Matrices. 1 Structure d espace vectoriel sur l ensemble des matrices

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1 Matrices Structure d espace vectoriel sur l ensemble des matrices Soient K un corps (i.e. R où C), m,n N. Une matrice de type (m,n) à coefficients dans K est la donnée de mn éléments de K. On représentera une matrice sous la forme d un tableau n colonnes { }} { a, a,2... a,n m lignes a m, a m,2... a m,n Exemple : la matrice 0 n colonnes { }} { m lignes qui est appelée la matrice nulle. Lorsque m = n, les matrices de type (m,n) seront appelées matrices carrées d ordre n. Exemple : La matrice I n = appelée matrice identité. Plus généralement, une matrice de la forme est appelée matrice diagonale. α α α n

2 Une matrice de la forme a, a,2 a,3 a,n 0 a 2,2 a 2,3 a 2,n a n,n est appelée matrice triangulaire supérieure. Nous allons maintenant définir une addition et une multiplication par un scalaire sur l ensemble M m,n (K) des matrices de type (m,n) à coefficients dans K. Soient A et B deux éléments de M m,n (K). Écrivons A = (a i,j ) i m, j n et B = (b i,j ) i m, j n. On définit A+B comme étant la matrice (a i,j +b i,j ) i m, j n comme pour les vecteurs, on fait l addition coordonnée par coordonnée, en particulier, il faut que les deux matrices aient même type. Pour tout λ K, on notera λa la matrice (λa i,j ) i m, j n. On multiplie chaque coordonnées par λ. proposition. Le triplet (M m,n (K), +,.) est un K-espace vectoriel d élément neutre la matrice nulle. Preuve : Exercice. 2 Multiplication de matrices Donnons-nous une matrice A de type (m,n) et une matrice B de type (n,p). Nous allons définir le produit A.B. Écrivons A = (a i,j ) i m, j n et B = (b j,k ) j n, k p. On définit A.B comme une matrice de type (m,p) égale (c i,k ) i m, k p avec c i,k = n j= a i,j.b j,k Formellement, on l écrit sous la forme suivante : a, a,2... a,n a m, a m,2... a m,n b, b,2... b,p b n, b n,2... b n,p c, c,2... c,p c m, c m,2... c m,p Pour calculer c, on va utiliser les coefficients de A qui sont dans la même ligne, et les coefficients de B qui sont dans la même colonne. c, = a,.b, + a,2.b 2, + a,3.b 3,

3 Exemple ( ) ( 0 2 ) proposition 2. La multiplication de matrices vérifie les propriétés suivantes. Pour toute matrice A de type (m,n), toute matrice B de type (n,p) et tout scalaire λ on a A.(λB) = λ(ab) = (λa)b. 2. Pour toutes matrices A,B de type (m,n) et toute matrice C de type (n,p) on a (A + B).C = A.C + B.C (disctributivité à gauche). 3. Pour toute matrice A de type (m,n) et toutes matrices B,C de type (n,p) on a A.(B + C) = A.B + A.C (dictributivité à droite. 4. Pour toute matrice A de type (m,n), toute matrice B de type (n,p) et toute matrice C de type (p, q) on a A.(B.C) = (A.B).C (associativité). 5. Pour toute matrice A de type (m,n) on a I m.a = A.I n = A. Preuve : : Exercice, ou second semestre. ATTENTION : En général, si on a une matrice A de type (m,n) et une matrice B de type (n,p) alors on peut parler de A.B mais pas de B.A en général. Pour cela, il faut que p = n. Exemple : Prenons A = A.B est une matrice de type (3, 3) A.B = et B = tandis que B.A est une matrice de type (4, 4) B = Alors Même lorsque m = n = p (auquel cas A.B et B.A sont deux matrices de type (m,m),( i.e. matrice ) carrée( d ordre m) ) on n a pas égalité en général 2 2 Si A = et B = 3 4 ( ) 3 ( ) Alors A.B = et B.A =

4 3 Quelques objets associés à une matrice Soit M M m,n (K). On définit alors une application linéaire f M : K n K m par f M (X) = MX. Les propriétés du produit de matrice vues ci-dessus font que cette application est linéaire. Vous verrez au second semestre que ce procédé est en fait réversible : à toute application linéaire on peut associer une matrice. L étude des applications linéaires peut ainsi se ramener à l étude des matrices. Définissons maintenant un sous-ensemble de K n par K M = {X K n MX = 0 K m}. L ensemble K M est alors un sous-espace vectoriel de K n. Exemple : Si M = (, 2, 3) alors K M = {( x//y//z ) x + 2y + 3z = 0 }. Une telle représentation d un espace est appelée représentation implicite. L avantage d une telle représentation est qu il est aisé de vérifier si un vecteur donné appartient à cet espace vectoriel (il suffit de le multiplié à gauche par la matrice M), il est toutefois plus compliqué de trouver de tels vecteurs (car il faut résoudre un système linéaire). Définissons maintenant un sous-ensemble de K m par I M = {Y K m Y K n tel que X = MY }. Utilisant de nouveau les propriétés du produit de matrices, on montre que cet ensemble est un sous-espace vectoriel. Exemple : considérons la matrice On a alors I M = P = x + 4y 2x + 5y 3x + 6y ,x,y K Une telle représentation est appellée représentation paramétrique. Avec une telle description, il est asié de produire des vecteurs (remplacé les x,y par des valeurs) mais plus difficile de tester si un vecteur particulier est dans le sous-espace vectoriel. 4

5 Il peut donc etre utile de passer d une représentation à l autre, ce qui peut se faire à l aide du pivot( de Gauss. ) 4 4 Exemple : Soit M =. Donner une représentation paramétrique de K M. Soit P = Inverse d une matrice. Donner une représentation implicite de I P. Definition. Soit A une matrice carrée de type (n,n). On dira que A est inversible s il existe une matrice carrée de type (n,n) telle que B.A = A.B = I n. La matrice B est alors appelé l inverse de A. proposition 3. Soit A une matrice carrée inversible de type (n,n) et M une matrice de type (n,m). Si A.M = 0 alors M = 0 Preuve : Notons B l inverse de A et multiplions à gauche par B. On a donc B.A.M = 0 (l ordre dans lequel on multiplie est égal car la multiplication est associative). Or B.A = I n et I n.m = M, on trouve donc le résultat. On prendra garde au fait que si A n est pas inversible, alors ce résultat est faux Exemple : ( ) ( proposition 4. Soit A une matrice carrée d ordre n. Notons f,...,f n les vecteurs obtenus à partir des lignes de A. Alors la matrice A est inversible seulement si la famille f,...,f n est une base (ou, de manière équivalente, si f,...,f n est libre où génératrice). Dans les faits, si e,...,e n désigne la base canonique, on a f i = A.e i Preuve : Supposons la matrice inversible. Nous allons montrer que la famille f i est libre. Pour cela, supposons avoir une combinaison linéaire nulle i λ if i = 0. Par définition, on a donc ) 0 = i λ i A.e i = i A.(λ i e i ) = A.( i λ i e i ) D après la proposition précédente, on trouve que i λ ie i = 0 mais comme les e i forment une base (en particulier une famille libre) on trouve que pour tout i λ i = 0. Nous verrons plus tard que la réciproque de cette proposition est vraie. 5

6 Soit A = (a i,j ) i,j une matrice. Pour calculer un inverse (s il existe) on procède de la manière suivante : Le fait est que si A possède un inverse B et qu on a AX = Y alors on aura x x 2 BY = BAX = X. On prend donc un vecteur quelconque X = et un. x n y y 2 vecteur Y = et on cherche B tel que BX = Y. On essaie de résoudre. y n A.X = Y en utilisant le pivot de Gauss. Au début, on aura donc a, x + a,2 x a,n x n = y a 2, x 2 + a 2,2 x a 2,n x n = y 2. =. a n, x n + a n,2 x a n,n x n = y n Après l avoir mis sous la forme triangulaire, on trouvera b, x + b,2 x b,n x n = c, y + c,2 y c,n y n b 2,2 x b 2,n x n = c 2, y + c 2,2 y c 2,n y n. =. b n,n x n = c n, y + c n,2 y c n,n y n et si tous les éléments de la diagonale sont non nuls, alors on pourra résoudre. Si l un des éléments de la diagonale est nul alors on ne pourra pas résoudre et donc la matrice n est pas inversible. On se place donc dans le cas ou tous les éléments diagonaux sont non nuls et on fini la résolution du système. On obtient donc finalement x = d, y + d,2 y d,n y n x 2 = d 2, y + d 2,2 y d 2,n y n. =. = d n, y n + d n,2 y d n,n y n x n les d i,j sont alors les entrées de la matrice inverse de A. Exemple : calculer l inverse de la matrice

7 5 Déterminant des matrices d ordres 2 et 3 Il existe un moyen très simple de savoir si une matrice est inversible. Pour toute matrice carrée A, nous pouvons associer un nombre det(a) K qui est non nul si et seulement si la matrice est inversible. Nous allons voir maintenant le déterminant des matrices d ordres 2 et 3. Prenons l exemple d une matrice carrée de type 2, 2 de la forme A = qu on cherche à inverser. On écrit donc le système { ax + bx 2 = y cx + dx 2 = y 2 ( a b c d Supposons que a 0, on peut donc prendre a comme pivot et on obtient le système { ax + bx 2 = y ad bcx 2 = ay 2 cy L 2 < al 2 cl Ainsi, d après la théorie générale, la matrice sera inversible si et seulement si ad bc 0. Si a = 0, alors on peut réecrire le système sous la forme { cx + dx 2 = y 2 bx 2 = y et le système est inversible si et seulement si b 0 et c 0. Ce qui équivaut à dire que bc = ad bc 0. Dans tout les cas, on voit que la matrice A est inversible si et seulement si ad bc 0. Le nombre ad bc est appelé déterminant de l a matrice A et est noté det(a). Prenons maintenant une matrice carré d ordre 3. a b c A = d e f qu on cherche à inverser. g h i On écrit donc le système ax + bx 2 + cx 3 = y dx + ex 2 + fx 3 = y 2 gx + hx 2 + ix 3 = y 3 Comme précédement, supposons a 0, on obtient alors le système ax + bx 2 + cx 3 = y (ae bd)x 2 + (af cd)x 3 = ay 2 dy L 2 < al 2 dl (ah bg)x 2 + (ai cg)x 3 = ay 3 gy L 3 < al 3 gl 7 )

8 Supposons maintenant que (ae bd) 0, on peut donc le prendre pour pivot et on obtient le système ax + bx 2 + cx 3 = y (ae bd)x 2 + (af cd)x 3 = ay 2 dy ((ae bd)(ai cg) (af cd)(ah bg))x 3 = (ae bd)(ay 3 gy ) (ah bg)(ay 2 dy ) L 3 < (ae bd)l 3 (ah bg)l 2 Donc la matrice est inversible si et seulement si le terme en bas à droite est inversible. En mettant tout sous le même dénominateur, et en simplifiant par a 0 on obtient que la matrice est inversible si et seulement si a(fj gi) e(bj ci) + h(bg cf) 0 on notera det(a) la quantité a(fj gi) e(bj ci) + h(bg cf). On montre que dans les autres cas (par exemple a = 0) la condition est la même. 6 Matrice de passage Soit E un espace vectoriel de dimension n sur K. Prenons e = (e,...,e n ) et f = (f,...,f n ) deux bases. Tout vecteur X E peut s écrire sous la forme X = i λ ie i = j µ jf j. Les (λ i ) s apellent les coordonnées de X dans la base e et les µ j sont les coordonnées de X dans la base f. Nous souhaitons voir comment passer des coordonnées dans la base e aux coordonnées dans la base f. Pour cela, écrivons pour tout j f j = i α i,je i. On a alors X = j = j = i,j = i µ j f j () µ j α i,j e i (2) i µ j α i,j e i (3) ( α i,j µ j )e i (4) j Par unicité de la décomposition comme combinaison linéaire, on trouve que λ i = j α i,jµ j. Posons P = (α i,j ) et notons Λ le vecteur colonne de coordonnées λ i et M le vecteur colonne de coordonnées µ j. On voit alors que Λ = P.M. Donc la matrice P permet de passer des coordonnées dans la base f j aux coordonnées dans la base e i. Nous la noterons P f,e. C est la matrice de passage de e à f (les colonnes de la matrice P f,e sont les coordonnées des f j dans la base e. 8

9 Attention, P f,e mulitiplié par des coordonnées dans f donne des coordonnées dans e. proposition 5. Soient E un espace vectoriel de dimentsion n et e, f, g trois bases de E. i) P e,e = I n ii) P f,g P e,f = P e,g iii) P e,f P f,e = I n en particulier, P e,f = P f,e. Exemple : trouver les matrices de passage pour les bases e = 0 2,e 3 = 2 et f = 3 2,f 2 = 5 3,f 3 = En calculant les décompositions des vecteurs f i dans la base e on trouve f = 4e + 4e 2 + e 3, f 2 = 20e 3 + 7e 2 + 5e 3 3 et f 3 = 5e + 5e 2 + e /3 5 On peut donc écrire la matrice P f,e = / ,e 2 = Si le vecteur (x,y,z) représente les coordonnées d un vecteur u dans la base f alors P f,e représente les coordonnées de u dans la base e. Par exemple P f,e (, 0, 0) = (4, 4, ) et ce sont les coordonnées de f dans la base e. En inversant la matrice, on trouve que P f,e = Et on a P e,f (, 0, 0) = (4, 3, ) et 4f 3f 2 +f 3 = (, 2, ) donc on a bien obtenu les coordonnées de e dans la base f (sachant que (, 0, 0) sont les coordonnées de e dans la base e. 7 Transposée d une matrice Soit A une matrice de type (m,n), A = (a i,j ) i m, j n. On appelle transposée de A et on note t A la matrice de type (n,m) définie par t A = (a i,j ) j n, i m. proposition 6. i) Soit A une matrice de type (m,n). alors tt A = A. ii) Pour toutes matrice A et B de type (m,n) on a t (A + B) = t A + t B. iii) Pour toute matrice A de type (m,n) et toute matrice B de type (n,p) on a t (AB) = t B t A. 9

10 iv) Pour toute matrice carrée A d ordre m on a t (A ) = ( t A) Preuve : La première assertion est évidente. Passons à la deuxième A = (a i,j ), B = (b j,k ), AB = ( j a i,jb j,k ) et t B t A = ( j b k,ja j,i ). Pour la dernière assertion, on remarque que t I n = I n et donc le résultat découle de l assertion précédente. 8 Produit scalaire et produit vectoriel Utilisant la transposée, on peut définir une application R n R n R par (u,v) u.v := t uv R Les propriétés connues du produit de matrices et de la transposée nous donne proposition 7. Pour tout u,u,v R n et tout λ R on a i) u.v = v.u ii) (λu + u ).v = λu.v + u.v. Cette définition fonctionne pour tout n. Pour définir le produit vectoriel, on se place dans R 3 et on le définit coordonnée par coordonnée. Si u = (x,y,z) et u = (x,y,z ) alors on définit u u = (yz zy,zx xz,xy yx ) On a les propriétés suivantes proposition 8. Pour tout u,u,v R n et tout λ R on a i) u v = v u ii) (λu + u ) v = λu v + u v. x x a iii) (u u ).v = det y y b z z c iv) u u = (0, 0, 0) si et seulement si u et u sont colinéaires (ce qui équivaut à dire que {u,u } est une famille liée). 0