Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés

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1 Fonction exponentielle Résolutions d équations Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : résoudre une équation de la forme Exercice 2 : résoudre une équation de la forme Exercice 3 : résoudre une équation de la forme Exercice 4 : résoudre une équation de la forme Exercice 5 : résoudre une équation en effectuant un changement de variable Exercice 6 : résoudre une équation suivant les valeurs d un paramètre Exercice 7 : résoudre un système bilinéaire à deux inconnues Exercice 8 : résoudre une équation suivant les valeurs d un paramètre Exercice 9 : résoudre une équation à l aide du théorème de bijection 1

2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : 1) 2) 3) Correction de l exercice 1 Retour au menu Rappel : Equation de la forme Soient et deux fonctions définies sur un intervalle (ou une réunion d intervalles). Pour tout réel, si et seulement si. 1) Résolvons dans l équation. Les solutions de l équation sont { }. 2) Résolvons dans l équation. Les solutions de l équation sont { }. 3) Résolvons dans l équation.. Rappel : Racines d un trinôme du second degré Soit le discriminant du trinôme. Alors. 1 er cas : Le trinôme admet une racine réelle double : 2 e cas : Le trinôme admet deux racines réelles distinctes : 3 e cas : Le trinôme n admet aucune racine réelle. 2

3 Soit le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, admet deux racines réelles distinctes : Les solutions de l équation sont { }. 3

4 Exercice 2 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : 1) 2) 3) Correction de l exercice 2 Retour au menu Rappel : Monotonie et signe de la fonction exponentielle La fonction est continue et strictement croissante sur. De plus, pour tout,. 1) Résolvons dans l équation. donc l équation n admet pas de solution dans. On note l ensemble des solutions de l équation. 2) Résolvons dans l équation. et donc, par somme de termes strictement positifs,. L équation n admet donc aucune solution dans. On note l ensemble des solutions de l équation. 3) Résolvons dans l équation. 1 ère méthode : repérer la somme de termes strictement positifs Or, pour tout, et donc, par somme de termes strictement positifs, n admet pas de solution dans. Pour tout réel et pour tout 2 ème méthode : factoriser et repérer le produit de facteurs tous non nuls entier relatif, Or, pour tout, et donc, par somme de termes strictement positifs, l équation n admet pas de solution dans. On note alors l ensemble des solutions de l équation. 4

5 Exercice 3 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : 1) 2) 3) Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) Résolvons dans l équation. Les solutions de l équation sont { }. 2) Résolvons dans l équation. Remarquons tout d abord que existe si et seulement si et. Pour tout { }, Or, { } et { } donc les solutions de l équation sont { }. 3) Résolvons dans l équation. Pour tous réels et, Les solutions de l équation sont { }. 5

6 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile Résoudre dans les équations suivantes : 1) 2) 3) Correction de l exercice 4 Retour au menu Rappel : Fonction exponentielle de base et fonction logarithme népérien Pour tout réel strictement positif,, où désigne la fonction logarithme népérien (bijection réciproque de la fonction exponentielle). 1) Résolvons dans l équation. Les solutions de l équation sont { }. 2) Résolvons dans l équation. Les solutions de l équation sont { }. 3) Résolvons dans l équation. Les solutions de l équation sont { }. 6

7 Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen Résoudre dans l équation. Correction de l exercice 5 Retour au menu Pour tout réel, Effectuons un changement de variable en posant. Alors l équation devient. Par ailleurs, comme pour tout réel, il vient que. Posons le discriminant du trinôme du second degré, d inconnue. Alors donc l équation admet deux solutions réelles : D après ce qui précède, donc seule peut être solution de l équation. Il en résulte que Les solutions de l équation sont { }. Rappel : Valeur absolue d un réel { 7

8 Exercice 6 (1 question) Niveau : moyen Résoudre dans, suivant les valeurs du réel, l équation. Correction de l exercice 6 Retour au menu Soit un réel quelconque. Pour tout réel, Posons. Alors devient avec. Soit le discriminant du trinôme du second degré, d inconnue. Alors. Ainsi, si, et si,. 1) 1 er cas : Si, alors. Le trinôme admet alors une racine réelle double : Ainsi, comme,. Par conséquent, Finalement, si, l équation n admet qu une solution :. 2) 2 ème cas : Si, alors. Le trinôme admet alors deux racines réelles distinctes : 8

9 Si, alors, d où : D une part, si et seulement si, c est-à-dire si et seulement si. Donc, si et, c est-à-dire si, est solution de l équation. Par conséquent, si, D autre part, pour tout, donc est solution de l équation. Par conséquent,. Finalement, si, alors l équation admet deux solutions : et. Et si, l équation n admet qu une solution :. Si, alors, d où : D une part, pour tout, donc est solution de l équation. Par conséquent,. D autre part, si et seulement si, c est-à-dire si et seulement si. Donc, si et, c est-à-dire si, est solution de l équation. Par conséquent, si, Finalement, si, alors l équation admet deux solutions : et. En résumé, d après tout ce qui précède, l équation solutions dans suivant les valeurs de. admet une ou deux Si { }, l unique solution est. Si, les deux solutions sont et. 9

10 Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen Résoudre dans les deux systèmes suivants : 1) { 2) { Correction de l exercice 7 Retour au menu 1) Résolvons dans le système { Rappel : Propriétés des racines d un trinôme du second degré Soit un trinôme du second degré admettant deux racines et. En posant (somme des racines) et (produit des racines), et sont les solutions de l équation. Pour tous réels et, { { { Il s agit donc de trouver deux nombres et, connaissant leur somme et leur produit. Ce sont les solutions de l équation. Autrement dit, il convient de résoudre l équation Soit le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, il résulte que admet deux racines réelles distinctes : Les solutions du système sont donc les couples et. 2) Résolvons dans le système { Pour tous réels et, Pour tous réels et, { { { { 10

11 { { { { { En posant, l équation devient (avec ). Posons le discriminant du trinôme du second degré, d inconnue. Alors. Comme, il résulte que admet deux racines réelles distinctes : Comme,. Comme,. Ainsi, il vient que : { { { { { { { { { { Les solutions du système sont donc les couples et. 11

12 Exercice 8 (1 question) Niveau : difficile Résoudre dans, suivant les valeurs du réel, l équation. Correction de l exercice 8 Retour au menu Soit un réel quelconque. Pour tout réel, Posons. Alors et l équation précédente s écrit. Posons le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Posons le discriminant du trinôme du second degré. Alors Comme, le trinôme admet deux racines réelles distinctes : Ainsi, ( ). Dès lors, étudions le signe de selon les valeurs de. ( ) 1) 1 er cas : Si, alors. Le trinôme admet alors une racine réelle double : 12

13 Comme, il vient que l équation admet une solution : 2) 2 ème cas : Si, alors. Le trinôme admet alors une racine double : Comme, il vient que l équation n admet pas de solution réelle. 3) 3 ème cas : ] [ Si ] [, alors. Le trinôme L équation n admet pas de racine réelle. n admet par conséquent pas de solution réelle. 4) 4 ème cas : ] [ Si ] [, alors. Le trinôme admet deux racines réelles distinctes et telles que : ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Cas où 13

14 Donc, si, alors et. Ainsi, l une des racines du trinôme est nulle et l autre négative. Comme, l équation n admet donc qu une solution. Cas où Donc, si ( ] [), c est-à-dire si, le produit des racines du trinôme est négatif, c est-à-dire que l une des racines de ce trinôme est positive et l autre négative. Comme, l équation n admet donc qu une solution. Or, ( ) ( ( )) Donc la solution positive du trinôme est ( ). Il vient alors que ( ) ( ( )) Cas où Donc, si ( ] [), c est-à-dire si ] [, alors les deux racines du trinôme ont le même signe, celui de leur somme. Donc, deux nouveaux cas sont désormais à distinguer. Cas où Donc, si ( ] [), c est-à-dire si ] [, alors la somme des racines du trinôme est négative. Comme, de surcroît, leur produit est positif, chacune de ces racines est négative. Comme, l équation n admet aucune solution réelle. Cas où Donc, si ( ] [), c est-à-dire si, alors la somme des racines du trinôme est positive. Comme, de surcroît, leur produit est positif, chacune de ces racines est positive. 14

15 L équation admet donc deux solutions réelles distinctes telles que : ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) 15

16 Exercice 9 (2 questions) Niveau : moyen 1) Sans la résoudre, démontrer que l équation admet une unique solution dans. 2) Donner un encadrement de d amplitude. Correction de l exercice 9 Retour au menu 1) Soit la fonction définie par. est la composée de la fonction, définie et continue sur (comme somme de la fonction affine et de la fonction racine carrée), par la fonction, définie et continue sur. Ainsi et est définie sur. Rappel : Dérivée d une fonction composée Soit une fonction dérivable sur un intervalle et soit une fonction dérivable sur. Alors la fonction est dérivable sur et, pour tout,. est dérivable sur comme étant la composée de la fonction, dérivable sur, par la fonction, dérivable sur. Rappel : Dérivée de la fonction exponentielle La fonction est dérivable sur et, pour tout réel,. ( ). est le produit de facteurs strictement positifs donc. Il en découle que est strictement croissante sur. Etudions désormais les limites de variation. aux bornes de son ensemble de définition puis dressons le tableau de La fonction est continue en donc existe et. En outre, et. Donc, par somme, ( ). Par conséquent, par composition des limites,. D où le tableau de variations suivant : 16

17 Montrons désormais que l équation admet une unique solution dans à l aide du théorème de bijection. Rappel : Théorème de bijection Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies), alors, pour tout réel strictement compris entre les limites de en et en, il existe un unique réel de tel que. Monotonie de Intervalle croissante décroissante [ [ ] ] ] ] [ [ ] [ ] [ D après ce qui précède, d une part est croissante sur et, d autre part, (arrondi à près par défaut) et. Comme, d après le théorème de bijection, il existe un unique réel tel que. 2) A l aide de la calculatrice, on trouve par encadrements successifs que (encadrement à près). Remarque : Il est possible, bien entendu, de résoudre l équation. Posons. Alors et l équation à résoudre devient. Posons désormais le discriminant du trinôme du second degré. Alors. Comme, il vient que. Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes : ( ) ( ) 17

18 et donc est l unique solution. Comme, il s ensuit que [ ( )] est l unique solution de l équation. Finalement, ( ). Avec la calculatrice, on trouve, d où l encadrement proposé. 18