Cours de. Point et système de points matériels

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1 Abdellah BENYOUSSEF Amal BERRADA Pofesseus à la Faculté des Scences Unvesté Mohammed V Rabat Cous de Pont et système de ponts matéels A L USAGE DES ETUDIANTS DU 1 ER CYCLE UNIVERSITAIRE FACULTES DES SCIENCES, FACULTES DES SCIENCES ET TECHNIQUES, CLASSES PREPARATOIRES AUX ECOLES D INGENIEURS

2 PRESENTATION Ce document pésente l ensegnement de «Mécanque du pont et du système de ponts matéels», dspensé pendant quelques années pa les auteus à la Faculté des Scences de Rabat. Cetes, les ouvages de qualté consacés à cette même pate de la physque classque sont nombeux et chacun d eux compote généalement son ognalté qu tadut la sgnatue de ses auteus. C est justement ce cachet, fut d une expéence pédagogque qu fat que nous avons pvlégé dans le développement du document tel aspect su tel aute tout en estant à l ntéeu des contous des pogammes de mécanque classque généalement ensegnés. C est donc pou fae patage ces petts eements aux étudants, aux collègues, et autes concenés que nous avons été encouagés à puble ce cous. Les lecteus emaqueont que le pésent document a nssté de manèe patculèe su quelques aspects mathématques ou physques à taves lesquels on peut découv quelques fondements de la mécanque du pont et du système de ponts matéels. On peut cte notamment le poblème du epéage, le tède de Fenet, la noton de éféentel, le pendule de Foucault et autes applcatons lées à la dynamque teeste, les collsons élastques et nélastques, les oscllateus hamonques, le poblème à deux cops etc Ce document n est sûement pas exempt d mpefectons ou de coqulles qu ont pu échappe à note attenton ; les lecteus nous en excuseont volontes et toutes leus emaques seont les benvenues. Les auteus

3 Chapte I I- Repéage d'un pont matéel. Systèmes de coodonnées, sufaces et coubes coodonnées. L'espace physque est déct pa un espace euclden (dmenson 3) où sont défns les angles et les dstances. La poston de tout pont matéel M dans cet espace est défne pa appot à un (ou pluseus) objet(s) appelé(s) epèe. Pou caactése cette poston c'est à de pou epée le pont M, l sufft en généal de détemne 3 paamètes éels q, q 1, q 3 ou coodonnées du pont. A cet effet on défnt un système de coodonnées cohéent qu peut engende un espace dans lequel on assoce à tout pont M tos nombes q, q,q de 1 3 manèe unque. 1- Systèmes de coodonnées a- Coodonnées catésennes Sot un pont ogne O et un système d'axes (Oxyz) su lesquels on consdèe tos vecteus untaes e 1, e, e 3 supposés consttue une base othonomée decte. Tout pont M de l'espace peut ête caactésé pa ses coodonnées catésennes q = x, q = y, q = 1 3 z qu sont les pojectons de OM su les axes Ox, c'est-à-de : OM = x e 1 + y e + z e 3 Oy et Oz espectvement (fgue I.1), x = Om1 est l'abscsse du pont M, y = Om l'odonnée et z = Om 3 la cote avec x, y, z ] - ; + [.

4 z m 1 M(x,y,z) e 3 O m 1 e 1 e m y b- Coodonnées cylndques x Fg. I.1 En coodonnées cylndques tout pont M peut ête caactésé de manèe également unque pa la connassance des tos paamètes,ϕ,z : q 1 = = Om 0 (ayon vecteu) Om q = ϕ = ( Ox, OM ) [0,π[ q 3 = z = ' Om ] -,+ [ (angle polae) (cote) Les ponts m et m' sont les pojectons othogonales de M espectvement su le plan polae ( Ox, Oy ) et su l'axe Oz (vo FgI.). z m' M (,ϕ,z ) O ϕ m y x Fg. I.

5 c- Coodonnées sphéques En coodonnées sphéques tout pont M de l'espace (fgue I.3) peut ête caactésé de manèe également unque pa la connassance des tos paamètes (ou coodonnées sphéques), ρ,θ,ϕ défns pa : q 1 = ρ = OM [0,+ [ (ayon vecteu) q = θ = ( Oz, OM ) [0,π] (colattude ) q 3 = ϕ = ( Ox, Om ) [0,π [ (longtude) Fg. I.3 Remaque : S (q 1,q,q 3 ) est un système de coodonnées cohéent, alos q 1,q,q 3 peuvent ête expmées en fonctons des coodonnées d'un aute système. Ans nous pouvons avo en foncton des coodonnées catésennes pa exemple : q 1 = q 1 (x,y,z) ; q = q (x,y,z) ; q 3 = q 3 (x,y,z) et nvesement x= x (q 1,q,q 3 ) ; y = y (q 1,q,q 3 ) ; z = z (q 1,q,q 3 )

6 dans les cas patcules où nous penons comme q,q,q les coodonnées,ϕ,z nous auons 1 3 des elatons qu exstent ente les deux systèmes de coodonnées catésennes et cylndques : x = cos ϕ y = sn ϕ z = z et nvesement : = x + y ϕ = Actg y x ou Π + Actg y x (selon les sgnes espectfs de x et de y) z = z De la même manèe nous avons ente les coodonnées sphéques et catésennes les elatons : x = ρ sn θ cos ϕ y = ρ sn θ sn ϕ z = ρ cos θ et nvesement : ρ = x + y + z θ = Actg x + y z ou Π + Actg x + y z (selon le sgne de z) ϕ = Actg y x ou Π + Actg y x (selon les sgnes espectfs de x et y) Enfn ente les coodonnées sphéques et cylndques nous avons : = ρ sn θ ϕ = ϕ z = ρ cos θ et nvesement :

7 ρ = + z θ = Actg ρ z ou Π + Actg ρ z (selon le sgne de z) ϕ = ϕ II- Sufaces coodonnées. Coubes coodonnées 1- Défntons a- Suface coodonnée Sot (q,q,q ) un système de coodonnées, on appelle "suface coodonnée" 1 3 l'ensemble des ponts où l'une des coodonnées q est constante. On l'appelle également suface " so q ". b- Coube coodonnée L'ntesecton de deux sufaces coodonnées quelconques est une coube où seule la tosème coodonnée vae; on appelle cette coube une coube coodonnée "q vaable". Ans l'ntesecton des sufaces " so q 1 " et " so q " est la coube coodonnée "q 3 vaable". Remaques : * Dans un système de coodonnées (q,q,q ) quelconque tout pont M(q,q,q ) est à l'ntesecton des tos sufaces coodonnées " so q " = 1,,3 comme l est également à l'ntesecton des tos coubes q vaable assocés à = 1,,3. * On dt que les coubes coodonnées sont othogonales au pont M(q,q,q ) s les tangentes 1 3 en M aux tos coubes "q vaable" pou = 1,,3 sont pependculaes deux à deux (vo fgue II.1).

8 q vaable 3 T 3 T 1 M q vaable q vaable 1 Fg. II.1 T - Applcaton au cas de systèmes de coodonnées smples Il s'agt de détemne les sufaces et les coubes coodonnées que nous avons défnes pécédemment dans les cas des coodonnées catésennes, cylndques et sphéques successvement. a- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées catésennes. Sot un pont M(x,y,z) défn pa ses coodonnées catésennes; la suface x = x 1 = cte (" so x ") est le plan (π 1 ) paallèle au plan (Oy,Oz) passant pa le pont A 1 d'abscsse x 1 su l'axe Ox. De même la suface y = y 1 = cte (" so y ") est le plan (π ) paallèle au plan (Ox,Oz) et passant pa le pont B 1 d'odonnée y 1 su l'axe Oy. Enfn la suface z = z 1 = cte (" so z ") est le plan (π 3 ) paallèle au plan (Ox,Oy) et passant pa le pont C 1 de l'axe Oz et de cote z 1 (fgue II.).

9 z Z ( π ) X ' Y ' C 1 M ( π 3 ) Y X O B 1 y ( π 1 ) A 1 Z ' x Fg. II. La coube "x vaable"est l'ntesecton des plans (π ) et (π 3 ), pa conséquent c'est la dote X'X. La coube "y vaable" est l'ntesecton de (π 1 ) et (π 3 ) c'est donc la dote Y'Y et la coube "z vaable" est l'ntesecton des plans (π 1 ) et (π ), sot donc la dote Z Z. La fgue II.3 pésente ces coubes coodonnées au pont M. Z X' Y' M Y X Z' Fg. II.3 b- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées cylndques Sot M(,ϕ,z) défn pa ses coodonnées cylndques (fgue II.4); la suface = 1 = cte (" so ") est le cylnde (C) d'axe Oz et de ayon = 1 = OM. La suface ϕ = ϕ 1 = cte (" so ϕ ") est le dem-plan (P) : (Oz,Om). Enfn la suface z = z 1 = cte (" so z ") est le plan (P') paallèle au plan (Ox,Oy) et contenant le pont M de cote z = z 1.

10 M (, ϕ, z) ϕ x Fg. II.4 Pou les coubes coodonnées, celle qu coespond à " vaable" est l'ntesecton de " so ϕ " et " so z "; donc c'est la dem dote O'M. La coube coodonnée "ϕ vaable" est l'ntesecton de " so " et de " so z " c'esu pa conséquent le cecle de cente O' et de ayon O'M. Enfn la coube coodonnée "z vaable" est l'ntesecton des sufaces " so " et " so ϕ ", c'est pa conséquent la dote mm paallèle à Oz et passant pa M. La fgue II.5 epésente de manèe smplfée les coubes coodonnées et le pont M(,ϕ,z) qu se touve à leu ntesecton. ϕ vaable O' M (,ϕ,z) vaable Fg. II.5 z vaable c- Sufaces et coubes coodonnées en coodonnées sphéques Sot un pont M(ρ,θ,ϕ) défn pa ses coodonnées sphéques (fgue II.6).

11 z plan paallèle (C' ) m' M(ρ,θ,ϕ) θ O ϕ m y (C) dem plan x méden Fg. II.6 La suface ρ = ρ 0 = cte (" so ρ ") est la sphèe de cente O et de ayon OM = ρ 0 = cte; la suface θ = θ 0 = cte (" so θ ") est le dem cône de sommet O et de dem angle au sommet θ = θ 0. Enfn la suface ϕ = ϕ 0 = cte (" so ϕ ") est le dem plan méden (Oz,Om). La coube coodonnées "ρ vaable" est à l'ntesecton des sufaces " so θ " (dem cône) et " so ϕ " (dem plan méden), c'est pa conséquent (D) la dem-dote OM. La coube coodonnée "q vaable" est l'ntesecton des sufaces " so ρ " et " so ϕ " c'est-à-de à l'ntesecton de la sphèe et du dem-plan méden, c'est pa conséquent le dem-cecle (C) est appelé dem cecle méden. Enfn la coube coodonnée "ϕ vaable" est à l'ntesecton des sufaces " so ρ " '(sphèe) et " so θ " (dem cône), c'est donc le "cecle paallèle" (C') qu est paallèle au plan (Ox,Oy) de cente m' et de ayon m'm. La fgue II.7 epésente les coubes coodonnées au vosnage du pont M(ρ,θ,ϕ). (C' ) M (ρ,θ,ϕ) (D) (C) Fg. II.7

12 III- Systèmes d'axes locaux ("epèes locaux") 1- Poston du poblème Sot A (M) un champ de vecteus défn en un pont M de l'espace ; en généal ce pont M est un pont moble qu déct une tajectoe. A chaque nstant on peut assoce au pont moble M un système d'axes dont la decton vae d'un nstant à l'aute avec le pont. Ce système d'axes est appelé système d'axes locaux ou "epèe local". Le champ de vecteus A (M) poua alos se décompose à chaque nstant su les axes locaux. A tte d'exemple un pont matéel M en mouvement possède à chaque nstant une vtesse v (M) (champ de vecteus) ; cette vtesse peut s'éce comme la ésultante de ses composantes selon un système d'axes dont l'ogne est placée en ce pont M (ou en un pont quelconque) et les dectons dépendent de la poston du pont. Il s'agt donc de pécse ces dectons ans que les autes caactéstques du "epèe local" dans le cas d'un système de coodonnées quelconques (q 1,q,q 3 ), pus dans les cas patcule de systèmes de coodonnées catésennes, cylndques et sphéques. - Détemnaton du "epèe local" dans le cas généal a- Decton et sens des axes locaux Sot un système de coodonnées (q 1,q,q 3 ) et un pont M(q 1,q,q 3 ); ce pont est à l'ntesecton des tos coubes coodonnées "q vaables" (fgue III.1). q 3 vaable M q 1 vaable q vaable Fg. III.1

13 Consdéons un déplacement nfntésmal ( dm ) q su la coube coodonnée q vaable et 1 1 supposons que ( dm ) q sot suffsamment pett pou qu'l sot confondu avec la tangente à la 1 coube en M(q,q,q ) 1 3 Nous pouvons éce : ( dm ) q 1 = ( MM ) 1 avec M(q 1,q,q 3 ) et M 1 (q 1,dq 1,q,q 3 ) deux ponts su cette tangente (fgue III.) ; l'élément dfféentel ( dm ) q s'éct alos : 1 ( dm ) q 1 = M dq 1 q 1 ans ( dm)q 1 = dq 1 M est un vecteu tangent en M à la coube coodonnée "q vaable". 1 q 1 M q 1 q 1 vaable M ( q 1,q, q 3 ) M1 ( 1 dq1,q, q 3 q + ) Fg. III. En consdéant successvement deux autes déplacements nfntésmaux ( dm ) q = ( MM ) et ( dm ) q = ( MM 3 ) espectvement su les coubes coodonnées "q vaable" et "q 3 3 vaable", nous dédusons de la même manèe que pécédemment, que les vecteus :

14 (dm) dq q M = q et (dm) dq 3 q3 = M q 3 sont tangents en M à ces deux coubes coodonnées (fgue III.3). M M M L'ensemble des tos vecteus,, qu dépendent de la poston du pont q 1 q q 3 M(q,q,q ) défnt un système d'axes locaux ou "epèe local" assocé au système de 1 3 coodonnées (q,q,q ). Le caactèe "local" de ces axes vent du fat qu'ls dépendent 1 3 justement de la poston du pont M(q,q,q ) à chaque nstant. 1 3 M q 3 q 3 vaable M q 1 q 1 vaable M q q vaable Fg. III.3 Remaques : * Tout champ de vecteus A (M) peut s'éce comme la somme de tos composantes qu sont les pojectons de A (M) su les axes locaux; ans nous pouvons éce : A (M) = A q + A 1 q + A q 3

15 avec A q la pojecton de A (M) su la decton 1 coube coodonnée "q vaable". 1 M, c'est-à-de su la tangente en M à la q 1 * S nous consdéons un déplacement nfntésmal quelconque d M de M(q 1,q,q 3 ) nous pouvons donc éce également : dm = (d M ) q1 + (d M ) q + (d M ) q3 avec (d M M ) q = dq pojecton de d M su la tangente en M à la coube coodonnée q "q vaable". * L'ogne d'un système d'axes locaux peut ête placée en un pont quelconque de l'espace une fos que leu decton a été détemnée à chaque nstant. b- Vecteus untaes de base du système d'axes locaux M M M Nous avons défn tos vecteus ndépendants,, qu caactésent les q 1 q q 3 dectons du système d'axes locaux. Nous pouvons leu assoce des vecteus untaes de même sens et même decton en les nomalsant. Ans, les vecteus untaes su e q su la decton M sont défns successvement pa : q e q 1 = M q1 M q 1 e q = M q M q e q 3 = M q3 M q 3 ( e q 1, e q, e q 3 ) est une base de vecteus untaes du "epèe local". Remaques :

16 M * S les coubes coodonnées sont othogonales, c'est-à-de s au pont M les dectons, q 1 M M, sont pependculaes deux à deux, alos la base ( e q, e q, e q ) est othonomée. 1 3 q q 3 Nous avons alos : e q = 1 et e q. e q = 0 pou j j S, en plus nous avons : e q 1 Λ e q = e q 3 e q Λ e q 3 = e q 1 e q 3 Λ e q 1 = e q la base ( e q 1, e q, e q 3 ) est alos decte. * La base du système d'axes locaux étant défne, nous pouvons éce tout champ de vecteu A (M) sous la fome : A (M) = A q1 e q + A q e q + A q3 e q 1 3 avec A q = A q1 e q et A q1 epésentant la valeu algébque de la pojecton de A (M) su la 1 1 decton de e q, c'est-à-de : A (M) = ( A (M).e q ) e q + ( A (M). e q ) e q + ( A (M). e q ) e q Systèmes d'axes locaux en coodonnées catésennes, cylndques et sphéques a- "Repèe local" en coodonnées catésennes (q 1 = x, q = y, q 3 = z) Sot un système de coodonnées catésennes (O,x y z) et, j, k une base othonomée decte assocée à ce système.

17 z Z e z X' k O e x Y' j X Z' e y M (x,y,z) Y y x Fg. III.4 Sot M(x,y,z) un pont de l'espace tel que : OM = x + y j + z k Nous nous poposons de détemne le "epèe local" en M en applquant la démache suve au III. pécédent. Le pont M(x,y,z) est à l'ntesecton des tos dotes X'X, Y'Y, Z'Z qu coespondent espectvement aux tos coubes coodonnées " x vaable ", " y vaable " et " z vaable " (fgue III.4). Consdéons su la coube " x vaable " (dote X'X) un déplacement élémentae (d M ) x ; celu-c est poté pa la tangente en M à la coube coodonnée "x vaable" (c'est-àde la dote X'X passant pa le pont M est paallèle à Ox). Nous pouvons donc éce : (d M ) x = dx Pa alleus d'apès ce qu pécède ( III.) et en fasant q 1 = x nous avons :

18 (d M M M ) x = dx, avec = s on dentfe les deux expessons de (d M ) x. Dans ce cas x x M défnt dectement le peme vecteu untae e x du epèe local, en effet : x e x = M x M x = = En efasant de même su les autes coubes coodonnées, nous obtenons : e y = j et e z = k Le epèe local en M(x,y,z) est donc défn à pat de ses vecteus de base ( e x, e y, e ) qu consttuent un tède othonomé et dect. z Remaques : * Tout champ de vecteu A (M) peut ête décomposé à chaque nstant selon ses composantes su le "epèe local" en coodonnées catésennes : A (M) = A x e x + A y e y + A z avec A x = A (M). e x ; A y = A (M). y e z e ; A z = A (M). e z * En patcule un déplacement élémentae quelconque du pont M dans l'espace s'éct : dm = (d M ) x + (d M ) y + (d M ) z = dx e x + dy e y + dz b- Repèe local en coodonnées cylndques (q 1 =, q = ϕ, q 3 = z) e z e z Sot un pont M(,ϕ,z) défn pa ses coodonnées cylndques. Ce pont est à l'ntesecton des tos coubes coodonnées" vaable","ϕ vaable" et "z vaable", (fgue III.5)

19 z *e z M' *e ϕ M *e O ϕ m y x Fg. III.5 La coube " vaable " est la dem-dote M'M. Consdéons le vecteu untae e su cette decton et oenté dans le sens cossant de c'est-à-de dans le sens cossant de l'axe M ' M. Un déplacement élémentae de M su la coube coodonnée " vaable " losque vae de d s'éct : ( dm ) = d e Pa alleus nous avons : ( dm ) = M d en dentfant les deux expessons pécédentes nous obtenons : M = e

20 M ce qu pemet d'avo la decton d'un axe du " epèe local " en l'occuence celle de qu M est celle de e, et de défn le vecteu untae su cette decton pa, c'est-à-de pa M e. Repenons la même démache pou la coube coodonnée " ϕ vaable ", c'est-àde le cecle de cente M' et de ayon M'H =. Nous défnssons su la tangente en M à ce cecle un vecteu untae e ϕ oenté dans le sens cossant de ϕ (fgue III.6). Sot ( dm ) ϕ un déplacement élémentae de M su la coube coodonnée " ϕ vaable ", losque ϕ vae de dϕ. Supposons que dϕ est suffsamment pett pou que ( dm ) ϕ sot poté pa la tangente. M' dϕ M e ϕ Ans nous avons : ( dm ) ϕ = dϕ e ϕ pa alleus d'où ( dm ) ϕ = M dϕ ϕ M = dϕ e ϕ ϕ ce qu pemet de dédue que la seconde decton du système d'axes locaux est celle de e ϕ et M ϕ le vecteu untae su cette decton est donné pa, c'est-à-de pa e ϕ. M ϕ

21 Enfn su la coube coodonnée " z vaable " qu est la dote mm paallèle à oz, défnssons un vecteu untae e z oenté dans le sens cossant de z, c'est-à-de dans le sens cossant de l'axe mm. Sot (d M ) z un déplacement élémentae de M su la coube coodonnée " z vaable " losque z vae de dz; nous avons alos : (d M ) z = dz e z pa alleus nous avons : (d M ) z = M dz z d'où M = e z z et la denèe decton du système d'axes locaux est donc détemnée; c'est celle de e z, M pusque le vecteu untae assocé est z = e z M z Ans le "epèe local" (système d'axes locaux) en coodonnées cylndques est entèement détemné. La base de vecteus untaes ( e, e ϕ, e z ) que nous avons assocée au epèe local est othonomée (les coubes coodonnées étant othogonales en M) et decte. Remaques : * Tout champ de vecteus A (M) peut s'éce à l'ade de ses composantes dans le système d'axes locaux : A (M) = A e + A ϕ e ϕ + A z e z avec A = A (M). e A ϕ = A (M). e ϕ A z = A (M). e z composante adale composante othoadale composante axale

22 * Un déplacement élémentae quelconque dm s'éct alos sous la fome d'une somme de ses tos composantes : dm = ( dm ) + ( dm ) ϕ + ( dm ) z = d e + dϕ e ϕ + dz e z c- Repèe local en coodonnées sphéques : (q 1 = ρ, q = θ, q 3 = ϕ) Sot un pont M(ρ,θ,ϕ) défn pa ses coodonnées sphéques. Ce pont est à l'ntesecton des tos coubes coodonnées " ρ vaable ", " θ vaable " et " ϕ vaable " (fgue III.7). Fg. III.7 La coube coodonnée ρ vaable est la dem-dote OM ; défnssons e ρ vecteu untae su OM oenté dans le sens cossant de ρ = OM c'est-à-de de O ves M. Sot un déplacement élémentae ( dm ) ρ su cette coube coodonnée losque ρ vae de dρ ( dm ) = dρ ρ e ρ

23 ( dm ) = ρ M d ρ ρ en dentfant les deux expessons, nous dédusons : M = e ρ ρ ce qu pemet la détemnaton de la decton de à la coodonnée ρ au pont M. M, c'est-à-de celle de l'axe local assocé ρ ; sot e ρ La coube coodonnée " θ vaable " est de dem cecle méden (C) passant pa M le vecteu untae poté pa la tangente en M au dem cecle (C) et tel que son sens coespond au sens cossant de l'angle ( Oz, OM ) (fgue III.8). z M θ dθ O e θ (C) Fg. III.8 Sot ( dm ) θ un déplacement élémentae su la coube (C) losque la vaable θ vae de dθ ; nous avons : ( dm ) θ = ρ dθ e θ pa alleus ( dm ) θ = M dθ θ

24 d'où M = ρ e θ θ La decton du second axe du "epèe local" est donnée pa celle de M, c'est-à- θ M de pa la decton de e θ et le vecteu untae assocé est défn pa e θ ρ ρ = e θ θ = M θ Enfn pou la tosème decton du "epèe local" nous consdéons la coube coodonnée " ϕ vaable " qu est le cecle paallèle (C') de cente M'. Sot e ϕ le vecteu untae poté pa la tangente à (C') au pont M et oenté dans le sens cossant de ϕ et sot ( dm ) ϕ le vecteu déplacement élémentae du pont M su (C') losque ϕ vae de dϕ (fgue III.9). e ϕ (C' ) M' dϕ ϕ M M 1 θ ρ O Fg. III.9 ( dm ) ϕ = MM 1 = MM' dϕ e ϕ

25 = ρ sn θ dϕ e ϕ pa alleus ( dm ) ϕ = M dϕ ϕ d'où M = ρ sn θ e ϕ ϕ La decton du tosème axe local est celle de assocé à cette decton est : M, donc celle de e ϕ. Le vecteu untae ϕ M ϕ M ϕ sn θ sn θ = eϕ = eϕ Ans le "epèe local" au pont M en coodonnées sphéques a pou decton des M axes celles de, M M et espectvement, (ces dectons étant othogonales), et a pou ρ θ ϕ base othonomée et decte, le système ( e ρ, e θ, e ϕ ) tel qu'l a été défn. Remaques : * Tout champ de vecteus A (M) peut s'éce comme la ésultante de ses composantes selon les axes locaux : A (M) = A ρ e ρ + A θ e θ + A ϕ e ϕ avec A ρ = A θ = A ϕ = A (M). e ρ composante adale de A (M) A (M). e θ composante de A (M) A (M). e ϕ composante de A (M)

26 S A (M) = OM nous avons dans ce cas : OM = ρ e ρ avec e ρ = e ρ (θ,ϕ) foncton des paamètes θ et ϕ. * Un déplacement élémentae dm quelconque s'éct dans la base ( e ρ, e θ, e ϕ ) sous la fome : dm = ( dm ) ρ + ( dm ) θ + ( dm ) ϕ = dρ e ρ + ρ dθ e θ + ρ sn θ dϕ e ϕ d- Passage d'un epèe local à un aute Nous pouvons passe de la base en coodonnées catésennes ( e x, e y, e ) à la z base en coodonnées cylndques ( e, e ϕ, e ) pa les elatons : z e x + ( e. e y ) e y + ( e. e = ( e. e x ) = cos ϕ e x + sn ϕ e y e ) e z z e ϕ = ( e ϕ. e x ) e x + ( e ϕ. e y ) e y + ( e ϕ. e ) e z z = - snϕ e x + cosϕ e y e = z e z Ans, nous emaquons que nous avons e = e ( ϕ) et e ϕ = e ϕ ( ϕ). De même, les vecteus de la base en coodonnées sphéques peuvent s'expme en foncton des vecteus de base en coodonnées catésennes pa les elatons : e ρ = ( e ρ. e x ) e x + ( e ρ. e y ) e y + ( e ρ. e ) z = snθ cosϕ e x + snθ snϕ e y + cos θ e z e z e θ = ( e θ. e x ) e x + ( e θ. e y ) e y + ( e θ. e ) z e z

27 e ϕ = cosθ cosϕ e x + cosθ snϕ e y - snθ = ( e ϕ. e x ) e x + ( e ϕ. e y ) e y + ( e ϕ. = snϕ e x + cosϕ e y e ) z e z e z Nous emaquons dans ce cas que nous avons e ρ e ϕ = e ϕ (ϕ). = e ρ (θ,ϕ), e θ = e θ (θ,ϕ) et Les epésentatons planes su les fgues III.10 et 11 pemettent de touve faclement les elatons pécédentes. e ϕ e y e z e ρ M' O ϕ M ϕ e e x O θ M e θ e (C) Fg. III.10 plan paallèle dédut de la Fg.III.5 Fg. III.11 dem plan méden dédut de la Fg.III.7 4- Cas patcule : epèe local de Seet Fenet et fomules assocées. a - Pésentaton Sot une coube oentée epésentant la tajectoe d'un pont matéel M. Dans les paagaphes pécédents nous avons défn des systèmes d'axes locaux qu sont lés à la poston du pont M(q,q,q ), l'élément tajectoe n'ntevenant pas c'est à de que s le 1 3 pont M(q 1,q,q 3 ) est su la tajectoe (C 1 ) ou (C ) pa exemple, le epèe local en ce pont est le même ca l est lé à la seule poston du pont. Le epèe local de SERRET FRENET que nous allons ntodue est d'un type dfféent des autes dans la mesue où ce système d'axes

28 locaux dépend à la fos de la tajectoe du pont matéel et de la poston de ce pont su la tajectoe et non pas seulement de la poston du pont dans un epèe donné. (C ) M Fg. III.1 (C ) 1 Ans s on connat les caactéstques de la tajectoe on peut alos défn en chaque pont et de manèe unque un système d'axes locaux patcule appelé epèe de SERRET FRENET. Les composantes dans ce epèe sont appelées composantes ntnsèques. b - Eléments caactéstques d'une coube (tajectoe) La connassance des caactéstques d'une coube quelconque (c'est-à-de qu n'est pas focément plane), telles que les notons de plan osculateu, nomale pncpale, bnomale, ayon de coubue, ayon de toson, etc, sont nécessaes pou la détemnaton du tède de SERRET FRENET et les elatons ente les vecteus untaes de ce tède, auss avons nous développé en paagaphe annexe toutes ces notons. c - Tède et base de SERRET FRENET Sot (C) une coube tajectoe et M un pont de cette coube. On consdèe la decton MT de la tangente à (C) au pont M et su cette decton un vecteu untae τ oenté dans le sens de pacous de la tajectoe (fgue III.13).

29 B *b (C) T *τ M *n Fg. III.13 N Pa alleus, sot MN la decton de la nomale pncpale à la coube (C) au pont M, c'est-à-de la pependculae à MT qu est contenue dans le plan osculateu à la coube (C) au même pont, on consdèe alos su cette nomale pncpale un vecteu untae n oenté postvement ves le cente de coubue de (C). Enfn sot MB la decton de la bnomale à la coube au pont M, c'est-à-de la pependculae au plan ( MT, MN ) et on consdèe un vecteu untae b poté pa ( MB ) et oenté de telle manèe que ( τ, n, b ) sot un tède dect. Ans le tède ( MT, MN, MB ) défnt le tède de SERRET-FRENET et ( τ, n, b ) consttue la base othonomée decte qu lu est assocée, c'est-à-de nous avons : τ Λ n = b n Λ b = τ b Λ τ = n d - Fomules de SERRET-FRENET Sot ( τ, n, b ) la base de SERRET-FRENET et un pont M d'abscsse cuvlgne "s" su la coube tajectoe (C); le ayon de coubue R(s) et le ayon de toson T(s) de la coube (C) au pont M sont défns (vo annexe A) pa les elatons : dτ = ds n R(s) (1)

30 db = - ds n T(s) () dn A pat de ces elatons nous pouvons dédue l'expesson de. En effet : ds n = b Λ τ d n ds = d ( b Λ τ ds ) dn = Λ τ + b Λ ds dτ ds compte tenu des elatons (1) et () nous avons : dn = - ds n T(s) Λ τ + b Λ n R(s) d'où (3) dn = ds b - T(s) τ R(s) Les fomules (1), (), (3) sont appelées fomules de SERRET-FRENET. IV- Caactéstques fondamentales de la cnématque La noton de temps ayant été ntodute pécédemment nous pésentons les notons de tajectoe, de vtesse et d'accéléaton. 1- Tajectoe - Equatons paamétques du mouvement a - Tajectoe Sot un moble M et O une ogne fxe. A chaque nstant t la poston de M est donnée pa le vecteu OM (t). L'ensemble des postons du pont M losque t vae de manèe contnue consttue une coube (C) qu epésente la tajectoe du moble.

31 b- Equatons paamétques Sot un système de coodonnées (q,q,q ); la poston d'un pont matéel M pa 1 3 appot à un epèe est donnée pa ses coodonnées M(q,q,q ). S le pont M déct une 1 3 coube tajectoe (C), les coodonnées q,q,q sont en généal des fonctons d'un paamète 1 3 auxlae t qu détemne la poston de M su cette tajectoe. Les équatons du mouvement de M su la tajectoe (C) sont alos : q 1 = f(t) q = g(t) q 3 = h(t) Exemples : * Dans le système de coodonnées catésennes x,y,z un pont M qu évolue su une tajectoe cculae de ayon R dans le plan xoy (vo fgue IV.1) a pou équatons paamétques de mouvement : x = R cos ωt y = R sn ωt z = 0 z O ωt R M y x Fg. IV.1

32 Dans le système de coodonnées cylndques,ϕ,z le même mouvement du pont M est déct pa les équatons paamétques : = R = cte ϕ(t) = ω t z = 0 Remaques : * En mécanque le paamète t epésente souvent le temps; cependant d'autes paamètes sont également utlsés dans les équatons paamétques. Pa alleus, toute coube tajectoe assocée à un mouvement peut ête epésentée paamétquement d'une nfnté de manèes, en substtuant au paamète t consdeé ntalement, un aute qu en est dédut pa une elaton quelconque. Ans dans l'exemple pécédent du système de coodonnées catésennes au leu de t on peut pende ϕ = ωt et on aua avec le paamète ϕ : x = R cos ϕ y = R sn ϕ z = 0 * En élmnant le paamète auxlae (quel qu'l sot) ente les équatons paamétques nous pouvons touve la ou les elaton (s) elant les coodonnées des ponts de la coube tajectoe. Ans dans le cas smple pécédent x = R cos ωt y = R sn ωt z = 0 l'élmnaton de t nous donne : x + y = R et z = 0

33 qu epésente l'équaton d'un cecle dans le plan xoy. Dans le cas plus généal d'une coube tajectoe gauche, l'élmnaton du paamète t pemet de passe des équatons paamétques x(t), y(t), z(t) (s on se place dans le système de coodonnées catésennes pa exemple) aux coubes expmées pa l'ntesecton de deux sufaces. On obtent alos deux équatons elant x,y,z : f 1 (x,y,z) = 0 (1) g 1 (x,y,z) = 0 () Sgnalons que cec n'mplque pas que l'ntesecton des deux sufaces epésentées pa (1) et () sot exclusve aux seuls ponts de la coube (C). D'autes ponts autes que ceux qu consttuent (C) peuvent véfe également smultanement (1) et (). Donc des condtons supplémentaes sont nécessaes pou que les équatons (1) et () soent absolument équvalentes aux équatons paamétques x(t), y(t), z(t). - Vtesse d'un pont matéel a- Vtesse moyenne Sot un pont matéel M en mouvement dans un éféentel (R). A l'nstant t le pont est en A et à un nstant t' l est en A'. A t A' t' La vtesse moyenne du moble ente t et t' est pa défnton : v moy (M) = AA' = t' t A avec t A = AA ' et t = t' - t Cette vtesse moyenne ne dépend que du pont de dépat et du pont d'avée. Cette vtesse moyenne est peu utlsée du fat qu'elle ne ende pas compte de l'évoluton de la vtesse ente les nstants t et t'.

34 b- vtesse nstantanée La vtesse nstantanée d'un moble M à un nstant t, pa appot à un éféentel (R) est la lmte de la vtesse moyenne pécédemment défne, losque t = t'-t tend ves 0. v (M) = lm v AA ' OA' OA moy (M) = lm = lm (1) t t t 0 t 0 t 0 S O est une ogne fxe quelconque, on peut assoce à chaque nstant au moble M, le vecteu poston OM (t) foncton vectoelle de pont. Ans à l'nstant t le moble est en A et nous avons OM (t) = OA et à l'nstant t' = t + t le moble est en A' et nous avons OM(t + t) = OA '. D'apès (1) la défnton de la vtesse nstantanée se amène donc à celle de la dévée pa appot au temps de la foncton vectoelle OM (t). v (M) = lm OM(t + t) OM(t) t losque t 0 = lm M t t 0 et on note cette vtesse nstantanée en utlsant l'éctue dfféentelle v (M) = la vtesse nstantanée étant elatve au éféentel (R) on adoptea la notaton suvante pou la sute. v dm (M) /R = / R dm Remaques : * La vtesse nstantanée v (M) est tangente à la tajectoe (C) et oentée dans le sens du mouvement (fgue IV.). S τ est le vecteu untae poté pa la tangente à la coube au pont M et oenté dans le sens du mouvement du moble, nous pouvons éce : v (M) = v (M) τ

35 (C) M (t) v (M) M (t + t) Fg. IV. v (M) * La vtesse s'expme en unté de longueu pa unté de temps [L][T -1 ]. c. Hodogaphe du mouvement Sot une tajectoe (C) pacouue pa un moble M. En chaque pont A de la tajectoe (fgue IV.3) (c'est-à-de à chaque nstant t ) le pont M a une vtesse v t (M) = v. M (t1) A 1 v 1 M(t) (C) A v M (t 3) v 3 A Fg. IV.3 Sot un pont fxe O ps comme ogne des vecteus équpollents aux vecteus v ; c'est-à-de à pat du pont O on tace les vecteus OB = v ( = 1,, ). La coube (C') défne pa les extemtés B est appelée hodogaphe du mouvement (fgue IV.4). B 1 B (C' ) O B Fg. IV.4

36 3- Accéléaton d'un pont matéel L'accéléaton pa appot à un éféentel (R) assocée à un moble M tadut la vaaton au cous du temps du vecteu vtesse. En d'autes temes le vecteu vtesse est pou l'accéléaton ce que le vecteu poston est pou le vecteu vtesse. On défnt donc le vecteu accéléaton nstantanée γ(m) du moble M pa appot à un éféentel (R) pa la dévée pa appot au temps du vecteu vtesse v (M) : γ(m) /R = lm t 0 v(t + t) v(t) t (1) dv(m) = / R o nous avons : v (M) /R = dm / R d'où γ(m) dv(m) /R = / R = d dm / R et en utlsant la notaton : d dm / R = d M / R Nous dédusons que l'accéléaton nstantanée du moble M peut s'éce : d M γ(m) /R = / R Remaque : * On monte à pat de l'expesson (1) que l'accéléaton est toujous oentée ves la concavté de la tajectoe (fgue IV.5).