Proportionnalité et vitesse

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1 Proportionnalité et vitesse A) Proportionnalité. 1. Reconnaître une situation de proportionnalité. En sciences, on appelle grandeur tout ce qui peut être chiffré : un prix, une aire, une durée, une vitesse, une longueur, Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque : Si on multiplie la première par un nombre, alors la deuxième est automatiquement multipliée par le même nombre. Définition : Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de la 2ème s obtiennent en multipliant les valeurs de la 1ère toujours par le même nombre. Exercice n 1 : Pour chacun de ces énoncés, réponds à la question par oui ou par non, et justifie. 1) 20m de fil électrique pèsent 3,5kg. La longueur du fil et sa masse sont-elles des grandeurs proportionnelles? 2) Le côté d un triangle équilatéral et son périmètre sont-ils des grandeurs proportionnelles? 3) Un piéton marche à la vitesse de 4km/h. La durée de son trajet et la distance parcourue sont-elles des grandeurs proportionnelles? 4) Voici un parallélépipède rectangle. La hauteur h et le volume du solide sont-ils des grandeurs proportionnelles? 5) A 12 ans, Safia chausse du 33. Son âge et sa pointure sont-ils proportionnels? 6) L arête d un cube et son volume sont-ils des grandeurs proportionnelles? 7) Le périmètre de ce CD et son rayon R sont-ils des grandeurs proportionnelles?

2 2. Tableau de proportionnalité. Définition : Dire qu un tableau de valeurs est un tableau de proportionnalité signifie que le passage de la 1ère à la 2ème ligne s effectue en multipliant toujours par le même nombre. Exemple : Le tableau ci-dessus est donc un tableau de proportionnalité parce que le passage se fait toujours par la même multiplication. Exercice n 2 : Chacun des tableaux suivants correspond-il à une situation de proportionnalité? Si c est le cas, quel est le coefficient de proportionnalité? 1 er cas 2 ème cas 3 ème cas 4 ème cas Exercice n 3 : L opérateur téléphonique BLEU propose un téléphone portable sans forfait fixe. On achète une recharge, la mobicharge, permettant une certaine durée de communications. Voici le tarif des mobicharges Peut-on dire que le prix de la recharge et la durée de communication sont des grandeurs proportionnelles?

3 3. Quatrième proportionnelle. Propriétés : Dans une situation de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est le quatrième nombre x calculé à partir de trois autres nombres déjà connus a, b et c. Le tableau ci-dessous est un tableau de proportionnalité : b c Donc on a : = a x Et donc : a x = b c (égalité des produits en croix). Exercice n 4 : Détermine de tête la 4ème proportionnelle dans chacun de ces tableaux de proportionnalité. Le résultat pourra être entier, décimal, ou fractionnaire. Exercice n 5 : Pour 3 personnes, une recette demande 240g de farine. 1) Explique pourquoi la quantité de farine et le nombre de personnes sont des grandeurs proportionnelles. 2) On appelle x la quantité de farine en g à utiliser pour 7 personnes. Construis un tableau correspondant aux données de cet exercice, puis calcule son coefficient de proportionnalité, et le nombre x. Exercice n 6 : Voici une série de questions. Pour chacune, tu dois dire si elle relève d une situation de proportionnalité. Si c est le cas, trouve la réponse en choisissant la méthode la plus adaptée. 1) Sur ma carte, une route de 7 km est représentée par un segment rouge de 17,5cm. Quelle longueur sur ma carte représentera une route de 21km? 2) Arnaud parcourt 25km en 1 h et demie. Combien de temps lui faut-il pour parcourir 15km? 3) Vincent a 16 ans, et son petit frère 8 ans. Quand Vincent aura 48 ans, quel âge aura son petit frère? 4) Au 1er septembre 2008, 9 $ correspondaient à 6,13. Combien d Euros pouvait-on obtenir avec 20 $? Arrondis au centime d Euro. 5) Avec 3,5 je peux acheter 5 livres de poche. Combien de livres puis-je acheter avec 35? Et avec 38,5? Combien coûtent 110 livres de poche? Et 11 livres?

4 4. Proportionnalité et représentation graphique. Propriété : Si on représente, dans un repère, une situation de proportionnalité alors on obtient des points alignés avec l'origine du repère. Exemple : Le périmètre p d'un carré est proportionnel à son côté c puisqu'on a Représentons graphiquement le périmètre en fonction du côté. 1) On choisit des valeurs pour le côté c. 2) On calcule les valeurs correspondantes du périmètre p. p = 4c. 3) On place les points dans un repère comme ci-contre. Propriété : Si une situation est représentée par des points alignés avec l'origine du repère alors c'est une situation de proportionnalité. Exercice n 7 : Parmi ces 4 ensembles de points, lesquels sont représentatifs d une situation de proportionnalité? Justifie tes réponses.

5 Exercice n 8 : On suspend à un ressort des masses m en g de plus en plus lourdes, et on observe l allongement a en mm du ressort. On a relevé dans ce tableau les valeurs obtenues : 1) Place les points représentant l allongement a en mm en fonction de la masse m dans le repère sur la page suivante. Joins ensuite ces points. 2) Pourquoi le tableau n est-il pas un tableau de proportionnalité? Quelle partie faut-il conserver pour qu il soit un tableau de proportionnalité? Colorie cette partie en bleu. 3) Quel est l aspect de la partie du graphique correspondant cette partie du tableau? 4) On voudrait connaître l allongement obtenu pour une masse de 50g. Utilise le graphique pour déterminer la réponse, et place le point P utilisé. 5) Si tu devais prévoir exactement l allongement produit par une masse de 21g, utiliserais-tu le graphique ou le tableau? Détermine cet allongement par la méthode choisie.

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7 Exercice n 9 : On ouvre un robinet, et on laisse couler l eau. On a représenté sur le graphique ci-dessous la quantité d eau écoulée en fonction de la durée. 1) Pourquoi peut-on dire que la quantité d eau écoulée est proportionnelle à la durée? 2) Dans ce cas, que peut-on dire de ce tableau : 3) Construis ce tableau, et complète-le à l aide des données du graphique. 4) Détermine la quantité d eau écoulée en 13 minutes. 5) Détermine la quantité d eau écoulée en 53 s. Exercice n 10 : Albert, Barnabé, et Charlotte prennent le départ d une course. Albert part très vite, puis ralentit car il est fatigué. Barnabé s aperçoit qu il est parti trop lentement, et accélère pour terminer le plus vite possible. Charlotte réussit à courir toujours à la même vitesse. On a représenté sur le graphique ci-dessous la distance parcourue par chacun en fonction de la durée.

8 B) Vitesse. Propriété : Si v est la vitesse constante en on a : km / h, d est la distance en km et t le temps de parcourt en h, d d d = t v v = t = t v Remarque : ces égalités sont encore vraies avec n importe quelle unité de vitesse, de distance ou de temps, si ces unités sont cohérentes, comme par exemple : v en Propriété : Si d est la distance parcourue (en km ) en un temps t (en h ). d La vitesse moyenne v en km / h est : v =. t m / s, d en m et t en s. Exercice n 11 : Un train parcourt une distance de 540 km à une vitesse moyenne de 250 km. h. Calcule la durée de ce trajet en heures minutes secondes. Exercice n 14 : Lindsay part en vacances avec ses parents. Le compteur de leur voiture indique le matin du départ à 9 h 12 min : km. Ils s arrêtent une première fois à 11 h 09 min. Le compteur indique alors km. 1) Calcule la distance parcourue en km, la durée en heures minutes du parcours et leur vitesse moyenne en km.min puis en km. h. 2) Ensuite, ils repartent et roulent à une vitesse moyenne de 96 km / h durant 2 h 10 min. Il est 16 h 09 min lorsqu ils s arrêtent. a) A quelle heure étaient-ils repartis? b) Combien de kilomètres ont-ils parcourus durant cette deuxième étape? 3) Calcule la vitesse moyenne sur la journée. Donne la valeur exacte pour la vitesse en km.min et en km. h. Exercice n 15 : Records 1) Le record du monde du 100 m est détenu au 16/08/2009 par Usain Bolt en 9,58 s. Quelle a été sa vitesse en m / s lors de sa course? 2) Le record du monde du m est détenu au 26/08/2005 par Kenenisa Bekele en 26 min 17,53 s. Quelle a été sa vitesse en m / s puis en km / h lors de sa course? Exercice n 16 : L'éruption du Mont Saint Helens 1980 Une nuée ardente composée de gaz surchauffés, de cendre, de pierre ponce et de roche pulvérisée s échappe latéralement à une vitesse initiale de 350 km / h et accélère rapidement pour atteindre les 1080 km / h. Quelle distance (en km ) la nuée ardente a-t-elle parcourue en 30 s à sa vitesse maximale?

9 Exercice n 17 : Des réflecteurs posés sur le sol lunaire en 1969 servent à mesurer le temps mis par la lumière pour faire un aller-retour de la Terre à la Lune. Des mesures récentes montrent que la lumière met en moyenne 2,564 s pour faire ce trajet alors que la distance Terre-Lune est d'environ km. Calculer une valeur approchée de la vitesse de la lumière. Exercice n 18 : 3 Le 1er octobre 1993, le débit de la Durance (un affluent du Rhône) était de x m par seconde. Après une semaine de pluie, le débit augmentait de 30%. 1) Sachant que le débit était alors de 143 m 3 par seconde, calculer le débit initial x. 2) Une semaine après, le débit baissait de 30%. Calculer le nouveau débit. Exercice n 19 : Densité de population La densité de population mesure le nombre moyen d habitants par km². En France 2 2 métropolitaine, en 2006, elle est de 109 habitants au km, pour une superficie de km. 1) Quel est le nombre d habitants en France métropolitaine en 2006? 2 2) La densité de population, en 2006, à Monaco est habitants au km. Quel serait le nombre d habitants en France métropolitaine avec la même densité de population que Monaco? 2 3) La superficie de Monaco est 1,95 km. Quel serait le nombre d habitants à Monaco si ce pays avait la même densité de population que la France métropolitaine? Exercice n 20 : Géométrie 1) On augmente de 20 % la longueur d'un carré de côté 8 cm. De quel pourcentage augmente alors son aire? 2) On augmente de 15 % la longueur et de 30% la largeur d'un rectangle de dimensions 30 cm sur 20 cm. De quel pourcentage augmente alors son aire? 3) On augmente de 20 % la longueur et on diminue de 20% la largeur d'un rectangle de dimensions 30 cm sur 20 cm. Quelle est, en pourcentage, la variation de son aire? Exercice n 21 : On a représenté ci-dessous la distance parcourue par 3 véhicules en fonction de la durée. 1) Pour lesquels le mouvement est-il uniforme? 2) Quelle est alors la vitesse du déplacement? Justifie par le calcul, et précise l unité.