Diverses factorisation de matrices

Transcription

1 18 Diverses factorisation de matrices On utilise les notations et dénitions du chapitre Les théorèmes de réduction des matrices Les théorèmes de réduction des matrices (voir le chapitre 17) nous fournissent des factorisations de matrices. Par exemple, une matrice A M n (K) qui est diagonalisable [resp. trigonalisable] s'écrit A = P DP 1 [resp. A = P T P 1 ] avec P GL n (K) et D diagonale [resp. T triangulaire]. La décomposition additive de Dunford-Schwarz d'une matrice inversible (voir le paragraphe 16.5) nous donne une décomposition multiplicative. Dénition 18.1 On dit qu'une matrice U M n (K) est unipotente si la matrice U I n est nilpotente. Théorème 18.1 (Dunford-Schwarz) Soit A GL n (K) telle que son polynôme caractéristique soit scindé sur K. Il existe un unique couple formé d'une matrice inversible diagonalisable D et d'une matrice unipotente U telles que A = DU = UD. Démonstration. On a la décomposition de Dunford-Schwarz A = D + N avec D diagonalisable et N nilpotente qui commute à D. Comme A est inversible, il en est de même de D et on peut écrire que A = D (I n + D 1 N) avec diagonalisable inversible et U = I n + D 1 N nilpotente (pour k N, on a (U I n ) k = (D 1 N) k = (D 1 ) k N k puisque DN = ND, donc D 1 N = ND 1 ) qui commute à D. Si A = DU est une telle décomposition, on a alors, A = D + N avec N = D (U I n ) nilpotente (puisque U I n est nilpotente et commute à D) qui commute à D, ce qui nous donne la décomposition additive de Dunford Schwarz et nous assure de l'unicité de D et de U = D 1 A. Si le corps K est algébriquement clos, on a toujours une décomposition multiplicative de Dunford-Schwarz dans GL n (K). Exercice 18.1 Montrer que, dans la décomposition multiplicative de Dunford-Schwarz d'une matrice inversible, les matrices D et U sont des polynômes en A. Solution 18.1 On utilise les notations du théorème précédent. On sait que dans la décomposition additive de Dunford-Schwarz de A, les matrices D et N sont des polynômes en A. En utilisant le théorème de Cayley-Hamilton, on voit que la matrice D 1 est un polynôme en D, donc un polynôme en A. Il en résulte que U = I n + D 1 N est un polynôme en A. 473

2 474 Diverses factorisation de matrices Exercice 18.2 On suppose K algébriquement clos et de caractéristique nulle. Montrer que A GL n (K) est diagonalisable si, et seulement si, il existe un entier r 1 tel que A r soit diagonalisable. Solution 18.2 On rappelle que, pour K algébriquement clos, on a Sp (A r ) = {λ r λ Sp (A)} (théorème 16.1). Si A est diagonalisable, il en est alors de même de A r pour tout r 1. Réciproquement supposons qu'il existe un entier r 1 tel que A r soit diagonalisable. Comme A r et D r commutent (A r = D r U r = U r D r puisque DU = UD) et sont diagonalisables, ces matrices sont simultanément diagonalisables. Il existe donc P GL n (K) telle que P 1 A r P = diag (λ r 1,, λ r n) et P 1 D r P = diag (λ r 1,, λ r n), où λ 1,, λ n sont les valeurs propres de A et de D (on rappelle que Sp (A) = Sp (D)). De A r = D r U r, on déduit alors que : P diag (λ r 1,, λ r n) P 1 = P diag (λ r 1,, λ r n) P 1 U r et U r = I n. La matrice U est donc annulée par X r 1 et par (X 1) n (elle est unipotente), son polynôme minimal est donc un diviseur de X r 1 et (X 1) n, il divise donc leur pgcd qui vaut X 1. Ce polynôme minimal est donc X 1, ce qui revient à dire que U = I n et A = D est diagonalisable Matrices de dilatation et de transvection. Générateurs de GL n (K) On se reportera au paragraphe 13.1 pour la description des opérations élémentaires et pour les démonstrations des théorèmes. On rappelle qu'une matrice de transvection est une matrice de la forme : T ij (λ) = I n + λe ij avec 1 i j n et λ K et qu'une matrice de dilatation est une matrice de la forme : D i (λ) = I n + (λ 1) E ii avec 1 i n et λ K. Ces matrices peuvent être utilisées pour réaliser des opérations élémentaires : la multiplication à gauche [resp. à droite] par une matrice de dilatation D i (λ) a pour eet de multiplier la ligne i [resp. la colonne i] par λ ; la multiplication à gauche [resp. à droite] par une matrice de transvection T ij (λ) a pour eet de remplacer la ligne L i par L i + λl j [resp. la colonne C j par C j + λc i ]. L'ensemble des matrices de dilatation ou de transvection forme un système générateur du groupe multiplicatif GL n (K). Théorème 18.2 Toute matrice A GL n (K) s'écrit : A = P k D n (λ) où P 1,, P r, Q 1,, Q s sont des matrices de transvection et λ = det (A). Q j

3 Matrices de dilatation et de transvection. Générateurs de GL n (K) 475 On en déduit que le sous-groupe SL n (K) de GL n (K) formé des matrices des déterminant égal à 1 est engendré par l'ensemble des matrices de transvection. On en déduit également les résultats de topologie suivants. Corollaire 18.1 Les groupes SL n (R), SL n (C) et GL n (C) sont connexes par arcs. Démonstration. Soit A SL n (K) pour K = R ou C. Elle s'écrit A = P k Q j où les P k et Q j sont des matrices de transvections. Pour toute matrice de transvection T = T ij (λ) et tout t [0, 1], on note T (t) = T ij (tλ) et on dénit l'application γ : [0, 1] SL n (K) par : t [0, 1], γ (t) = P k (t) Q j (t) Cette application est continue avec γ (0) = I n et γ (1) = A. On a donc ainsi prouvé que SL n (K) est connexe par arcs. Soit A GL n (C). Elle s'écrit A = P k D n (det (A)) Q j où les P k et Q j sont des matrices de transvections. Comme C est connexe par arcs, il existe une application continue φ : [0, 1] C telle que φ (0) = 1 et φ (1) = det (A). L'application γ : [0, 1] GL n (C) dénie par : t [0, 1], γ (t) = P k (t) D n (φ (t)) Q j (t) est alors continue avec γ (0) = I n et γ (1) = A. On a donc ainsi prouvé que GL n (C) est connexe par arcs. Voir aussi l'exercice pour une autre démonstration de la connexité de GL n (C). Corollaire 18.2 Les ensembles GL + n (R) et GL n (R) sont connexes par arcs et ce sont les composantes connexes de GL n (R) (donc GL n (R) n'est pas connexe). Lemme 18.1 Toute matrice de transvection ou de dilatation inversible s'écrit comme produit de matrices diagonalisables inversibles. Démonstration. Une matrice de dilatation inversible D n (λ) est diagonale (avec λ 0). Si T ij (λ) est une matrice de transvection, pour toute matrice diagonale D de termes diagonaux λ i non nuls et deux à deux distincts, la matrice D T ij (λ) est triangulaire avec les mêmes termes diagonaux que D, elle est donc triangulaire avec ses termes diagonaux non nuls et deux à deux distincts, donc diagonalisable inversible et T ij (λ) = D 1 (D T ij (λ)) est produit de deux matrices diagonalisables inversibles. Théorème 18.3 Le groupe multiplicatif GL n (K) est engendré par l'ensemble des matrices diagonalisables inversibles. Démonstration. Toute matrice inversible est produit de matrices de transvection ou de dilatation inversible et chacune de ces matrices est produit de matrices diagonalisables inversibles.

4 476 Diverses factorisation de matrices 18.3 Factorisation LR (ou LU) On se reportera au paragraphe pour les dénitions. Théorème 18.4 Une matrice A GL n (K) admet une décomposition A = LR, où L est une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et R une matrice triangulaire supérieure si, et seulement si, tous les déterminants principaux de A sont non nuls. Lorsqu'elle existe une telle décomposition est unique. Démonstration. Pour la condition nécessaire et susant donnant l'existence d'une telle décomposition, on procède par récurrence sur n 1. Pour n = 1, c'est clair. Supposons le résultat acquis pour n 1 1 et soit A GL n (K) ayant tous les déterminants principaux non nuls. ( ) A1 B On écrit A = 1 avec A 1 M n 1 (K), B 1 M n 1,1 (K), C 1 M 1,n 1 (K) et C 1 a nn a nn K. Comme tous les déterminants principaux de A sont non nuls, on a A 1 GL n 1 (K) avec tous ses déterminants principaux non nuls et a nn K. Par hypothèse de récurrence, il existe L 1 triangulaire inférieure à diagonale unité et R 1 triangulaire supérieure dans GL n 1 (K) telles que A 1 = L 1 R 1. Notons : L = ( L1 0 D 1 1 ), R = ( R1 E 1 0 α où D 1 M 1,n 1 (K), E 1 M n 1,1 (K) et α K sont à déterminer. La matrice L est triangulaire inférieure à diagonale unité et la matrice R est triangulaire supérieure dans GL n (K). L'égalité A = LR équivaut : ( ) ( ) A1 B 1 L1 R = 1 L 1 E 1 C 1 a nn D 1 R 1 α + D 1 E 1 soit à : L 1 E 1 = B 1, D 1 R 1 = C 1, α + D 1 E 1 = a nn Comme L 1 est inversible, le système linéaire L 1 E 1 = B 1 a un unique solution E 1 M n 1,1 (K) = K n 1 et comme R 1 est inversible, le système linéaire D 1 R 1 = C 1, équivalent à t R 1 ( t D 1 ) = t C 1, a un unique solution D 1 M 1,n 1 (K), puis α = a nn D 1 E 1. On a donc ainsi un décomposition LR. Réciproquement si A GL n (K) admet une décomposition LR, alors R est aussi inversible et la décomposition par bloc faite précédemment nous montre que tous les déterminants principaux de A sont non nuls. En eet, det (A) 0 puisque A GL n (K), A 1 = L 1 R 1 est inversible det (R) puisque det (A 1 ) = det (R 1 ) = 0 et tous les déterminants principaux de A 1 sont non α nuls par hypothèse de récurrence. Montrons enn l'unicité d'une telle décomposition quand elle existe. Supposons que A GL n (K) s'écrive A = L 1 R 1 = L 2 R 2 avec L 1, L 2 triangulaires inférieures de diagonale unité et R 1, R 2 triangulaires supérieures. Toutes les matrices considérées étant inversibles, on a L 1 2 L 1 = R 2 R1 1 et cette matrice est à la fois triangulaire inférieure et triangulaire supérieure de diagonale unité, c'est donc la matrice l'identité. Donc L 1 = L 2 et R 1 = R 2. )

5 Factorisation de Cholesky des matrices symétriques réelles dénies positives 477 Au paragraphe 13.4 on donne une démonstration du théorème précédent basée sur la méthode des pivots de Gauss. Dans le cas où la matrice A GL n (K) est symétrique avec tous ses déterminants principaux non nuls, dans la décomposition LR de A, on a det (R) = det (A) 0, donc tous les termes diagonaux de R sont non nuls et on peut écrire R sous la forme R = DR avec D diagonale et R triangulaire supérieure à diagonale unité. On a donc A = LDR et l'égalité t A = A nous donne, compte tenu de l'unicité de la décomposition LR, R = t L. On a donc la décomposition unique A = LD t L, où L est triangulaire inférieure à diagonale unité et D diagonale. Pour K = R, cette décomposition nous donne un moyen de calculer la signature de A et cette matrice est dénie positive si et seulement si tous les coecients de D sont strictement positifs.(voir le paragraphe 13.5) Factorisation de Cholesky des matrices symétriques réelles dénies positives Dans le cas où la matrice A est symétrique réelle dénie positive, la décomposition LD t L permet de montrer le résultat suivant. Théorème 18.5 Une matrice réelle A est symétrique dénie positive si, et seulement si, il existe une matrice B triangulaire inférieure et inversible telle que A = B t B. De plus une telle décomposition est unique si on impose la positivité des coecients diagonaux de la matrice B. Démonstration. Voir le paragraphe On peut retrouver ce théorème en utilisant le procédé de Gram-Schmidt (voir le paragraphe 43.4). Si A est une matrice réelle symétrique dénie positive, elle dénit alors un produit scalaire sur R n : (x, y) R n R n, x y = t xay Le procédé de Gram-Schmidt permet de construire, à partir de la base canonique B 0 = (e i ) 1 i n de R n, une base B = (f i ) 1 i n qui est orthonormée pour ce produit scalaire. Une telle base étant construite comme suit : g 1 = e 1, f 1 = 1 g 1 g 1 g k = e k k 1 e k f j f j, f k = 1 g k g k, (k = 2,, n) La matrice de passage P de B 0 à B est alors triangulaire supérieure de termes diagonaux 1 g k > 0 et la matrice du produit scalaire dans cette base B est alors I n = t P AP, ce qui nous donne A = B t B où B = t P 1 est triangulaire inférieure de termes diagonaux g k > Factorisation QR Pour ce paragraphe K = R. Comme application du théorème de Cholesky, on a le résultat suivant.

6 478 Diverses factorisation de matrices Théorème 18.6 Toute matrice A GL n (R) s'écrit de manière unique A = QR où Q est une matrice orthogonale et R une matrice triangulaire supérieure à coecients diagonaux strictement positifs. Démonstration. Si A GL n (R), la matrice M = t A A est alors symétrique dénie positive et en conséquence admet une décomposition de Cholesky t A A = B t B, où B est triangulaire inférieure de termes diagonaux strictement positifs. La matrice Q = t A 1 B est alors orthogonale. En eet, on a : t QQ = t BA 1 t A 1 B = t B ( t A A ) 1 B = t B ( B t B ) 1 B = t B ( t B ) 1 B 1 B = I n Ce qui nous donne A = QR avec Q = t A 1 B orthogonale et R = t B triangulaire supérieure à coecients diagonaux strictement positifs. S'il existe deux décompositions A = Q 1 R 1 = Q 2 R 2 avec Q 1, Q 2 orthogonales et R 1, R 2 triangulaires supérieures, la matrice = R 1 R2 1 = Q 1 1 Q 2 = t Q 1 Q 2 est triangulaire supérieure orthogonale et 1 = t est à la fois triangulaire supérieure et inférieure, donc diagonale, et orthogonale. Les termes diagonaux de sont donc égaux à ±1. Si on suppose de plus que R 1 et R 2 sont à termes diagonaux strictement positifs il en est de même de et nécessairement = I n, ce qui nous donne R 1 = R 2 et Q 1 = Q 2. D'où l'unicité de la décomposition. Ce théorème peut aussi se montrer en utilisant le procédé de Gram-Schmidt, ce qui donne un moyen plus pratique que la décomposition de Cholesky pour obtenir les matrices Q et R. On se place sur R n muni de sa structure euclidienne canonique : (x, y) R n R n, x y = n x k y k On désigne par B 0 = (e i ) 1 i n la base canonique de R n et par B = (f i ) 1 i n la base de R n formée des vecteurs colonnes de A GL n (R). Le théorème de Gram-Schmidt nous permet de construire une base orthonormée B 1 = (g i ) 1 i n de R n telle que Vect {f 1,, f k } = Vect {g 1,, g k } pour tout k compris entre 1 et n. La matrice de passage P B,B1 de la base B à la base B 1 est triangulaire supérieure et la matrice de passage P B0,B 1 de la base canonique B 0 à la base B 1 est orthogonale. En considérant que A est la matrice de passage P B0,B de la base canonique B 0 à la base B, on a (relation de Chasles pour les matrices de passage) : A = P B0,B = P B0,B 1 P B1,B = QR avec Q = P B0,B 1 orthogonale et R = P B1,B = P 1 B,B 1 triangulaire supérieure de termes diagonaux g k f k > 0. De ce théorème, on déduit la décomposition d'iwasawa. Théorème 18.7 Toute matrice A GL n (R) s'écrit de manière unique A = QDR où Q est une matrice orthogonale, D une matrice diagonale de coecients diagonaux strictement positifs et R une matrice triangulaire supérieure à coecients diagonaux égaux à 1. Démonstration. On a la décomposition A = QR où Q est orthogonale et R triangulaire supérieure à coecients diagonaux strictement positifs. On peut écrire R sous la forme R = DR avec D diagonale à coecients diagonaux strictement positifs et R triangulaire supérieure à diagonale unité. Ce qui nous donne la décomposition A = QDR. L'unicité dans la décomposition QR nous assure l'unicité de cette décomposition.

7 Décomposition polaire Décomposition polaire Du théorème spectral, on déduit l'existence de la racine carrée d'une matrice complexe hermitienne [resp. réelle symétrique] (théorème 22.11), ce qui permet d'obtenir la décomposition polaire d'une matrice complexe ou réelle inversible. Théorème 18.8 Toute matrice A GL n (C) [resp. A GL n (R)] peut s'écrire de manière unique A = UH [resp. A = ΩS] où U [resp. Ω] est une matrice unitaire [resp. orthogonale] et H [resp. S] une matrice hermitienne [resp. symétrique] dénie positive. Démonstration. Voir le corollaire De la densité de GL n (K) dans M n (K) pour K = R ou C, on peut déduire une généralisation à M n (K) du théorème de décomposition polaire des matrices inversibles. Pour ce faire on a besoin du lemme suivant. Lemme 18.2 L'ensemble U n (C) des matrices complexes unitaires [resp. O n (R) des matrices réelles orthogonales] est compact dans M n (C) [resp. dansm n (R)]. Démonstration. Voir le lemme 22.6 pour le cas réel, le cas complexe se traitant de manière analogue. Théorème 18.9 Toute matrice A M n (C) [resp. A M n (R)] peut s'écrire A = UH [resp. A = ΩS] où U [resp. Ω] est une matrice unitaire [resp. orthogonale] et H [resp. S] une matrice hermitienne [resp. symétrique] positive. Démonstration. Voir le théorème pour le cas réel, le cas complexe se traitant de manière analogue. Le théorème de décomposition polaire des matrices inversibles peut s'exprimer comme suit en utilisant la compacité de O n (R). Théorème L'application (U, H) UH [resp. (Ω, S) ΩS] réalise un homéomorphisme de U n (C) H n ++ (C) sur GL n (C) [resp. de O n (R) S ++ (R) sur GL n (R)]. Démonstration. Voir le théorème pour le cas réel, le cas complexe se traitant de manière analogue. Exercice 18.3 On munit l'espace M n (R) du produit scalaire déni par : (A, B) M n (R) M n (R), A B = Tr ( t AB ) (c'est tout simplement le produit scalaire canonique de R n2 identié à M n (R)). Montrer que : d (0, SL n (R)) = n où d (0, SL n (R)) = inf A est la distance de 0 à SL n (R). A SL n (R) Solution 18.3 Toute matrice A M n (R) s'écrit A = ΩS où Ω est orthogonale S symétrique positive et on a : A 2 = Tr ( t AA ) = Tr ( S t ΩΩS ) = Tr ( S 2) n

8 480 Diverses factorisation de matrices Comme S est symétrique réelle, elle se diagonalise dans une base orthonormée, c'est-à-dire qu'il existe P O n (R) telle t P SP = D est diagonale. En notant λ 1,, λ n les valeurs propres (réelles positives) de S, on a : A 2 = Tr ( S 2) = Tr ( D 2) = n λ 2 k En utilisant l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique (voir le paragraphe ) : ( n ) 1 n n λ 2 k 1 n λ 2 k on déduit que : A M n (R), A 2 n ( n λ 2 k ) 1 n = n ( det ( S 2)) 1 n = n ( det ( A 2)) 1 n (on a det (A) = det (Ω) det (S) avec det (Ω) = ±1 et det (A 2 ) = det (A) 2 ) soit : et en particulier : Il en résulte que d (0, SL n (R)) n. Pour A O + n (R) SL n (R), on a : donc d (0, SL n (R)) n et on a l'égalité. A M n (R), A n det (A) 1 n A SL n (R), A n A 2 = Tr ( t AA ) = Tr (I n ) = n