MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Cinquième cours Rappel: Taux instantané de l intérêt ou force de l intérêt Rappel: Taux instantané de l intérêt ou force de l intérêt Taux instantané de l intérêt constant 1

2 Rappel: Taux instantané de l intérêt ou force de l intérêt Taux instantané de l intérêt constant Date de comparaison Rappel: Taux instantané de l intérêt ou force de l intérêt Taux instantané de l intérêt constant Date de comparaison Diagramme d entrées et sorties Rappel: Taux instantané de l intérêt ou force de l intérêt Taux instantané de l intérêt constant Date de comparaison Diagramme d entrées et sorties Équation de valeur 2

3 Rappel: Si nous connaissons la fonction d accumulation A(t) alors le taux instantané de l intérêt est Rappel: Si nous connaissons le taux instantané de l intérêt δ x pour tout x entre 0 et t, ainsi que le principal A(0), alors nous pouvons déterminer la fonction d accumulation Rappel: Le montant d intérêt gagné pendant la période allant de 0 jusqu au temps t Le montant d intérêt gagné pendant la période allant du temps t = a jusqu au temps t = b est 3

4 Nous allons maintenant considérer des questions relatives au temps, à la durée d un prêt: échéance moyenne, duplication du capital Échéance moyenne: L échéance moyenne est le moment t* pour lequel un versement de (s 1 + s s n ) dollars est équivalent à n versements de s 1, s 2,..., s n dollars respectivement payables aux moments t 1, t 2,..., t n. Échéance moyenne: (suite) Nous avons le diagramme d entrées et sorties suivant: 4

5 Échéance moyenne: (suite) L équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est : Rappelons que Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que Échéance moyenne: (suite) De ceci, nous obtenons que Donc 5

6 Échéance moyenne: (suite) Finalement nous obtenons Échéance moyenne: (suite) Finalement nous obtenons ou encore Échéance moyenne: (suite) Dans cette dernière équation, δ désigne le taux instantané de l intérêt constant équivalent au taux d intérêt composé i, c est-à-dire e δ = (1 + i) ou encore δ = ln(1 + i) 6

7 Échéance moyenne approché: Il est possible d approximer la valeur de t* par l échéance moyenne approchée: En effet, Échéance moyenne approché: (suite) Pour démontrer cette formule, il faut utiliser la série binomiale si α, x sont des nombres réels et -1 < α < 1 et développer ν t = (1 + i) -t en série. Exemple 1: Anastasia doit rembourser un prêt en faisant 4 versements : 1500$, 3500$, 3000$, 2500$ payable respectivement à la fin de la 5 e, 7 e, 8 e et 12 e année. Le taux d intérêt composé de ce prêt est 6% par année. Le total des versements de ce prêt est 10500$. Supposons qu elle préfèrerait faire un seul versement de 10500$ pour rembourser ce prêt. Quand doit-elle faire ce remboursement? 7

8 Exemple 1: (suite) Nous devons calculer l échéance moyenne. Par ce qui précède, nous obtenons le diagramme suivant: Exemple 1: (suite) Le taux d intérêt est i = 6% par année. L équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est 1500(1.06) (1.06) (1.06) (1.06) (1.06) -t* Exemple 1: (suite) Nous obtenons que l échéance moyenne est alors t* = années soit environ après 8 ans, 13 jours, 21heures et 8 minutes. 8

9 Exemple 1: (suite) Par contre, nous obtenons que l échéance moyenne approchée est soit environ après 8 ans, 69 jours, 12heures et 34 minutes. Remarque 1: Il est possible de montrer que nous avons toujours Remarque 1: (suite) L inégalité est une conséquence de l inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique: 9

10 Duplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu un capital investi double? Duplication du capital: (suite) Si nous investissons un capital de K dollars au taux d intérêt composé i, nous voulons déterminer le temps nécessaire t pour que la valeur accumulée après cette période soit 2K. En équation, nous avons K(1 + i) t = 2K Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons (1 + i) t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l égalité, nous obtenons t ln(1 + i) = ln(2) 10

11 Duplication du capital: (suite) Après simplification, nous obtenons (1 + i) t = 2. En prenant le logarithme des deux côtés de l égalité, nous obtenons Finalement t ln(1 + i) = ln(2) Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Duplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 72. Plus précisément, 11

12 Exemple 2: Si le taux d intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double Exemple 2: Si le taux d intérêt composé est i = 5% par année, alors il faudra pour que le capital double Par la règle de 72, nous obtenons comme approximation Triplication du capital: Combien faut-il de temps pour qu un capital investi triple? 12

13 Triplication du capital: (suite) Nous pouvons procéder exactement comme pour la duplication du capital et obtenir que le temps nécessaire pour que le capital triple est Triplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Triplication du capital: (suite) Cette valeur peut être approximée par la règle de 114. Plus précisément, 13

14 Exemple 3: Si le taux d intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple Exemple 3: Si le taux d intérêt composé est 6% par année, alors il faudra pour que le capital triple Par la règle de 114, nous obtenons comme approximation Nous allons maintenant considérer des questions relatives au taux d intérêt. 14

15 Situation 1: Considérons une situation très simple. Le flux financier a une seule entrée P et une seule sortie A. Nous connaissons la durée de la transaction n. Dans une telle situation, le diagramme d entrées et sorties est Situation 1: (suite) L équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i) n = A où P, A et n sont connus. Situation 1: (suite) L équation de valeur avec comme date de comparaison t = n est P(1 + i) n = A où P, A et n sont connus. Nous obtenons facilement que 15

16 Situation 2: Considérons une situation plus complexe. Le flux financier a plusieurs entrées et plusieurs sorties. Nous connaissons les moments où ces montants sont versés. Dans une telle situation, l équation de valeur nous permet d écrire une équation sous la forme f(i) = 0 où f(x) est une fonction connue après avoir transféré tous les termes d un côté de l équation de valeur à l autre. Situation 2: (suite) Pour résoudre ce type de questions, nous verrons deux méthodes dans le cours: Méthode de bissection Méthode de Newton-Raphson Nous allons maintenant expliquer la méthode de bissection. Nous verrons plus tard celle de Newton-Raphson. Exemple 4: Déterminons le taux d intérêt d un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d entrées et sorties suivant: 16

17 Exemple 4: (suite) L équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000(1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) (1 + i) Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Exemple 4: (suite) En transférant tout vers la gauche, nous obtenons Ainsi i est un zéro de la fonction f(x), où 17

18 Exemple 4: (suite) Nous pouvons noter que f(4%) = et f(6%) = Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%. Exemple 4: (suite) Nous pouvons noter que f(4%) = et f(6%) = Donc la fonction f a un zéro entre 4% et 6%. Nous subdivisons cet intervalle en deux, nous évaluons la fonction f au point milieu 5% pour savoir dans quel sousintervalle se trouve le zéro. Nous répétons ensuite cet algorithme avec le sous-intervalle plus petit. Nous obtenons le tableau. Exemple 4: (suite) i 4% 6% 5% 5.5% 5.25% 5.125% % % % f(i)

19 Exemple 4: (suite) Donc nous pouvons conclure que le taux d intérêt recherché est approximativement 5.2% par période de capitalisation. Si nous voulons plus de précision, il faut alors poursuivre nos calculs en subdivisant de plus en plus l intervalle de départ. 19