L'année de seconde décisive pour la compréhension du raisonnement statistique.

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1 Groupe IREM Statistiques et Probabilités L'année de seconde décisive pour la compréhension du raisonnement statistique. La notion d'échantillonnage prend une part importante dans les programmes de lycée. En classe de première la loi binomiale et l'intervalle de fluctuation associé, en classe de terminale la loi normale et les intervalles de fluctuations asymptotiques, sont difficiles à acquérir. Il nous a donc paru essentiel, en classe de seconde, de bien prendre le temps d'installer les concepts d'échantillon, de stabilisation des fréquences, de fluctuation des échantillons et d'intervalle de fluctuation par des activités variées qui permettent aux élèves de manipuler et d'observer ce qui se passe. Aussi trouvons nous très important de commencer ce travail le plus tôt possible dans l'année. Pour nous il sera fait avant le chapitre sur les probabilités, qui prendra alors tout son sens une fois ces notions bien installées. Dans ce premier document nous proposons une présentation de ces notions en utilisant une seule situation qui fera le lien avec le travail de troisième. Nous commencerons par faire un état des lieux des connaissances vues en classe de troisième. Puis nous présenterons l'activité avant d'en suivre le déroulement pour aborder toutes les notions de la classe de seconde. I. État des lieux des connaissances des élèves qui arrivent de 3 ème. 1. En statistiques Les élèves ont travailler les savoir-faires calculer une fréquence, calculer des moyennes pondérées, déterminer médianes et quartiles dans des cas très simples. 2. En probabilités Le programme de troisième a pour objectifs de : faire émerger la loi des grands nombres, mettre en place le vocabulaire et les notations des probabilités. IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 1/9

2 Ainsi les élèves : auront abordé la notion de probabilité comme limite, lorsque la taille de l'échantillon augmente, de la fréquence d'apparition d'un événement, connaîtront les notions d'issues et d'événements, sauront que la somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1, sauront calculer des probabilités dans des cas simples. 3. Exemples d'exercices demandés au DNB a. exemple 1 Dans un jeu de société, les jetons sont des supports de format carré, de mêmes couleurs, sur lesquels une voyelle de l'alphabet est inscrite. Le revers n'est pas identifiable. Il y a 100 jetons. Le tableau ci-dessous donne le nombre de jetons du jeu pour chacune des voyelles : Lettre du jeu A E I O U Y Effectif On choisit au hasard une lettre de ce jeu. 1. Quelle est la probabilité d'obtenir la lettre I? 2. Quelle est la probabilité d'obtenir une voyelle? 3. Quelle est la probabilité d'obtenir une consonne? b. Exemple 2 Un dé cubique a six faces peintes : une en bleu, une en rouge, une en jaune, une en vert et deux en noir. 1. On jette ce dé cent fois et on note à chaque fois la couleur de la face obtenue. Le schéma ci-contre donne la répartition des couleurs obtenues lors de ces cent lancers. a) Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur jaune. b) Déterminer la fréquence d'apparition de la couleur noire. 2. On suppose que le dé est équilibré. a) Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur jaune? b) Quelle est la probabilité d'obtenir la couleur noire? 3. Expliquer l'écart entre les fréquences trouvées à la question 1. et les probabilités trouvées à la question 2. IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 2/9

3 II. Une activité qui fait le lien entre la troisième et la seconde : le jeu du Lièvre et de la Tortue 1 Une partie du jeu du Lièvre et la Tortue se déroule ainsi : on lance un dé, si le dé tombe sur un 6 le lièvre atteint directement la case ARRIVEE, la partie est alors terminée ; le lièvre a gagné. si le dé tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5 la tortue avance d'une case et on relance le dé. la tortue doit avancer 5 fois avant d'accéder à la case ARRIVEE, la partie est alors terminée. ; la tortue a gagné. Quelle est la situation la plus enviable : celle du lièvre, celle de la tortue? 1. Pourquoi avoir choisi de travailler avec ce jeu? C'est une situation nouvelle, différente des habituels dés ou «pile ou face». L issue n est pas évidente pour les élèves de Seconde et le calcul de la probabilité que le lièvre gagne n'est accessible qu'en classe de première. p=1 ( ) 0, Déroulement en classe a. Premiers essais : expérimentation On pose la question aux élèves, on obtient : Lièvre Tortue Équitable Devant le désaccord, les élèves proposent, d'eux-mêmes, d'essayer. On demande donc aux 32 élèves de réaliser 10 parties à la maison, de noter le nom du gagnant, puis 1 Cet exercice est issu du document MEN, CNDP et GTD de mathématiques - Onze fiches de statistique / Juin 2000 IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 3/9

4 de calculer les fréquences de gain du lièvre et de la tortue. On rassemble les données. Chacun des 32 élèves donne la fréquence de réussite du lièvre sur 10 essais : On a reposé la question aux élèves, ils ne sont toujours pas d accord. Lièvre Tortue Équitable Les élèves soulignent qu'il faudrait faire plus d'essais mais n'ont pas envie de le faire et proposent de rassembler tous les résultats pour avoir un échantillon de plus grande taille. Une première définition est notée : Un échantillon de taille n est la liste des résultats obtenus par n répétitions indépendantes d'une même expérience aléatoire. On récolte donc un échantillon de taille 320 avec 175 lièvres gagnants et 145 tortues gagnantes. Question posée aux élèves : Que peut-on en conclure? Tous les élèves pensent que le lièvre a plus de chance de gagner. Certains élèves se rappelle que plus on fait d'essais et plus on arrive à la probabilité. b. Vers l'approche fréquentielle Nous proposons donc de simuler le jeu On simule 320 parties et on reporte la fréquence qui évolue au fur et à mesure des parties. Quand n devient grand, les fréquences se stabilisent vers une valeur qu on appelle probabilité de gain du lièvre. Avec le logiciel R Avec le tableur IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 4/9

5 Remarque : Quand on connaît la valeur de p, comme dans le cas du «pile ou face», on peut la faire figurer explicitement sur le graphique. Un résumé est noté : Pour approcher la probabilité p d un événement, on fait des essais et quand le nombre d essais devient grand, la fréquence d apparition de l événement se stabilise autour de p. c. Fluctuation d'échantillonnage Les fréquences obtenues par les élèves fluctuent. Pour certains la tortue sort même gagnante Avec le tableur, on simule alors des échantillons de tailles 10, 100, 1000 et on affiche le nuage de points correspondant, en veillant à ce que l'échelle soit la même sur les trois graphiques. 32 échantillons de taille échantillons de taille échantillons de taille 1000 On note une deuxième définition : Pour une population donnée, les échantillons peuvent avoir des compositions différentes. On dit qu'il y a fluctuation d'échantillonnage. d. Étude de l'amplitude des échantillons Avec le logiciel R On simule maintenant 1000 échantillons de respectivement 10, 50, 100, 500, 1000 parties et on calcule les fréquences de gain du lièvre. Les résultats sont résumés dans le tableau suivant illustrés IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 5/9

6 par les boîtes qui suivent. Taille de l'échantillon min 0,2 0,48 0,52 0,55 0,575 max 0,9 0,74 0,72 0,63 0,637 Q 1 0,5 0,56 0,56 0,58 0,5915 Médiane 0,6 0,59 0,605 0,59 0,6045 Q 3 0,7 0,65 0,64 0,6 0,612 On représente l'étendue en fonction de 1 n 1 l'étendue max-min est proportionnelle à n où n est la taille de l'échantillon et on remarque que Avec le tableur Avec les résultats de la simulation faite par 32 élèves : Élève 1 Élève 2 Élève 3 Élève 4 Élève 5 Élève 6 Élève 7 Élève 8 Élève 9 Élève 10 Élève 11 Élève 12 Élève 13 Élève 14 Élève 15 Élève 16 Taille 10 0,7 0,6 0,9 0,5 0,6 0,5 0,7 0,6 0,6 0,6 0,7 0,3 0,5 0,6 0,7 0,5 Taille 50 0,58 0,6 0,68 0,6 0,7 0,56 0,72 0,56 0,74 0,68 0,7 0,6 0,62 0,64 0,62 0,72 Taille 100 0,640 0,590 0,680 0,620 0,720 0,650 0,790 0,620 0,670 0,650 0,620 0,650 0,600 0,660 0,660 0,690 Taille 500 0,678 0,634 0,664 0,664 0,688 0,652 0,704 0,660 0,648 0,694 0,668 0,636 0,644 0,674 0,644 0,670 Taille ,6710 0,6400 0,6640 0,6560 0,6970 0,6640 0,6700 0,6750 0,6530 0,6880 0,6540 0,6450 0,6430 0,6760 0,6520 0,6910 Élève 17 Élève 18 Élève 19 Élève 20 Élève 21 Élève 22 Élève 23 Élève 24 Élève 25 Élève 26 Élève 27 Élève 28 Élève 29 Élève 30 Élève 31 Élève 32 Taille 10 0,7 0,3 0,6 0,6 0,9 0,4 0,9 0,8 0,5 0,6 0,7 0,8 0,7 0,7 0,4 0,5 Taille 50 0,64 0,48 0,74 0,74 0,64 0,66 0,74 0,74 0,58 0,76 0,64 0,66 0,68 0,7 0,54 0,52 Taille 100 0,680 0,600 0,700 0,740 0,640 0,640 0,670 0,700 0,620 0,690 0,680 0,660 0,690 0,650 0,580 0,610 Taille 500 0,680 0,658 0,674 0,672 0,646 0,618 0,640 0,648 0,640 0,622 0,664 0,634 0,642 0,698 0,668 0,654 Taille ,6570 0,6570 0,6790 0,6610 0,6450 0,6450 0,6480 0,6580 0,6530 0,6560 0,6710 0,6580 0,6490 0,6860 0,6590 0,6510 IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 6/9

7 On représente l'étendue et 2 n en fonction de n : On énonce une proposition : Les fréquences f d apparition de l événement fluctuent dans un 2 intervalle dont l'amplitude est proche de n et donc le rayon est proche de 1 n. Pour n>25 et 0,2< p<0,8 Pour plus de 95% des échantillons de taille n, l écart entre la fréquence f d apparition de 1 l événement et p est inférieur ou égale à n e. Prise de décision : intervalle de fluctuation. On annonce et on admet que la valeur exacte de la probabilité que le lièvre gagne est p=1 ( ) 0,598. On énonce la définition : L intervalle I f =[ p 1 au seuil de 95%. n ; p+ 1 n ] est appelé intervalle de fluctuation On vérifie la proposition précédente : dans au moins 95% des échantillons f I f. Illustration avec R pour 1000 échantillons de taille IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 7/9

8 Illustration avec 100 échantillons de taille 50 sur tableur On interroge les élèves : Un élève a trouvé une fréquence de réussite du lièvre pour 50 parties égale à 0,78. Son professeur trouve cette fréquence anormale et lui dit qu'il s'est trompé. Qu'en pensezvous? I f =[ p 1 n ; p+ 1 =[0,456 ;0,740] n ] 0,78 I f. Le professeur a raison avec un risque d'erreur de 5%. f. Estimation : intervalle de confiance de niveau de confiance 95%. On fait 500 essais et on observe une fréquence de 0,558 pour le lièvre? Que peut-on dire de la probabilité p que le lièvre gagne? D après la proposition du d., on a au moins 95% de chance que 0,558 s écarte de p de moins de 1 500, donc que p appartienne à l'intervalle [ 0, ;0, ] =[0,513 ;0,603 ]. On dit que [0,513;0,603] est un intervalle de confiance pour p de niveau de confiance 95%. IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 8/9

9 Illustration du niveau de confiance Simulation sur tableur des intervalles de confiance de 100 échantillons de taille 50 pour le Lièvre et la Tortue On simule sur R, 50 échantillons de taille 500 du «pile ou face» équilibré et on représente les intervalles de confiance associés, ainsi que p. g. Exercices types 1 Dans une expérience de perception extra-sensorielle, on demande à un sujet isolé dans une pièce d identifier la couleur de 50 cartes bien battues. Il identifie 32 cartes correctement. Croyez vous qu il a des dons? 2 Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type «grains ponctuels sur le capot». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20% de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 500 véhicules, on observe 26% de défauts. Faut-il s inquiéter? IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités 9/9

10 2 nde Fiche élève Échantillonnage : le jeu du Lièvre et de la Tortue Une partie du jeu du Lièvre et la Tortue se déroule ainsi : on lance un dé, si le dé tombe sur un 6 le lièvre atteint directement la case ARRIVEE, la partie est alors terminée ; le lièvre a gagné. si le dé tombe sur 1, 2, 3, 4 ou 5 la tortue avance d'une case et on relance le dé. la tortue doit avancer 5 fois avant d'accéder à la case ARRIVEE, la partie est alors terminée. ; la tortue a gagné. Quelle est la situation la plus enviable : celle du lièvre, celle de la tortue? 1. Faire 10 parties Partie 1 Partie Résultat Sur 10 parties la fréquence de réussite du lièvre est : 2. Continuer afin d'obtenir 50 parties Partie Résultat Partie Résultat Partie Résultat Partie Résultat Sur 50 parties la fréquence de réussite du lièvre est : IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités Fiche élève 1/4

11 Partie 2 : le cumul des parties 1. Compléter le tableau en utilisant les 10 parties faites par chaque élève de la classe. n Nombre de parties 10 parties Cumul des parties Effectif de «Lièvre» Fréquence de «Lièvre Nombre de parties Effectif de «Lièvre» Fréquence de «Lièvre IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités Fiche élève 2/4

12 2. Représenter graphiquement le cumul des fréquences. Bilan : Partie 3 : observation de l'étendue des fréquences élèves ont calculé la fréquence de réussite du lièvre pour des échantillons de taille 10, 50, 100, 500, Élève 1 Élève 2 Élève 3 Élève 4 Élève 5 Élève 6 Élève 7 Élève 8 Élève 9 Élève 10 Élève 11 Élève 12 Élève 13 Élève 14 Élève 15 Élève 16 Taille 10 0,7 0,6 0,9 0,5 0,6 0,5 0,7 0,6 0,6 0,6 0,7 0,3 0,5 0,6 0,7 0,5 Taille 50 0,58 0,6 0,68 0,6 0,7 0,56 0,72 0,56 0,74 0,68 0,7 0,6 0,62 0,64 0,62 0,72 Taille 100 0,640 0,590 0,680 0,620 0,720 0,650 0,790 0,620 0,670 0,650 0,620 0,650 0,600 0,660 0,660 0,690 Taille 500 0,678 0,634 0,664 0,664 0,688 0,652 0,704 0,660 0,648 0,694 0,668 0,636 0,644 0,674 0,644 0,670 Taille ,6710 0,6400 0,6640 0,6560 0,6970 0,6640 0,6700 0,6750 0,6530 0,6880 0,6540 0,6450 0,6430 0,6760 0,6520 0,6910 Élève 17 Élève 18 Élève 19 Élève 20 Élève 21 Élève 22 Élève 23 Élève 24 Élève 25 Élève 26 Élève 27 Élève 28 Élève 29 Élève 30 Élève 31 Élève 32 Taille 10 0,7 0,3 0,6 0,6 0,9 0,4 0,9 0,8 0,5 0,6 0,7 0,8 0,7 0,7 0,4 0,5 Taille 50 0,64 0,48 0,74 0,74 0,64 0,66 0,74 0,74 0,58 0,76 0,64 0,66 0,68 0,7 0,54 0,52 Taille 100 0,680 0,600 0,700 0,740 0,640 0,640 0,670 0,700 0,620 0,690 0,680 0,660 0,690 0,650 0,580 0,610 Taille 500 0,680 0,658 0,674 0,672 0,646 0,618 0,640 0,648 0,640 0,622 0,664 0,634 0,642 0,698 0,668 0,654 Taille ,6570 0,6570 0,6790 0,6610 0,6450 0,6450 0,6480 0,6580 0,6530 0,6560 0,6710 0,6580 0,6490 0,6860 0,6590 0, Compléter le tableau : Taille n Fréquence minimum Fréquence maximum Étendue 2 n IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités Fiche élève 3/4

13 3. Représenter sur le même graphique l'étendue et 2 n en fonction de n. Bilan : Partie 4 : prise de décision 1. Un élève a trouvé une fréquence de réussite du lièvre pour 50 parties égale à 0,78. Son professeur trouve cette fréquence anormale et lui dit qu'il s'est trompé. Qu'en pensez-vous? Pour le jeu du Lièvre et la Tortue la fréquence théorique de réussite du lièvre est : p=1 ( 5 5 6) 2 On s intéresse à l intervalle d'amplitude n [ : p 1 n n] ; p+ 1 où n est la taille de l'échantillon. On cherche à savoir quel est le pourcentage des échantillons dont la fréquence n'est pas dans cet intervalle. 2. Déterminer l'intervalle de fluctuation pour des échantillons de taille : n=25 p 1 n = p+ 1 n = [ p 1 n ; p Déterminer l'intervalle de fluctuation pour des échantillons de taille : n=50 n] = n] = p 1 n = p+ 1 n [ = p 1 n ; p Observation sur un fichier tableur de 100 échantillons de taille 25, puis de taille 50 du jeu du Lièvre et la Tortue. Compter le nombre d'échantillon en dehors de l'intervalle de fluctuation. Bilan et Conclusion : IREM d'orléans - Groupe Statistiques et Probabilités Fiche élève 4/4