DEVOIR COMMUN DE SECONDE - MATHEMATIQUES La calculatrice est autorisée.

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1 Mardi 13 Mars 01 DEVOIR COMMUN DE SECONDE - MATHEMATIQUES La calculatrice est autorisée. Eercice 1 / 4 On donne dans le repère orthonormé (O ; I, J) ci-dessous la courbe représentative C d une fonction f définie sur [- 4 ; 7] : C J I On note g la fonction affine définie sur R par g(3) = et g(1) = a) Tracer la représentation graphique Cg de g dans le repère (O ; I, J) b) Déterminer g() pour tout R. c) Résoudre graphiquement dans [- 4 ; 7] : f() g(). Justifier la réponse.. On note h la fonction affine définie sur R par h() = a) Résoudre graphiquement dans R : h() = g(). Justifier la réponse. b) Résoudre algébriquement dans R : h() = g(). Eercice / 4 Dans un repère orthonormé (O ; I, J) on donne les points M(4 ; 4) ; A(7 ; 5) et T(6 ; ). 1. Calculer MA et TA.. Calculer les coordonnées du milieu S de [MT]. 3. Que peut-on dire de la droite (AS)? Justifier la réponse. 4. Calculer les coordonnées du point H de sorte que MATH soit un losange. Justifier la réponse. Eercice 3 /,5 Dans cet eercice on ne demande aucune justification de calculs. Voici les notes obtenues dans deu classes de Seconde lors d un devoir surveillé de mathématiques. Notes A B Déterminer la moyenne au centième près et l étendue pour chacune de ces deu classes. 1

2 Mardi 13 Mars 01. A l aide d un deuième indicateur, dire dans quelle classe les résultats sont les plus réguliers. 3. A l aide d un troisième indicateur, préciser quelle classe réussit le mieu. Eercice 4 / 5,5 Soit f la fonction définie sur R par : f() = 9² On note C sa représentation graphique. 1. Démontrer que pour tout R : f() = (3+1)² Factoriser f(). 3. Calculer les coordonnées du point A d intersection de C avec l ae des ordonnées. 4. Le point M( 3 ; - 10,6) est-il un point de C? 5. Résoudre dans R : a) f() = - 48 b) f() = 9² c) f() = Déterminer les coordonnées des points d intersection N et P de C avec l ae des abscisses. 7. Démontrer que - 49 est le minimum de f. Eercice 5 / 4 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 1 cm. G et D sont deu points du segment [CA] tel que CG = GD. On construit les rectangles ADEF et DGHI comme indiqué sur la figure. On pose alors CG = GD = avec ]0 ; 6[. Le but du problème est de trouver les valeurs de pour lesquelles les aires des rectangles DGHI et ADEF sont égales. 1.a) Eprimer GH en fonction de b) Démontrer que : aire(dghi) = ².a) Démontrer : ED = b) En déduire l aire de ADEF en fonction de. 3.a) Justifier que trouver la solution du problème revient à résoudre l équation : 5² - 4 = 0 b) Résoudre le problème.

3 Mardi 13 Mars 01 SOLUTION DU DEVOIR COMMUN Eercice 1 / 4,5 On donne dans le repère orthonormé (O ; I, J) ci-dessous la courbe représentative C d une fonction f définie sur [- 4 ; 7] : C Cg Ch J I On note g la fonction affine définie sur R par g(3) = et g(1) = a) Tracer la représentation graphique Cg de g dans le repère (O ; I, J) Cg est la droite passant par A(3 ; ) et B(1 ; 3) (0,5) b) Déterminer g() pour tout R. g est une fonction affine donc de la forme g() = m + p m = g(3) - g(1) 3-1 = - 3 = - 1 donc g() = p g(1) = 3 donc p = 3 donc p = = 7. Donc g() = (1) c) Résoudre graphiquement dans [- 4 ; 7] : f() g(). Justifier la réponse. Résoudre graphiquement dans [- 4 ; 7] f() g() c est trouver l ensemble des abscisses des points de C situés au-dessus de Cg. S = [0 ; 3] {7} (1). On note h la fonction affine définie sur R par h() = et C h sa représentation graphique. a) Résoudre graphiquement dans R : h() = g(). Justifier la réponse. C h est la droite passant par E(3 ; ) et F(6 ; 4,5) (0,5) Résoudre graphiquement dans R h() = g() c est trouver l ensemble des abscisses des points d intersection de Cg et C h. S = {3} (0,75) b) Résoudre algébriquement dans R : h() = g(). h() = g() = = = - 8 = 3 S = {3} (1) 3

4 Mardi 13 Mars 01 Eercice / 4 Dans un repère orthonormé (O ; I, J) on donne les points M(4 ; 4) ; A(7 ; 5) et T(6 ; ). 1. Calculer MA et TA. MA² = 3² + 1² = =10 donc MA = 10 (0,5) TA² = (-1)² + (- 3)² =10 donc TA = 10 (0,5). Calculer les coordonnées du milieu S de [MT]. S = M+ T y S = y M+y T = 5 = 3 donc S(5 ; 3) (0,5) 3. Que peut-on dire de la droite (AS)? Justifier la réponse. S est le milieu de [MT] donc S est un point de la médiatrice de [MT] TA = MA donc A est un point de la médiatrice de [MT] Donc (AS) est la médiatrice de [MT] (1) 4. Calculer les coordonnées du point H de sorte que MATH soit un losange. Justifier la réponse. Calculons les coordonnées de H de sorte que MATH soit un parallélogramme. Les diagonales d un parallélogramme se coupent en leur milieu donc il faut S milieu de [AH] ce qui s écrit : Je résous : 5 = 7 + H 10 = 7 + H H = 3 D où H(3 ; 1) (1) S = A+ H et y S = y A+y H Je résous : 3 = 5 + y H 6 = 5 + y H y H = 1 S est le milieu du segment [AH] et [MT] avec H(3 ; 1) donc MATH est un parallélogramme, de plus (AS) est la médiatrice de [MT] donc (AS) (MT) donc MATH est un losange. (0,5) Eercice 3 / 3,5 Dans cet eercice on ne demande aucune justification de calculs. Voici les notes obtenues dans deu classes de Seconde lors d un devoir surveillé de mathématiques. Notes A B Déterminer la moyenne au centième près et l étendue pour chacune de ces deu classes. D après la calculatrice la moyenne pour la A est environ 9,58 / 0 et pour la B, environ : 9,58/ 0 L étendue est la même pour chaque classe : e = 15. (0,5) 4

5 Mardi 13 Mars 01. A l aide d un troisième indicateur, dire dans quelle classe les résultats sont les plus réguliers. Je calcule l écart-interquartile pour chaque classe. (0,5) Pour la A : Q1 = 7,5 ; Q3 = 1 et donc Q3 - Q1 = 4,5 Pour la B : Q 1 = 6,5 ; Q 3 = 1,5 et donc Q 3 - Q 1 = 6 (0,5) On constate que la A est plus homogène que la B. (0,5) 3. A l aide d un troisième indicateur, préciser quelle classe réussit le mieu. Je calcule la médiane pour chaque classe. (0,5) Pour la A : Me = 9,5 Donc au moins 50 % des élèves ont une note supérieure à 9,5/0 Pour la B : M e = 8,5 Donc au moins 50 % des élèves ont une note inférieure à 8,5/0 (0,5) La A est la classe qui réussit le mieu. (0,5) Eercice 5 / 6,5 Soit f la fonction définie sur R par : f() = 9² On note C sa représentation graphique. 1. Démontrer que pour tout R : f() = (3 + 1)² - 49 Pour tout R : (3 + 1)² - 49 = 9² = 9² = f() (0,5). Factoriser f(). f() = (3 + 1)² - 49 = ( )( ) = (3-6)(3 + 8) (0,5) 3. Calculer les coordonnées du point A d intersection de C avec l ae des ordonnées. A a pour abscisse 0. f(0) = Donc A(0 ; - 48) (0,5) 4. Le point M( 3 ; - 10,6) est-il un point de C? Je teste l égalité : f( 3) = - 10,6. f( 3) = 9 3² = = y M Donc M n est pas un point de C. (0,5) 5. Résoudre dans R : f() = ² = ² + 6 = 0 3(3 + ) = 0 a) f() = - 48 = 0 ou = - 3 S = {0 ; - 3 } (1) f() = 9² 9² = 9² = 8 S = {8} (0,5) b) f() = 9² 5

6 Mardi 13 Mars 01 f() = ² = ² - 48 = 1 9² - 49 = 0 (3-7)(3 + 7) = 0 c) f() = = 7 3 ou = S = { 7 3 ; } (1) 6. Déterminer les coordonnées des points d intersection N et P de C avec l ae des abscisses. N et P a pour ordonnée 0, donc je résous dans R : f() = 0 f() = 0 (3-6)(3 + 8) = 0 = ou = Donc N( ; 0) et P(- 8 ; 0) (1) 3 7. Démontrer que - 49 est le minimum de f. f(- 1 3 ) = - 49 Pour tout R, f() + 49 = (3 + 1)² = (3 + 1)² 0 donc pour tout R, f() - 49 donc - 49 est le minimum de f (1) Eercice 6 / 4,5 ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 6 cm et AC = 1 cm. G et D sont deu points du segment [CA] tel que CG = GD. On construit les rectangles ADEF et DGHI comme indiqué sur la figure. On pose alors CG = GD = avec ]0 ; 6[. Le but du problème est de trouver les valeurs de pour lesquelles les aires des rectangles DGHI et ADEF sont égales. 1.a) Eprimer GH en fonction de Dans BAC on a G [AC] et H [BC] alors d après le théorème de Thalès : CG CA = CH CB = GH AB d où 1 = GH 6 et donc GH = (1) 6

7 Mardi 13 Mars 01 b) Démontrer que : aire(dghi) = ² DGHI est un rectangle donc aire(dghi) = GH DG = = ² (0,5).a) Démontrer que ED = Dans EDC on a G [CD] et H [EC] alors d après le théorème de Thalès : CG CD = GH ED = CH CE d où : = ED ED = =. (0,5) b) En déduire l aire de ADEF en fonction de. ADEF est un rectangle donc EF = AD = AC - = 1 -. Aire (ADEF) = EF ED = (1 - ) (0,75) 3.a) Justifier que trouver la solution du problème revient à résoudre l équation : 5² - 4 = 0 Aire(ADEF) = aire(dghi) (1 - ) = ² - ² - ² + 1 = 0-5² + 4 = 0 5² - 4 = 0 (1) b) Résoudre le problème. 5² - 4 = 0 (5-4) = 0 = 0 ou = 4 5 Les deu aires sont égales pour = 4,8 (0,75) 7