ETUDES DE SUITES DEFINIES PAR DIFFERENTS TYPES DE RECURRENCE

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1 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece S DUCHET - wwweslofrst /5 ETUDES DE SUTES DEFNES PAR DFFERENTS TYPES DE RECURRENCE K ésger R o C Stes récrretes léres orre éfto stes récrretes léres orre Sot O t qe est e ste récrrete lére orre * N s l este K,, tel qe :, N Coséros e telle ste Sot l mtrce éfe r :, K M O oc l relto ste : A N,, ec A A χ O motre r récrrece sr qe χ A l sfft or cel e éeloer le étermt c esss st l remère coloe O se lmte cs où le olyôme crctérstqe e A est scé s K[] A χ s écrt oc : λ χ q m A, ec λ q m N m K *

2 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece T l este e mtrce trglre T où les mtrces T sot trglres séreres T q yt λ comme élémets sr l gole, l este e mtrce P ersble telle qe T P AP or chtre "trgolsto es eomorhsmes" Sot N, q T λ N, où N est e mtrce lotete 'orre m Por N : m T λ N r m r m r r C λ N r r cr m et N commtet r r C λ N cr N est e mtrce lotete 'orre m λ λ r λ m r r! m r U, r r r N r o réoroe st les ssces e, U M r, K m Por O N, q, o ote T l mtrce éfe r : T T T q T q T q m r λ U, r r c'est e coséqece rot e mtrces r blocs Pr coséqet, est combso lére e l fmlle e stes r λ q r Alcto à l'éte e l ste e Fbocc O cosère l ste éfe r N, Ecrtre mtrcelle : e ost, o A, ec A m S DUCHET - wwweslofrst /5

3 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece 5 5 χ α β ec α et β A l este oc e élémets e K et tels qe : N, α β oc oc α β et e reortt s l eème églté, o obtet : α β β α α α β α β 5 β α 5 5 Flemet, or tot eter, α β O e ét s le comortemet e l 5 5 ste : et et oc β α Stes récrretes o léres 'orre théorème ot fe Sot E e rte fermée e K et f e lcto e E s e -cotrctte c'est-à-re or tos, y s E, f f y y, ec < O sose E stble r f l'éqto f met e qe solto s E E Tote ste éfe r met or lmte l solto e l'éqto N, f f Démostrto Ucté e l solto Soet α, β e soltos e l'éqto f Alors f α α et f β β f α f β α β Or, f α f β α β oc α β α β et oc α β Or α β oc α β Comme, o e ét qe α β Estece E Sot e ste éfe r N, f Sot f f oc qe Pr e récrrece mméte, o motre S DUCHET - wwweslofrst 3/5

4 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece Soet et e eters érft < oc est e ste e Cchy E étt fermé oc comlet oc coerge s E Notos l s lmte f est cotrctte oc cote oc f f l Or, f et l oc f l l théorème ot fe Sot terlle e r o e et o rét à ot Sot f e lcto éfe sr, à lers s R telle qe sot stble r f Sot éfe r N, f S f est crosste sr, lors est mootoe : s lors est crosste ; s, lors est écrosste S f est écrosste sr, lors les stes et sot mootoes, e ses e mootoe cotrres : s, lors est crosste et est écrosste ; s, lors est écrosste et est crosste Doc coerge s et selemet s et ot jcetes émostrto motros r récrrece qe or tot eter, est sge e Notos P l rorété : " est sge e " P est re! Sot N Sosos P re est sge e Or est sge e hyothèse e récrrece oc P est re Doc, P est re or tot eter S, lors or tot eter, et oc est crosste S, lors or tot eter,, et oc st écrosste S DUCHET - wwweslofrst 4/5

5 S f est écrosste sr, lors g f f est crosste Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece est éfe r g est éfe r g 3 s, lors est crosste 'rès f f oc cr et f est écrosste sr Alors est 3 3 écrosste 'rès s, lors est écrosste 'rès f f oc cr et f est écrosste sr Alors est 3 3 crosste 'rès Sosos et jcetes Alors l este l K tel qe l et l Sot ε > N, N l < ε, N, N, l < ε Sot m, Alors N, l < ε Doc l Sosos qe coerge Sot l lm Alors l et l et ot e stes etrtes e Doc oc et sot jcetes Eemle : R Sot l ste éfe r : cote sr R éfe L'éqto f met e soltos sr er cs : L ste Sot f l focto éfe sr R r f est R est terlle e stblté or f ce q ffrme qe l ste est be R : et est l ste sttore égle à ème cs : L ste est l ste sttore égle à 3 ème cs : ]; [ S DUCHET - wwweslofrst 5/5

6 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece J O 3 [ ;] [;] f oc l ste est écrosste est morée r oc f f l coerge Sot l s lmte l érfe f l l cr et l [ ; ] cr or tot l eter, ; ] Doc l Doc [ 4 ème cs : > J O oc est crosste N, [ ; [ S oerge, lors s lmte l érfe f l l et l [ ; [, ce q est mossble oc erge éfto ste homogrhqe Ue ste est te homogrhqe s'l este, b, c, K tels qe : c et bc b N, c S DUCHET - wwweslofrst 6/5

7 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece théorème Sot e ste homogrhqe éfe r bc K N, c b, ec be ete c et S α est rce e l'éqto ste costte ; b et s'l este N tel qe α, lors c est e b S l'éqto met e soltos stctes α et β, lors l ste c éfe r α b est e ste géométrqe L relto éft e ste s et selemet β c s, N où λ cβ λ cα b S l'éqto met e rce réelle oble α, lors l ste c éfe r b est e ste rthmétqe L relto éft e ste s et selemet α c s { λ, N} où c λ émostrto Motros qe α s et selemet s α sosos qe α b α b α c cα sosos qe α b oc α c oc α c α b oc α c b α b α oc α c α b Or, α oc α c α α b cα oc c α α α b oc α cα b α oc α S DUCHET - wwweslofrst 7/5

8 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece α β b α b c cα b β b c cβ cα cβ b cα α b c b cβ c β b bcα b αc α bc b cβ bcβ b c β bc β b cα bc α bc cβ bc β bc cα cβ cα oc est e ste géométrqe e rso cβ λ cα est be éfe s et selemet s or tot eter, c c c αc β c λ α β c λ λ λ oc est be éfe s et selemet s or tot eter, λ, 'où le résltt α b α b c cα S DUCHET - wwweslofrst 8/5

9 c cα b cα c α b c cα même tye e clcl q' α bc Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece b α est rce oble e l'éqto, c'est-à-re e l'éqto seco egré c c b Doc le scrmt trôme est l, sot : 4bc Pr coséqet, 4 bc De ls, α formle ot l rce oble ' trôme e scrmt l c Doc cα Pr coséqet, c α 4 c α c α cα α c α c est oc e ste rthmétqe e rso c est be éfe s et selemet s or tot eter, c α c c α c c cr αc c λ, ec λ λ λ λ c S DUCHET - wwweslofrst 9/5

10 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece S DUCHET - wwweslofrst /5 oc est be éfe s et selemet s or tot eter, λ, 'où le résltt Eemle Sot l ste éfe r N,, N O soltos e l'éqto { }, Sot l ste éfe r

11 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece est oc e ste géométrqe e rso Doc or tot eter, Por tot eter, Doc 3 et 3 ème méthoe tlst le théorème ot fe Sot f l focto éfe sr R r Por tot eter, f f est cote sr [ ; [ et [ ; [ est terlle e stblté or f f est érble sr [ ; [ et or tot, f ' [ ; [, f ' Soet, y [, [, ec < y D'rès l'églté es ccrossemets 4 fs lqé à f sr [ ; y], o f f y y 4 f est oc cotrctte sr [ ; [ ec D'rès le théorème ot fe, l'éqto 4 f met e qe solto sr [ ; [ q est et l ste coerge ers 3 U eemle e ste récrrete 'orre sérer à téressos os tégrles e Wlls O cosère l ste éfe r : Notos qe π N, s est be éfe sq'l s'gt 'tégrles sr comct e foctos cotes Détermos e relto e récrrece Sot N, S DUCHET - wwweslofrst /5

12 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece π s s Les foctos et éfes sr [; π ] resectemet r cos et s sot e clsse C, o et oc tégrer r rtes : π [ ] π cos s cos s π s s π π s s D'où Détermos e eresso e e focto e! Motros r récrrece qe! Notos P cette églté P est re sot N Sosos P re! hyothèse e récrrece!!!!! oc P est re Doc P est re or tot eter! Motros r récrrece qe! Notos P cette églté P est re sot N Sosos P re 3 3! hyothèse e récrrece 3 3! 3!! 3! 3! 3 S DUCHET - wwweslofrst /5

13 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece oc P est re oc P est re or tot eter π π et π s! π Doc, or tot eter, et!!! Ses e rto e Sot N π [; ], s s écrosste oc tégrto 'e églté est oc Sot N oc l ste est costt e égle à π Eqlet e Por, oc oste cote et o etqemet lle Doc, c'est-à-re ~ o et ser r cr cr s est Doc ~, c'est-à-re π ~ Doc ~ π et oc 4 U eemle e stes mbrqées, b Soet, et b éfes r : N, b et b b Motros qe or tot eter, b b et b b Notos P l rorété ste : " b b et b b " S DUCHET - wwweslofrst 3/5

14 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece er cs : b Alors et b sot les stes lles et P est trlemet érfée or tot eter ème cs : b Alors or tot eter, b et P est à oe trlemet érfée 3 ème cs : b et O motre ss ffclté qe et b sot es stes costtes égles à P est érfée ss roblème 4 ème cs : b et b s et b sot e ombres ostfs o ls, o léglté ste : e effet, b oc b b oc b b b b Motros r récrrece qe P est re or tot eter b et b b O b b oc b e même, b b oc b b lors, c'est-à-re et b b, c'est-à-re b b Doc b b b b b b b b b b b Doc P est re b b * Sot N Sosos P re b O b, c'est-à-re b S DUCHET - wwweslofrst 4/5

15 Etes e stes éfes r fférets tyes e récrrece b b oc oc et b b oc b b Doc b b b b b b oc b b oc b b lcto e l'hyothèse e récrrece Doc P est re oc P est re or tot eter Coséqece : b est crosste, est écrosste et b oc les stes et b sot jcetes Elles coerget oc ers l même lmte S DUCHET - wwweslofrst 5/5