Chapitre n 10 : Intégration Exercices BAC

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1 Chapitr : Itégratio Ercics BAC Ercic : Polyési Sptmr - 6 poits Ercic : La Réuio 6 poits 3 Ercic 3 : Ctrs Etragrs 6 poits 4 Ercic 4 : Frac 7 poits 5 Ercic 5 : Asi 5 poits 7 Ercic 6 : Podichéry Avril : 6 poits 8 Ercic 7 : Lia : 5 poits 9 Ercic 8 : Polyési : 5 poits 9 Ercic 9 : Asi : 7 poits Ercic : Réuio : 5 poits Ercic : Atills-Guya : 4 poits Ercic : Frac Sptmr : 6 poits 3 Ercic 3 : Amériqu du Sud Nov : 5 poits 4 Ercic 4 : Nouvll-Calédoi Nov : 7 poits 4

2 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Ercic : Polyési Sptmr - 6 poits Parti A : Qustio d cours Soit I u itrvall d Soit u t v du foctios cotius, dérivals sur I tlls qu ls foctios dérivés u t v soit cotius sur I Rapplr t démotrr la formul d itégratio par partis sur u itrvall [a ; ] d I = 3 Parti B : O cosidèr ls foctios f t g défiis sur par : f ( ) = ( ) t g( ) ( ) O ot rspctivmt C t C ls cours rpréstativs d f d g das l pla mui d u rpèr orthoormal ( O; i, j) Ls cours sot tracés ci-dssous ) (a) Détrmir ls coordoés ds poits commus à C t C ) Parti C () Dor ls positios rlativs d C t C sur (a) À l aid d du itégratios par partis succssivs, détrmir f ( ) d () Calculr, uités d air, l air d la parti du pla limité par ls cours C, C t ls droits d équatios = t = O cosidèr la suit ( u ) défii pour tout tir aturl o ul par : ( ) u = d ) (a) Démotrr qu, pour tout d [ ; ] t pour tout tir aturl o ul, ( ) ( ) Trmial S pag sur 5

3 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / () Démotrr qu, pour tout tir aturl o ul, o a : ) E déduir qu la suit ( u ) st covrgt t détrmir sa limit u + Ercic : La Réuio 6 poits Soit f la foctio défii sur par f ( ) = 4 + O ot (C) sa cour rpréstativ das u rpèr orthogoal ( O; i, j) Sur l graphiqu ci-dssous o a tracé la cour (C) Ell coup l a ds ascisss au poits A t B Parti A L ojt d ctt parti st d démotrr crtais propriétés d la foctio f qu l o put cojcturr à partir du graphiqu Parti B ) La foctio f sml croissat sur l itrvall [ ;+ [ (a) Vérifir qu pour tout rél, f '( ) ( ) ( + ) 4 = () E déduir l ss d variatio d la foctio f sur l itrvall [ ;+ [ ) La droit d équatio = sml êtr u a d symétri d la cour (C) Démotrr qu ctt cojctur st vrai 3 ) O désig par a l asciss du poit A t o pos c a = (a) Démotrr qu l rél c st u solutio d l équatio () Dor l sig d f ( ) slo ls valurs d L ojt d ctt parti st d étudir qulqus propriétés d la foctio F défii sur par : 4+ = E déduir la valur act d a ( ) ( ) F = f t dt ) Détrmir ls variatios d la foctio F sur Trmial S pag 3 sur 5

4 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / ) Itrprétr géométriqumt l rél F( a ) E déduir qu a F( a) 3 ) O chrch la limit évtull d F + (a) Démotrr qu pour tout rél positif t, f ( t) 4 t () E déduir qu pour tout rél positif, F( ) 4 t détrmir la limit d F( ) lorsqu td vrs + 4 ) Das ctt qustio tout trac d rchrch ou d iitiativ, mêm icomplèt, sra pris compt das l évaluatio Détrmir la limit d F( ) lorsqu td vrs Ercic 3 : Ctrs Etragrs 6 poits Soit f t g ls foctios défiis sur l sml ds omrs réls par : f ( ) = t g( ) = Ls cours rpréstativs ds foctios f t g das u rpèr orthogoal ( O; i, j) (C) t (C ) lur tracé st doé ci-dssous sot rspctivmt otés ) Étud ds foctios f t g (a) Détrmir ls limits ds foctios f t g () Justifir l fait qu foctios f t g ot pour limit + (c) Étudir l ss d variatios d chacu ds foctios f t g t drssr lurs talau d variatios rspctifs ) Calcul d itégrals Trmial S pag 4 sur 5 = Pour tout tir aturl, o défiit l itégral I par : I = d t, si >, I d (a) Calculr la valur act d I () À l aid d u itégratio par partis, démotrr qu pour tout tir aturl : ( ) (c) E déduir la valur act d I, puis cll d I 3 ) Calcul d u air pla (a) Étudir la positio rlativ ds cours (C) t (C ) I+ = + + I () O désig par l air, primé uité d air, d la parti du pla compris d u part tr ls cours (C) t (C ), d autr part tr ls droits d équatios rspctivs = t = (c) E primat comm différc d du airs qu l o précisra, démotrr l égalité : = 3 4 ) Étud d l égalité d du airs Soit a u rél strictmt supériur à O désig par ( a ) l air, primé uité d air, d la parti du pla compris d u part tr ls cours (C) t (C ), d autr part tr ls droits d équatios rspctivs = t = a O admt qu ( a ) a s prim par : ( a) = 3 ( a + a+ ) L ojctif d ctt qustio st d prouvr qu il ist u t u sul valur d a pour laqull ls airs t ( a ) sot égals (a) Démotrr qu l équatio ( a ) = st équivalt à l équatio : a = + + a a () Das ctt qustio, tout trac d argumtatio, mêm icomplèt, ou d iitiativ, mêm o fructuus, sra pris compt das l évaluatio

5 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Coclur, quat à l istc t l uicité du rél a, solutio du prolèm posé Ercic 4 : Frac 7 poits Pour tout tir aturl supériur ou égal à, o désig par f la foctio défii sur par : ( ) f = O ot C sa cour rpréstativ das u rpèr orthogoal ( O; i, j) du pla Parti A Sur l graphiqu ci-dssous, o a rprésté u cour C k où k st u tir aturl o ul, sa tagt T k au poit d asciss t la cour C 3 Trmial S pag 5 sur 5

6 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / La droit T k coup l a ds ascisss au poit A d coordoés 4 ; 5 ) (a) Détrmir ls limits d la foctio f t + () Étudir ls variatios d la foctio f t drssr l talau d variatios d f (c) À l aid du graphiqu, justifir qu k st u tir supériur ou égal à ) (a) Démotrr qu pour >, touts ls cours C passt par l poit O t u autr poit dot o dora ls coordoés () Vérifir qu pour tout tir aturl supériur ou égal à, t pour tout rél, ( ) ( ) f ' = 3 ) Sur l graphiqu, la foctio f 3 sml admttr u maimum attit pour = 3 Validr ctt cojctur à l aid d u démostratio 4 ) k (a) Démotrr qu la droit T k coup l a ds ascisss au poit d coordoés ; k () E déduir, à l aid ds doés d l éocé, la valur d l tir k Parti B O désig par (I ) la suit défii pour tout tir supériur ou égal à par ( ) I = f d ) Calculr I ) Das ctt qustio, tout trac d rchrch ou d iitiativ, mêm icomplèt, sra pris compt das l évaluatio Sur l graphiqu ci-dssous, o a rprésté ls portios ds cours C, C, C 3, C, C, C 3 compriss das la ad défii par (a) Formulr u cojctur sur l ss d variatio d la suit (I ) décrivat votr démarch () Démotrr ctt cojctur (c) E déduir qu la suit (I ) st covrgt (d) Détrmir lim I + Trmial S pag 6 sur 5

7 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Ercic 5 : Asi 5 poits L pla st rapporté à u rpèr orthoormal ( O; i, j) ) Étud d u foctio f O cosidèr la foctio f défii sur l itrvall ] ; + [ par : f ( ) O ot f la foctio dérivé d la foctio f sur l itrvall ] ; + [ l = O ot C f la cour rpréstativ d la foctio f das l rpèr La cour C f st rprésté cidssous (a) Détrmir ls limits d la foctio f t + () Calculr la dérivé f d la foctio f (c) E déduir ls variatios d la foctio f ) Étud d u foctio g O cosidèr la foctio g défii sur l itrvall ] ; + [ par : g( ) ( l ) = O ot Cg la cour rpréstativ d la foctio g das l rpèr ( O; i, j) (a) Détrmir la limit d g, puis + Après l avoir justifié, o utilisra la rlatio : ( ) l ( l ) 4 ( ) = () Calculr la dérivé g d la foctio g (c) Drssr l talau d variatio d la foctio g 3 ) (a) Démotrr qu ls cours C f t Cg possèdt du poits commus dot o précisra ls coordoés () Étudir la positio rlativ ds cours C f t Cg (c) Tracr sur l graphiqu la cour C g Trmial S pag 7 sur 5

8 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / 4 ) O désig par A l air, primé uité d air, d la parti du pla délimité, d u part par ls cours C f t Cg, t d autr part par ls droits d équatios rspctivs = t = E primat l air A comm différc d du airs qu l o précisra, calculr l air A Ercic 6 : Podichéry Avril : 6 poits Parti A - Rstitutio orgaisé d coaissacs : Soit a t du réls tls qu a < t f t g du foctios cotius sur l itrvall [a ; ] O suppos cous ls résultats suivats : f t g t dt f t dt g t dt a a a ( ( ) + ( ) ) = ( ) + ( ) a Si pour tout t [ a; ], f ( t ) > alors f ( t ) dt > f t dt g t dt a a Motrr qu : si pour tout t [ a; ], f ( t) g( t) alors ( ) ( ) Parti B Soit u tir aturl o ul O appll f la foctio défii sur [ [ ( ) ;+ par f ( ) l( ) = + t o pos l O ot C la cour rpréstativ d f das u rpèr orthoormal ( ;, ) I = + d ) ) (a) Détrmir la limit d f + () Étudir ls variatios d f sur [ ;+ [ O i j (c) À l aid d u itégratio par partis, calculr I t itrprétr graphiqumt l résultat (Pour l calcul d I o pourra utilisr l résultat suivat : pour tout [ ; ], (a) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, o a I l () Étudir ls variatios d la suit (I ) (c) E déduir qu la suit (I ) st covrgt 3 ) Soit g la foctio défii sur [ ;+ [ par ( ) l( ) g = + = + + ) (a) Étudir l ss d variatio d g sur [ ;+ [ () E déduir l sig d g sur [ ;+ [ Motrr alors qu pour tout tir aturl o ul, t pour tout rél positif, o a l( ) + (c) E déduir la limit d la suit (I ) Trmial S pag 8 sur 5

9 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Ercic 7 : Lia : 5 poits Parti A : Rstitutio orgaisé d coaissacs O supposra cous ls résultats suivats : * ) Démotrr qu pour tout rél, y y = * Pour tous réls t y, = + = ) Démotrr qu pour tout rél t pour tout tir aturl, ( ) = Parti B : O cosidèr la suit (u ) défii pour tout tir aturl par : u = d + ) (a) Motrr qu u + u = () Calculr u E déduir u ) Motrr qu pour tout tir aturl, u 3 ) (a) Motrr qu pour tout tir aturl o ul, u+ + u = () E déduir qu pour tout tir aturl o ul, 4 ) Détrmir la limit d la suit (u ) Ercic 8 : Polyési : 5 poits u La figur qui suit l rcic sra complété Parti A ) O cosidèr la foctio g défii sur [ ;+ [ par ( ) ( ) g = l + (a) Ctt qustio dmad l dévloppmt d u crtai démarch comportat plusiurs étaps La clarté du pla d étud, la riguur ds raisomts aisi qu la qualité d la rédactio srot priss compt das la otatio Démotrr qu l équatio ( ) ;+ u uiqu solutio oté α g = admt sur [ [ () Démotrr qu l( α ) + = α ) Soit la suit (u ) défii par u = t pour tout tir aturl, par u l( u ) O désig par (C) la cour d équatio y l( ) + = + = + das u rpèr orthoormal ( O; i, j) Ctt cour st doé ci-dssous (a) E utilisat la cour (C), costruir sur l a ds ascisss ls quatr prmirs trms d la suit () Démotrr qu pour tout tir aturl, u u + 3 (c) Démotrr qu la suit (u ) covrg vrs α Trmial S pag 9 sur 5

10 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Parti B : O cosidèr la foctio f défii sur [ ;+ [ par ( ) ( ) f = O désig par (H) la cour rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormal ( O; i, j) Ctt cour st doé ci-dssous t ) Pour tout omr rél supériur ou égal à, o pos : ( ) = ( ) = ( ) (a) Démotrr qu la foctio F st croissat sur [ ;+ [ F f t dt t dt () Motrr à l aid d u itégratio par partis qu pour tout rél appartat à [ ;+ [, ( ) F = + (c) Démotrr qu sur [ ;+ [, l équatio ( ) F = st équivalt à l équatio l() + = ) Soit u rél a supériur ou égal à O cosidèr la parti D a du pla limité par la cour (H), l a ds ascisss t ls droits d équatio = t = a 3 ) Détrmir a tl qu l air, uités d airs, d D a, soit égal à t hachurr D a sur l graphiqu Ercic 9 : Asi : 7 poits L ojctif d l rcic st l étud d u foctio t d u suit lié à ctt foctio PARTIE A : O ot f la foctio défii sur l itrvall ] ;+ [ par : ( ) rpréstativ d la foctio f das u rpèr orthoormal ( O; i, j) Trmial S pag sur 5 f = O ot C la cour L uité graphiqu st cm ) Étud ds limits (a) Détrmir la limit d la foctio f quad td vrs () Détrmir la limit d la foctio f quad td vrs + (c) Qulls coséqucs put-o déduir d cs du résultats, pour la cour C? ) Étud ds variatios d la foctio f

11 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / (a) Démotrr qu f, la foctio dérivé d la foctio f s prim, pour tout rél >, par : f '( ) = ( + ) 4 () Détrmir l sig d f t déduir l talau d variatio d f sur l itrvall ] ;+ [ (c) Démotrr qu l équatio f() = a u uiqu solutio oté α appartat à l itrvall ] ;+ [ t dor la valur approché d α arrodi au ctièm 3 ) Tracr la cour C das l rpèr orthoormal ( O; i, j) PARTIE B Étud d u suit d itégrals Pour tout tir aturl > o cosidèr l itégral I défii par : I = d ) Calculr I ) U rlatio d récurrc (a) Démotrr, à l aid d u itégratio par partis, qu pour tout tir aturl > : I+ = + ( ) I () Calculr I 3 3 ) Étud d la limit d la suit d trm gééral I (a) Étalir qu pour tout omr rél appartat à l itrvall [ ; ], o a : () E déduir u cadrmt d I puis étudir la limit évtull d la suit (I ) Ercic : Réuio : 5 poits Ls du partis d ct rcic puvt êtr traités idépdammt Parti A : O chrch à détrmir l sml ds foctios f, défiis t dérivals sur l itrvall ] ;+ [, vérifiat la coditio (E) : pour tout omr rél strictmt positif, f '( ) f ( ) = ) Motrr qu si u foctio f, défii t dérival sur l itrvall ] ;+ [, vérifi la coditio (E), alors la foctio g défii sur l itrvall ] ;+ [ par g( ) strictmt positif, g' ( ) = ( ) f = vérifi : pour tout omr rél ) E déduir l sml ds foctios défiis t dérivals sur l itrvall ] ;+ [ qui vérifit la coditio (E) 3 ) Qull st la foctio défii t dérival sur l itrvall ] ;+ [ qui vérifi la coditio (E) t qui s aul? Parti B : O cosidèr la foctio h défii sur l itrvall [ ;+ [ par ( ) cour rpréstativ das u rpèr orthoormal ( O; i, j) h = O désig par C sa Trmial S pag sur 5

12 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / ) Détrmir, suivat ls valurs du omr rél positif, l sig d h() ) (a) Calculr, à l aid d u itégratio par partis, l itégral d t déduir ( ) h d () E déduir, uité d air, la valur act d l air d la parti du pla situé dssous d l a ds ascisss t au dssus d la cour C Ercic : Atills-Guya : 4 poits O do la rpréstatio graphiqu d u foctio f défii t cotiu sur l itrvall I = [ 3 ; 8] O défiit la foctio F sur I par ( ) ( ) ) (a) Qu vaut F()? () Dor l sig d F() : ;4 ; F = f t dt - pour [ ] - pour [ 3;] Justifir ls réposs (c) Fair figurr sur l graphiqu ls élémts prmttat d justifir ls iégalités F ( ) 6 4 ) (a) Qu rprést f pour F? () Détrmir l ss d variatio d la foctio F sur I Justifir la répos à partir d u lctur graphiqu ds propriétés d f 3 ) O dispos d du rpréstatios graphiqus sur I Cour A Cour B L u d cs cours put-ll rpréstr la foctio F? Justifir la répos Trmial S pag sur 5

13 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Ercic : Frac Sptmr : 6 poits Soit f la foctio défii sur l itrvall ] ;+ [ par f ( ) ( l ) = La cour rpréstativ C d la foctio f st doé ci-dssous Parti I : Étud d la foctio f ) Étudir l sig d f ( ) suivat ls valurs du omr rél ) Détrmir ls limits d la foctio f au ors d so sml d défiitio 3 ) Détrmir la dérivé d la foctio f sur l itrvall ] ;+ [ t drssr l talau d variatios d la foctio f sur l itrvall ] ;+ [ 4 ) Soit a u omr rél strictmt positif O cosidèr la tagt (T A ) au poit A d la cour C d asciss a (a) Détrmir, foctio du omr rél a, ls coordoés du poit A, poit d itrsctio d la droit (T A ) t d l a ds ordoés () Eplicitr u démarch simpl pour la costructio d la tagt (T A ) Costruir la tagt (T A ) au poit A placé sur la figur Parti II : U calcul d air Soit a u omr rél strictmt positif O ot (a) la msur, uité d air, d l air d la régio du pla limité par la cour C, l a ds ascisss t ls droits d équatios rspctivs = a t = ) Justifir qu ( ) ( ) a = f d, distiguat l cas a < t l cas a > a ) À l aid d u itégratio par partis, calculr (a) foctio d a Trmial S pag 3 sur 5

14 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Ercic 3 : Amériqu du Sud Nov : 5 poits L ut d l'rcic st d dor u cadrmt du omr I défii par : I = d + Soit f la foctio défii sur [ ; ] par ( ) ) Étudir ls variatios d f sur [ ; ] f = + k ) O pos, pour tout tir aturl S = f k= 5 k+ k k+ 5 (a) Justifir qu pour tout tir k compris tr t 4, o a : f k d f Itrprétr graphiqumt à l'aid d rctagls ls iégalités précédts () E déduir qu : S d ( S ) (c) Dor ds valurs approchés à 4 près d S 4 t d S 5 rspctivmt E déduir l'cadrmt :,9 d, ) Démotrr qu pour tout rél d [ ; ], o a : = (a) Justifir l'égalité d = ( ) d+ I + () Calculr ( ) d (c) E déduir u cadrmt d I = d d'amplitud strictmt ifériur à + Ercic 4 : Nouvll-Calédoi Nov : 7 poits PARTIE A : rstitutio orgaisé d coaissacs O suppos cous ls résultats suivats : Soit u t v du foctios cotius sur u itrvall [ a; ] avc a< si pour tout [ a;] u ( ) alors ( ) [ u +v ]d= u d+ v d ( ) ( ) ( ) ( ) a a a ( ) d ( ) a u d αu =α u d où α st u omr rél a a Trmial S pag 4 sur 5

15 Fich d'rcics BAC : Calcul Itégral / Démotrr qu si f t g sot du foctios cotius sur u itrvall [ a; ] avc a< t si pour tout d ( ) ( ) alors : ( ) d ( ) [ a; ], f g a f g d PARTIE B : Soit ϕ la foctio défii sur l'itrvall [ [ ) a ;+ par ( ) ϕ = + l (a) Étudir l ss d variatio d la foctio ϕ sur l'itrvall [;+ [ () Calculr ϕ ( ) Démotrr qu l'équatio ( ) = [ ; ] Détrmir u cadrmt d α d'amplitud (c) Détrmir l sig d ϕ ( ) suivat ls valurs d ) Soit f la foctio défii sur l'itrvall [ [ 3 ) O ot ' f la foctio dérivé d f ϕ admt u uiqu solutio α sur l'itrvall f = l + ;+ par ( ) ' ' (a) Calculr f ( ) t motrr qu pour tout o a : ( ) ( ) ϕ f = + ( ) () Déduir d la qustio l ss d variatio d la foctio f sur l'itrvall [;+ [ l (c) Démotrr qu pour tout appartat à l'itrvall [;+ [ o a : f ( ) lim f (d) E déduir ( ) + (a) À l'aid d'u itégratio par partis, motrr qu l d = () O ot C la cour rpréstativ d la foctio f, das u rpèr orthoormé ( O,i, j ) d'uité graphiqu cm Soit A l'air primé cm² du domai compris tr la cour C, l'a ds ascisss t ls droits d'équatio = t = Détrmir u cadrmt d A Trmial S pag 5 sur 5