Limites de suites et de fonctions

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1 TermS Limites de suites et de foctios I ] Suites ) Défiitio : Ue suite réelle est ue foctio de! das!, défiie à partir d'u certai rag 0. Notatio : u = lire "u idice " = terme d'idice, ou de rag = terme gééral de la suite u. u ( )!! = (u ) = u = suite Certaies suites e sot défiies qu'à partir d'u certai rag, comme par exemple : u = / défiie pour! * v = 3 défiie pour 3 Notos que le domaie de défiitio est écessairemet du type [ 0 ; + [ avec 0! Ue suite peut être défiie explicitemet par ue foctio (exemple u = f() = ²+2+3), ou par récurrece u + = f (u ). 2) Démostratio par récurrece : Soit ue propriété défiie sur! (ou u itervalle I de! ). Si : La propriété est INITIALISÉE à u certai rag 0 (C'est-à-dire : ( 0 ) est vraie) La propriété est HÉRÉDITAIRE à partir du rag 0 (C'est-à-dire : pour tout > 0, () ( + )) Alors : La propriété est vraie à tout rag plus grad que 0. k = Exercice : Motrer par récurrece que! k 3 = k = ( ) 2 3) Ses de variatio (mootoie) d'ue suite Défiitios : Soit (u ) ue suite de ombres réels. O dit que : La suite (u ) est croissate (à partir du rag 0 ) lorsque u u + pour tout etier > 0. La suite (u ) est strictemet croissate (à partir du rag 0 ) lorsque u < u + pour tout etier > 0. La suite (u ) est décroissate (à partir du rag 0 ) lorsque u u + pour tout etier > 0. La suite (u ) est strictemet décroissate (à partir du rag 0 ) lorsque u > u + pour tout etier > 0. La suite (u ) est mootoe (à partir du rag 0 ) si elle est croissate ou décroissate à partir du rag 0. La suite (u ) est statioaire s'il existe u etier 0 tel que u = u + pour tout etier > 0. La suite (u ) est costate lorsque u = u + pour tout etier du domaie de défiitio de (u ). Méthodes: - O peut comparer directemet u et u + grâce aux propriétés des iégalités. - O peut étudier le sige de la différece u+ u. - Si la suite u est défiie au moye d ue foctio f par u = f(), o peut étudier les variatios de la foctio f. u + - Si tous les termes de la suite u sot strictemet positifs, o peut comparer à le quotiet. u - Si la suite est défiie par récurrece, u + = f (u ) o peut utiliser ue démostratio par récurrece. Exercice 2 : Etudier le ses de variatios des suites : u = 2 + si(), v = 2 ² pour > Page sur 6

2 4) Suite majorée, miorée, borée Défiitios : Ue suite u ( )!! est dite majorée s'il existe u réel M, appelé majorat de la suite, tel que, pour tout etier aturel, o a u M. La suite est dite miorée s'il existe u réel m, appelé miorat de la suite, tel que, pour tout etier aturel, o a u m. Ue suite à la fois majorée et miorée, est dite borée. Méthodes : - maipulatio d'iégalités - Si la suite u est défiie au moye d ue foctio f par u = f(), o peut étudier les variatios de la foctio f. - Par récurrece. Exercice 3 : Motrer par récurrece que la suite défiie par u + = 6+ u et u 0 = 0 est borée par 0 et 3. II ] Limites de suites Défiitio suite covergete: Soit ( u ) ue suite réelle et l u réel. O dit que la suite ( u ) admet (ou a) l pour limite, ou ecore coverge (ou ted) vers l, si tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. lim u + = l Ue suite qui e coverge pas vers u réel est dite divergete. ( + ; - ; ou pas de limite) Défiitio Suite divergete vers + O dit qu'ue suite diverge vers + lorsque : tout itervalle ouvert du type ]A, + [ (où A réel) cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. Défiitio Suite divergete vers - O dit qu'ue suite diverge vers - lorsque : tout itervalle ouvert du type ]- ; Β[ (où B réel) cotiet tous les termes de la suite à partir d'u certai rag. Exemples de référece (admis) : lim =+ ; lim ² =+ ; lim = 0 ; lim = ² Les suites si() et cos() diverget. Propriété admise : Soit f ue foctio défiie sur u itervalle [a ; + [ où a + et (u ) la suite défiie par u = f(). Si lim f( x) = l alors lim u = l x + x + + Si lim f( x) =+ alors lim u =+ x + + Si lim f( x) = alors lim u = + Exercice 4 : Etudier la covergece de la suite u = ² -3 Page 2 sur 6 Propriété (ROC ) : Si u est ue suite croissate, o majorée, alors u diverge vers +. De même : Si u est ue suite décroissate, o miorée, alors u diverge vers -.

3 Exercice 5 : Soit v la suite défiie par v = + /. A partir de quel rag a-t-o v ]0,99 ;,0[. Que peut -o e déduire? III ] Limites de foctios Soit f ue foctio umérique défiie sur D f, de courbe représetative C f das u repère(o;! i ;! j ). ) Limites e l ifii a) Limite ifiie Par exemple, cosidéros la foctio f dot la courbe représetative est ci-cotre : Lorsque x s'e va vers +., f(x) deviet de plus e plus grad. il 'a aucu maximum. O dit alors que f(x) ted vers +. Ou que la limite de la foctio f lorsque x ted vers + est égale à + Ce que l'o résume par : lim f (x)= + " Défiitio : Si pour tout réel A positif, il existe u réel B tel que pour tout x > B o a f(x)> A alors o dit que f(x) ted vers + quad x ted vers +. Exercice 6 : O cosidère la foctio f défiie sur [3 ; + [ par f (x)!=! démotrer que la foctio f a pour limite + e +. x! 3. E utilisat la défiitio, Propriété : La droite (d) d'équatio y = ax + b est ue asymptote oblique à la courbe représetative C f de la foctio f au voisiage de + si et seulemet si lim f ( x ) #( a x +b) = 0 x! + " Défiitio et propriété équivaletes pour ue limite e -. Remarque : O étudie la positio de la courbe C f par rapport à la droite (d) e étudiat le sige de f(x) (ax+b). O pourra faire u tableau de siges. Exercice 7 : O cosidère la foctio f défiie sur! par f (x) =! 2x3 + 3x 2 + 0x + 22.Détermier x l équatio de so asymptote oblique. b) Limite fiie Cosidéros maiteat la foctio f dot la courbe représetative est ci-dessous : la foctio f au voisiage de + si et seulemet si lim f x x! + " Défiitio et propriété équivaletes pour ue limite e -. Page 3 sur 6 Lorsque x s'e va vers +, f(x) se rapproche de plus e plus de 2. O dit alors que f(x) ted vers 2, ou que la limite de la foctio f lorsque x ted vers + est égale à 2. Ce que l'o résume par : lim f (x)= 2 Défiitio : O dit que f(x) ted vers u réel l lorsque x ted vers +, si tout itervalle ouvert coteat l cotiet tous les réels f(x) pour x assez grad. Propriété : La droite (d) d'équatio y = b est ue asymptote horizotale à la courbe représetative C f de ( ) = b

4 c) Sas limite! Toutes les foctios 'admettet pas écessairemet ue limite lorsque x ted vers +. C'est par exemple le cas avec les foctios sius et cosius : Lorsque x s'e va vers +, sius et cosius hésitet quat à l'attitude à adopter. Oscillat à jamais, ils 'ot aucue limite fiie ou ifiie... 2) Limites e u poit Propriété : Pour tout réel a et pour toute foctio f défiie e a, si f admet ue limite e a alors elle est uique et égale à f(a). lim f (x)= f (a) Limite fiie : Dire que f admet ue limite L e a, c'est dire que f(x) peut être redu aussi proche que l'o veut de L à coditio que x soit suffisammet proche de a. Défiitio : f admet pour limite L e a si pour tout itervalle I ouvert coteat L, il existe u itervalle ouvert J coteat a tel que I cotiet tous les f(x) pour x apparteat à J et à D f. Limite ifiie : Par exemple, cosidéros la foctio f défiie sur l'itervalle ] + [ 3; dot la courbe représetative est cicotre Lorsque x se rapproche de 3, f(x) deviet de plus e plus grad sas qu'aucu plafod e l'arrête. O dit alors que f(x) ted vers +. Ou que la limite de la foctio f lorsque x ted vers 3 est égale à + Ce que l'o résume par : lim f (x)= + " x!3 Défiitio : Dire que f ted vers + quad x ted vers a, c'est dire que f(x) peut être redu aussi grad que l'o veut à coditio que x soit suffisammet proche de a. Notatio lim f (x)= + " Propriété : La droite (d) d'équatio x = a est ue asymptote verticale à la courbe représetative C f de la foctio f si et seulemet si lim f ( x ) = ± " Exercice 8 : Détermier les limites e - de g(x) = 3x + 5 x + Limite à gauche et limite à droite. Exemple : Das ce qui suit, f désigera la foctio défiie sur l'itervalle ] - ; 2 [ U ] 2 ; + [ par f(x) = x! 2 Page 4 sur 6

5 O a alors : lim x! 2 x <2 lim x! 2 x >2 x " 2 = lim x! 2 + x " 2 = + # x " 2 = lim x! 2 " x " 2 = " # et La foctio f 'admet pas de limite e 2. Propriété admise : Soit f ue foctio défiie sur u itervalle coteat a, mais qui 'est pas défiie e a, alors, f possède ue limite e a si et seulemet si elle possède ue limite fiie à gauche et ue limite fiie à droite et si celles ci sot égales. 3) Limites des foctios de référece Foctio Esemble de défiitio Limite e - Limite e 0 Limite e + x ] ; + [ 0 + x 2 ] ; + [ x 3 ] ; + [ 0 + lim = x x 0 x ] ; 0 [ ] 0 ; + [ 0 lim =+ + x 0 x 0 x [ 0 ; + [ N'existe pas 0 + si(x) 0 ] ; + [ N'existe pas cos(x) N'existe pas 4) Opératios sur les limites Limite d ue somme De maière géérale, la limite de la somme de deux foctios est égale à la somme des limites de cellesci. Sauf cas particuliers! Limite d'u produit Limite de f Limite de g Limite de f + g L L' L + L' L + + L Idétermié Limite de f Limite de g Limite de f x g L L' L x L' L (sige à voir) (sige à voir) 0 Idétermié Page 5 sur 6

6 Limite d'u quotiet Limite de f Limite de g Limite de f / g L L' L / L' L 0 L (sige à voir) Idétermié 0 0 (sige à voir) 0 0 Idétermié Les 4 formes idétermiées à reteir sot : ( + ) + ( ) ; 0 ( ± ) ± ± ; 0 0 Limite de la composée de deux foctios. propriété (admise): Soiet f et g deux foctios. a, L et L trois réels ou évetuellemet égaux à +/ Si lim f x ( )= L et lim g(x)= L' alors lim gof (x) = L' x! L Exemple lim x! " 2 si(2x + ")=0 : car lim x! " 2 Exercice 9 : Calculer lim x!!+!"! 9!+! x Limite de la composée d'ue suite et d'ue foctio. propriétés (admises): Lorsque ( ) 2x + " = 2" et lim si(x)=si(2")=0 x! 2" ( ( ))!! u coverge vers u réel l, si la foctio f est cotiue e l, alors la suite f u coverge vers f (l ). Lorsque ( u ) coverge vers u réel L, si lim f x x! L Lorsque ( ) u lim f ( x)= + " alors f u ( )= + ", alors la suite f u diverge vers +, si lim f ( x)= L, alors la suite f u ( ( ))!! diverge vers +. Exercice 0 : Détermier la limite de la suite v = cos( π 3 + ) ( ( ))!! diverge vers +. ( ( ))!! coverge vers L et si Théorème des gedarmes. (ROC) A démotrer Soiet f, g et h trois foctios et L u réel. Si pour tout x apparteat à u itervalle du type [ ; [ f(x) g(x) h(x) et si lim f (x)= lim h(x)= L alors lim Page 6 sur 6 g(x)= L Coséqueces : Si lim f (x)= + " et si pour x assez grad o a f(x) < g(x) alors lim g(x)= + " Si lim h(x)= # " et si pour x assez grad o a g(x) < h(x) alors lim g(x)= # " Coséqueces aalogues pour des limites e u poit ou e -. Exercice : Etudier les limites e + et de la foctio f défiie par f(x) = Théorème équivalet pour les suites. x 2!si x α+ o a