Chapitre I Nombres complexes 2

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1 Chapitre I Nombres complexes 11 septembre 007 Table des matières 1 Nombres complexes en électricité a ) Introduction de la notation b ) Intêret de la notation : Addition de grandeur sinusoïdale... 3 c ) Impédance complexe Equation du second degré a ) Racine carrée d un nombre réel b ) Racine carrée d un nombre complexe c ) Equation du second degré à coefficients complexes Lignes de niveau Complexes et transformations géométriques a ) Transformation associée à f : z z + α (α est un complexe). 7 b ) Transformation associée à f : z z c ) Transformation associée à f : z az, a C d ) Transformation associée à f : z 1 z

2 Chapitre 1 Nombres complexes 1 Nombres complexes en électricité a ) Introduction de la notation On considère le circuit électrique : i(t) i 1 (t) i (t) u(t) Lorsque l on étudie un circuit en régime sinusoïdal de pulsation ω, les grandeurs électriques s écrivent : u(t) = U sinωt i(t) = I sin (ωt ϕ) i 1 (t) = I 1 sin (ωt ϕ1 ) i (t) = I sin (ωt ϕ ) On voit que les termes qui changent d une grandeur à l autre sont la valeur efficace (U,I,I 1,I ) et le déphasage (ϕ,ϕ 1,ϕ ). Seuls ces termes sont donc intérréssants, les autres ne changeant pas. Remarque : EDF distribue des tensions électriques sinusoïdales de fréquence f = 50Hertz. La pulsation est ω = πf 31 rad.s 1 : c est la même constante pour toutes les fonctions i et u ainsi définies. D où l idée de représenter, dans un premier temps, les grandeurs électriques par des vecteurs, dont la longueur est proportionnelle à la valeur efficace, et en faisant avec un axe de réference un angle égal au déphasage (c est la méthode de Fresnel). L inconvénient de cette méthode est que l on ne dispose pas sur les vecteurs de toutes les opérations intervenant dans les calculs en électricité (notamment inverse d un vecteur). Les grandeurs (intensité ou tension) étant de la forme a(t) = A sin (ωt + ϕ), on leur associe le nombre complexe, noté A, de module A (valeur maximale ou efficace) et d argument ϕ (déphasage à l origine des temps en radian.) Définition : Notation complexe d une grandeur physique A toute tension (intensité) sinusoïdale u (i), on associe le nombre complexe, noté U (I) de module U, la valeur efficace de u, d argument ϕ, la phase initiale de u.

3 Cours de mathématiques STS 1 b ) Intêret de la notation : Addition de grandeur sinusoïdale Nous venons d introduire une notation. Une question est alors légitime : A quoi cela nous sert-il? Pour répondre à cette question, on considère un premier exemple concret avec la situation ci-dessous : i(t) i 1 (t) i (t) Loi des noeuds Connaissant i 1 (t) = I 1 sin(ωt+ϕ1 ) et i (t) = I sin(ωt+ϕ ), on cherche à connaître i(t), c est à dire on cherche la valeur efficace I et la valeur du déphasage ϕ. La loi des noeuds nous dit que i(t) = i 1 (t)+i (t) = I 1 sin(ωt+ϕ1 )+I sin(ωt+ϕ ). Il faut alors plusieurs lignes de calculs (voir la démonstration du théorème) pour arriver à transformer l écriture ci-dessus en celle voulue. L utilisation des complexes évite ces difficultés (voir exemple). Dans le cas de signaux de même pulsation, on a I 0 = I 1 + I U 0 = U 1 + U Démonstration : La loi des noueds nous dit que, à chaque instant t, i(t) = i 1 (t) + i (t). En utilisant la relation sin(a + b) = sinacos b + sin b cos a, on montre que : i 1 (t) + i (t) = I 1 sin(ωt + ϕ1 ) + I sin(ωt + ϕ ) [ ] [ ] = I 1 sin(ωt)cos ϕ1 + I 1 sinϕ1 cos(ωt) + I sin(ωt)cos ϕ + I sin ϕ cos(ωt) ) ) = (I 1 cos ϕ1 + I cos ϕ sin(ωt) + (I 1 sinϕ1 + I sinϕ cos(ωt). D autre part i(t) = I sin(ωt + ϕ) ( = I ) cos ϕ sin(ωt) + ( I ) sin ϕ cos(ωt). Puisque la relation i(t) = i 1 (t) + i (t) est vraie à chaque instant, elle est donc vraie en particulier au temps t = 0, d où I sinϕ = I 1 sinϕ 1 + I sin ϕ (car on a alors sin(ωt) = 0 et cos(ωt) = 1). La relation est aussi vraie en t = π. On obtient I cos ϕ = I 1 cos ϕ 1 + I cos ϕ. On 3

4 Chapitre 1 Nombres complexes peut ainsi écrire : I = I (cos ϕ + jsinϕ) = I cos ϕ + j I sinϕ = I 1 cos ϕ 1 + I cos ϕ + j I 1 sinϕ 1 + j I sinϕ = I 1 (cos ϕ 1 + j sinϕ 1 ) + I (cos ϕ + jsin ϕ ) = I 1 + I Exemple : Considérons i 1 = ( sin ωt + π ) et i = 3 ( sin ωt π ). 6 On détermine la forme algébrique de I 1 et I pour additionner ces nombres plus facilement. On obtient ( (: π ( π I 1 = cos + j sin = ) )) (1 + j) ( ( I = 3 cos π ) ( + j sin π )) = 3 ( ) 3 j. 6 6 ( 3 ) ( ) 3 3 Nous en déduisons que I = I 1 + I = + + j. Comme on ne reconnais pas de lignes trigonométriques connues, on utilise des valeurs approchées. I, , j Nous en déduisons que l intensité efficace vaut environ I, 01 Ampères et une mesure de son argument 0, 01 radians, et donc i(t), 01 sin(ωt 0, 01) c ) Impédance complexe Définition : impédance L impédance complexe du circuit est le nombre complexe Z = U I. L impédance du circuit est le module de l impédance complexe noté Z En courant sinusoïdal, dans un circuit en série ou en parrallèle, la loi d association des impédances est la même que celle des résistances, en courant continu, dans le même type de circuit. L impédance complexe d un circuit contenant une résistance est Z = R. L impédance complexe d un circuit contenant une bobine parfaite est Z = jlω. L impédance complexe d un circuit contenant un condensateur parfait est Z = 1 jcω = 1 Cω j. Démonstration : On ne fera que le cas de la bobine parfaite, les autres cas étant similaire. Par définition de l intensité i(t), on a u(t) = L di(t) dt. Comme i(t) = I sin (ωt + ϕ), on obtient

5 Cours de mathématiques STS 1 u(t) = L d(i sin(ωt + ϕ)) dt = LI ω cos(ωt + ϕ) = LωI ( sin ωt + ϕ + π Donc U = ) car ( sin [ ILω, ϕ + π ] et par suite, Z = U I = x + π ) = cos(x) [ ILω, ϕ + π ] = [I, ϕ] [ Lω, π ] = jlω. On montre de même que l impédance complexe d un condensateur parfait de capacité C vaut (par définition i(t) = C du(t) ) dt 1 jcω Equation du second degré a ) Racine carrée d un nombre réel Déterminer la racine carrée d un nombre α, revient à résoudre l équation d inconnue z, z = α. On considère l équation z = α : Si α 0 alors l équation admet deux solutions réelles : ± α Si α 0 alors l équation admet dans C deux solutions complexes conjugués : ±i α Démonstration : Si α 0 alors le nombre α existe et donc z = α (z α)(z + α) = 0. Comme un produit est nul ssi un des facteurs est nul, on a donc z = ± α Si α 0 alors le nombre α existe et donc z = α (z i α)(z + i α) = 0. Comme un produit est nul ssi un des facteurs est nul, on a donc z = ±i iα b ) Racine carrée d un nombre complexe 1 ) Recherche sous forme trigonométrique Nous allons traiter un exemple qui sera plus parlant que la théorie. On veut déterminer la racine carrée de 1 + j 3 (c est à dire résoudre l équation z = 1 + j 3). On cherche z sous la forme ρe iθ. z = 1 + j 3 ( ρe iθ) = ρ e iθ = e i π 3 d où ρ = et θ = π 6. Ainsi, 1 + j 3 = 6 e i π 6 = + j. Remarque : Il n est pas toujours possible de trouver la valeur exacte d un argument d un nnoimbre complexe. Par suite, on n obtiendra pas de valeur exacte pour la racine carrée. La méthode suivante est plus longue mais plus exacte. 5

6 Chapitre 1 Nombres complexes ) Recherche sous forme algébrique Traitons un autre exemple. On cherche les nombres a+jb tels que (a+jb) = +3j. Par unicité de la forme algébrique on obtient { a (a + jb) = + 3j a b + jab = + 3j b = ab = 3 On peut résoudre ce système en exprimant a en fonction de b (a = 3 ) que l on reporte dans le première ligne qui devient une équation bi-carrée (type ax + bx + c = 0) b que l on résoud par un changement de variable pour obtenir une équation du second degré. Une astuce consiste à utiliser un autre renseignement : z = + 3j = + 3 = 5 donc z = 5 d où a + b = 5 Ainsi par addition (et soustraction) des équations a + b = 5 et a b =, on obtient a = 9/ et b = 1/, donc a = ±3 / et b = ± /, or ab = 3, donc a et b sont de même signe. Les solutions sont donc (3 + i) et (3 + i). c ) Equation du second degré à coefficients complexes Nous savons déjà résoudre les équations du second degré pour lesquelle les coefficients sont des nombres réels (par exemple : x + 3x + 9 = 0). On s interresse désormais à la résolution des équations du second degré pour lesquelles les coefficients sont des nombres complexes (par exemple z (3 + i)z i = 0). Les régles connues pour les coefficients réels s étendent au cas complexe. On obtient donc : L équation ax + bx + c = 0 avec a, b et c nombres complexes admet toujours deux solutions dans C : x = b + δ a où δ est une racine carrée de = b ac. et x = b δ a Remarque : Toute la difficulté est de déterminer la racine carrée de. [ ( Démonstration : ax +bx+c = 0 a x + b ) ] ( b ac a a = 0 x + b ) = b ac a (a). En notant δ le nombre tel que δ = b ac, on obtient x + b a = ± δ a d où x = b ± δ a 6

7 Cours de mathématiques STS 1 3 Lignes de niveau Définition : Dans un repère orthonormal (O; u, v), la ligne de niveau k d une fonction f est l ensemble des points d abscisse x (ou d affixe z) tels que f(x) = k (ou f(z) = k) Les principales lignes de niveau sont : 1. Ligne de niveau de la fonction f : z Re(z). f(z) = k f(a + jb) = a = k La ligne de niveau Re(z) = k est la droite d équation x = k. Ligne de niveau de la fonction f : z z. z = k OM = k La ligne de niveau z = k est le cercle de centre O et de rayon k. (d où la necessité d avoir k > 0, sinon la ligne de niveau est vide) 3. Ligne de niveau de la fonction f : z arg(z). f(z) = k ( u; OM) = k La ligne de niveau arg(z) = k est la demi-droite d origine O exclu et d angle polaire k. Complexes et transformations géométriques Les fonctions sont un procédé qui a un nombre fait correspondre un autre nombre. Dans le cas des fonctions qui à un complexe associe un autre complexe (exemple : f : z z ), on obtient aussi, en utilisant la représentation géométrique des complexes, une opération qui à un point du plan associe un autre point. Nous allons voir dans cette section, les transformations décrite par certaines fonctions types. a ) Transformation associée à f : z z + α (α est un complexe) La tranformation géométrique associée à f : z z + α (α est un complexe) est la translation de vecteur d affixe α. Démonstration : Soit M le point d affixe z = f(z). z = z + α z z = α MM = u où u est un vecteur fixe d affixe α. Exemple : f : z z + (3 i) 7

8 Chapitre 1 Nombres complexes 6 6 b ) Transformation associée à f : z z La tranformation géométrique associée à f : z z est la symétrie d axe (O; u). Démonstration : Soit M le point d affixe z = f(z). si M a pour affixe a + jb, alors M a pour affixe a jb. Exemple : f : z z 6 6 c ) Transformation associée à f : z az (où a = ρe iθ est un complexe) La tranformation géométrique associée à f : z az est la composée d une rotation de centre 0, d angle θ et d un agrandissement de centre O de rapport ρ. Démonstration : Soit M le point d affixe z = f(z). { { z z = az = ρ z arg(z ) = arg(z) + θ OM = ρom ( u; OM ) = ( u; OM) + θ Définition : La transformation géométrique associée à f : z az est appellée similitude de centre O, d angle θ et de rapport ρ. 8

9 Cours de mathématiques STS 1 Remarque : dans le cas où le rapport est de 1, il s agit simplement d une rotation. Exemple : f : z e i π z Par f, l image de la figure noire est la figure rouge. Pour l obtenir, on peut : soit calculer les images de chacun des points de la figure (l image de A d affixe z = +i est f( + i) = ( + i)(e i π ) = ( + i)(i) = + i,... ; soit effectuer la rotation de centre O et d angle π suivie de l homothétie de rapport et de centre O (ce qui est plus rapide). d ) Transformation associée à f : z 1 z Définition : La transformation géométrique associée à f : z 1 z est appellée inversion complexe. Remarque : Le point O n a pas d image par cette transformation. image d une droite L image d une droite qui ne passe pas par O est un cercle qui passe par O mais privé de O. Démonstration : On peut faire une démonstration dans le cas général, mais on se bornera à l étude d un exemple. (Il suffit de remplacer les valeurs données par des lettres pour avoir le cas général). Soit M le point d affixe z = f(z) et (D) la droite d équation x + y + 1 = 0. D une part : M = f(m) z = 1 z z = 1 z x + iy = 1 x + iy = x iy x + y x = y = D autre part, si M est sur la droite (D), ses coordonnées vérifient x + y + 1 = 0. x x + y y x + y En utilisant dans l équation de la droite, les expressions de x et y obtenue dans le système, on obtient : ( x ) ( y ) x + y x + y + 1 = 0 d où x y + (x + y ) = 0. Cette équation s écrit encore (x + 1) + (y ) = 5 ou encore AM = 5 (soit AM = 5) donc M est sur le cercle de centre A( 1; ) et de rayon 5. 9

10 Chapitre 1 Nombres complexes Illustration : f : z 1 z L image de la droite par f est le cercle bleu. (On peut calculer l image par f de point situé sur la droite). 6 6 (D) : x + y + 1 = 0 Remarque : En utilisant le même raisonnement et en utilisant des valeurs littérales, on montre que l image de la droite d équation ax + by + c = 0 est le cercle privé du point O de centre ( a c ; b a + b ) et de rayon. c c image d un cercle L image d un cercle passant par O et privé de O est un droite. Démonstration : f (f(z)) = z donc l image de l image d un point M est ce même point. Par conséquent, l image de l image d une droite est elle-même d où l image d un cercle est une droite. Remarque : L image d un cercle ne passant pas par O est un cercle. Cette propriéte n est pas au programme. 10