/(1+r)n] - n G/r(1+r)n (12) Dans la mesure où le terme entre crochets est donné par la formule (3), il vient : I = G/r[((1+r)n - 1)/r(1+r)n] - n G/r(1+r)n (13) ou encore : I = G (1/r)[((1+r)n - 1)/r(1+r)n - (n/(1+r)n )] (14) Le terme factorisant G est le facteur permettant le passage d'une séquence de fux suivant une évolution arithmétique vers sa valeur présente à l'instant initial. Le facteur d'actualisation approprié est : (I/G,r,n) = (1/r) [(((1+r)n -1)/r(1+r)n )- (n/(1+r)n )] (15) Ce terme permet le passage du schéma 1 au schéma 2. Schéma 2 Échéancier des fux I? n-1 n Le montant de l'annuité A équivalente à cette séquence de fux est donné par le produit de G(I/G,r,n) par (A/I,r,n), soit : A = G(A/G, r, n) = G [(1/r) - (n/((1+r)n -1))] (16) L'expression [(1/r) - (n/((1+r)n -1))] correspond au facteur d'actualisation donnant l'annuité équivalente à la série des fux suivant une évolution arithmétique. Ce facteur permet le passage du schéma 1 au schéma 3. Schéma 3 ÉCHÉANCIER DES FLUX A? n-1 n

8 Le facteur de la valeur future de la séquence de fux, (F/G,r,n) est donné par la multiplication de (I/G,r,n) et (F/I,r,n), soit : F = G(1/r)[(((1+r)n -1)/r) - n] (17) Dans le calcul de I et du montant de l'annuité équivalente à la séquence de fux du schéma (1), les formules utilisées sont : I = G (I/G, r, n), (18) A = G (A/G, r, n) (19) APPLICATIONS Quel est le facteur d'actualisation approprié qui permet le passage de la série arithmétique du schéma (1) vers le montant annuel équivalent A pour des taux d'intérêt respectifs de 6%, (10%, 4%, 8%) et des échéances respectives de 10 ans (15, 12 et 20 ans). Le facteur est calculé à partir de la formule A = G (A/G,6%,10). Le facteur est de 4,021993, soit [1/0,06-10/(1,06)10-1]. Pour (A/G,10%,15), le facteur est de 5,278935, Pour (A/G,4%,12), le facteur est 5, Enfn, pour (A/G,8%,20), le facteur est de 7, La valeur présente pour une croissance géométrique Lorsque la séquence des fux de trésorerie ne change pas d'un montant constant mais d'un pourcentage donné, il s'agit d'une évolution géométrique. En désignant par M le montant de l'année 1 et par g, le facteur de croissance de la séquence des fux monétaires, l'échéancier est donné par le schéma 4. Schéma 4 Échéancier des fux Année I? n M M(1+g) M(1+g) 2 M(1+g) n-1 La valeur présente de cette série croissante de fux est : I = M/(1+r)+M(1+g)/(1+r)2+M(1+g)2/(1+r) M(1+g)n-1/(1+r)n (20) ou encore : I= M[1/(1+r) + (1+g)/(1+r)2 +(1+g)2/(1+r) (1+g)n-1/(1+r)n] (21) En multipliant les deux membres de l'égalité (21) par (1+g)/(1+r) et en faisant la soustraction, il vient : I((1+g/1+r) - 1) = M [((1+g)n/(1+r)n+1) - (1/(1+r))] (22) D'où, la valeur présente de cette série croissante de fux pour g différent de r : I = M [((1+ g)n/(1+r)n - 1)/(g - r)] (23) 8

9 Utilisons le théorème de l'hôpital au point g = r, en dérivant I par rapport à g : di/dm = M [n(1+g)n-1/(1+r)-n] = M [n/(1+g)(1-n)(1+r)n] D'où la valeur de I au point g = r à partir de (23): I = M (n/(1+ g)) (24) 2.3. Les séquences infnies et les rentes Dans la mesure où le temps de calcul est parfois important pour obtenir la "valeur temps" de l'argent, les formules simplifées pour l'actualisation des fux surmontent cette contrainte. Tel est le cas pour une rente perpétuelle d'un fux reçu (versé) jusqu'à l'infni La rente et les fux constants La rente perpétuelle correspond à un fux A, constant dont l'échéance est infnie. Tel est le cas par exemple des obligations donnant le droit au porteur de recevoir chaque année un intérêt versé jusqu'à l'infnie. La valeur présente de cet actif est donnée par la formule suivante: I = A/(1+r) + A/(1+r)2 + A/(1+r)3 +...= A 1/(1+r)i (25) Cette formule représente la somme des termes d'une série géométrique. En désignant par C = A/(1+r) et par B = 1/(1+r), la formule de la valeur présente I s'écrit : I = C (1 + B + B2 + B Bn ) ou encore en multipliant par B: B (I) = C B + C B2 + C B C Bn +... La soustraction des deux dernières égalités donne: I (1+B) = C En remplaçant C et B par leurs valeurs, il vient: I = A/r (26) Exemple Une rente payant 100 euros par an jusqu'à l'infni à un taux de 10%, vaut 1000 euros, soit (100/0,1) euros. Si le taux d'intérêt baisse à 8%, la valeur de la rente passe à 1250 euros, soit (100/0,08)euros La rente et les fux croissants Considérons un fux perpétuel qui croît au taux de g% par an. La valeur présente de cette rente croissante est : I = A/(1+r) + A(1+g)/(1+r) A(1+g)n-1/(1+r)n +... (27) En désignant par C = A/(1+r) et par B = (1+g)/(1+r), la valeur présente s'écrit: I = C (1 + B + B2 + B Bn...) En utilisant comme précédemment les propriétés de la série géométrique, il vient: I = A/(r - g) (28) Exemple Si r = 15%, g = 5% et A = 100 euros, la valeur présente est de 1 000, soit: I = 100/(0,15-0,05) = 100/0,1 = 1000 euros. 9

10 * *** QUESTIONS Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt simple? Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt composé? Quelle est la relation entre les deux types de taux? Qu'est-ce que l'actualisation? Qu'est-ce que la capitalisation? Qu'est-ce qu'une valeur présente? Qu'est-ce qu'une valeur future ou une valeur acquise? Qu'est-ce qu'un échéancier de fux? Qu'est-ce qu'une séquence de fux standard? Qu'est-ce qu'un facteur de récupération du capital? Comment peut-on élaborer les tables fnancières? Appliquez sur des exemples les formules (1) à (6) proposées dans ce chapitre. Qu'est-ce qu'une suite arithmétique? Qu'est-ce qu'une suite géométrique? Qu'est-ce qu'un facteur de récupération du capital? Qu'est-ce qu'une rente? Quelles sont les formules de rentes? THÈME 2 LES PASSAGES DES SÉQUENCES DE FLUX NON STANDARDS VERS DES ANNUITÉS ET DES VALEURS PRÉSENTES Les séquences de flux relatives à un échéancier donné ne sont pas toujours standards. La diversité des configurations conduit à utiliser des formules d'actualisation simplifiées, des formules de séries et des combinaisons des facteurs d'actualisation. 1. Les taux d'intérêt équivalent, effectif et le calcul en continu Les différences entre un taux annuel équivalent à un taux périodique et un taux effectif constituent un point de départ pour l'introduction de l'actualisation en temps continu Les taux équivalent et effectif La relation entre le taux d'intérêt simple et le taux d'intérêt composé, (qui tient compte de l'intérêt sur l'intérêt de la période précédente) peut être affinée davantage pour rendre compte des différences entre le taux d'intérêt nominal et le taux d'intérêt effectif. Le taux d'intérêt nominal est un taux apparent alors que le taux d'intérêt effectif correspond au taux qui détermine le résultat réel d'une opération financière. La différence entre ces deux taux provient de la période adoptée pour le calcul des taux d'intérêt. Le taux d'intérêt nominal correspond au taux périodique multiplié par le nombre de périodes. Par exemple, un taux d'intérêt de 3% par mois correspond à un taux d'intérêt nominal de 9% par trimestre, 3% (3). Cette relation linéaire qui définit les taux proportionnels n'est vérifiée que dans le contexte de l'intérêt simple. Ce type de calcul ignore la valeur temps de l'argent placé ou emprunté. D'où la nécessité de prendre en compte un taux d'intérêt effectif qui rend compte de la notion de l'intérêt sur l'intérêt, ou encore de l'intérêt composé. En effet, lorsqu'il s'agit d'intérêt composés, la relation n'est 10

11 plus linéaire et il s'impose de calculer un taux équivalent permettant la comparaison du taux d'emprunt sur des échéances différentes. Exemple En plaçant euros sur un an au taux annuel de 12%, la valeur future ou acquise est de euros, soit: F = I(1+r) n = 1000(1,12) 1 = Si la banque verse un intérêt composé semestriel, la valeur acquise doit prendre en compte l'intérêt sur l'intérêt gagné pendant le premier semestre. En prenant en compte l'intérêt sur l'intérêt, le taux effectif semestriel est de 6 %, soit (12%/2) et la valeur acquise du placement est : F = 1 000(1 + 0,06) 2 = 1 123,6 euros. Dans ce cas l'intérêt annuel effectif doit prendre en compte le fait de gagner 123,6 euros au lieu de 120 euros; soit un taux d'intérêt effectif annuel de 12,36% au lieu de 12%. L'égalité donnant le taux d'intérêt effectif r en fonction du taux d'intérêt nominal par période i m pour un nombre de périodes m est : r = (1 + im) m - 1 (1) soit : r = (1 + (12%/2)) 2-1 = 12,36 %. Si r est un taux annuel et im est le taux périodique, alors r est dit le taux annuel équivalent au taux période i. Parfois, un développement limité d'ordre un est utilisé pour simplifier la relation (1) comme suit : r' + 1 = (1 + m (im)) ou encore : r' = m (im) (2) Cette approximation du taux r par un taux r' donne le taux effectif global r' qui est un taux annuel proportionnel au taux période im Le taux d'intérêt effectif et le calcul en continu Lorsque le nombre de périodes de calcul (m) augmente, pour devenir infini, le taux d'intérêt devient un taux continu. Pour comprendre ce passage, rappelons que la définition du nombre 2,718282, ou encore exponentiel noté e, correspond à la limite vers l'infini de l'expression suivante: Limh (1 + 1/h) h = e (3) En posant im =(i/m) = (1/h), (m = hi) dans l'égalité (1), il vient: Limm r = limm (1 + i/m) m - 1= limh [(1 + 1/h) h ] i - 1 Comme le terme entre crochets est équivalent à (3), il vient : r = e i - 1 (4) Exemple Si i = 20% par an, le taux effectif continu est : r = e 0,2-1 = 22,1408 %. 11

12 1.3. L'actualisation lorsque la période de versement est supérieure a la période de calcul des intérêts Lorsque la période de versement (par exemple l'année) est supérieure ou égale à la période de calcul des intérêts (par exemple le mois), l'actualisation de la séquence des flux exige d'utiliser les facteurs simples et les formules des séries L'utilisation des facteurs simples L'exemple suivant illustre l'utilisation des facteurs classiques d'actualisation. Exemple Si une personne dépose initialement dans un compte rémunéré à 10% par an (l'intérêt calculé avec une fréquence semestrielle) un montant de euros, euros dans 3 ans et euros dans 6 ans, combien reçoit-elle dans 10 ans? En utilisant un taux annuel effectif de 10,2498%, (1+ 0,1/2) 2-1, la valeur future F est euros, soit : F = (1 + 10,2498%) (1 + 10,2498%) (1 + 10,2498%) 4 En utilisant un taux effectif semestriel de 5%, le montant recherché est de , soit : F = 1 000(1,05) (1,06) (1,06) L'utilisation des séquences standards de flux L'exemple suivant illustre l'application des facteurs d'actualisation à des séquences de flux standard. Exemple Si une personne dépose 1000 euros tous les 6 mois pendant 7 ans, combien reçoit-elle après son dernier versement lorsque le taux d'intérêt annuel est de 20% (composé trimestriellement)? Cette situation est représentée par l'échéancier des flux du schéma 1. Schéma 1 L'échéancier des flux F? A = Dans la mesure où la période de calcul des intérêts (trimestre) est inférieure à la période de versement (6 mois), la valeur future s'obtient par la relation suivante : F = (F/A,r,14). Comme n correspond au nombre de semestres, un taux semestriel effectif est utilisé, soit : r6 mois = (1 + 0,1/2) 2-1 = 0,

13 D'où une valeur future de euros, soit : F = [(1 + 0,1024) 14-1 / 0,1024]. Si la séquence de flux de trésorerie impose d'utiliser les formules simples ou les séries, la première étape du calcul consiste à déterminer la relation entre la période de composition des intérêts et la période de versement. Deux cas sont envisagés. Cas 1. Lorsque la période de composition est égale à la période de versement, il est nécessaire de calculer le nombre de périodes de versements (n) et le taux d'intérêt effectif sur la même période. Cette situation correspond à l'exemple présenté ci-dessus. Cas 2. Lorsque la période de versement est inférieure à la période de calcul, deux situations sont étudiées. Situation 1 La première situation correspond à l'absence d'intérêt sur le montant placé entre les périodes de composition. Le montant placé (retiré) entre les périodes de calcul est rémunéré à un taux d'intérêt simple. Il est considéré comme étant déposé au début de la prochaine période de composition ou retiré à la fin de la dernière période de calcul. Si la période de calcul est le trimestre, les deux représentations du schéma 2 se traitent d'une façon identique. Schéma 2 L'échéancier des flux mois mois Dans cette situation, le taux d'intérêt nominal annuel est divisé par 4 et le facteur d'actualisation 1/ (1+r) n est utilisé. Situation 2. Comme tout montant déposé entre les périodes de calcul rapporte un intérêt simple, le montant d'intérêt sur les versements interpériodique est multiplié par (M/N)r où N représente le nombre de périodes dans la composition de l'intérêt, M le nombre de périodes précédant la fin de la période de composition et r le taux d'intérêt par période. Exemple. Lorsqu'une banque rémunère les placements à un taux de 6% (annuel) composé tous les 6 mois et verse un intérêt simple sur les dépôts interpériodiques, combien recevez-vous dans un an si vous effectuez les dépôts de l'échéancier reproduit au schéma 3. 13

14 Schéma 3 L'échéancier des flux mois Le montant accumulé dans chaque période de calcul (6 mois) en utilisant un taux effectif semestriel de 3% est de 228,4, soit : F1 = [ (5/6)0,03] + [ (3/6)0,03] Le montant accumulé pendant la deuxième période de calcul est de 188,75, soit: F 2 = [ (5/6)0,03] + [ (4/6)0,03]. Ainsi, la valeur de F en fin d'année est de 424, soit : F = 228,4 [1+0,03] + 188, L'utilisation des facteurs multiples Cette section applique les concepts d'actualisation et de capitalisation à des séquences de flux standards sans référence aux formules des suites arithmétique et géométrique Le valeur présente d'une séquence standard débutant après la période 1 Désignons respectivement par : IA : la valeur présente d'une séquence de flux débutant à la période 0, IAA : la valeur présente d'une séquence à un autre moment, IT : la valeur présente globale à l'instant 0. La question est de déterminer les valeurs de IA et IT dans le schéma 4. Schéma 4 L'échéancier des flux A = 100 I T? IAA? Année 8 I A? n I 1 = Exemple Vous achetez un bien en payant initialement 1000 euros et ensuite 100 euros à partir de l'année 3 pendant 6 ans. Quelle est la valeur présente de l'investissement à un taux annuel de 8%? La valeur présente l'année 2 est de 462,288, soit: I AA = 100 (I/A, 8%, 6) = 100 [((1,08) 6-1)/0,08(1,08) 6 ]. 14

15 Comme IAA apparaît l'année 2, il s'impose d'actualiser ce montant à l'année zéro pour obtenir 1 396,338, soit: I A = I AA (I/F, 8%, 2) = I AA [1/(1,08) 2 ] La valeur présente d'une séquence de flux non standard Considérons la situation du schéma 5 d'un investisseur qui place dans 1 an et pendant 20 ans un montant de 100 millions de euros au taux de 10%. Il décide de replacer en outre 50 millions de euros l'année 6 et 75 millions de euros l'année 16. Quelle est la valeur présente de son placement? Schéma 5 L'échéancier des flux A = Année fl I? La valeur présente du placement est de 659 millions de euros, soit : I = 100(I/A, 10, 20) + 50(I/F, 10, 6) + 75(I/F, 10, 16) = 100 ((1,1 10-1)/(0,1(1,1) 10 )) + 50 (1/1,1 6 ) +75 (1/1,1 16 ) Si l'investisseur décide d'effectuer son premier placement dans 3 ans, pour la séquence standard sur 20 ans, comme le montre le schéma 6, quelle est la valeur présente de son placement? Schéma 6 L'échéancier des flux A = Année I T? I AA? La valeur présente à la fin de l'année 2 est : I AA = 100 (I/A, 10%, 20). D'où une valeur présente à l'instant initial égale à 748,146 millions de euros, soit : I T = I AA (I/F, 10%, 2) + 50(I/F, 10%, 6) + 75(I/F, 10%, 16) I T = 100[(1,1 20-1)/(0,1(1,1) 2 ][1/1,1 2 ] + 50(1/1,1 6 ) + 75(1/1,1 16 ) L'annuité équivalente à une séquence de flux non standard 15

16 La détermination de l'annuité équivalente à une séquence de flux est illustrée par le recours aux données de l'échéancier 5. L'échéancier correspondant est donné par le schéma 7. Schéma 7 L'échéancier des flux A =? Année L'échéancier (5) montre que la séquence standard des flux de 100 millions de euros est répartit sur 20 ans. Dès lors, il s'impose de convertir les flux en un flux annuel équivalent et d'ajouter la valeur obtenue au 100 millions de euros. Le calcul est facilité par le recours à la valeur présente ou à la valeur acquise. Lorsque la méthode de la valeur présente est appliquée, le montant de l'annuité équivalente à la séquence de flux est 105,2323 millions de euros, soit : A = (I/F,10%,6)(A/I,10%,20)+ 75(I/F,10%,16)(A/I,10%,20) Soit : A = 100 [50(I/F,10%,6) + 75(I/F,10%,16)] (A/I,10%,20) ou : A = [50(1/1,1 6 ) + 75(1/1,1 16 )] (0,1(1,1) 20 /(1,1) 20-1) Lorsque la méthode de la valeur future est appliquée, le résultat est identique : A = (F/I,10%,14)(A/F,10%,20) + 75(F/I,10%,4) (A/F,10%,20) ou encore: A= [50(F/I, 10%, 14) + 75 (F/I,10%,4)] (A/F,10%,20) D'où : A = [50 (1,1 14 ) + 75 (1,1 4 )] (0,1/(1,1) 20-1) = 105,2323 millions de euros La valeur présente et l'annuité équivalente en présence de séries non standards déplacées La détermination de la valeur présente et de l'annuité équivalente à une séquence de flux non standard est facilitée par le recours aux séries arithmétiques et géométriques Le cas de la série arithmétique La valeur présente de la séquence standard de flux présentée plus avant concerne l'année 0 pour une série débutant entre les périodes 1 et 2. Comment effectuer les calculs pour des échéanciers différents lorsque les échéances sont déplacées? Calculez la valeur présente et l'annuité équivalente à la séquence de flux du schéma 8. Schéma 8 16

17 L'échéancier des flux A =? Année La recherche de l'annuité équivalente est facilitée par le recours au schéma 9. I 0? I G? Schéma 9 L'échéancier des flux Année Année La séquence de flux montre une série arithmétique ayant un montant de base de 100 millions de euros. La valeur présente de la série I G qui apparaît l'année 2 est: I G = 30(I/G,r,6) = 30/r [((1+r) 6-1/r(1+r) 6 ) - 6/(1+r) 6 ] La valeur présente de la série l'année 0 est : I 0 = I G (I/F,r,2) = I G (1/(1+r) 2 ) La valeur de l'annuité équivalente à la série de l'année 0 à l'année 8 est : A = I 0 (A/I, r, 8) = I 0 [r(1+r) 8 /(1+r) 8-1] En ajoutant le montant de base, 100, la valeur de l'annuité équivalente A s'écrit : A = (30/r) [((1+r) 6-1/r(1+r) 6 ) - (6/(1+r) 6 )][1/(1+r) 2 ] D'où : A = [r(1+r) 8 /((1+r) 8-1)] Lorsqu'il s'agit d'une séquence de flux correspondant à une série géométrique, qui débute à un instant autre que les périodes 1 et 2, un raisonnement identique est appliqué Le cas de la série géométrique croissante Le schéma 10 illustre le passage d'une séquence de flux à une valeur présente en présence d'une série géométrique. Exemple 17

18 Calculez la valeur présente d'une dépense (recette) instantanée de 100 millions de euros équivalente à une séquence de flux de 20 millions de euros par an pendant 5 ans. La séquence débute l'année 1 et augmente à un taux de 14% par an pendant 8 ans. Le taux d'intérêt annuel est de 17 %. Schéma 10 L'échéancier des flux I? I M? Année fi Série (1,14) =22,8 augmentation de 14%/an, 20(1,14) 8 = 57, Comme la valeur présente de la série géométrique est : I M = M [((1+ g) n / (1+r) n -1)/g - r ] la valeur à l'instant initial est de 229 millions de euros, soit : I= (I/A,17%,4) + 20((1,14/1,17) 9-1/(0,14-0,17)) (I/F,17%,4), soit: I = ((1,17) 4-1/0,17(1,17) 4 ) + 138,9757(1/1,17 4 ) Le cas de la série décroissante Lorsqu'il s'agit d'une séquence de flux décroissante, le montant de base de la série correspond au plus grand montant dans la suite et la "raison" de la suite vient amputer le montant de référence. La valeur présente de la série est calculée toujours deux périodes avant l'apparition de la "raison". L'exemple suivant illustre la procédure de calcul. Exemple On se propose de calculer la valeur présente et les annuités qui correspondent aux séquences de flux rapportés dans les échéanciers suivants pour un taux d'intérêt annuel de 8%. Schéma 11 L'échéancier des flux Année Cet échéancier des flux s'analyse par référence aux échéanciers donnés dans les schémas 11a, 11b et 11c. 18

19 Schéma 11 a L'échéancier des flux Année I T Schéma 11 b L'échéancier des flux A = fl I A? Schéma 11 c L'échéancier des flux G = fl I G? (11 a) = (11 b) - (11 c) La valeur présente qui correspond à la séquence de flux de l'échéancier (11a) est calculée comme suit : I T = I A - I G = (I/A,8%,6) (I/G,8%,6) Soit : I T = 1 500[((1,08) 6-1)/0,08(1,08 6 )] - (100/0,8)[((1,08) 6-1/ 0,08(1,08) 6 ) - 6/(1,08) 6 ] = 6 943, ,331 = 5881,991 millions de euros. L'annuité équivalente à la série présentant un montant de base (1 500) amputé du montant de la "raison" est : A = A1 - A6 Soit 1272,365 millions de euros : A = (A/G,8%,6) = [1/0,08 - (6/(1,08) 6-1)] * *** Ce thème offre un support approprié pour appliquer les outils de référence des mathématiques financières proposés dans le chapitre précédent. L'analyse des différences entre les taux nominaux, les taux proportionnels équivalents et les taux effectifs soulève la question de la conversion d'un taux d'intérêt en temps discret vers un taux en temps continu. Elle permet d'aborder les problèmes d'actualisation lorsque la période de versement ou de retrait est différente de la période de calcul des intérêts. Les procédures de calcul des valeurs présentes et des annuités équivalentes à des échéanciers de flux standard et non standard sont illustrées par plusieurs exemples. L'analyse concerne également les applications des techniques des séries arithmétiques et géométriques pour l'actualisation et le calcul des annuités. 19

20 Les conversions d'une séquence de flux non standard en une séquence de flux standard facilite considérablement la recherche de solutions pour les problèmes qui se posent lors de l'actualisation des échéanciers de flux de trésorerie. La pluralité des méthodes et la complexité des échéanciers sont simplifiées dans le traitement des problèmes d'actualisation par le recours à un raisonnement par analogie ou encore une décomposition de la série non standard en plusieurs sous séquences standards. QUESTIONS Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt équivalent? Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt effectif? Qu'est-ce qu'un taux d'intérêt proportionnel? Comment s'effectue le passage d'un taux d'intérêt effectif à un taux d'intérêt en temps continu? Qu'est-ce qu'une séquence de flux non standard? Comment s'effectue l'actualisation lorsque la séquence de flux est non standard? Comment calculer l'annuité équivalente et la valeur présente dans ce contexte? THÈME 3 : LA SÉLECTION DES PROJETS : LA VALEUR PRÉSENTE, LA VALEUR ACTUALISÉ NETTE ET LE COÛT ANNUEL ÉQUIVALENT La première section présente les concepts de la VAN et de la valeur présente pour des échéanciers de fux relatifs à des recettes et à des coûts. Lorsque la durée de vie des projets est différente, les méthodes de correspondance du cycle de vie et de choix d'une période de planifcation sont proposées pour permettre les comparaisons entre plusieurs propositions d'investissements. L'étude est prolongée pour analyser les propositions d'investissement qui présentent une échéance infnie. La deuxième section traite de l'évaluation des projets par la méthode du coût annuel équivalent. La méthode permet le passage d'un échéancier de fux standard (ou non) vers un échéancier qui donne à chaque période le coût ou la valeur annuelle équivalente. En l'absence d'une valeur de liquidation, la détermination du coût annuel équivalent ne pose pas de diffcultés particulières. Lorsque la valeur de liquidation ou terminale est prise en compte, plusieurs techniques sont proposées pour effectuer le passage d'une séquence non standard de fux vers un échéancier avec des valeurs annuelles équivalentes. 1. Les applications des concepts de la valeur présente et de la valeur actualisée nette à la sélection des projets Le concept de la valeur présente d'une séquence standard (ou non) de fux ignore le montant de l'investissement initial. Lorsque ce montant est pris en considération, ce concept se transforme en celui de la valeur actualisée nette,van. Le concept de la VAN constitue un critère de référence en matière de choix des investissements et de sélection des projets. Ce concept s'applique à une séquence de fux certaine ou aléatoire et utilise un taux d'actualisation constant. Ce taux est différent du taux d'intérêt et répond à des considérations de rentabilité et de risque relatives aux caractéristiques des sociétés qui mettent en oeuvre le projet. Il s'agit du concept du coût de capital. Cette section présente et applique ces critères à des propositions d'investissement dans différents contextes La comparaison de deux projets pour une durée identique L'analyse classique par la VAN suppose une certaine répartition des cash-fows au cours d'un intervalle de temps. Ces fux sont élaborés dans le cadre de l'échéancier des fux de trésorerie et actualisés à un certain taux, qui prend en considération le risque. L'acceptation (le rejet) d'un projet est fonction du 20