Continuité en un point

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1 DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à valeurs dans R... Définition.. Continuité en un point de R Définition 4.. Soit f une fonction définie en un point x 0 R. On dit que f est continue en x 0 si f possède une limite quand x tend vers x 0. Comme x 0 D f, l existence d un limite en x 0 entraine que cette limite est égale à f(x 0 ) (proposition 3. du document 3). On peut donc traduire la continuité de f en x 0 par : ε > 0, η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Cette définition peut aussi être écrite à l aide des voisinages définis dans le document 5 par : V V(f(x 0 )), U V(x 0 ) tel que f(d f U) V Remarquons que si x 0 D f {x 0 }, c est-à-dire si x 0 n est pas isolé dans D f, alors f est continue en x 0 si et seulement si lim f(x) existe et vaut f(x 0 ). x x 0,x x 0 Exemples. ) Les fonctions constantes et les fonctions affines sont continues en tout point. ) Soit f la fonction définie sur R par f(x) = xe(/x) si x 0 et f(0) =. Par définition de la partie entière, on a pour x 0, E(/x) /x < E(/x) +, d où, pour x > 0, f(x) < f(x) + x et, pour x < 0, f(x) + x < f(x). On en déduit que pour tout x R, f(0) f(x) x et donc, en prenant η = ε dans la définition de la continuité, on voit que f est continue en 0. 3). La fonction x x est continue en tout point x 0 R +. En effet soit ε > 0. Si x 0 0 alors x x 0 = x x 0 x + x0 x x 0 x0 et donc η = ε x 0 convient pour montrer la continuité en x 0. Maintenant pour x 0 = 0, si η = ε alors 0 x < η implique x < ε d où la continuité en 0... Continuité et restrictions.... Caractère local du concept de continuité. Proposition 4.. Soit f : D f R, A R et x 0 D f. Si f est continue en x 0 et si x 0 A alors la restriction de f à D f A, notée f A, est aussi continue en x 0. Réciproquement, si f A est continue en x 0 et si A contient un intervalle ouvert contenant x 0 alors f est aussi continue en x 0. 59

2 60 4. CONTINUITÉ EN UN POINT Preuve. Voir celle du résultat analogue concernant les limites. Remarques. ) Pour la réciproque, il est important que A contienne un intervalle ouvert contenant x 0. Si le résultat était vrai sans cette hypothèse alors toute fonction serait continue en chaque point de son ensemble de définition. En effet si A = {x 0 } alors f A est continue en x 0. ) La proposition précédente montre le caractère local de la notion de continuité : seul le comportement de f dans un voisinage de x 0 intervient pour la continuité de f en x Continuité à droite et à gauche. On considère f : D f R et x 0 D f. Soit A = [x 0, + [. Si lim x x 0 f A existe, on dit que f est continue à droite en x 0. La continuité à droite de f en x 0 se traduit donc par : ε > 0, η > 0 tel que x D f et x 0 x < x 0 + η impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Si x 0 D f ]x 0, + [, la continuité de f à droite en x 0 équivaut à l existence pour la fonction f d une limite à doite égale à f(x 0 ). On définit de façon analogue la continuité à gauche en x 0. La fonction f est continue à droite et à gauche en x 0 si et seulement si f est continue en x 0. Exemples. ) La fonction partie entière, E : x E(x), est continue en tout point x 0 Z car il existe un intervalle ouvert contenant x 0 sur lequel E est constante. Maintenant, si x 0 Z, alors E est continue à droite en x 0 car il existe un intervalle ouvert contenant x 0 sur lequel la restriction de E à [x 0, + [ est constante. En revanche, E n est pas continue à gauche en x 0 car, pour tout η > 0, il existe x tel que x 0 η < x < x 0 et E(x) E(x 0 ) > /. ) Dans le document 33 (fonctions convexes), on montre que si une fonction f est convexe sur un intervalle ouvert I alors f possède en chaque point x de I une dérivée à gauche f g(x) et une dérivée à droite f d (x). La fonction f g (resp. f d ) est continue à gauche (resp. à droite) en tout point de I. 3). En calcul des probabilités, la fonction de répartition d une variable aléatoire est continue à droite pour toute valeur de la variable..3. Prolongement par continuité. Proposition 4.. Soit f : D f R, a D f \ D f (ce qui signifie : a D f et η > 0, x D f tel que x a < η). La fonction f possède une limite en a si et seulement si il existe un prolongement de f à D f {a} continu en a. Lorsque ce prolongement existe, il est unique et est appelé le prolongement par continuité de f en a. Sa valeur en a est lim f(x). Si la fonction x a f est continue en x 0 D f alors il en est de même pour son prolongement par continuité en a. Preuve. Supposons que f possède un prolongement f à D f {a} continu en a. On a D b f {a} = D f et donc a D b f {a} (a n est pas isolé dans l ensemble de définition de f) et la continuité de f en a entraine f(a) = lim f(x) = lim f(x). x a,x a x a Réciproquement, supposons que f possède une limite en a. On peut définir un prolongement f de f à D f {a} par f(a) = lim x a f(x). On a : lim f(x) = lim f(x) = f(a) x a,x a x a

3 . OPÉRATIONS ALGÉBRIQUES ET COMPOSITION 6 ce qui montre que f est continue en a. Considérons maintenant x 0 D f. Si f est continue en x 0 alors sa restriction f l est aussi. Réciproquement, supposons f continue en x 0, posons η = x 0 a et soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. Soit η = min(η, η ). On a η > 0 et x x 0 < η entraine x a. Il en résulte que si x x 0 < η et x D b f alors f(x) f(x 0 ) < ε et la fonction f est continue en x 0. (On peut aussi dire que D f étant ouvert dans D f {a}, la continuité de f en un point de D f équivaut à celle de f.) Pour l unicité du prolongement, soit g un prolongement de f à D f {a}, continue en a. Comme a n est pas isolé dans D f {a} (tout voisinage de a contient des élément de D f et donc des éléments de D f {a} distincts de a) la continuité de g en a entraine : d où g = f. g(a) = lim g(x) = lim f(x) = f(a) x a,x a x a Exemples. ) Une fonction f, definie sur un intervalle I, est dérivable en un point x 0 de I si et seulement si la fonction x0 definie sur I {x 0 } par x0 (x) = f(x) f(x 0) x x 0 est prolongeable par continuité à I. De plus, on a f (x 0 ) = x0 (x 0 ). ) On définit la fonction f sur R + par f(x) = x ln x. On sait que lim x 0 f(x) = 0 et donc on peut prolonger f par continuité en 0 par la fonction f en posant f(0) = 0... Opérations algébriques.. Opérations algébriques et composition Lemme 4.. Soit f; D f R et x 0 D f. () Si f est continue en x 0 alors f est bornée dans un voisinage de x 0. () Si f est continue en x 0 et si f(x 0 ) 0 alors f est non nul et majorée par f(x 0 ) dans un voisinage de x 0. Preuve. Pour la preuve de. reprendre celle du résultat analogue concernant les limites.. Il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < f(x 0). Comme l on a f(x 0 ) f(x) f(x) f(x 0 ), x x 0 < η et x D f impliquent f(x 0) < f(x) d où le résultat. Proposition 4.3. Soit f et g deux fonctions continues en un point x 0 R. () Pour tout (λ, µ) R, la fonction λf + µg est continue en x 0. () La fonction f.g est continue en x 0. (3) Si f(x 0 ) 0 alors la fonction f est continue en x 0.

4 6 4. CONTINUITÉ EN UN POINT Preuve. a) Il suffit d utiliser l inégalité triangulaire. b) On peut écrire g(x)f(x) g(x 0 )f(x 0 ) f(x 0 ) g(x) g(x 0 ) + g(x) f(x) f(x 0 ) ( ) Le lemme 4. entraine qu il existe η > 0 et M R + tels que x x 0 < η et x D g impliquent g(x) < M. Posons M = max(m, f(x 0 ) ) et remarquons que M > 0. Soit ε > 0. La continuité de f en x 0 entraine qu il existe η > 0 tel que si x D f et x x 0 < η alors f(x) f(x 0 ) < ε M. Maintenant la continuité de g entraine qu il existe η 3 > 0 tel que si x D g et x x 0 < η 3 alors g(x) g(x 0 ) < ε M. En utilisant ( ), on voit que x D f D g et x x 0 < min(η, η, η 3 ) impliquent ε. g(x)f(x) g(x 0 )f(x 0 ) < f(x 0 ) M + M. ε M ε/ + ε/ = ε et f.g est continue en x 0. c) Le lemme 4. entraine qu il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) < f(x 0 ). Pour tout x ]x 0 η, x 0 + η [ D f on peut écrire : f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) f(x) f(x 0 f(x 0 ) f(x 0) f(x) = f(x 0 ) f(x 0 ) f(x 0) f(x). La continuité de f en x 0 entraine l existence de η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(x 0 ) < ε. f(x 0). Soit η = min(η, η ). Si x D /f et x x 0 < η alors f(x) f(x 0 ) < ε d où la continuité de f en x 0. ( On notera dans cette preuve l utilisation implicite de la proposition 4. car en fait on a montré que c est la restriction de f à ]x 0 η, x 0 + η [ qui est continue en x 0.) Exemples ) Le quotient de deux fonctions f et g, continues en x 0, est continue en x 0 si g(x 0 ) 0. ) En partant de la continuité de l application identique en tout point de R on montre, en utilisant plusieurs fois la proposition précédente, qu il en est de même pour les fonctions polynômes. Les fonctions fractions rationnelles sont continues en tout point où le dénominateur n est pas nul, c est-à-dire en tout point de leur ensemble de définition... Composition. Proposition 4.4. Soit f une fonction de R dans R continue en x 0 et g une fonction de R dans R continue en f(x 0 ). La fonction g f est continue en x 0. Preuve. Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que x f(x 0 ) < η et x D g impliquent g(x) g(f(x 0 )) < ε. Par continuité de f, il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f entrainent f(x) f(x 0 ) < η Donc pour tout x D g f D f, si x x 0 < η alors f(x) f(x 0 ) < η d où g(f(x)) g(f(x 0 )) < ε ce qui montre la continuité de g f en x 0.

5 3. IMAGE D UNE SUITE CONVERGENTE PAR UNE FONCTION CONTINUE 63 Exemple. L inégalité x x 0 x x 0 entraine la continuité de la fonction valeur absolue en tout point de R. Si une fonction f à valeurs réelles est continue en x 0 alors il en est de même pour la fonction x f(x). Remarque. Pour établir la continuité de f en x 0 lorsque la fonction f est continue en x 0 et f(x 0 ) 0 on peut d abord montrer la continuité en tout point de R de l application x x et utiliser la proposition 4.4. Pour montrer la continuité de x x, soit ε > 0 et a 0. On a, pour x 0, x a = x a x a. Montrons que si x a < a / alors x a <. On a a x x a a / a d où a / x, ( a )/ a x et a x. Soit η = min( a /, ε a ). Si x a] < η a alors : x a = x a < x a a.ε a = ε et l application x x est continue au point a. 3. Image d une suite convergente par une fonction continue Proposition 4.5. Soit (x n ) une suite réelle convergente, de limite l. Pour toute fonction f de R dans R continue en l et telle que {x n n N} D f, la suite (f(x n )) converge vers f(l). Réciproquement, si pour toute suite réelle (x n ) convergente vers l D f et telle que {x n n N} D f, la suite (f(x n )) converge alors f est continue au point l. Preuve. Supposons f continue au point l et soit (x n ) une suite convergente de limite l, vérifiant {x n n N} D f. Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que x x 0 < η et x D f impliquent f(x) f(l) < ε. La convergence de (x n ) entraine l existence d un entier naturel N tel que si n N alors x n l < η. On a donc, pour n N, f(x n ) f(l) < ε ce qui montre que la suite (f(x n )) converge vers f(l). Supposons maintenant que f ne soit pas continue au point l D f. Il existe ε > 0 tel que pour tout η > 0, il existe x D f tel que f(x) f(l) ε. Soit y n D f, n N, tel que y n l < /n et f(y n ) f(l) > ε. Considérons la suite (x n )) de points de D f définie par x n = l et x n+ = y n. Comme la suite (y n ) converge vers l, il en est de même pour la suite (x n ). En revanche, la suite (f(x n )) est divergente car f(x n+ f(x n) = f(y n ) f(l) > ε. Donc si l image par f de toute suite qui converge vers l est une suite convergente alors f est continue au point l. Remarques ) On peut aussi énoncer la partie réciproque de la proposition précédente sous la forme : si pour toute suite réelle (x n ) convergente vers l D f et telle que {x n n N} D f, la suite (f(x n )) converge vers f(l) alors f est continue au point l. On démontre ce résultat en considérant la suite (y n ) qui intervient dans la preuve de la proposition. ) La proposition précédente est souvent utilisée pour montrer qu une fonction f n est pas continue en un point x 0. Pour cela il suffit de trouver une suite (x n ) de points de D f convergente vers x 0 et telle que la suite (f(x n )) soit divergente ou convergente mais avec une limite différente

6 64 4. CONTINUITÉ EN UN POINT de f(x 0 ). Par cette méthode, on peut montrer que la fonction f définie sur R par f(0) = 0 et f(x) = cos si x 0 n est pas continue en 0. x 3) Soit f : D f R tel que f(d f ) D f, et (x n ) une suite de points de D f définie par son premier terme x 0 D f et la relation de récurrence x n+ = f(x n ). Si (x n ) converge vers l et si f est continue au point l alors l = f(l). Lorsque de plus la fonction f est continue en tout point de D f, ce résultat montre que la limite éventuelle d une suite (x n ) de D f qui satisfait la relation de récurrence x n+ = f(x n ) est à rechercher parmi les solutions de l équation f(x) = x. On appelle valeur d adhérence d une suite (x n ) toute limite d une suite convergente extraite de (x n ). Si (x n ) converge vers l alors l est sa seule valeur d adhrence. Une suite bornée possède au moins une valeur d adhérence (thorème de Bolzano-Weierstrass) et une suite bornée ayant une seule valeur d adhérence l converge vers l. La proposition suivante est une généralisation d une partie de la proposition 4.5 Proposition 4.6. Soit f une application continue de [a, b] dans [a, b], (x n ) une suite définie par x 0 [a, b], x n+ = f(x n ) et A l ensemble des valeurs d adhérence de (x n ). On a f(a) = A. Preuve. Si α est une valeur d adhérence de (x n ) alors il existe ϕ : N N strictement croissante telle que α = lim x ϕ(n). La suite bornée (x ϕ(n) ) n>0 possède une valeur d adhérence n β : il existe ψ : N N strictement croissante telle que β = lim x ϕ(ψ(n)). La fonction f étant n continue, la suite (x ϕ(ψ(n)) ) converge vers f(β) et (x ϕ(ψ(n)) ) étant extraite de (x ϕ(n) ), on a f(β) = α. De plus, β est une valeur d adhérence de (x n ) car x ϕ(ψ(n)) est une suite extraite de (x n ). Considérons maintenant la suite de terme général x ϕ(n)+ = f(x ϕ(n) ). Par continuité de f, elle converge vers f(α) qui est une valeur d adhérence de (x n ) car n ϕ(n) + est strictement croissante. Finalement f(a) = A.

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