Triangle rectangle, cercle et médiane

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1 Triangle rectangle, cercle et médiane A) Activités préparatoires. 1. Parallèles et milieux. Exercice n 1 : Recopier et compléter les chaînons suivants : 1 er cas : (AB) est parallèle à (CD). (MN) est parallèle à (CD). Si...alors... Donc (AB) est parallèle à (MN). 2 ème cas : I est le milieu de [MN]. I est le milieu de [PQ]. Si...alors... Donc... est un parallélogramme. 3 ème cas : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) est parallèle à (GH). 4 ème cas :..... Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales ont le même milieu. Donc D est le milieu de [BC] et [AE].

2 2. Perpendiculaires et losange. Exercice n 2 : Recopier et compléter les chaînons suivants : 1 er cas : On sait que : ABCD est un losange. Si...alors... Donc (AC) est perpendiculaire à (BD). 2 ème cas : On sait que :... Si un quadrilatère est un losange alors... Donc AB = BC = CD = AD. B) Démonstrations en géométrie. 1. Démontrer que deux droites sont parallèles. On rappelle les propriétés permettant de démontrer que des droites sont parallèles (elles sont à connaître) : Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont parallèles à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles. Pour démontrer que des droites sont parallèles on utilise souvent le parallélogramme comme figure de base, voici donc quelques propriétés permettant de démontrer qu un quadrilatère est un parallélogramme (elles sont à connaître) : Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux parallèles alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c est un parallélogramme. Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c est un parallélogramme. Il suffit alors d utiliser la propriété suivante pour démontrer le parallélisme : Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. Exercice n 3 : ABC est un triangle rectangle en A. Soit E un point de [AB] et soit (d) la perpendiculaire à (AB) passant par E. Démontrer que les droites (AC) et (d) dont parallèles.

3 Exercice n 4 : Tracer un cercle de centre I et de diamètre [AB]. Soit M un point qui n est pas sur la droite (AB) et N le symétrique de M par rapport à I. Démontrer que AMBN est un parallélogramme. 2. Démontrer que deux droites sont perpendiculaires. On rappelle les propriétés permettant de démontrer que des droites sont perpendiculaires (elles sont à connaître) : Si deux droites sont parallèles et si une troisième est perpendiculaire à l une alors elle est perpendiculaire à l autre. Pour démontrer que des droites sont perpendiculaires on utilise souvent le rectangle ou le losange comme figures de base, voici donc quelques propriétés permettant de démontrer qu un quadrilatère est un rectangle ou un losange (elles sont à connaître) : Si un quadrilatère a trois angles droits alors c est un rectangle Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de même longueur alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c est un rectangle. Il suffit alors d utiliser la propriété suivante pour démontrer que les droites sont perpendiculaires: Si un quadrilatère est un rectangle alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de même longueur et ses quatre angles sont droits. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c est un losange. Si un quadrilatère à ses diagonales qui ont le même milieu et sont perpendiculaires alors c est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c est un losange. Il suffit alors d utiliser la propriété suivante pour démontrer que les droites sont perpendiculaires: Si un quadrilatère est un losange alors ses côtés opposés sont parallèles deux à deux, de même longueur et ses diagonales sont perpendiculaires. Pour démontrer que des droites sont perpendiculaires on utilise parfois la médiatrice d un segment, voici donc quelques propriétés permettant de démontrer qu une droite est la médiatrice d un segment (elles sont à connaître) : Si un point est à égale distance des extrémités d un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d un segment alors c est la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par le milieu d un segment et lui est perpendiculaire alors c est la médiatrice de segment. Il suffit alors d utiliser la propriété suivante pour démontrer que les droites sont perpendiculaires: Si une droite est la médiatrice d un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.

4 Exercice n 5 : EFGH est un parallélogramme et I est un point de [EF]. Soit (d) la droite perpendiculaire à (EF) qui passe par I. Démontrer que (d) et (GH) sont perpendiculaires. Exercice n 6 : Soit ABC un triangle et I le milieu de [AB]. Soit K le symétrique de C par rapport à I. Quelle est la nature de ACBK? Exercice n 7 : ABC est un triangle. Soit (d) la droite perpendiculaire à (BC) qui passe par A, elle coupe (BC) en H. Soit (d ) la droite perpendiculaire à (BC) qui passe par C. La droite parallèle à (AC) qui passe par H coupe (d ) en E. Démontrer que ACEH est un parallélogramme. Exercice n 8 : ABC est un triangle et K un point de [AC]. La droite parallèle à (AB) qui passe par K coupe (BC) en J. Soit I le milieu de [JC] et L le symétrique de K par rapport à I. Démontrer que (CL) et (AB) sont parallèles. Exercice n 9 : ABC est un triangle. On note K le pied de la hauteur issue de A dans ABC. Soit (d) la parallèle à (AK) passant par C. Démontrer que (BC) et (d) sont perpendiculaires. Exercice n 10 : ABC est un triangle rectangle en A. Soit I le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à I. 1) Démontrer que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. 2) Démontrer que les droites (DC) et (AC) sont perpendiculaires. 3) Tracer la perpendiculaire à (AB) qui passe par B. Elle coupe (DC) en K. Démontrer que ACKB est un parallélogramme.

5 C) Médiane dans un triangle. 1. Définition et vocabulaire. Définition : Dans un triangle une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. Vocabulaire : Si ABC est un triangle et si M est le milieu de [BC] alors (AM) est la médiane issue de A dans ABC. 2. Médiane et triangles rectangle. Propriété : Si un triangle est rectangle alors la longueur de la médiane issue de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse. Propriété réciproque : Si dans un triangle la médiane issue d un sommet a une longueur égale à la moitié de la longueur du côté opposé alors le triangle est rectangle en ce sommet.

6 Exercice n 11 : Calcule, en justifiant, AB et EF. Exercice n 12 : Peut-on affirmer que les deux triangles tracés ci-dessous sont rectangles? Exercice n 13 : Soit RST un triangle isocèle en T et soit U le symétrique du point R par rapport au point T. Démontre que le triangle RSU est rectangle en S. D) Triangle rectangle et cercle circonscrit. Propriété : Si un triangle est rectangle alors hypoténuse est un diamètre du cercle circonscrit à ce triangle (donc le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle). Propriété réciproque : Si un triangle est inscrit dans un cercle avec un de ses côtés est un diamètre de ce cercle alors il est rectangle (son angle droite est l angle situé en face du côté «diamètre»).

7 Exercice n 14 : Quel est le centre du cercle circonscrit aux triangles EFH et EHG? Exercice n 15 : Dans chacune des figures ci-contre, nomme tous les triangles rectangles non traces en utilisant les points donnés. Justifie tes réponses. Exercice n 16 : BIEN est un rectangle de centre M. 1) Que représente le point M pour le segment [EB]? Justifie. 2) Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle BIE? Pourquoi? 3) Pourquoi N appartient-il aussi à ce cercle? Exercice n 17 : Points cocycliques Sur la figure ci-dessous, on sait que BO = 4 cm ; OA = 6 cm ; et BA = 3 cm. 1) Démontrer que le point M appartient au cercle de diamètre [OA]. 2) Démontre que M, O, N et A sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.

8 7 Exercice n 18 : C est un cercle de centre O. A et M sont deux points de C non diamétralement opposés. La perpendiculaire en M à (AM) recoupe C en B. 1) Démontrer que O est le milieu de [AB]. 2) N est un autre point du cercle. Démontrer que ANB est un triangle rectangle. 7 Exercice n 19 : R, I et O sont trois points alignes dans cet ordre. C est le cercle de diamètre [RI] et C est le cercle de diamètre [IO]. Soit A un point de C différent de I et R. La droite (AI) coupe C en B. Démontrer que les droites (RA) et (BO) sont parallèles. Exercice n 20 : On considère la figure ci-dessous, avec les données suivantes : (AM) est la médiane issue de A dans ABC. AM = 3cm et AH = 2,5cm. Calculer l aire de ABC.

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