Cours de Terminale S - Spécialité /PGCD et nombres premiers entre eux. E. Dostal

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1 Cours de Terminale S - Spécialité /PGCD et nombres premiers entre eux E. Dostal juin 2015

2 Table des matières 3 PGCD et entiers premiers entre eux PGCD de deux entiers Théorème de Bezout et théorème de Gauss

3 Chapitre 3 PGCD et entiers premiers entre eux 3.1 PGCD de deux entiers définition et propriétés Définition 1 Soient a et b deux nombres entiers naturels non tous les deux nuls. On appelle PGCD de a et de b, le Plus Grand Diviseur Commun de a et de b, que l on note PGCD(a;b) Proposition 1 Soient a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls. PGCD(a;b) = PGCD( a ; b ) Conséquence : on peut étendre la défintion 1 au cas de deux nombres entiers relatifs non tous les deux nuls. On ramène la recherche au cas du PGCD de deux entiers naturels non nuls. Proposition 2 Soient a et b deux entiers naturels non nuls. PGCD(a;0) = a PGCD(a;1) = 1 Si b divise a alors PGCD(a;b) = b Pour tout entier relatif k, PGCD(a kb,b) = PGCD(a;b). en particulier, PGCD(a b,b) = PGCD(a;b) Application : Déterminer en fonction des valeurs de n, PGCD(5n+4;3n 7) Algorithme d Euclide Théorème 3 Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Soit r le reste de la division euclidienne de a par b. PGCD(a;b) = PGCD(b;r) 2

4 Histoire : C est avec Euclide d Alexandrie (-320?; -260?), que les théories sur les nombres premiers se mettent en place. Dans Les éléments (livres VII, VIII, IX), il donne des définitions, des propriétés et démontre certaines affirmations du passé, comme l existence d une infinité de nombres premiers. Les nombres premiers sont en quantité plus grande que toute quantité proposée de nombres premiers. Il présente aussi la décomposition en facteurs premiers liée à la notion de PGCD. Algorithme 1 ALGORITHME D EUCLIDE Soient a et b deux entiers naturels non tous deux nuls. On pose a = r 0 et b = r 1. On calcule r 2 le reste de la division euclidienne de r 0 par r 1. Si r 2 = 0 alors on s arrète Sinon on remplace r 0 par r 1 et r 1 par r 2 et on reprend à partir du premier point. Exemple 1 : Déterminer le PGCD de 252 et 360. Proposition 4 Soient a et b deux entiers naturels non nuls. L ensemble des diviseurs communs de a et b est l ensemble des diviseurs de leur PGCD. Démonstration : On a démontré précédemment que l ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l ensemble des diviseurs communs de b et r. En poursuivant par divisions euclidiennes successives, on obtient une liste strictement décroissante de restes En effet, on a successivement : 0 r < b, 0 r 1 < r, 0 r 2 < r 1,... Il n existe qu un nombre fini d entiers compris entre 0 et r. Il existe donc un rang k tel que r k 0 et r k+1 = 0. Ainsi l ensemble des diviseurs communs de a et b est égal à l ensemble des diviseurs communs de r k et 0. Remarque : A noter qu à ce niveau ce résultat démontre le fait que dans l algorithme d Euclide, le dernier reste non nul est égal au PGCD de a et b. En effet, PGCD(r k ;0) = r k. Proposition 5 Soient a, b et k des entiers naturels non nuls. PGCD(ka;kb) = k PGCD(a;b) (démonstration en appliquant l algorithme d Euclide) Exemple 2 : Déterminer les diviseurs de 2730 et

5 3.2 Théorème de Bezout et théorème de Gauss Nombres premiers entre eux Définition 2 Soient a et b deux entiers naturels non nuls. On dit que a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Applications : 1. Les nombres 42 et 55 sont-ils premiers entre eux? 2. les nombres et sont-ils premiers entre eux? Proposition 6 Soient a et b deux entiers naturels non nuls et d le PGCD de a et de b. Alors il existe deux entiers naturels a et b non nuls premiers entre eux tels que a = da et b = db. 4

6 3.2.2 Théorème de Bezout Histoire : Etienne Bezout ( ) est un mathématicien français professeur de mathématiques auprès des gardes de la Marine et de l école d artillerie. Il édita de nombreux manuels pédagogiques. Son nom est principalement attaché à ses travaux sur les équations algébriques et à un célèbre résultat qu il établit dans son traité de 1779 sur la divisibilité des polynômes, étudié en classe terminale dans le cadre de l arithmétique sous l appellation identité de Bezout. Proposition 7 Identité de Bezout Soient a et b deux entiers naturels non tous les deux nuls et d leur PGCD. Il existe alors deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = d Démonstration : On appelle E l ensemble des entiers positifs de la forme am+bn avec m et n entiers relatifs. a et b appartiennent à E donc E est non vide. E contient un plus petit élément noté d (non nul). - Démontrons que PGCD(a;b) d : PGCD(a;b) divise a et b donc divise d et donc PGCD(a;b) d. - Démontrons que d PGCD(a;b) : On effectue la division euclidienne de a par d : Il existe un unique couple d entiers (q;r) tel que a = dq +r avec 0 r < d On a alors : r = a dq = a (au+bv)q = a aqu bqv = (1 qu)a bqv Donc r est un élément de E plus petit que d ce qui entraine que r = 0. On en déduit que d divise a. On montre de même que d divise b et donc d PGCD(a;b). On conclut que d = PGCD(a;b) et finalement, il existe deux entiers u et v tels que : au+bv = d. Remarques : 1) Il n y a pas unicité du coupe (u;v). 2)La réciproque est fausse; 1+1 = 2 mais 2 n est pas de PGCD(1;1). Théorème 8 Théorème de Bezout Soient a et b deux entiers naturels. a et b sont premiers entre eux ssi Il existe deux entiers relatifs u et v tels que au+bv = 1 Applications : 1. Prouver que 2n+1 et 9n+4 sont premiers entre eux pour tout n entier naturel. 2. Montrons à nouveau que l ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant par l absurde. Pour cela, supposons qu il existe un nombre fini de nombres premiers p 1,p 2,...,p n et montrer alors que le nombre E = p 1 p 2...p n + 1 est premier avec chacun des nombres p 1,p 2,...p n. Conclure alors. 5

7 3.2.3 Théorème de Gauss Histoire : Enfant prodige, Johann Carl Friedrich Gauss, né le 30 avril 1777 à Brunswick et mort le 23 février 1855 à Göttingen, est un mathématicien, astronome et physicien allemand. Il a apporté de très importantes contributions à ces trois domaines. C est lui qui a créé notamment le concept de congruences que nous utilisons cette année. Théorème 9 Théorème de Gauss Soient a, b et c trois entiers naturels non nuls. Si a divise bc et si a et b sont premiers entre eux, alors a divise c. Preuve : Il faut utiliser le théorème de Bezout. Applications : Démontrer les différentes propositions suivantes. 1. Si deux entiers a et b premiers entre eux divisent un entier c, alors ab divise c. 2. Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b. 3. Si un nombre premier p divise un produit de nombres premiers, alors p est égal à l un deux. 4. Si un entier est premier avec certains entiers, il est premier avec leur produit. Et donc, nous pouvons maintenant démontrer l unicité de la décomposition d un entier naturel en produit de facteurs premiers du chapitre 2 en utilisant unerécurrence forte. 6