CINEMATIQUE : MOUVEMENTS PARTICULIERS

Transcription

1 Cinémaique Analyique CINEMATIQUE : MUVEMENTS PARTICULIERS 1. Mouvemen de ranslaion : Définiions 1.1. Translaion d un solide Tous les poins d'un solide en ranslaion on : - Des rajecoires ideniques - La même viesse. - La même accéléraion 1.2. Viesse v Enre deu insans 1 e 2, nous pouvons définir une viesse moyenne : v moy = 2 1 = 2 1 v moy s eprime en m/s Si l inervalle de emps ( 2 1) devien rès pei, nous obenons, à un insan, la viesse insananée : d( ) ' v ( ) = lim( ) = = ( ) La viesse insananée v s eprime en m/s Par conséquen, la viesse insananée v es la dérivée par rappor au emps de la posiion Accéléraion a dv( ) 2 d ( ) 2 '' En dérivan la viesse insananée, nous obenons l accéléraion : a ( ) = = = ( ) L accéléraion angulaire a s eprime en m/s 2 2. Mouvemen de ranslaion reciligne uniforme 2.1. Rappel Lorsqu un solide S subi un mouvemen de ranslaion (quelconque, reciligne ou circulaire) par rappor à un repère R, ous les poins de ce solide on la même viesse par rappor au repère R Définiion Un mouvemen de ranslaion reciligne uniforme se réalise sans accéléraion ( m/s 2 ) e avec une viesse consane au cours du emps. Il es souven noé M.R.U. Modifié le 22/9/29 (PC) page 1/6

2 Cinémaique Analyique 2.3. Equaions de mouvemen Éudions une voiure qui roule à viesse consane sur une auoroue considérée reciligne. n a : : insan iniial du mouvemen : insan de l'éude : posiion iniiale (en m), à ; v : viesse iniiale (en m/s); () : la posiion (en m) à l insan. rigine du repère Insan () Insan Mouvemen de Translaion Reciligne Uniforme (MRU) Equaions Graphe de l accéléraion a() = v() = v = Ce () = v. + a (m/s 2 ), v son les valeurs de posiion e de viesse à l'insan zéro. Ces valeurs son consanes pendan oue la durée de la phase d'éude. a = Graphe de Viesse Les équaions ci-dessus son vraies si le MRU commence à l insan =s. v v (m /s) v() = v = Ce Remarque : Dans le cas où le mouvemen ne commence pas à = ; les équaions du mouvemen s'écriven : Graphe de Posiion (m) () = v. + a() = v() = v = Consane () = v.(- ) + Modifié le 22/9/29 (PC) page 2/6

3 3. Mouvemen de ranslaion reciligne uniformémen varié Cinémaique Analyique 3.1. Définiion Ce ype de mouvemen ser de modèle à de nombreuses éudes simplifiées. Pour ces mouvemens, l accéléraion rese consane au cours du emps. Il es souven noé M.R.U.V Equaions du mouvemen Reprenons nore même véhicule. Le conduceur décide d écraser (raisonnablemen) l accéléraeur. () Soien : : insan iniial du mouvemen (en s); : la posiion iniiale, à = ; a : l accéléraion de la phase (en m/s 2 ) ; v : la viesse iniiale (en m/s) ; () : la posiion (en m) à l insan. Insan v Insan v() Equaions Graphe de l accéléraion a() = consane v() = a. + v () = 1/2. a. 2 + v. + a a (m/s 2 ) a() = Ce Comme pour le MRU,, v son les valeurs de posiion e de viesse à l'insan zéro. Ces valeurs, comme l'accéléraion, son consanes pendan oue la durée de la phase d'éude. Les équaions ci-dessus son vraies si le MRUV commence à l insan =s. Graphe de viesse v (m/s) v() = a. + v v Remarque : Dans le cas où le mouvemen ne commence pas à = ; les équaions du mouvemen s'écriven : Graphe de posiion (m) a() = a = consane v() = a. ( -)² + v () =1/2.a. ( -)² + v.( -)² + () = 1/2. a. 2 + v. + Modifié le 22/9/29 (PC) page 3/6

4 4. Mouvemen circulaire (ou de roaion) : Définiions Cinémaique Analyique 4.1. Roaion d un solide M2 Insan 2 Pour connaîre, à ou insan, la posiion d un solide indéformable subissan un mouvemen de roaion, il nous suffi de définir sa posiion angulaireθ(). θ θ2=θ( 2) M 1 Insan 1 θ1=θ( 1) 4.2. Viesse angulaire, ou viesse de roaion ω Enre deu insans 1 e 2, nous pouvons définir une viesse angulaire moyenne: ω moy = θ 2 θ1 2 1 = θ ω moy s eprime en rad/s Si l inervalle de emps ( 2 1) devien rès pei, nous obenons, à un insan, la viesse angulaire insananée : ω() = lim( θ ) = dθ() =θ ' () La viesse angulaire ω s eprime en rad/s Par conséquen, la viesse angulaire es la dérivée par rappor au emps de la posiion angulaire Accéléraion angulaire α En dérivan la viesse angulaire, nous obenons l accéléraion angulaire : α() = dω() = d 2 θ() =θ '' () 2 L accéléraion angulaire α s eprime en rad/s 2 Remarque : L analogie avec l éude du mouvemen en ranslaion reciligne es évidene. Nous rerouvons les mêmes grandeurs cinémaiques (posiion, viesse, accéléraion) suivies du erme angulaire. Nous allons donc, de la même façon, éudier des cas pariculiers de mouvemen de roaion. Modifié le 22/9/29 (PC) page 4/6

5 5. Mouvemen circulaire uniforme Cinémaique Analyique 5.1. Définiion L accéléraion angulaire α() es nulle. Ce mouvemen es noé M.C.U Equaions de mouvemen Les équaions d un MCU son : α() = θ () = rad/s2 ω() = ω = Consane θ() = ω.(- ) + θ Si = alors les équaions du MCU deviennen :, ω e θ son les condiions iniiales du mouvemen. α() = rad/s2 ω() = ω = Consane θ() = ω. + θ 6. Mouvemen circulaire uniformémen varié 6.1. Définiion L accéléraion angulaire α() es consane. Ce mouvemen es noé M.C.U.V Equaions de mouvemen Les équaions horaires d un MCUV son : α() = α = Consane ω() = α.(- ) + ω θ() =1/2.α.(- ) 2 + ω.(- ) + θ Si = alors les équaions du MCUV deviennen :, α, ω e θ son les condiions iniiales du mouvemen. α() = Consane ω() = α. + ω θ() = 2 1.α. 2 + ω. + θ Modifié le 22/9/29 (PC) page 5/6

6 Cinémaique Analyique 7. Viesse e Accéléraion d un poin d un solide en mouvemen de roaion Parfois, il nous es nécessaire de s inéresser à un poin M apparenan au solide en roaion Viesse d un poin En dérivan (par rappor au emps) le veceur posiion M (), dans le repère R, nous obenons : V(M S/R) = dm = M.ω(). = r.ω(). R Remarque : puisque ω() a même valeur pour ous les poins du solide, la viesse linéaire V(M S/R) varie linéairemen avec la disance r à l ae de roaion. T (M S / R) V(M S / R) M n _VP 7.2. Accéléraion En dérivan (par rappor au emps) le veceur viesse V(M S/R), dans le repère R, nous obenons : _VN N P θ( ) r=m Γ(M S/R) = dv(m S/R) = r.α(). r.ω 2 ().n R. : angenielle. n : normale Modifié le 22/9/29 (PC) page 6/6