Médiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle

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1 3ème Géométrie 2015/2016 hapitre édiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle Plan du cours 1 édiatrice d un segment ercle circonscrit à un triangle édiane d un triangle Pre-requis Géométrie : triangles, cercles, angles 1

2 3ème hapitre : édiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle 2015/ édiatrice d un segment Definition 1 (édiatrice). La médiatrice d un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. Remarque Le milieu d un segment est toujours situé sur la médiatrice de celui-ci. ethode 1 (Tracer la médiatrice d un segment à la règle et à l équerre). Pour tracer la médiatrice d un segment avec la règle et l équerre, il faut : 1. Placer le milieu de ce segment. 2. Tracer la perpendiculaire à ce segment passant par le milieu. Propriete 1 (Équidistance). Si un point est sur la médiatrice d un segment, alors il est équidistant 1 des extrémités de ce segment. Données Propriété onclusion { est la médiatrice de [] = Démonstration : [Repose sur le théorème de Pythagore] n s appuie sur les données de l illustration précédente. ontrons que =. Étape 1 : Le triangle est rectangle en ; appliquons le théorème théorème de Pythagore : 2 = donc = équidistant = situé à la même (équi-) distance (-distant) 2

3 3ème hapitre : édiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle 2015/2016 Étape 2 : n fait de même avec le triangle rectangle en : 2 = donc = Étape 3 : r, comme est le milieu de [] par construction de la médiatrice, alors = ; ainsi = devient = =. Exercice 1 [] est un segment dont on note la médiatrice. Prenons P, un point de la médiatrice. Démontrer que le triangle P est isocèle et préciser son sommet principal. Propriete 2 (Réciproque). Si un point est équidistant des extrémités d un segment, alors il est situé sur la médiatrice de ce segment. Remarque ette propriété est la réciproque de la propriété précédente : c est-à-dire, qu elle fonctionne dans l autre sens, comme le montre l illustration suivante. Propriété réciproque Données Propriété onclusion = où est la médiatrice du segment [] Démonstration : [Utilise les losange] n reprend les données de l illustration précédente. n construit N le symétrique de par rapport à la droite (). Étape 1 : omme la symétrie axiale conserve les longueurs et N, alors { = N = N. Étape 2 : ais on sait aussi que = (d après les informations initiales) donc le quadrilatère N est un losange car il a 4 côtés de même longueur. Étape 3 : omme N est un losange, alors ses diagonales sont médiatrices l une de l autre ; en particulier, (N) est la médiatrice de []. Exercice 2 est un cercle de centre et [] est une corde 2 de. 1. Justifier que =. 2. Que dire alors de la médiatrice du segment [] et du point? Justifier. 2. corde d un cercle : segment qui joint deux points situés sur le cercle. En particulier, un diamètre d un cercle est ue corde de ce cercle, au contraire du rayon. 3

4 3ème hapitre : édiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle 2015/2016 ethode 2 (Tracer la médiatrice d un segment avec le compas). Pour tracer la médiatrice d un segment avec le compas, il faut 1. Pointer sur l une des extrémités puis tracer un arc de cercle (de rayon supérieur à la moitié du segment) de chaque côté du segment suffisamment grand 2. Répéter l étape précédente avec l autre extrémité du segment de manière à obtenir deux couples d arcs de cercle sécants. 3. Tracer la droite passant par les deux points créés. 2 ercle circonscrit à un triangle Definition 2 (édiatrice d un triangle). Un médiatrice d un triangle est la médiatrice d un de ses côtés. (d) La droite (d) est la médiatrice du côté [] et elle est une médiatrice du triangle. Propriete 3 (oncourance des médiatrices). Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes 3. est le point de concours des trois médiatrices du triangle. 3. droites concourantes : droites qui se coupent en même un point. e point commun est le point de concours de droites. 4

5 3ème hapitre : édiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle 2015/2016 Démonstration : [Repose sur les propriétés d équidistance de la médiatrice] est un triangle non aplati et on note ( ), médiatrice de [], ( ), médiatrice de [], ( ), médiatrice de []. n suppose que ( ) et ( ) sont sécantes en un point et l objectif est de démontrer que ( ). Étape 1 : ( ) donc est équidistant de extrémités du segment [], c est-à-dire : =. Étape 2 : ( ) donc est équidistant de extrémités du segment [], c est-à-dire : =. Étape 3 : omme { = ; (Étape 1), = ; (Étape 2) alors =. Étape 4 : omme =, alors est équidistant des points et, ce qui signifie que appartient à la médiatrice du segment [], c est-à-dire ( ). Definition 3 (ercle circonscrit à un triangle / Triangle inscrit dans un cercle). Un cercle est circonscrit à un triangle si les trois sommets du triangle appartiennent à ce cercle. Le triangle est inscrit dans le cercle. Le triangle est ici inscrit dans le cercle car ses sommets sont sur le cercle. n peut tout aussi bien dire que le cercle est circonscrit au triangle. Propriete 4 (Point de concours des médiatrices d un triangle). Le point de concours des médiatrices d un triangle est le centre du cercle circonscrit au triangle. Remarque 3 points non alignés appartiennent donc toujours à un cercle : le cercle circonscrit au triangle qu ils forment. Démonstration : [admise] est le cercle circonscrit au triangle. Son centre est le point de concours des trois médiatrices du triangle. Exercice 3 ù semble se situer le centre du cercle cironscrit à un triangle rectangle? Faire une figure avec les instruments de géométrie. n prendra des dimensions au choix pour le triangle. 5

6 3ème hapitre : édiatrice, cercle circonscrit et médiane d un triangle 2015/ édiane d un triangle Definition 4 (édiane d un triangle). Une médiane d un triangle est une droite qui joint un sommet au milieu de son côté opposé. La droite (D) est la médiane du triangle issue du somment, relative au côté []. (D) Propriete 5 (oncourance des médianes, centre de gravité). Les trois médianes d un triangle sont concourrantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Le point G est le centre de gravité du triangle G Remarque Le centre de gravité d un triangle est toujours situé à l intérieur du triangle. Exercice 4 1. (a) onstruire le triangle GUS vérifiant : GU = 9, 5 cm, US = 7 cm et GS = 4 cm. (b) Tracer les médianes de ce triangle issues des sommets G et S. es deux médianes se coupent au point que l on nommera Z. 2. (c) Que représente le point Z pour le triangle GUS? Justifier. (d) Que représente la droite (ZU) pour le triangle GUS? Justifier. (e) La droite (ZU) coupe-t-elle le côté [GS] en son milieu? Justifier. 6