Chapitre 2. Les nombres complexes. 2.1 Définition et propriétés de C

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 2. Les nombres complexes. 2.1 Définition et propriétés de C"

Transcription

1 Chpitre 2 Les nombres complexes Certines équtions polynomiles à coefficients réels n ont ps de solution dns R ; c est le cs de l éqution du second degré x 2 +1 = 0 puisque tout crré de réel est positif. D où l idée de construire un nouvel ensemble, l ensemble des nombres complexes noté C contennt les nombres réels et les solutions de ces équtions. On pourrit penser que cet ensemble est difficile à décrire, mis il n en est rien puisqu il suffit d djoindre à R le nombre i, rcine de l éqution x = 0. Les nombres complexes, que l on v étudier mintennt, sont très employés en mthémtique et en physique (électromgnétisme, mécnique quntique). L éqution de Schrödinger, étudiée en cours de Chimie, utilise explicitement le nombre i. 2.1 Définition et propriétés de C On définit l ensemble C comme l ensemble des nombres z = +ib vec (, b) R 2 et i 2 = 1. Cet ensemble est muni d une ddition et d une multipliction, notées + et respectivement, définies à prtir de l ddition et de l multipliction de R de l fçon suivnte : ( + ib) + ( + ib ) = ( + ) + i(b + b ) ( + ib) ( + ib ) = + ib + i b + i 2 bb = ( bb ) + i(b + b ) Soit z = + ib. On écrit = Rez et b = Im z qui s ppellent respectivement l prtie réelle et l prtie imginire de z. On donc b = Im z = 0 si est seulement si z est un nombre réel. Si = 0, c est-àdire z = Im z, on dit que z est un nombre imginire pur. C est un corps commuttif ; en prticulier tout complexe + ib 0 c est-à-dire (, b) (0, 0) un inverse + ib vec ( + ib)( + ib ) = 1 donc 14 = 2 + b 2 b = b 2 + b 2

2 z est représenté pr le point M ou pr le vecteur OM = (, b). z est l ffixe de M, M est l imge de z. b O M(z) ρ θ S(z + z') M'(z') FIG. 2.1: Représenttion d un nombre z = +ib dns le pln (dit pln de Cuchy) Exemples de clcul dns C : (1 + 2i) + (2 + 5i) = 3 + 7i, (1 + 2i)(2 + 5i) = 8 + 9i et i = i 2.2 Complexes conjugués On note z le conjugué de z : si z = + ib z = ib. Géométriquement l imge M de z est symétrique de l imge M de z pr rpport à l xe ox. Propriétés. O z = + bi z = bi z = z z 1 + z 2 = z 1 + z 2 ( z1 ) z 1 z 2 = z 1.z 2 = z 1 z 2 z 2 z + z = 2 Rez z z = 2i Im z zz = 2 + b 2 1 si z = + ib z = z (z 0) 2 + b 2 Exemple. Clcul de z = i. Solution. On multiplie numérteur et dénominteur pr l expression conjuguée de 1 + 2i, soit 1 2i. z = 1 2i (1 + 2i)(1 2i) = 1 2i = 1 2i = i. 2.3 Forme trigonométrique des nombres complexes Module de z Soit z = + ib. Le module de z, noté z ou ρ, est défini pr z = ρ = 2 + b 2 = zz 15

3 Remrquons que z = ρ > 0. Propriétés. z = 0 z = 0 = b = 0 z = z Rez z Imz z z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 + z 2 Remrque. Les complexes z tels que z = ρ ont leur imge située sur un cercle de centre 0, de ryon ρ Argument de z Soit z = + ib. Alors, on z 0 (, b) (0, 0). Soit M(z) l imge de z. θ = ( Ox, OM) : ngle défini à 2π près, des demidroites Ox et OM dns le pln orienté. θ est un rgument de z. ρ = OM = 2 + b 2 est O θ M(z) ρ = 2 + b 2 le module de z. Pour tout z 0, θ est défini pr : x cosθ = sin θ = 2 + b 2 = ρ cosθ, b 2 + b 2 b = ρ sin θ. On ppelle Argument principl de z l rgument θ de z tel que π < θ < π. On le note Arg z Forme trigonométrique et forme exponentielle ρ et θ étnt le module et l gument de z, on peut écrire l forme trigonométrique : z = + ib = ρ cosθ + iρ sin θ = ρ(cosθ + i sin θ) Clculons mintennt le produit : zz = ρρ ( cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ ) ) Ce résultt, qui rppelle l propriété fondmentle de l exponentielle, suggère l nottion dite exponentielle de z : 16 z = ρe iθ vec e iθ = cos θ + i sin θ.

4 Remrque. ) Tout complexe de module 1 s écrit : cos θ + i sin θ ou e iθ. b) Deux complexes sont égux s ils ont même module et si leurs rguments diffèrent d un multiple de 2π Formule de Moivre { u1 C u 1 = 1 u 1 = cosθ 1 + i sin θ 1, Soient u 2 C u 2 = 1 u 2 = cosθ 2 + i sin θ 2. Clculons le produit : u 1 u 2 = (cos θ 1 cosθ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cosθ 2 + cos θ 1 sin θ 2 ) = cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 ) que l on peut écrire simplement : e iθ1 e iθ 2 = e i(θ 1+θ 2 ) En fisnt θ 1 = θ 2 et un risonnement pr récurence sur n on obtient l Formule de Moivre : (cosθ + i sin θ) n = cosnθ + i sin nθ, n Z Formules d Euler Pr ddition et soustrction e iθ = cos θ + i sin θ e iθ = cos θ i sin θ donne cosθ = eiθ + e iθ 2 sin θ = eiθ e iθ 2i APPLICATIONS : Expressions de cos nθ, sin nθ sous forme de polynômes en sin θ et cos θ. Linéristion de cos n θ et sin n θ. 2.4 Equtions dns C Rcines crrées d un complexe Exemple. Trouver z tel que z 2 = vec C donné. 17

5 Solution. ) Si = ρe iθ vec ρ > 0, posons z = re iϕ lors { r 2 z 2 = r 2 e 2iϕ = ρe iθ = ρ 2ϕ = θ + 2kπ qui donne r = ρ ϕ = θ 2 + kπ On donc deux solutions : z 1 = ρe iθ/2, d où r = ρ ϕ 1 = θ 2 (k Z). ϕ 2 = θ 2 + π z 2 = ρe i(θ/2+π) = ρe +iθ/2 = z 1. b) Si = α + iβ, posons z = x + iy ; lors : { x 2 y 2 = α 2xy = β On ussi z 2 = x 2 + y 2 = α 2 + β 2 =, ce qui donne : x 2 = α + α 2 + β 2 2 y 2 = α + on obtient 2 solutions cr sgn(xy) = sgn(β). α 2 + β Equtions du second degré dns C Ce sont des équtions de l forme : z 2 + bz + c = 0 (, b, c) C 3 0 soit près division pr z 2 + b z + c = 0 ( puis z + b ) 2 b c 2 = 0 ( et z + b ) 2 b2 4c = On pose = b 2 4c et on cherche les rcines crrées de dns C pr l une des méthodes précédentes. Soient δ et δ (imges symétriques pr rpport à 0) ces deux rcines opposées. On obtient lors z 1 = b + δ et z 2 = b δ 2 2 Il y toujours deux rcines (distinctes ou confondues). 18

6 2.4.3 Equtions z n = vec n Z et C donné. Exemple. Résoudre dns C l éqution z 5 = 1.. Posons z = ρe iϕ ; l éqution s écrit lors : (ρe iϕ ) 5 = e 2ikπ qui se scinde en : { ρ 5 =1 ρ =1 puis 5ϕ =2kπ ϕ k = 2kπ (k Z) 5 Explicitons les solutions z k = e 2ikπ/5 k = 0, 1, 2, 3, 4 : z 0 = 1, z 1 = e i2π 5, z2 = e i4π 5, z3 = e i6π 5 et z 4 = e i8π 5. En effet, ϕ 5 = 10π 5 = 2π, donc z 5 même imge que z 0. Il en est de même pour z k, k 5 ou k < 0. Ci-dessous on trcé les imges des rcines dns le pln de Cuchy : i ϕ 1 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 0 1 Il y 5 rcines équiréprties sur le cercle unité. i ϕ 4 Plus générlement, dns C, toute éqution polynomile de degré n n rcines (distinctes ou confondues) Réduction de l expression E = cosωt + b sin ωt ( 0) Si l on pose lors Puisque z = ib, z = re iϕ b vec sin ϕ = 2 + b, cosϕ = b 2 et r = 2 + b 2. e iωt = cosωt + i sin ωt, ze iωt = cosωt + b sin ωt + i( sin ωt b cosωt) et l on reconnit E = Re(ze iωt ) mis ussi : E = rre[e i(ωt+ϕ) ] = rre[cos(ωt + ϕ) + i sin(ωt + ϕ)] = r cos(ωt + ϕ). On obtient finlement l forme réduite : b E = r cos(ωt+ϕ) vec sin ϕ = 2 + b, cosϕ = b 2 et r = 2 + b 2. 19

7 Exercices 2.1. ) Clculer sous l forme crtésienne + ib le nombre complexe 1 z schnt que z = i. b) Simplifier l expression Z = (1 + i)9 (1 i) Résoudre l éqution (1 + i)z = 3 + i ) Trouver les nombres z C tels que Z = (z + 1) 1 soit réel. z b) Trouver les nombres z C tels que Z = (z 2)(z i) soit imginire pur Clculer les modules des nombres complexes suivnts : ) 1 + i 1 i b) (2 + 3i)(1 5i) (4 + i 10)( 12 i) c) (cosθ + i sin θ) R d) 1 + cosθ + i sin θ 2.5. Montrer que si λ R, lors 1 + λi 1 λi = Développer cos 3θ et sin 3θ sous forme d un polynôme en cos θ ou sin θ Linériser cos 2 θ, sin 3 θ et cos 4 θ Ecrire sous forme trigonométrique ou exponentielle les nombres complexes suivnts : ) z 1 = 1 + i 3 b) z 2 = 1 + i c) z 3 = 1 + cosθ + i sin θ θ [0, 2π[ d) Z = (1 i 3) Résoudre dns C l éqution z 3 = 1. (1 + i) Clculer le module et l rgument de 4 2(1 i) ; en déduire s forme exponentielle et les solutions dns C de l éqution z 3 = 4 2(1 i) ; représenter ces dernières dns le pln complexe. (Extrit SV) (Extrit SV) Ecrire sin t et cos t sous forme exponentielle et clculer les coefficients de l expression sin 3 t cos 2 t = sin 5t + b sin 3t + c sin t t R ) Clculer sous forme lgébrique les rcines crrées du nombre complexe 35 12i. 20

8 b) Résoudre dns C l éqution z 2 (10 + 3i)z i = 0. (Extrit SVL1) (Extrit SVL1 P ) 1. Résoudre dns C l éqution : δ 2 = i 2. Résoudre dns C l éqution : z 2 + (1 i)z 6 3i = (Extrit SVL1 P ) Il s git de résoudre dns C l éqution : z = 0 (E) 1. Combien cette éqution dmet-elle de solutions dns C? 2. Donner le module et l rgument de Résoudre l éqution (E) et donner les solutions sous forme exponentielle, puis sous l forme lgébrique. 4. Plcer les solutions de (E) dns le pln complexe (Extrit SVL1 P ). 1. Clculer le module z 1 et l rgument θ 1 du nombre complexe z 1 = i 2 2. Clculer le module z 2 et l rgument θ 2 du nombre complexe z 2 = 1 i. 3. Clculer le module et l rgument de z 1 z A prtir de l forme lgébrique de z 1 et de z 2, clculer les prties réelle et imginire de z 1 z 2 et déduire l vleur de cos π 12 et de sin π (Extrit SVL1 P ) 3.1. Clculer le module et l rgument de i, puis résoudre dns C l éqution : z 6 = i. 3.2 Utiliser les résultts de 2.4 pour donner les solutions sous l forme lgébrique + ib (Extrit SVL1 P ) 1. Résoudre dns C l éqution : δ 2 = 8 + 6i 1.b Déterminer les solutions de l éqution : x 2 + 4x + 3 = 0 et montrer que les deux équtions : x 2 + 4x + 3 = 0 et x 3 + 2x 2 x + 6 ont une solution commune unique que l on déterminer. On considère dns C le polynôme P(z) = iz 3 + (2i 1)z 2 (i + 4)z + 3(2i 1). 2. On suppose d bord z = x R ; séprer prties réelle et imginire et montrer que P dmet une rcine réelle que l on déterminer. 3. Développer l expression (z+3)(z 2 +bz+c) puis pr identifiction, déterminer les coefficients, b et c tels que (z + 3)(z 2 + bz + c) = P(z). 4. Résoudre dns C l éqution P(z) = 0 et plcer les solutions dns le pln complexe. 21

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation

Nombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation 1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis

Plus en détail

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER

LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE. Unité d enseignement LCMA 4U11 ANALYSE 3. Françoise GEANDIER LICENCE DE MATHÉMATIQUES DEUXIÈME ANNÉE Unité d enseignement LCMA 4U ANALYSE 3 Frnçoise GEANDIER Université Henri Poincré Nncy I Déprtement de Mthémtiques . Tble des mtières I Séries numériques. Séries

Plus en détail

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann

Théorème de Poincaré - Formule de Green-Riemann Chpitre 11 Théorème de Poincré - Formule de Green-Riemnn Ce chpitre s inscrit dns l continuité du précédent. On vu à l proposition 1.16 que les formes différentielles sont bien plus grébles à mnipuler

Plus en détail

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle

Plus en détail

Chapitre 11 : L inductance

Chapitre 11 : L inductance Chpitre : inductnce Exercices E. On donne A πr 4π 4 metn N 8 spires/m. () Selon l exemple., µ n A 4π 7 (8) 4π 4 (,5) 5 µh (b) À prtir de l éqution.4, on trouve ξ ξ 4 3 5 6 6,3 A/s E. On donne A πr,5π 4

Plus en détail

Cours de mathématiques Première année. Exo7

Cours de mathématiques Première année. Exo7 Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection

Plus en détail

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005

semestre 3 des Licences MISM annnée universitaire 2004-2005 MATHÉMATIQUES 3 semestre 3 des Licences MISM nnnée universitire 24-25 Driss BOULARAS 2 Tble des mtières Rppels 5. Ensembles et opértions sur les ensembles.................. 5.. Prties d un ensemble.........................

Plus en détail

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre

Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières

Plus en détail

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions

Cours d Analyse IV Suites et Séries de fonctions Université Clude Bernrd, Lyon I Licence Sciences, Technologies & Snté 43, boulevrd 11 novembre 1918 Spécilité Mthémtiques 69622 Villeurbnne cedex, Frnce L. Pujo-Menjouet pujo@mth.univ-lyon1.fr Cours d

Plus en détail

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes

Introduction. Mathématiques Quantiques Discrètes Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.

Plus en détail

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions

Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mthémtiques nnée 2009-2010 Chpitre 2 Le prolème de l unicité des solutions 1 Le prolème et quelques réponses : 1.1 Un exemple Montrer que l éqution différentielle :

Plus en détail

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction

Chapitre 1 : Fonctions analytiques - introduction 2e semestre 2/ UE 4 U : Abrégé de cours Anlyse 3: fonctions nlytiques Les notes suivntes, disponibles à l dresse http://www.iecn.u-nncy.fr/ bertrm/, contiennent les définitions et les résultts principux

Plus en détail

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral

Synthèse de cours (Terminale S) Calcul intégral Synthèse de cours (Terminle S) Clcul intégrl Intégrle d une onction continue positive sur un intervlle [;] Dns cette première prtie, on considère une onction continue positive sur un intervlle [ ; ] (

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007

Correction du baccalauréat S Liban juin 2007 Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau

Plus en détail

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4

Licence M.A.S.S. Cours d Analyse S4 Université Pris I, Pnthéon - Sorbonne Licence MASS Cours d Anlyse S4 Jen-Mrc Brdet (Université Pris 1, SAMM) UFR 27 et Equipe SAMM (Sttistique, Anlyse et Modélistion Multidisiplinire) Université Pnthéon-Sorbonne,

Plus en détail

Tout ce qu il faut savoir en math

Tout ce qu il faut savoir en math Tout ce qu il fut svoir en mth 1 Pourcentge Prendre un pourcentge t % d un quntité : t Clculer le pourcentge d une quntité pr rpport à une quntité b : Le coefficient multiplicteur CM pour une ugmenttion

Plus en détail

Chapitre VI Contraintes holonomiques

Chapitre VI Contraintes holonomiques 55 Chpitre VI Contrintes holonomiques Les contrintes isopérimétriques vues u chpitre précéent ne sont qu un eemple prticulier e contrintes sur les fonctions y e notre espce e fonctions missibles. Dns ce

Plus en détail

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE

ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE Université de Metz Licence de Mthémtiques - 3ème nnée 1er semestre ANALYSE NUMERIQUE NON-LINEAIRE pr Rlph Chill Lbortoire de Mthémtiques et Applictions de Metz Année 010/11 1 Tble des mtières Chpitre

Plus en détail

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE

STI2D Logique binaire SIN. L' Algèbre de BOOLE L' Algère de BOOLE L'lgère de Boole est l prtie des mthémtiques, de l logique et de l'électronique qui s'intéresse ux opértions et ux fonctions sur les vriles logiques. Le nom provient de George Boole.

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Techniques d analyse de circuits

Techniques d analyse de circuits Chpitre 3 Tehniques d nlyse de iruits Ce hpitre présente différentes méthodes d nlyse de iruits. Ces méthodes permettent de simplifier l nlyse de iruits ontennt plusieurs éléments. Bien qu on peut résoudre

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO

Université Paris-Dauphine DUMI2E. UFR Mathématiques de la décision. Notes de cours. Analyse 2. Filippo SANTAMBROGIO Université Pris-Duphine DUMI2E UFR Mthémtiques de l décision Notes de cours Anlyse 2 Filippo SANTAMBROGIO Année 2008 2 Tble des mtières 1 Optimistion de fonctions continues et dérivbles 5 1.1 Continuité........................................

Plus en détail

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire

Séquence 8. Probabilité : lois à densité. Sommaire Séquence 8 Proilité : lois à densité Sommire. Prérequis 2. Lois de proilité à densité sur un intervlle 3. Lois uniformes 4. Lois exponentielles 5. Synthèse de l séquence Dns cette séquence, on introduit

Plus en détail

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.

ÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives. L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.

Plus en détail

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) (

Correction de l épreuve CCP 2001 PSI Maths 2 PREMIÈRE PARTIE ) ( Correction de l épreuve CCP PSI Mths PREMIÈRE PARTIE I- Soit t u voisinge de, t Alors ϕt t s = ϕt ρt s ρs Pr hypothèse, l fonction ϕt ϕt est lorsque t, il en est donc de même de ρt s ρt s ρs cr ρ s est

Plus en détail

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel

COURS D ANALYSE. Licence d Informatique, première. Laurent Michel COURS D ANALYSE Licence d Informtique, première nnée Lurent Michel Printemps 2010 2 Tble des mtières 1 Éléments de logique 5 1.1 Fbriquer des énoncés........................ 5 1.1.1 Enoncés élémentires.....................

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007

Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007 Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n

Plus en détail

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2

Q x2 = 1 2. est dans l ensemble plus grand des rationnels Q. Continuons ainsi, l équation x 2 = 1 2 Exo7 Nombres complexes Vdéo parte. Les nombres complexes, défntons et opératons Vdéo parte. Racnes carrées, équaton du second degré Vdéo parte 3. Argument et trgonométre Vdéo parte 4. Nombres complexes

Plus en détail

Repérage d un point - Vitesse et

Repérage d un point - Vitesse et PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées

Plus en détail

Cours d Analyse I et II

Cours d Analyse I et II ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation

Influence du milieu d étude sur l activité (suite) Inhibition et activation Influence du milieu d étude sur l ctivité (suite) Inhibition et ctivtion Influence de l tempérture Influence du ph 1 Influence de l tempérture Si on chuffe une préprtion enzymtique, l ctivité ugmente jusqu

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les

Plus en détail

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté

CHAPITRE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs degrés de liberté CHAPITE IV Oscillations ibres des Systèmes à plusieurs derés de liberté 010-011 CHAPITE IV Oscillations libres des systèmes à plusieurs derés de liberté Introduction : Dans ce chapitre, nous examinons

Plus en détail

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances

Turbine hydraulique Girard simplifiée pour faibles et très faibles puissances Turbine hydrulique Girrd simplifiée pour fibles et très fibles puissnces Prof. Ing. Zoltàn Hosszuréty, DrSc. Professeur à l'université technique de Kosice Les sites hydruliques disposnt de fibles débits

Plus en détail

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.

CHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées. CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Fonctions Analytiques

Fonctions Analytiques 5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,

Plus en détail

Mesure d angles et trigonométrie

Mesure d angles et trigonométrie Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi

Plus en détail

Fonctions de deux variables. Mai 2011

Fonctions de deux variables. Mai 2011 Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs

Plus en détail

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE

ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Jen-Pierre Dedieu, Jen-Pierre Rymond ANALYSE : FONCTIONS D UNE VARIABLE RÉELLE Institut de Mthémtiques Université Pul Sbtier 31062 Toulouse cedex 09 jen-pierre.dedieu@mth.univ-toulouse.fr jen-pierre.rymond@mth.univ-toulouse.fr

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

CHAPITRE XIII : Les circuits à courant alternatif : déphasage, représentation de Fresnel, phaseurs et réactance.

CHAPITRE XIII : Les circuits à courant alternatif : déphasage, représentation de Fresnel, phaseurs et réactance. XIII. 1 CHAPITRE XIII : Les circuits à courant alternatif : déphasage, représentation de Fresnel, phaseurs et réactance. Dans les chapitres précédents nous avons examiné des circuits qui comportaient différentes

Plus en détail

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires 1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013

Plus en détail

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S )

Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble

Plus en détail

Capes 2002 - Première épreuve

Capes 2002 - Première épreuve Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours. Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Premiers pas avec Mathematica

Premiers pas avec Mathematica Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*)

AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. Bruno BELHOSTE (*) Revue d histoire des mthémtiques, 2 (1996), p. 1 66. AUTOUR D UN MÉMOIRE INÉDIT : LA CONTRIBUTION D HERMITE AU DÉVELOPPEMENT DE LA THÉORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES Bruno BELHOSTE (*) RÉSUMÉ. Dns cet rticle,

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux

Fonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................

Plus en détail

Chapitre 0 Introduction à la cinématique

Chapitre 0 Introduction à la cinématique Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à

Plus en détail

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Equations différentielles linéaires à coefficients constants Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I

Plus en détail

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES

LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES LANGAGES - GRAMMAIRES - AUTOMATES Mrie-Pule Muller Version du 14 juillet 2005 Ce cours présente et met en oeuvre quelques méthodes mthémtiques pour l informtique théorique. Ces notions de bse pourront

Plus en détail

Développements limités usuels en 0

Développements limités usuels en 0 Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté

Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté Chapitre 4 Oscillations libres des systèmes à deux degrés de liberté 4.1 Introduction Les systèmes qui nécessitent deux coordonnées indépendantes pour spécifier leurs positions sont appelés systèmes à

Plus en détail

Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante

Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante (Ondes) @tu xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs

Exo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006

Régression multiple : principes et exemples d application. Dominique Laffly UMR 5 603 CNRS Université de Pau et des Pays de l Adour Octobre 2006 Régression multiple : principes et eemples d ppliction Dominique Lffly UMR 5 603 CNRS Université de Pu et des Pys de l Adour Octobre 006 Destiné à de futurs thémticiens, notmment géogrphes, le présent

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Notes de révision : Automates et langages

Notes de révision : Automates et langages Préprtion à l grégtion de mthémtiques 2011 2012 Notes de révision : Automtes et lngges Benjmin MONMEGE et Sylvin SCHMITZ LSV, ENS Cchn & CNRS Version du 24 octore 2011 (r66m) CC Cretive Commons y-nc-s

Plus en détail

Equations Différentielles

Equations Différentielles IFIPS S4 Université Paris XI Equations Différentielles Cours et Exercices Jean-Luc Raimbault raimbault@lptp.polytechnique.fr 2007 2 Dans ce petit cours sur les équations différentielles, on vous propose

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Continuité d une fonction de plusieurs variables

Continuité d une fonction de plusieurs variables Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé

Baccalauréat S Asie 19 juin 2014 Corrigé Bcclurét S Asie 9 jui 24 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice Commu à tous les cdidts 4 poits Questio - c. O peut élimier rpidemet les réposes. et d. cr les vecteurs directeurs des droites proposées e sot ps

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Développements limités, équivalents et calculs de limites

Développements limités, équivalents et calculs de limites Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(

Plus en détail

Intégrale et primitives

Intégrale et primitives Chpitre 5 Intégrle et primitives 5. Ojetif On herhe dns e hpitre à onstruire l opérteur réiproue de l opérteur de dérivtion. Les deux uestions suivntes sont lors nturelles. Question : Soit f une pplition

Plus en détail

CONCOURS COMMUN 2010 PHYSIQUE

CONCOURS COMMUN 2010 PHYSIQUE CONCOUS COMMUN SUJET A DES ÉCOLES DES MINES D ALBI, ALÈS, DOUAI, NANTES Épreuve de Physique-Chimie (toutes filières) Corrigé Barème total points : Physique points - Chimie 68 points PHYSIQUE Partie A :

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa

Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa Corps des nombres complexes, J Paul Tsasa One Pager Février 2013 Vol. 5 Num. 011 Copyright Laréq 2013 http://www.lareq.com Corps des Nombres Complexes Définitions, Règles de Calcul et Théorèmes «Les idiots

Plus en détail

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2

8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2 Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R

Plus en détail

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites

Suites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Magister en : Génie Mécanique

Magister en : Génie Mécanique الجمهورية الجزاي رية الديمقراطية الشعبية République Algérienne Démocrtique et Populire وزارة التعليم العالي و البحث العلمي Ministère de l enseignement supérieur et de l recherche scientifique Université

Plus en détail

MEMOIRE EN VUE DE L OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER EN GENIE MECANIQUE OPTION : CONSTRUCTION MECANIQUE

MEMOIRE EN VUE DE L OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER EN GENIE MECANIQUE OPTION : CONSTRUCTION MECANIQUE REPUBIQUE AGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPUAIRE MINISTERE DE ENSEGNEMENT SUPERIEURET DE A RECHERCHE SCIENTIFIQUE UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINE FACUTE DES SCIENCES DE INGENIEUR DEPARTEMENT DE GENE MECANIQUE

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre

Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables

Plus en détail

Manipulateurs Pleinement Parallèles

Manipulateurs Pleinement Parallèles Séparation des Solutions aux Modèles Géométriques Direct et Inverse pour les Manipulateurs Pleinement Parallèles Chablat Damien, Wenger Philippe Institut de Recherche en Communications et Cybernétique

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C.

16.1 Convergence simple et convergence uniforme. une suite de fonctions de I dans R ou C. 16 Suites de foctios Suf précisio cotrire, I est u itervlle réel o réduit à u poit et les foctios cosidérées sot défiies sur I à vleurs réelles ou complexes. 16.1 Covergece simple et covergece uiforme

Plus en détail

3- Les taux d'intérêt

3- Les taux d'intérêt 3- Les tux d'intérêt Mishkin (2007), Monnie, Bnque et mrchés finnciers, Person Eduction, ch. 4 et 6 Vernimmen (2005), Finnce d'entreprise, Dlloz, ch. 20 à 22 1- Mesurer les tux d'intérêt comprer les différents

Plus en détail

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.

aux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale. MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire

Plus en détail

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle

Chapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette

Plus en détail

Mais comment on fait pour...

Mais comment on fait pour... Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition

Plus en détail