2 Plus grand commun diviseur

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1 2 Plus grand commun diviseur PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS Définition Soit deux nombres entiers naturels a et b non nuls. Un nombre entier naturel δ qui divise chacun de ces nombres est appelé diviseur commun de ces nombres. L'ensemble des diviseurs communs aux nombres a et b est un ensemble fini, noté (a, b). Le plus grand élément de l'ensemble (a, b) est appelé plus grand commun diviseur de a et de b. On écrit en abrégé PGCD (a, b). Algorithme d'euclide Si b divise a alors tout diviseur de b est aussi un diviseur de a et PGCD (a, b) = b. Si r est le reste de la division de a par b, alors (a, b) = (b, r) donc PGCD (a, b) = PGCD (b, r). Le PGCD de deux nombres est le dernier reste, non nul, de la succession de divisions que l'on effectue dans l'algorithme d'euclide. Les diviseurs communs à deux nombres sont les diviseurs de leur PGCD. Propriétés du PGCD de deux nombres Le PGCD δ de deux nombres entiers naturels a et b est une combinaison linéaire entière de a et de b, c'est à dire qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que : δ = a u + b v. Si a, b et k sont trois entiers naturels non nuls, alors PGCD (k a, k b) = k PGCD (a, b). Si d est un diviseur commun à a et b alors d est un diviseur de toute combinaison linéaire de a et b et, en particulier, un diviseur de leur PGCD.

2 16 Chapitre 2 Si a, b sont deux entiers naturels non nuls, et si λ est un entier relatif tel que a + λ b soit un entier naturel non nul alors : PGCD (a, b) = PGCD (a + λ b, b). NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX Définition Deux entiers naturels, non nuls, sont dits premiers entre eux si, et seulement si, leur PGCD est égal à 1. Propriétés Tout entier naturel est premier avec 1. Si δ est le PGCD de a et b alors il existe deux entiers a et b, premiers entre eux, tels que a = δ a et b = δ b. Théorème de BACHET - BEZOUT. Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, il existe un couple d'entiers relatifs u et v tels que a u + b v = 1. Théorème de GAUSS. Soit a, b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise le produit bc et si a est premier avec b alors a divise c. Si un nombre entier naturel n est divisible par deux entiers naturels premiers entre eux il est divisible par leur produit. On ne change pas le PGCD de deux nombres en multipliant l'un d'entre eux par un nombre premier avec l'autre. a, b et c étant des entiers naturels non nuls, si PGCD (a, c) = 1 alors PGCD (a, b) = PGCD (a, bc) Un nombre entier est premier avec un produit de deux facteurs entiers si, et seulement si, il est premier avec chacun de ces facteurs. Si deux entiers naturels et b sont premiers entre eux alors (a + b) et ab le sont aussi.

3 Plus grand commun diviseur 17 Enoncés des exercices Exercice 1...(10 min) Soit a et b deux entiers naturels non nuls, A et B les nombres définis par : A = 3 a + 4 b et B = 4 a + 5 b. 1. Montrer que (a, b) (A, B). 2. Exprimer a et b en fonction de A et B. En déduire que : (A, B) (a, b). 3. Montrer que a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, A et B le sont. Exercice 2...(10 min) Soit a et b deux entiers naturels non nuls, A et B les nombres définis par : A = 11 a + 2 b et B = 18 a + 5 b 1. Montrer que (a, b) (A, B). 2. Exprimer a et b en fonction de A et de B. En déduire que tout diviseur commun à A et B est un diviseur commun à 19 a et 19 b. 3. On suppose que a et b sont premiers entre eux. Montrer que le PGCD de A et B divise 19. Exercice 3...(10 min) 1. On sait que si a et b sont deux entiers naturels premiers entre eux alors ab et a + b sont premiers entre eux. En déduire que si les entiers naturels a et b sont premiers entre eux alors a + b et a 2 + b 2 ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que les diviseurs de Plus généralement, soit n un entier naturel tel que a 2 + b 2 n ab soit non nul ; démontrer que si a et b sont premiers entre eux alors a + b et a 2 + b 2 n ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que les diviseurs de n + 2. Exercice 4...(15 min) Déterminer les couples (a, b) d'entiers naturels tels que a > b, a 2 b 2 = 405 et PGCD(a, b) = 3.

4 18 Chapitre 2 Exercice 5...(15 min)) Les entiers naturels non nuls a, b, c et d sont des termes consécutifs d'une suite géométrique dont la raison q est un nombre entier premier avec a. De plus a, b, d vérifient la relation 10 a 2 = d b. 1. Démontrer que : q (q +1) (q 1) = 10 a. 2. Déterminer les valeurs possibles de q. En déduire les valeurs correspondantes de a, b, c et d. Exercice 6...(15 min)) Soit n un entier naturel non nul et a, b les entiers naturels définis par : a = 5 n et b = n Démontrer que tout diviseur commun à a et b est un diviseur de Démontrer que PGCD (a, b) = 3 si, et seulement si, n 2 1 [3]. 3. En déduire, suivant les valeurs de n, le PGCD de a et b. Exercice 7... (15 min) Démontrer que pour tout entier naturel non nul n, les entiers naturels a et b sont premiers entre eux dans chacun des cas suivants : 1. a = 3 n + 2 et b = 2 n a = n 2 et b = n a = 2 n +1 et b = 2 n (n +1). Exercice 8... (15 min) 1. Soit k un entier naturel non nul. On pose : a = 2 k 1 et b = 2 k +1. Démontrer que, pour tout k, les entiers a et b sont premiers entre eux. 2. Soit n un entier naturel non nul et A, B les entiers naturels définis par : A = n 2 + n et B = n 2 n. Déterminer, suivant la parité de n, le PGCD de A et B. Exercice 9... (15 min) Soit n un entier naturel. On pose A = n 4 + n En remarquant que : A = n 4 + 2n 2 +1 n 2, montrer que A peut s'écrire comme produit de deux facteurs du second degré. 2. On pose a = n 2 + n +1 et b = n 2 n +1. a) Démontrer que a et b sont impairs. b) Soit d un diviseur commun à a et à b. Démontrer que d divise 2n et 2(n 2 +1). c) Montrer que n et n 2 +1 sont premiers entre eux. d) En déduire que a et b sont premiers entre eux.

5 Plus grand commun diviseur 19 Exercice (15 min) Soit n un entier naturel strictement supérieur à On pose A = n 1 et B = n 2 3 n + 6. a) Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait : n 2 3 n + 6 = (an + b)(n 1) + 4. b) En déduire que PGCD (A, B) = PGCD (A, 4). 2. Donner suivant les valeurs de n, le PGCD de A et Pour quelles valeurs de n le nombre F n défini par : 2 ( n 3n+ 6)(2n 1) F n = est-il entier? n 1 Exercice (15 min) Soit n un entier naturel, non nul. 1. On pose A = n et B = n + 2. a) Déterminer deux entiers relatifs a et b tels que pour tout n on ait : n = (n + 2)(an + b) + 7. b) En déduire que : PGCD (n 2 +3, n 2) = PGCD (n +2, 7). 2. Pour quelles valeurs de n la fraction 3. Déterminer n de façon que 2 n + 3 n n + 3 n + 2 est-elle irréductible? soit un entier naturel. Exercice 12...(15 min) 1. Soit n un entier naturel non nul. a) Calculer pour n {0, 1, 2, 3, 4, 5}, le reste de la division de 3 n par 7. b) Démontrer que, quel que soit l'entier naturel n, 3 n+6 3 n [7]. c) De manière générale, comment peut-on calculer, pour tout entier naturel n, le reste de la division de 3 n par 7? d) En déduire le reste de la division de par Soit U n = n 1 où n est un entier supérieur à 2. a) Montrer que si U n est divisible par 7, alors 3 n 1 [7]. b) Réciproquement, montrer que si 3 n 1 [7] alors U n 0 [7]. c) En déduire les valeurs de n telles que U n soit divisible par 7. Exercice 13...(15 min) Soit (E) l'équation : 26 x 17 y = 1 où x et y sont deux entiers naturels. 1. En utilisant l'algorithme d'euclide déterminer une solution particulière de l'équation (E). 2. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation (E).

6 20 Chapitre 2 Exercice (15 min) Soit n un entier naturel non nul et a, b les entiers naturels définis par : a = 2 n + 3 et b = 5 n Ecrire une relation indépendante de n entre a et b. En déduire que, si a et b ne sont pas premiers entre eux, leur PGCD est Etudier l'ensemble des entiers naturels n tels que le PGCD (a, b) = 19. Exercice (20 min) 1. Soit n un entier naturel non nul et A, B les entiers naturels définis par : A = 11 n + 3 et B = 13 n 1. Démontrer que tout diviseur de A et B est un diviseur de Soit (E 1 ) l'équation 50 x 11 y = 1 où x et y sont deux entiers naturels non nuls. En utilisant l'algorithme d'euclide, déterminer une solution partic u- lière de (E 1 ). 3. Soit (E) l'équation 50 x 11 y = 3 où x et y sont deux entiers naturels non nuls. a) En utilisant les résultats précédents résoudre (E). b) En déduire les valeurs de n pour lesquelles le PGCD de A et B est Pour quelles valeurs de n le PGCD de A et B est-il égal à 25? Exercice (20 min) 1. Soit x et y deux entiers relatifs et (E) l'équation : 324 x 245 y = 7. a) En utilisant l'algorithme d'euclide, déterminer une solution partic u- lière (α, β ) de (E). b) En déduire l'ensemble des solutions de (E). 2. Montrer que pour tout couple (x, y) solution de (E) nous avons : x 0 [7]. 3. Soit d le PGCD des éléments d'un couple (x, y) solution de (E). a) Démontrer que les seules valeurs possibles de d sont 1 et 7. b) En remarquant que d prend la valeur 7, si, et seulement si, y est divisible par 7, déterminer les solutions de (E) telles que x et y soient premiers entre eux. Exercice (20 min) Déterminer les entiers naturels n dont le reste dans la division par 9 est 7 et dont le reste dans la division par 7 est 1.

7 Plus grand commun diviseur 21 Exercice (20 min) On se propose de déterminer l'ensemble des entiers relatifs n solutions n 1[5] du système (S) : n 5[7] 4n + 1 0[5] 1. Démontrer que si n est solution de (S) alors 4n + 1 0[7] 2. En déduire que pour tout entier n, solution de (S), il existe un entier k tel que : 35 k 4 n = Déterminer les solutions de (S). Exercice (30 min) x et y sont deux entiers naturels tels que x > y. On désigne par a et b les entiers naturels définis par : a = x + y et b = x y. On note : δ = PGCD (x, y) et? = PGCD (a, b). 1. Montrer que δ divise a et b. En déduire que δ divise?. 2. Montrer que divise le PGCD de a + b et de a b. En déduire que divise 2 δ. 3. Montrer que δ = ou δ = On suppose de plus que x et y sont premiers entre eux. a) Montrer que est soit égal à 1, soit égal à 2. b) Conclure dans le cas où x et y sont impairs. c) Conclure dans le cas où x et y ne sont pas de même parité.

8 22 Chapitre 2 CONTRÔLE Exercice 1 (6 min, 2 points) Démontrer que, pour tout entier naturel n, les nombres 2 n +1 et 9 n + 4 sont premiers entre eux. Exercice 2 (6 min, 2 points) Déterminer les entiers naturels n tels que n + 2 divise 5 n +19. Exercice 3 (12 min, 4 points) Résoudre l'équation (E) : 91 x +10 y = 412 où x et y deux entiers relatifs. Exercice 4 (12 min, 4 points) Déterminer les couples (a, b) d'entiers naturels tels que : a > b, a 2 b 2 = 2004 et PGCD(a, b) = 2. Exercice 5 (24 min, 8 points) Soit n un entier naturel non nul. On pose : a = n n n 4 et b = n n Déterminer deux entiers naturels α et β tels que pour tout n, on ait : n n n 4 = (n n 1) (α n + β ) + n 3 2. En déduire, suivant les valeurs de n, le reste r de la division de a par b. 3. On suppose n = 3. Démontrer que PGCD (a, b) = PGCD (n 3, 14). 4. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles PGCD (a, b) = 7.

9 Plus grand commun diviseur 23 Corrigé des exercices Corrigé Tout diviseur de a et b divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc en particulier A et B. Alors (a, b) (A, B). 2. Nous pouvons écrire a = 4 B 5 A et b = 4 A 3 B donc tout diviseur de A et B divise a et b. Alors (A, B) (a, b). 3. En conclusion (A, B) = (a, b) donc PGCD (A, B) = PGCD (a, b). Alors a et b sont premiers entre eux si, et seulement si, A et B le sont. Corrigé Tout diviseur de a et b divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc en particulier A et B alors (a, b) (A, B). 2. Nous pouvons écrire : 19 a = 5 A 2 B et 19 b = 18 A +11 B donc tout diviseur de A et B divise 19 a et 19 b. Alors (A, B) (19 a, 19 b). 3. Des questions précédentes nous déduisons que : (a, b) (A, B) (19 a, 19 b). Alors PGCD (A, B) divise PGCD (19 a, 19 b) soit 19 PGCD (a, b). Si a et b sont premiers entre eux alors PGCD (a, b) = 1 et PGCD (A, B) divise 19. Corrigé Quels que soient les entiers naturels a et b nous avons la relation : a 2 + b 2 ab = (a + b) 2 3 ab. Tout entier naturel d, diviseur commun de a 2 + b 2 ab et a + b, divise donc 3 ab. Si les entiers naturels a et b sont premiers entre eux il en est de même de ab et a + b alors d, diviseur commun de a + b et 3 ab, divise Plus généralement, quels que soient les entiers naturels a et b nous avons la relation : a 2 + b 2 n ab = (a + b) 2 (n + 2) ab. Tout entier naturel δ, diviseur commun de a 2 + b 2 n ab et a + b, divise donc (n + 2) ab. Le même raisonnement que dans la première question permet d'affirmer que si a et b sont premiers entre eux alors a + b et a 2 + b 2 n ab ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que les diviseurs de n + 2.

10 24 Chapitre 2 Corrigé 4... Si PGCD (a, b) = 3 alors il existe deux entiers naturels a' et b' premiers entre eux tels que a = 3a' et b = 3b'. Alors a' et b' vérifient l'équation : 9(a' 2 b ' 2 ) = 405 soit encore : (a' + b')(a' b') = 45. Les diviseurs de 45 sont 1, 3, 5, 9, 15 et 45. De plus a' + b' et a' b' sont de même parité avec a' + b' = a' b' > 0. Les couples (a', b') sont donc solutions a' + b' = 45 a' + b' = 15 a' = b' = 9 de l'un des systèmes : ou ou avec a' et b' a' b' = 1 a' b' = 3 a' b' = 5 premiers entre eux. Les couples solutions de ces systèmes sont respectivement (23, 22), (9, 6) et (7, 2) mais (9, 6) est à exclure. En conclusion, les couples solutions du problème posé sont (69, 66) et (21, 6). Corrigé Les nombres a, b, c et d vérifient simultanément les relations : b = a q, c = a q 2, d = a q 3 et 10 a 2 = d b. On en déduit que : 10 a 2 = a q 3 a q, soit 10 a 2 = a(q 3 q) ou encore puisque a est non nul : q (q +1) (q 1) = 10 a. 2. Le nombre q divise 10 a. Or a et q sont premiers entre eux, donc, d'après le théorème de Gauss, q divise 10. Les diviseurs de 10 sont : 1, 2, 5 et 10. Si q = 1 alors q 1 = 0 d'où a = 0. Or a > 0 donc ce cas est exclu. Si q = 2 alors 10 a = 6. Or a est un entier donc ceci est impossible. Si q = 5 alors 10 a = 120 soit a = 12 ; cette valeur est acceptable car 5 et 12 sont premiers entre eux. Si q = 10 alors 10 a = 990, soit a = 99 et cette valeur convient. En conclusion, le problème admet deux solutions : (12, 60, 300, 1500) et (99, 990, 9900, 99000). Corrigé Nous pouvons écrire : 5b a = 3. Tout diviseur commun de a et b divise 5b a donc divise Alors PGCD (a, b) divise 3. Les seuls diviseurs de 3 sont 1 et 3 donc PGCD (a, b) = 1 ou PGCD (a, b) = 3. Alors : PGCD (a, b) = 3 5 n [3] et n [3] PGCD (a, b) = 3 n [3] et n [3] PGCD (a, b) = 3 n 2 1 [3]. 3. Si n 0 [3] alors n 2 0 [3] et PGCD (a, b) = 1 Si n 1 [3] alors n 2 1 [3] et PGCD (a, b) = 3 Si n 2 [3] alors n 2 1 [3] et PGCD (a, b) = 3. En conclusion, si n est divisible par 3 alors PGCD (a, b) = 1. Sinon PGCD (a, b) = 3.

11 Plus grand commun diviseur 25 Corrigé Nous avons immédiatement : (3 n + 2) (2 n +1) = 1 donc d'après le théorème de Bezout les entiers naturels a et b sont premiers entre eux. 2. Nous pouvons écrire : n 2 = (n 1)(n +1) +1 ou encore : 1 n 2 (n 1)(n +1) = 1, donc les entiers naturels a = n 2 et et b = n +1 sont premiers entre eux. 3. Nous pouvons écrire : 4(n 2 + n) = (2 n +1) 2 1 ou encore : (2 n +1) (2 n +1) 2 [2n(n +1)] = 1, donc les entiers naturels a = 2n(n +1) et b = 2 n +1 sont premiers entre eux. Corrigé Nous pouvons écrire : (2 k +1) (2 k 1) = 2 donc tout diviseur commun à 2 k +1 et 2 k 1 est un diviseur de 2. Alors PGCD (2k 1, 2k +1) = PGCD (2k +1, 2). Or, quel que soit k, 2k +1 est impair et PGCD (2k +1, 2) = 1. Alors PGCD (2k 1, 2k +1) = 1 et les entiers a et b sont premiers entre eux. 2. A = n(n +1) et B = n(n 1) donc PGCD (A, B) = n PGCD (n 1, n +1). Or tout diviseur de n 1 et n +1 divise la différence de ces deux nombres donc divise 2. Alors PGCD (n 1, n +1) = 1 ou PGCD (n 1, n +1) = 2. Si n est pair, posons n = 2 k avec k. Alors PGCD (n 1, n +1) = PGCD (2 k 1, 2 k +1) = 1 donc : PGCD (A, B) = n. Si n est impair, posons n = 2 k +1 avec k. Alors : PGCD (n 1, n +1) = PGCD (2 k, 2 k + 2) = 2 PGCD (k, k +1). Or nous savons que deux entiers consécutifs sont premiers entre eux donc PGCD (n 1, n +1) = 2 et PGCD (A, B) = 2 n. Corrigé 9... Soit n un entier naturel et A = n 4 + n Remarquons que : A = (n 2 +1) 2 n 2 donc A = (n 2 + n +1) (n 2 n +1) 2. On pose a = n 2 + n +1 et b = n 2 n +1. a) Nous avons : a = n (n +1) +1 et b = n (n 1) +1. Or le produit de deux entiers consécutifs est pair donc a et b sont impairs. b) Soit d un diviseur commun à a et à b. Si d divise a et b il divise leur somme 2 (n 2 +1) et leur différence 2 n. c) Quel que soit l'entier naturel n,: 1 (n 2 +1) n (n) = 1 donc, d'après le théorème de Bezout, les entiers naturels n 2 +1 et n sont premiers entre eux. d) PGCD (a, b) divise PGCD(a + b, a b). Nous avons : PGCD (a + b, a b) = 2 PGCD (n 2 +1, n) = 2. Donc PGCD (a, b) divise 2. Or a et b sont impairs donc PGCD (a, b) = 1 et a et b sont premiers entre eux.

12 26 Chapitre 2 Corrigé n est un entier naturel strictement supérieur à A et B sont définis respectivement par : A = n 1 et B = n 2 3 n + 6. a) Pour tout entier n nous avons : n 2 3 n + 6 = (n 2)(n 1) + 4 ce qui s'écrit encore B (n 2) A = 4. b) De la relation précédente on déduit que (A, B) = (A, 4). Alors PGCD (A, B) = PGCD (n 1, 4). 2. Les valeurs possibles de PGCD (A, B) sont donc 1, 2 ou 4. Si n 0 [2], alors PGCD (A, B) = 1. Si n 1 [4], alors PGCD (A, B) = 4. Si n 3 [4], alors PGCD (A, B) = Pour tout entier n strictement supérieur à 1, nous avons la relation : 1 (2 n 1) 2 (n 1) = 1, donc d'après le théorème de Bezout, les entiers naturels 2 n 1 et n 1 sont premiers entre eux. F n est entier si, et seulement si, n 1 divise n 2 3 n + 6 ce qui implique : PGCD (n 2 3 n + 6, n 1) = n 1. Si n = 2 alors PGCD (A, B) = 1 et F 2 = 12. Si n = 3 alors PGCD (A, B) = 2 et F 3 = 15. Si n = 5 alors PGCD (A, B) = 2 et F 5 = 36. Corrigé Soit n un entier naturel, non nul, A = n et B = n + 2. a) Pour tout entier naturel n, n = (n + 2)(n 2) + 7. b) On en déduit que : (n 2 + 3, n + 2) = (n + 2, 7) et, par suite, PGCD (n 2 + 3, n + 2) = PGCD (n + 2, 7). 2 n La fraction est irréductible si, et seulement si, n et n 2 sont n + 2 premiers entre eux. Ceci est réalisé si leur PGCD est égal à 1, soit encore, si le PGCD de n + 2 et 7 est égal à 1. Les seuls entiers naturels diviseurs de 7 étant 1 et 7, le PGCD de n + 2 et 7 est égal à 1 si, et seulement si, 7 ne divise pas n + 2. La fraction proposée est donc irréductible si, et seulement si, n + 2 n'est pas multiple de 7 donc si n n'est pas congru à 5 modulo 7. 2 n Le nombre est un entier naturel si, et seulement si, n + 2 est un n + 2 diviseur de n Ceci est réalisé si, et seulement si, PGCD (n 2 + 3, n + 2) = PGCD (n + 2, 7) = n + 2. Le seul entier naturel n, tel que n + 2 divise 7 est le nombre 5. Alors, dans ce cas, nous avons : 2 n + 3 = 4. n + 2

13 Plus grand commun diviseur 27 Corrigé Soit n un entier naturel non nul. a) De proche en proche nous avons : [7], [7], [7], [7], [7], [7]. b) Nous pouvons écrire [7] donc [7] et, par suite, quel que soit l'entier naturel n, 3 n+6 3 n [7]. c) De manière générale, tout entier naturel n s'écrit n = 6 q + r où r appartient à {0, 1, 2, 3, 4, 5} (division euclidienne de n par 6). Alors quel que soit l'entier naturel n, 3 n 3 r [7]. d) 2003 = (6 333) + 5 donc : soit [7]. 2. Soit U n = n 1 où n est un entier supérieur à 2. a) U n est la somme des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison 3 donc : 2U n = 3 n 1. Si U n est divisible par 7 il en est de même de 2U n donc nous avons 3 n 1 [7]. b) Réciproquement si 3 n 1 [7] alors 2U n 0 [7]. Or 7 est premier avec 2 donc d'après le théorème de Gauss, 7 divise U n. c) U n est divisible par 7 si, et seulement si, 3 n 1 [7] donc d'après la première question si, et seulement si, n est multiple de 6. Corrigé Posons a = 26 et b = 17 puis appliquons l'algorithme d'euclide. Les divisions successives permettent d'écrire les équivalences suivantes : 26 = a b = 9 17 = b a = 8 9 = a 3 b = 1 Finalement 26(2) 17(3) = 1 donc une solution particulière de l'équation proposée est (2, 3). 26x 17y= 1 2. Nous avons donc : d'où par soustraction membre à 26(2) 17(3) = 1 membre nous déduisons 26 (x 2) = 17 (y 3). Or 17 divise 26 (x 2) et 17 est premier avec 26 donc, d'après le théorème de Gauss, 17 divise x 2. Il existe donc un entier relatif k tel que x 2 = 17 k ou encore x = 17 k + 2. De même 26 divise 17 (y 3) et 26 est premier avec 17 donc, d'après le théorème de Gauss, 26 divise y 3. Il existe un entier relatif k' tel que y 3 = 26 k' ou encore y = 26 k' + 3.

14 28 Chapitre 2 Les couples (17 k + 2, 26 k' + 3) sont solutions de (E) si, et seulement si, 26 (17 k + 2) 17 (26 k' + 3) = 1 donc k = k'. De plus, puisque x et y sont deux entiers naturels nous avons k. En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples (17 k + 2, 26 k + 3) où k. Corrigé Nous pouvons écrire : 5 a 2 b = 19. Tout diviseur de a et b divise 5 a 2 b donc divise 19. Les seuls diviseurs de 19 sont 1 et 19. Alors PGCD (a, b) = 1 ou PGCD (a, b) = 19. Si A et B ne sont pas premiers entre eux, leur PGCD est donc Si PGCD (a, b) = 19 alors il existe deux entiers naturels a' et b' premiers entre eux tels que a = 19 a' et b = 19 b'. Alors a' et b' vérifient l'équation : 5 a' 2 b' = 1, notée (E) Le couple (3, 7) est solution de (E) et, par suite : 5 (a' 3) = 2 (b' 7). Or 2 divise 5 (a' 3) et 2 est premier avec 5 donc, d'après le théorème de Gauss, 2 divise a' 3. Il existe donc un entier relatif k tel que : a' 3 = 2 k ou encore a' = 2 k + 3. De même il existe un entier relatif k' tel que : b' 7 = 5 k' ou encore b' = 5 k' + 7. Les couples (2 k + 3, 5 k' + 7) sont solutions de (E) si, et seulement si 5 (2 k + 3) 2 (5 k' + 7) = 1 donc k = k'. De plus, puisque a' et b' sont deux entiers naturels nous avons k = 1. Alors a = 19 a' b = 19 b' 2n+ 3= 19(2k+ 3) équivaut à 5n 2= 19(5k+ 7) d'où n = 19 k + 27 avec k = 1. En conclusion, les entiers naturels n tels que PGCD (a, b) = 19 sont de la forme 19 k + 27 avec k = 1. Corrigé Nous pouvons écrire : 13 A 11 B = 50. Tout diviseur commun de A et B divise 13 A 11 B donc divise Posons a = 50 et b = 11 puis appliquons l'algorithme d'euclide. Les divisions successives permettent d'écrire les équivalences suivantes : 50 = a 4 b = 6 11 = b a = 5 6 = a 9 b = 1 Finalement 50(2) 11(9) = 1. Une solution particulière de (E 1 ) est (2, 9). 3. De la question précédente il résulte immédiatement que le couple (6, 27) est solution de (E) que nous pouvons écrire : 50 (x 6) = 11 (y 27).

15 Plus grand commun diviseur 29 a) Or 11 divise 50 (x 6) et 11 est premier avec 50 donc, d'après le théorème de Gauss, 11 divise x 6. Il existe donc un entier relatif k tel que x 6 = 11 k ou encore x = 11 k + 6. De même il existe un entier relatif k' tel que : y 27 = 50 k' ou encore y = 50 k' Les couples (11 k + 6, 50 k' + 27) sont solutions de (E) si, et seulement si : 50 (11 k + 6) 11 (50 k' + 27) = 3 donc k = k'. En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples (11 k + 6, 50 k + 27) où k b) Si PGCD (A, B) = 50 alors 50 divise 11 n + 3 donc il existe un entier naturel α tel que : 11n + 3 = 50α ou encore 50α 11 n = 3. Le couple (α, n) est solution de (E) et n = 50 k + 27 où k. A= 11(50k + 27) + 3 A= 50(11k+ 6) Nous avons alors : ou encore B = 13(50k+ 27) 1 B = 50(13k + 7) ce qui montre que 50 est bien le PGCD de A et B. En conclusion, PGCD (A, B) = 50 si, et seulement si, n 27 [50]. 4. Si PGCD (A, B) = 25 alors 25 divise 11 n + 3 donc il existe un entier naturel β tel que : 11n + 3 = 25β ou encore 25β 11n = 3. Une solution particulière de cette équation est le couple (1, 2) et nous pouvons donc l'écrire 25(β 1) = 11(n 2). En utilisant, comme dans la question précédente, le théorème de Gauss, il existe un entier naturel k' tel que n = 25k' + 2. Nous obtenons alors : A= 11(25 k ' + 2) + 3 A= 25(11 k ' + 1) ou encore ce qui montre que : B = 13(25 k' + 2) 1 B = 25(13 k' + 1) si k' est pair alors PGCD (A, B) = 25 si k' est impair alors PGCD (A, B) = 50 En conclusion, PGCD (A, B) = 25 si, et seulement si, n = 50p + 2 où p ou, ce qui est équivalent, n 2 [50]. Corrigé Soit (E) l'équation : 324 x 245 y = 7. a) Posons a = 324 et b = 245 puis appliquons l'algorithme d'euclide. Les divisions successives permettent d'écrire les équivalences suivantes : 324 = a b = = b 3 a = 8 79 = a 37b = 7 8 = b 31a = 1 Alors 324( 31) 245( 41) = 1. Une solution particulière de l'équation (E) est ( 217, 287). b) (E) s'écrit alors 324(x + 217) = 245 (y + 287). Or PGCD(245, 324) = 1 x= 245k 217 donc les solutions de (E) sont : où k. y = 324k 287

16 30 Chapitre 2 2. Remarquons que : 324 = (7 46) + 2 donc [7] et 245 = 7 35 donc [7]. Pour tout couple (x, y) solution de (E) nous avons : 324 x 245 y = 7 donc 2 x 0 [7]. Alors 7 divise 2 x et 7 est premier avec 2 donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise x. Autrement dit : x 0 [7]. 3. Soit (x, y) un couple solution de l'équation (E). a) Tout diviseur de x et y divise 324 x 245 y donc divise 7. Les seuls diviseurs de 7 sont 1 et 7 donc PGCD (x, y) = 1 ou PGCD (x, y) = 7. b) Nous savons que 7 divise x donc PGCD (x, y) = 7 si, et seulement si, 7 divise y. Or [7] et [7] donc y 2 k [7]. 7 divise 2k et 7 est premier avec 2 donc, d'après le théorème de Gauss, 7 divise k. Alors : PGCD (x, y) = 7 si, et seulement si, k 0 [7]. En conclusion, PGCD (x, y) = 1 si, et seulement si, k n'est pas un multiple de 7. Corrigé L'entier naturel n a pour reste 7 dans la division par 9 si, et seulement si, il existe un entier naturel α tel que n = 9 α + 7. De même, l'entier naturel n a pour reste 1 dans la division par 7 si, et seulement si, il existe un entier naturel β tel que n = 7 β +1. Les deux conditions sont simultanément vérifiées si, et seulement si, l'équation 7 β +1 = 9 α + 7 ou encore 7 β 9 α = 6 notée (E) est vérifiée. Le couple (4, 3) est solution de l'équation 7β 9α = 1 alors le couple (24, 18) est solution de l'équation (E) et nous avons : 7(β 24) = 9 (α 18). α = 7k + 18 Or PGCD (7, 9) = 1 donc les solutions de (E) sont : où k. β = 9k + 24 Alors n = 7(9 k + 24) +1 donc n = 63 k +169 où k. Corrigé Si n 1 [5] alors 4 n 1 [5] et 4 n +1 0 [5]. De même, si n 5 [7] alors 4 n 20 [7] donc 4 n +1 0 [7]. 2. Si n est solution de (S) le nombre 4 n +1 est simultanément divisible par 5 et 7. Or 5 et 7 sont premiers entre eux donc 4 n +1 est divis ible par 35. Par suite il existe un entier relatif k tel que : 35 k 4 n = Notons (E) l'équation 35 k 4 n = 1 a) Le couple ( 1, 9) est solution de (E) Alors nous avons : 35k 4n= 1 d'où par soustraction membre à membre : 35( 1) 4( 9) = 1 35 (k +1) = 4 (n + 9). Or 35 est premier avec 4 donc n + 9 est divisible par 35 (théorème de Gauss). Par suite n 9 [35].

17 Plus grand commun diviseur 31 b) Réciproquement, si n 9 [35] alors il existe un entier p tel que : n = 35 p 9. Or 35 = 7 5, 9 1 [5], 9 5 [7] donc n 1 [5] et n 5 [7]. En conclusion, les solutions de (S) sont les entiers relatifs n tels que : n 9 [35] ou ce qui est équivalent n 26 [35]. Corrigé x et y sont deux entiers naturels tels que x > y. a et b sont définis par : a = x + y et b = x y. On note : δ = PGCD (x, y) et? = PGCD (a, b). 1. Tout diviseur commun de x et y, et en particulier δ, divise toute combinaison linéaire de ces deux nombres donc divise a et b. Or tout diviseur de a et b divise PGCD (a, b). c'est à dire?. Finalement δ divise?. 2. Tout diviseur de a et b, et en particulier?, divise a + b et a b donc divise 2x et 2y. Or PGCD (a + b, a b) = 2 PGCD (x, y) donc? divise 2δ. 3. δ divise? et? divise 2δ alors il existe deux entiers naturels non nuls α et β tels que? = αδ et 2δ = β?. Par suite 2? = αβ? d'où αβ = 2. Il y a donc deux possibilités : si α = 1 et β = 2 alors? = δ. si α = 2 et β = 1 alors? = 2δ. 4. Si x et y sont premiers entre eux alors PGCD (x, y) = 1. a) D'après la question précédente : PGCD (a, b) = 1 ou PGCD (a, b) = 2. b) Si x et y sont impairs alors x + y et x y sont tous deux pairs donc PGCD (a, b) = 2. c) Si x et y sont de parités différentes alors x + y et x y sont tous deux impairs donc PGCD (a, b) = 1. CORRIGE DU CONTROLE Exercice 1 Pour tout n nous avons la relation : 9(2 n +1) 2 (9 n + 4) = 1 donc, d'après le théorème de Bezout, les entiers 2 n +1 et 9 n + 4 sont premiers entre eux. Exercice 2 Quel que soit n nous avons la relation : 5 n +19 = 5(n + 2) + 9 qui montre que n + 2 divise 5 n +19 si, et seulement si, n + 2 divise 9. Les diviseurs de 9 sont 1, 3, 9 et, puisque n + 2 = 2, les seules valeurs possibles de n + 2 sont 3 ou 9. Par suite n = 1 ou n = 7 Exercice 3 Le couple (1, 9) est solution évidente de l'équation : 91 x +10 y = 1. Il en résulte que le couple (412, 3708) est solution particulière de l'équation : 91 x +10 y = 412. Nous pouvons, par suite, écrire : 91 (x 412) = 10 (y ).

18 32 Chapitre 2 Or 10 divise 91(x 412) et 10 est premier avec 91 donc, d'après le théorème de Gauss, 10 divise x 412. Il existe donc un entier relatif k tel que x 412 = 10 k ou encore x = 10 k De même il existe un entier relatif k' tel que y = 91k' ou encore y = 91k' Les couples (10 k + 412, 91k' ) sont solutions de (E 1 ) si, et seulement si : 91 (10 k + 412) 10 (91k' ) = 3 donc k = k'. En conclusion, l'ensemble des solutions de (E) est l'ensemble des couples (10 k + 412, 91 k ) où k Exercice 4 Si PGCD (a, b) = 2 alors il existe deux entiers naturels a' et b' premiers entre eux tels que a = 2a' et b = 2b'. Alors a' et b' vérifient l'équation : 4 (a' 2 b' 2 ) = 2004 soit encore : (a' + b')(a' b') = 501. Les diviseurs de 501 sont 1, 3, 167, et 501. De plus a' + b' et a' b' sont de même parité avec a' + b' = a' b' > 0. a' + b' = 501 Les couples (a', b') sont donc solutions de l'un des systèmes : ou a' b' = 1 a' + b' = 167 avec a' et b' premiers entre eux. a' b' = 3 Les solutions de ces systèmes sont respectivement (251, 250) et (85, 82).. En conclusion, les solutions du problème posé sont (502, 500) et (170, 164). Exercice 5 1. Par identification nous obtenons immédiatement : n n n 4 = (n n 1) (n +1) + n Si 0 = n 3< n n 1 alors le reste de la division de a par b est n 3. Sinon une étude au cas par cas s'impose. L'inégalité n 3 < n n 1 équivaut à n n + 2 > 0 et est vérifiée pour tout n. Il reste donc à étudier les cas où n {1, 2, 3}. Si n = 1 alors a = 2 et b = 2 donc r = 0. Si n = 2 alors a = 20 et b = 7 donc r = 6. Si n = 3 alors a = 56 et b = 14 donc r = Nous savons que si a et b sont deux entiers naturels non nuls et si λ est un entier relatif tel que a + λ b soit un entier naturel non nul alors : PGCD (a, b) = PGCD (a, b + λ a). Alors l'égalité n n 2 + 2n 4 = (n 2 + 2n 1)(n +1) + n 3 permet d'affirmer que PGCD (a, b) = PGCD (n n 1, n 3). En remarquant que : n 2 + 2n 1 = (n 3)(n + 5) +14 nous démontrons de même que PGCD (n n 1, n 3) = PGCD (n 3, 14). Alors PGCD (a, b) = PGCD (n 3, 14). 4. PGCD (a, b) = 7 si, et seulement si, n 3 est divisible par 7 mais pas par 14. Alors il existe un entier impair α tel que n 3 = 7 α. En posant α = 2 k +1 avec k, nous obtenons n = 14 k +10 avec k.