c. Démontrer par récurrence la conjecture du a)...

Transcription

1 Eercice O cosidère l algorithme suivat : Etrée : u etier aturel. Iitialisatio : Doer à u la valeur iitiale. Traitemet : Tat que u > 0 Affecter à u la valeur u 0. Sortie : Afficher u. Quelle est la valeur affichée e sortie par cet algorithme pour =? Quelle est la valeur affichée e sortie par cet algorithme pour = 5? Eercice O cosidère l algorithme suivat : Etrée : S u etier aturel, N u etier aturel Iitialisatio : Doer à N la valeur iitiale 0. Traitemet : Tat que S < 8000 Affecter à S la valeur S,05. Affecter à N la valeur N + Sortie : Afficher N et S. Appliquer cet algorithme pour S = 6500 O place 6500 à itérêts composés au tau semestriel de 5%. Au bout de combie de semestres le capital acquis sera-t-il de plus de 8000? Que faut-il modifier das l algorithme pour détermier au bout de combie de semestres le capital acquis dépassera 0 000? Eercice : O cosidère l algorithme suivat : VARIABLES A EST_DU_TYPE NOMBRE B EST_DU_TYPE NOMBRE 4 K EST_DU_TYPE NOMBRE 5 U EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 A PREND_LA_VALEUR 0 8 B PREND_LA_VALEUR 9 K PREND_LA_VALEUR 0 TANT_QUE (K<=5) FAIRE DEBUT_TANT_QUE U PREND_LA_VALEUR A+B A PREND_LA_VALEUR B 4 B PREND_LA_VALEUR U 5 K PREND_LA_VALEUR K+ 6 FIN_TANT_QUE 7 AFFICHER U 8 FIN_ALGORITHME. Que fait cet algorithme? L eécuter et préciser le résultat fial affiché (o mettra le détail des étapes et les résultats itermédiaires e les présetat das u tableau par eemple).. Proposer ue relatio de récurrece permettat d illustrer.. Faire tourer l algorithme pour =. Remplir u tableau décrivat l évolutio de u. Que vaut u?. Même chose pour = 4.. Eprimer le terme gééral de u e foctio de sous forme d ue somme. 4. a. U tableur fourit les 9 premiers termes de la suite (u ). A l aide de la troisième lige, doat les 9 premières valeurs de u, cojecturer l epressio de u e foctio de u u b. Motrer que pour tout, u u + = ( u + ( + )) = +. c. Démotrer par récurrece la cojecture du a)... Eercice 5 :. Soit f la foctio défiie par f () = + a. Etudiez le ses de variatio de f. b. Calculer f ( 0) et f (0) c.. Détermier le ombre de solutios de l équatio f () = 0 (justifier). Algorithme VARIABLES : a, b ombres ENTREES : Saisir a, b TRAITEMENT : Si a > b alors c pred la valeur b b pred la valeur a a pred la valeur c Fi Si Si f (b) f (a) 0 Alors Tat que b-a strictemet 0 5 Si f ((a+b)/) f (a) 0 Alors b pred la valeur (a+b)/ Sio a pred la valeur (a+b)/ Fi Si FiTatque Fi SI SORTIES : Afficher a et b a. Que peut-o dire de f (b) et de f (a) lorsque f (b) f (a) 0? b. Que représete par rapport à a et b? c. Que fait cet algorithme? d. Programmer cet algorithme. e. Que se passe-t-il si l utilisateur etre les valeurs a = 0 et b = 0? a = 0 et b =? a = 0 et b =? Eercice 4 : Ue suite u est défiie pour tout aturel o ul. L algorithme ci-dessous permet de calculer so terme d idice. Lire u pred la valeur 0 Pour allat de à u + ( - ) u Fi du Pour. (/) u u Afficher u.

2 Eercice 6 : Soit l algorithme suivat : VARIABLES h EST_DU_TYPE NOMBRE EST_DU_TYPE NOMBRE 4 y EST_DU_TYPE NOMBRE 5 Ma EST_DU_TYPE NOMBRE 6 c EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 LIRE h 9 LIRE 0 LIRE y Ma PREND_LA_VALEUR 0 TANT_QUE (<) FAIRE DEBUT_TANT_QUE 4 PREND_LA_VALEUR +h 5 y PREND_LA_VALEUR *sqrt(-pow(,)) 6 SI (y>ma) ALORS 7 DEBUT_SI 8 Ma PREND_LA_VALEUR y 9 c PREND_LA_VALEUR 0 FIN_SI FIN_TANT_QUE AFFICHER "c = " AFFICHER c 4 AFFICHER "Ma =" 5 AFFICHER Ma 6 FIN_ALGORITHME. A quelle lige peut-o lire la foctio utilisée?. Que fait cet algorithme? A quoi correspod c? Ma?. Programmer l algorithme et idiquer la valeur obteue 4. Quelle lige de cet algorithme, doit-o modifier pour étudier la foctio défiie par f () = l? 5. Soit la foctio défiie sur [ ; ] par f () =, étudier le ses de variatio de cette foctio. Le résultat obteu par l algorithme est-il cohéret avec les résultats théoriques? Eercice 7 : Soit la foctio f défiie sur, par f () = 4 e 0,5 5. O cosidère l algorithme suivat : Etrée : P est u réel strictemet positif Iitialisatio : Doer à X la valeur 0 et à Y la valeur Traitemet : Tat que Y < 0 : Doer à X la valeur X + P Doer à Y la valeur f (X) Sortie : Afficher X P et X a. O etre ue valeur de P égale à 0,. Quelles sot les valeurs affichées e sortie? b. O a fait foctioer l algorithme avec ue certaie valeur de P. O a obteu e sortie les ombres 0,44 et 0,45. Quelle valeur de P avait-o choisie e etrée? c. Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative, même o fructueuse, sera prise e compte das l évaluatio. O etre ue valeur de P égale à 0,00. Quelles sot les valeurs affichées e sortie? Eercice 8 : O suppose que l o dispose d ue foctio f cotiue sur. Etrée : a et b deu réels tel que a<b p u réel positif. Iitialisatio : saisir a, b, p et affecter a à s. Traitemet : Tat que s<b Si f (s) f (s+p) <0 Alors afficher s Fi si Affecter s+p à s Fi tat que. Prévoir ce que cet algorithme va afficher pour ƒ() = ; a = 0 ; b = et p = 0,.. O suppose das cette questio que ƒ() = ; a = 0 ; b = a. Pourquoi cet algorithme s arrête-t-il toujours? Peuto prévoir le ombre maimal d étape qu'il aura à accomplir? b. Epliquer pourquoi il y a qu'ue seule valeur affiché das cet algorithme. Pour quelle(s) valeur(s) de p affiche-t-il 0,? Peut-il afficher 0,?. Epliquer ce que fait cet algorithme e gééral. (f, a, b, quelcoque) Eercice 9 : Das u lycée, u code d accès à la photocopieuse est attribué à chaque professeur. Ce code à quatre chiffres choisis das la liste (0 ; ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9), chaque chiffre pouvat être répété à l itérieur d u même code. e: 007 et Combie de code sot possibles?. Ce code permet aussi de défiir u idetifiat pour l accès au réseau iformatique. L idetifiat est costitué du code précédet et d ue clé calculée avec l algorithme ci dessous, Etrée : N est le code à quatre chiffres Iitialisatio : Affecter à P la valeur de N Affecter à S la valeur 0 Affecter à K la valeur Traitemet : Tat que K 4 Affecter à U le chiffre des uités de P Affecter à K la valeur K +. Affecter à S la valeur S + K U Affecter à P la valeur (P-U)/0 Affecter à R le reste de la divisio euclidiee de S par 7 Affecter à C la valeur 7-R Sortie «la clé» : afficher C. Quelle est la clé associée à l idetifiat 8?

3 Eercice 0 : O cosidère l algorithme suivat : Variable a est du type ombre b est du type ombre c est du type ombre m est du type ombre epsilo est du type ombre début algorithme lire epsilo a pred la valeur 0 b pred la valeur tat que ((b a) > epsilo) Faire début tat que m preds la valeur (a+b)/ si (m -*m +4m-<0) ALORS Debut de si a pred la valeur m Fisi Sio Debut de sio b pred la valeur m fisi sio Fi de tat que afficher a= afficher a afficher b= afficher b fi algorithme Faites tourer à la mai avec epsilo = 0. Eercice Détermier le ombre affiché e sortie de l algorithme cidessous si o le fait foctioer pour =. Etrée a, b, i et sot des etiers Iitialisatio Doer à i la valeur 0 Doer à a la valeur 0 Doer à b la valeur 0 Traitemet Tat que i < : Doer à i la valeur i + ; Doer à a la valeur 46+a. Doer à b la valeur a +b. Sortie Afficher b. Eercice La otatio! désige la factorielle de l etier aturel, c.a.d. le ombre! =... ( ). Par eemple : 4! = 4 = 4 ou 7! = = 5040 Soit la suite (u ) défiie pour tout etier par : u 0 = et u + = u + alors u =...!!!. O peut motrer que lim Soit l algorithme suivat : u = e., ( )! VARIABLES p EST_DU_TYPE NOMBRE EST_DU_TYPE NOMBRE 4 e EST_DU_TYPE NOMBRE 5 EST_DU_TYPE NOMBRE 6 somme EST_DU_TYPE NOMBRE 7 DEBUT_ALGORITHME 8 LIRE p 9 LIRE 0 e PREND_LA_VALEUR ep() PREND_LA_VALEUR 0 somme PREND_LA_VALEUR TANT_QUE (abs(somme-e)>=pow(0,-p)) FAIRE 4 DEBUT_TANT_QUE 5 PREND_LA_VALEUR + 6 somme PREND_LA_VALEUR somme+f() 7 FIN_TANT_QUE 8 AFFICHER "" 9 AFFICHER 0 AFFICHER "Somme" AFFICHER somme FIN_ALGORITHME Foctio umérique utilisée : F()=pow(,)/ALGOBOX_FACTORIELLE(). Que calcule somme?. Quel est le rôle de p?. Faire tourer l algorithme e choisissat p =, et =. Pour quelle valeur de, l algorithme s arrête-t-il? Eercice O cosidère l algorithme suivat : Etrée : u etier aturel. Iitialisatio : Affecter à u la valeur ; Affecter à S la valeur ; Affecter à i la valeur 0. Traitemet : Tat que i < Affecter à u la valeur u + i ; Affecter à S la valeur S +u ; Affecter à i la valeur i +. Sortie : Afficher u ; Afficher S. Justifier que, pour =, l affichage obteu est pour u et pour S Reproduire et compléter le tableau suivat : Valeur de Affichage pour u Affichage pour S

4 CORRECTION Eercice 5 u u Eercice N , 754,5 7900,7 895,8 S Au bout de combie de 5 semestres le capital acquis sera de plus de Chager «Traitemet : Tat que S < 8000» e «Traitemet : Tat que S < 0000» Eercice :. A 0 B 5 K 4 5 U 5 8. u = a + b ; u = u + u a + = b b + = u doc Eercice :. u ( ) = ( ) = 0 U = 8 = 8. Même chose pour = 4. u (4 ) = u 4 = 0 = 5 4. u = ( ) + ( ) = 8 4. a. u = doc u = u u b. Pour tout, u + = u + =. u + ( u + ( + )) ( + ) doc u + = c. La propriété est vraie pour =, u = 0 = u Motros que pour tout de *, la propriété est héréditaire c est à dire que pour tout de *, si u = u + = u + = ( ) u + = + + alors u + = ( ) ( ) doc u + = La propriété est héréditaire doc est vraie pour tout de *. Eercice 4 :. u = ( + ) = 8. u 4 = ( ) = 5 4. u = 4. a. u = b. u + = u + = ( ) ( ) si ( u + ( + )) = ( ) = u +. c. La propriété est vraie pour = : u = 0 = Motros que la propriété est héréditaire, c'est-à-dire que pour tout, si u alors u + = ( ) ( ) u u + = + = + u + = [ ( ) + ] = ( ) La propriété est héréditaire doc est vraie pour tout o ul Eercice 5 :. a. f () = = ( ) 0 f () f b. f ( 0) = 9 98 et f (0) = 4 0 c.. La foctio f est défiie cotiue strictemet croissate sur ] ; 0 ] lim f () = et f (0) > 0 doc l équatio f () = 0 admet ue seule solutio sur ] ; 0 ] La foctio f est défiie cotiue strictemet décroissate sur ] 0 ; [ f (0) > 0 et f () < 0 doc l équatio f () = 0 admet ue seule solutio sur ] 0 ; [ La foctio f est défiie cotiue strictemet croissate sur [ ; + [ +

5 lim f () = + et f () < 0 doc l équatio f () = 0 admet ue seule solutio sur [ ; + [. f s aule trois fois eactemet sur, et 0 < <. a. lorsque f (b) f (a) 0 alors f (b) et de f (a) de siges cotraires doc f état cotiue sur, f s aule au mois ue fois sur [a ; b]. b. est le milieu de [a ; b]. c. L algorithme cherche u ecadremet à 0 5 près de la racie de f sur [a ; b]. d. VARIABLES a EST_DU_TYPE NOMBRE b EST_DU_TYPE NOMBRE 4 c EST_DU_TYPE NOMBRE 5 DEBUT_ALGORITHME 6 LIRE a 7 LIRE b 8 SI (a>b) ALORS 9 DEBUT_SI 0 c PREND_LA_VALEUR b b PREND_LA_VALEUR a a PREND_LA_VALEUR c FIN_SI 4 SI (F(a)*F(b)<=0) ALORS 5 DEBUT_SI 6 TANT_QUE (b-a>pow(0,-5)) FAIRE 7 DEBUT_TANT_QUE 8 SI (F((a+b)/)*F(a)<=0) ALORS 9 DEBUT_SI 0 b PREND_LA_VALEUR (a+b)/ FIN_SI SINON DEBUT_SINON 4 a PREND_LA_VALEUR (a+b)/ 5 FIN_SINON 6 FIN_TANT_QUE 7 FIN_SI 8 AFFICHER "a" 9 AFFICHER a 0 AFFICHER "b" AFFICHER b FIN_ALGORITHME Foctio umérique utilisée : F()=pow(,)-*pow(,)+ e. si l utilisateur etre les valeurs a = 0 et b = 0, l algorithme e revoie qu u ecadremet de etre a =,.7049 et b =,7055 si l utilisateur etre les valeurs a = 0 et b =, l algorithme e revoie qu u ecadremet de etre a = et b = si l utilisateur etre les valeurs a = 0 et b = l algorithme revoie a et b. Eercice 6 : a. O obtiet successivemet doc l algorithme affiche 0,4 et 0,5 y 0 0, 0, , 0,5796 0, 0,5660 0,4 0, ,5 0,60667 b. O a obteu e sortie les ombres 0,44 et 0,45 doc P = 0,45 0,44 P = 0,0 c. O etre ue valeur de P égale à 0,00, les valeurs affichées e sortie sot 0,446 et 0,447 Eercice 7 :. La foctio f () = s aule pour =, f (0,) < 0 et f (0,4) > 0 doc l algorithme affichera 0,.. a. Soit p u réel strictemet positif ; si p, alors l algorithme s arrêtera dès la première étape Si 0 < p <, il eiste u etier tel que p < ( + ) p doc au bout de + étapes l algorithme s arrêtera. b. L algorithme affecte à s la valeur s + p doc il y a qu'ue seule valeur affiché das cet algorithme. Si p = 0,, e partat de a = 0, s pred successivemet les valeurs 0 ; 0, ; 0,4 comme f (0,) f (0,4) < 0, doc l algorithme affichera 0,. Si l algorithme affiche 0,, alors s est obteu e ajoutat u certai ombre de fois p doc p < 0, or 0, + p < et f e s aule qu e doc l algorithme e peut pas afficher 0,.. Par balayage successif des segmets [a ; a + p], [a + p ; a + p] etc. l algorithme cherche sur quel itervalle f (s) f (s + p) < 0 doc sur quel itervalle f s aulera. Eercice 8 :. O a 0 4 possibilités.. N = 8 N P S K U R C 8 Etape Etape Etape 8 8 Etape Etape Doc la clé est Eercice 9 : m = f (a) f (b) f (m) b a 0 0,5-0,65 0 0,5 0,5-0,65-0, 0,5 0,5 0,5 0,75-0, 0,65 0,7 0,5 0,5 0,75 0,5-0, 0,7 0,09 0,5 0,5 0,5 0,85-0, 0,085-0,0 0,065 doc a = 0,5 et b = 0,5 La foctio s aule etre 0,5 et 0,5