Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22...
|
|
- Eléonore Durand
- il y a 7 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij, 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q sont réels (ou complexes) et s appellent les coefficients de la matrice A Le réel a ij est le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne La matrice A s écrit également sous la forme A (a ij ) 16i6p matrice (p, q) à coefficients dans R (p, q) est la taille (ou la dimension) de la matrice A On note M(p, q, R) l ensemble des matrices (p, q) Remarque Deux matrices A (a ij ) 16i6p, A 0 (a 0 ij ) 16i6p 0 0 seulement si p p 0, q q 0 et a ij a 0 ij, 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q Exemple La matrice A (ij + 1) 16i63 est la matrice suivante 16j On dira que A est une sont égales si et Définition 12 La diagonale de A est l ensemble des coefficients a ii avec 1 6 i 6 min(p, q) Définition 13 On dit qu une matrice (p, q) est carrée si p q On note M p (R) l ensemble des matrices carrées (p, p) Définition 14 Une matrice ligne est une matrice de la forme (a 11,, a 1q ) Définition 1 Une matrice colonne est de la forme a p1 a 11 a 21
2 2 Chapitre 3 Matrices Définition 16 La matrice nulle de M(p, q, R) est 0 (p,q) coefficients sont nuls la matrice dont tous les Définition 17 La matrice identité de M(p, R), notée Id ou parfois I p, est la matrice carrée definie par a ii 1 et a ij 0 pour i 6 j 2 Multiplication par un scalaire et somme de deux matrices Définition 21 Soient λ R et A (a ij ) M(p, q, R) Alors λa est la matrice de M(p, q, R) définie par λa (λa ij ) µ µ λ 3λ λ Exemple λ λ 0 λ Remarque On a 1A A Proposition 22 La multiplication par un scalaire est associative : λ, µ R, A M(p, q, R), λ(µa) (λµ)a Définition 23 Soient A (a ij ), B (b ij ) M(p, q, R) A + B est alors la matrice de M(p, q, R) définie par A + B (a ij + b ij ) Remarque µ On ne peut additionner µ que des matrices µ de même taille Exemple On note A ( 1)A, de sorte que A B A + ( B) Proposition 24 1) + est associative : A, B, C M(p, q, R), (A+B)+C A+(B+C) 2) 0 (p,q) est élément neutre : A M(p, q, R), A + 0 (p,q) 0 (p,q) + A 3) Pour tout A M(p, q, R), il existe un opposé qui est A : A + ( A) 0 (p,q) 4) + est commutative A, B M(p, q, R), A + B B + A Proposition 2 La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes 1) Distributivité par rapport à l addition des matrices : λ R, A, B M(p, q, R), λ(a + B) λa + λb 2) Distributivité par rapport à l addition des scalaires : λ, µ R, A M(p, q, R), (λ + µ)a λa + µa
3 3 Produit de deux matrices 3 Corollaire 26 M(p, q, R) muni de l addition des matrices et de la multiplication des matrices par un scalaire est un espace vectoriel sur R de dimension pq Preuve D après les Proposition 22, Proposition 24 et Proposition 2, M(p, q, R) est un espace vectoriel Pour 1 6 i 6 p, 1 6 j 6 q, soit E ij la matrice (p, q) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui de la i-ème ligne, j-ème colonne qui est égal à 1 Les matrices E ij forment une base de M(p, q, R) En effet, si A (a ij ), alors A P 16i6p C est un système libre car A P 16i6p nulle c est-à-dire a ij i 6 p, 1 6 j 6 q a ij E ij, les E ij forment un système générateur a ij E ij 0, si et seulement si (a ij ) est la matrice 3 Produit de deux matrices Définition 31 Soient A (a ij ) M(p, q, R) et B (b ij ) M(q, r, R) Alors le produit AB est la matrice de M(p, r, R) dont les coefficients (c ik ) 16i6p vérifient 16k6r c ik qx a ij b jk Remarque On ne peut faire le produit de A par B que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B Un moyen mnémotechnique pour calculer le produit de deux matrices On représente le calcul sous forme d un tableau de matrices Par exemple pour calculer le produit de deux matrices (2, 2) µ µ a11 a 12 b11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22, on écrit : µ b11 b 12 b 21 b 22 µ µ a11 a 12 a11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 Pour effectuer le calcul a 21 a 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b , on l écrit sous la forme
4 4 Chapitre 3 Matrices Remarque Soient A M(p, q, R) et B M(q, r, R) Si on peut effectuer le produit AB, on ne peut pas forcément faire le produit BA Il faudrait pour cela que r p Si c est le cas on n a pas toujours AB BA comme on peut le vérifier dans les deux exemples suivants : µ µ mais 1 3 µ De même pour un exemple de produit de deux matrices carrées : µ µ µ mais µ µ µ Propriétés du produit matriciel Proposition 41 (1) A M(p, q, R), 0 (r,p) A 0 (r,q) et A0 q,r 0 (p,r) (2) A M(p, q, R), I p A AI q A 3) A M(p, q, R), B M(q, r, R), λ R, λ(ab) (λa)b A(λB) (4) Le produit est distributif à droite et à gauche par rapport à l addition A, B M(p, q, R), C M(q, rr), (A + B)C AC + BC A M(p, q, R), B, C M(q, r, R), A(B + C) AB + AC Théorème 42 La multiplication des matrices est associative : A M(p, q, R) B M(q, r, R), C M(r, s, R), (AB)C A(BC) Preuve Posons A (a ij ) 16i6p, B (b jk ) 16k6r On a alors AB (α ik ) 16i6p 16k6r et C (c kl ) 16k6r 16`6s M(p, r, R) et BC (β j`) 16`6s On va montrer que les matrices (AB)C (m i`) 16i6p 16`6s égales On a en intervertissant les différents symboles de sommation : M(q, s, R) et A(BC) (n i`) 16i6p 16`6s sont m i` rx rx X q α ik c k` a ij b jk c k` k1 rx k1 qx k1 qx a ij b jk c k` a ij rx b jk c k` qx k1 k1 rx a ij b jk c k` qx a ij β j` n il Ainsi 1 6 i 6 p, 1 6 ` 6 s, m i` n i`, donc (AB)C A(BC)
5 Matrices carrées et inverses Matrices carrées et inverses Toutes les opérations définies jusqu ici sont des opérations internes dans M(p, R) : A, B M(p, R), λ R, λa M(p, R), A + B M(p, R), AB M(p, R) Définition 1 Pour m N et A M(p, R), on définit A m de la manière suivante : A 1 A, et pour m > 1, A m+1 A m A, puis par convention A 0 Id Remarque Si m, n N, alors A m+n A m A n Définition 2 Soit A M(p, R) On dit que A est inversible s il existe B M(p, R) tel que AB Id BA Proposition 3 Si A M(p, R) est inversible alors il n existe qu une seule matrice B vérifiant AB Id BA Cette matrice s appelle l inverse de A et est notée A 1 Preuve Soient B, C M(p, R) telles que AB BA Id AC CA Alors B BId B(AC) (BA)C IdC C Proposition 4 Soient A et B deux matrices inversibles de M(p, R) Alors AB est inversible et (AB) 1 B 1 A 1 Preuve On a (AB)(B 1 A 1 ) A(BB 1 )A 1 Id De même on vérifie que (B 1 A 1 )AB Id Cela prouve que AB est inversible d inverse B 1 A 1 Définition Pour toute matrice carrée inversible A M(p, R), on pose A m (A 1 ) m Remarque Si A est inversible, alors m, n Z, A m+n A m A n Définition 6 Une matrice carrée A M(p, R) est dite diagonale si tous ses éléments hors de la diagonale sont nuls C est-à-dire λ A λ p λ µ Proposition 7 Soient A 0 et B λ p 0 0 µ p Alors AB est diagonale, λ 1 µ AB BA λ p µ p
6 6 Chapitre 3 Matrices Proposition 8 Une matrice carrée de M(p, R) est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure) si tous ses éléments au dessous (resp au dessus) de la diagonale sont nuls De plus, elle sera dite triangulaire supérieure stricte (resp triangulaire inférieure stricte) si elle est triangulaire supérieure (resp triangulaire inférieure) et si les éléments de la diagonale sont nuls Exemples est triangulaire supérieure, est triangulaire supérieure stricte, est triangulaire inférieure et est triangulaire inférieure stricte Remarque Soit A (a ij ) 16i,j6p M(p, R) A est triangulaire supérieure si et seulement si a ij 0 pour i > j, triangulaire supérieure stricte si et seulement si a ij 0 pour i > j Proposition 9 Soient A et B deux matrices triangulaires supérieures Alors AB est triangulaire supérieure Preuve On pose A (a ij ) 16i,j6p et B (b jk ) 16j,k6p Soit C (c i,k ) 16i,k6p AB D après la remarque précédente, il suffit de montrer que c ik 0 pour i > k : c ik px a ij b jk kx a ij b jk + px jk+1 a ij b jk Dans la première somme j 6 k < i donc a ij 0 : P k a ijb jk 0 Dans la deuxième somme, j > k donc b jk 0 : P p jk+1 a ijb jk 0 Donc c ik 0 pour i > k, C est une matrice triangulaire supérieure 6 Transposée d une matrice Définition 61 Soit A M(p, q, R), A (a ij ) 16i6p On appelle transposée de A et on note t A, la matrice de M(q, p, R) définie par t A (b ij ) 16i6q et b ij a ji 16j6p On échange les lignes avec les colonnes t x 1 Exemples (x 1,, x n ), t µ x n 1 2 Proposition 62 On a (1) A M(p, q, R), t ( t A) A (2) A, B M(p, q, R), λ, µ R, t (λa + µb) λ t A + µ t B (3) A M(p, q, R), B M(q, r, R), t (AB) t B t A (4) A M(p, R) inversible, t A est inversible et ( t A) 1 t (A 1 )
7 8 Matrices et systèmes linéaires 7 7 Pivot de Gauss et rang d une matrice Soit A de A a 11 a 1q Soient C 1,, C q les colonnes de A et L 1,, L p les lignes a p1 a pq Définition 71 On appelle opération élémentaire sur les colonnes de A : l échange de deux colonnes de A (opération de type 1) ; le remplacement d une colonne C j par C j + λc i avec j 6 i (opération de type 2) ; le remplacement d une colonne C i par µc i avec µ 6 0 (opération de type 3) De même on a : Définition 72 On appelle opération élémentaire sur les lignes de A : l échange de deux lignes de A (opération de type 1) ; le remplacement d une colonne L j par L j + λl i avec j 6 i (opération de type 2) ; le remplacement d une colonne L i par µl i avec µ 6 0 (opération de type 3) Proposition 73 Soit A (a ij ) 16i6p M(p, q, R) (1) Il existe un nombre fini d opérations sur les colonnes, de type 1 et 2 qui transforment A en une matrice A 0 telle que A 0 (a 0 ij ) avec a0 ij 0 si i > j En particulier si A est une matrice carrée, A 0 est triangulaire supérieure (2) Il existe un nombre fini d opérations sur les lignes, de type 1 et 2 qui transforment A en une matrice A 0 telle que A 0 (a 0 ij ) avec a0 ij 0 si i > j La preuve consiste à appliquer la méthode du pivot Définition 74 On appelle rang d une matrice le nombre de pivots obtenus après avoir effectué un pivot de Gauss sur les lignes ou sur les colonnes On le note rg(a) On admet que ce nombre ne dépend pas du choix des pivots Théorème 7 A M(n, R) est inversible si et seulement si rg(a) n 8 Matrices et systèmes linéaires Soit (S) un système linéaire de p équations à q inconnues a 11 x a 1q x q y 1 a 21 x a 2q x q y 2 (S) a p1 x a pq x q y p Ce système se réécrit sous la forme AX Y où A (a ij ) 16i6p est la matrice du système, x 1 X est la colonne des inconnues et Y x q y 1 y p est la colonne des constantes Définition 81 On appelle rang du système (S), le rang de la matrice du système
8 8 Chapitre 3 Matrices Proposition 82 Avec les notations ci-dessus, le système AX Y a une solution si et seulement si a 11 a 1q y 1 rg rg(a) a p1 a pq y p Proposition 83 Soient A M(p, q, R) et Y R p Soit X 0 une solution de AX 0 Y X 0 est alors appelée solution particulière X est solution de (S) si et seulement si X X 0 + X H où X H est une solution de AX H 0 9 Calcul de l inverse d une matrice Théorème 91 Soit A M(p, R) A est inversible si et seulement si rg(a) p Lorsque A est inversible, en faisant un pivot total sur les lignes de A, on peut transformer λ A en une matrice de la forme A En divisant chaque ligne par 0 0 λ pp λ ii on obtient Id Pour calculer l inverse (quand il existe) d une matrice A, il suffit d effectuer sur les lignes de la matrice identité les mêmes opérations élémentaires qui ont été faites sur A pour obtenir l identité Exemple A On écrit dans un tableau la matrice A et celle de Id puis on applique la méthode du pivot sur les lignes de A Ensuite on échange les deux dernières lignes On obtient A
9 10 Matrice d un système de vecteurs et matrices de passage 9 10 Matrice d un système de vecteurs et matrices de passage Soient E un espace vectoriel sur R de dimension finie et B (e 1,, e n ) une base de E Alors pour tout x E, il existe un unique n-uplet (x 1,, x n ) tel que x P n i1 x ie i x 1 Notons X les coordonnées de x dans B x n Soient (u 1,, u p ) un système de vecteures de E et X 1 x 11 x n1,, X p x 1p x np, les coordonnées dans B de u 1,, u p On appelle matrice du système de vecteurs (u 1,, u p ) x 11 x 1p dans la base B la matrice On la note mat B (u 1,, u p ) x n1 x np Définition 101 Soit E un espace vectoriel sur R et soient B (e 1,, e n ) et B 0 (f 1,, f n ) deux bases de E La matrice de changement de base de B à B 0 est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs f j dans la base B Exemple : E R 3, B (e 1, e 2, e 3 ) la base canonique de E Soit B 0 (f 1, f 2, f 3 ) avec f 1 e 1 + e 2 + e 3, f 2 e 2 e 3, f 3 e 2 La matrice de passage de B à B 0 est alors Théorème 102 Soit E un espace vectoriel sur R et soient B (e 1,, e n ) et B 0 (f 1,, f n ) deux bases de E Soit x E Notons X les coordonnées de x dans B et X 0 les coordonnées de x dans B 0 Si P est la matrice de passage de B à B 0, on a alors la formule : P X 0 X x 1 Preuve Notons X et X 0 x n (10 1) x x 0 1 x 0 n x i e i i1 On a alors x 0 jf j Si P (a ij ) 16i,j6n alors pour tout 1 6 j 6 n on a f j P n i1 a ije i On reporte cela dans (10 1) : x x i e i x 0 jf j i1 x 0 j i1 a ij e i X n x 0 ja ij e i, i1
10 10 Chapitre 3 Matrices où dans la ligne précédente on a intervertit les sommes En identifiant les coordonnées dans la base B, on obtient pour tout 1 6 i 6 n la formule : c est-à-dire : P X 0 X x i a ij x 0 j,
Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailC algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.
Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailChapitre 5 : Flot maximal dans un graphe
Graphes et RO TELECOM Nancy A Chapitre 5 : Flot maximal dans un graphe J.-F. Scheid 1 Plan du chapitre I. Définitions 1 Graphe Graphe valué 3 Représentation d un graphe (matrice d incidence, matrice d
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détailExercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA
75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailMATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE
MATHÉMATIQUES DISCRÈTES (4) CRYPTOGRAPHIE CLASSIQUE Michel Rigo http://www.discmath.ulg.ac.be/ Année 2007 2008 CRYPTOGRAPHIE. N. F. Art d écrire en chiffres ou d une façon secrète quelconque. Ensemble
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailLicence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique. Niveau L2 (= 2ème année)
Licence Sciences de l Ingénieur et Licence Informatique Niveau L2 (= 2ème année) Mathématiques : Résumé de ce qu il faut savoir en Algèbre linéaire (ou Calcul Matriciel) au sortir du L1, en préalable au
Plus en détailThéorie de la Mesure et Intégration
Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3 UE LM364 Intégration 1 & UE LM365 Intégration 2 Année 2010 11 Théorie de la Mesure et Intégration Responsable des cours : Amaury LAMBERT
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 août 2015 Enoncés 1 Proailités sur un univers fini Evènements et langage ensemliste A quelle condition sur (a,, c, d) ]0, 1[ 4 existe-t-il une proailité P sur
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailOptimisation des fonctions de plusieurs variables
Optimisation des fonctions de plusieurs variables Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 8 avril 2013 Extrema locaux et globaux Définition On étudie le comportement d une fonction de plusieurs variables
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailAlgèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)
Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailModèles et Méthodes de Réservation
Modèles et Méthodes de Réservation Petit Cours donné à l Université de Strasbourg en Mai 2003 par Klaus D Schmidt Lehrstuhl für Versicherungsmathematik Technische Universität Dresden D 01062 Dresden E
Plus en détailMesure et Intégration (Notes de cours de L3)
Mesure et Intégration (Notes de cours de L3) Ahmed Zeriahi Version préliminaire-octobre 2011 Avertissement : Ceci est une version préliminaire des notes du cours que l auteur a dispensé en troisème année
Plus en détailPlan du cours : électricité 1
Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)
Plus en détailMATLAB : COMMANDES DE BASE. Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */.
Page 1 de 9 MATLAB : COMMANDES DE BASE Note : lorsqu applicable, l équivalent en langage C est indiqué entre les délimiteurs /* */. Aide help, help nom_de_commande Fenêtre de travail (Command Window) Ligne
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailPremiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon
Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailLA PHYSIQUE DES MATERIAUX. Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE
LA PHYSIQUE DES MATERIAUX Chapitre 1 LES RESEAUX DIRECT ET RECIPROQUE Pr. A. Belayachi Université Mohammed V Agdal Faculté des Sciences Rabat Département de Physique - L.P.M belayach@fsr.ac.ma 1 1.Le réseau
Plus en détail