Dynamique du point matériel

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1 Chaptre III Dynaqe d pont atérel I Généraltés La cnéatqe a por objet l étde des oveents des corps en foncton d teps, sans tenr copte des cases q les provoqent La dynaqe est la scence q étde (o déterne) les cases des oveents de ces corps II Le prncpe d nerte (1 ère lo de Newton) C est Gallée q a le preer sggéré ce prncpe Il constte la preère lo de Newton et q s énonce coe st : «Tot objet conserve son état de repos o de oveent rectlgne nfore en l absence de forces agssant sr l» Cette 1 ère lo pet ass s énoncer : Chap III: Dynaqe d pont atérel 1

2 S acne force n agt sr n objet o s la force résltante est nlle, - Un objet a repos reste a repos ; - Un objet en oveent contne à se ovor à vtesse constante earqe Cette 1 ère lo de Newton, telle q elle a été énoncée, ne s applqe pas à n observater sos à ne accélératon Elle nos aène à défnr n référentel d nerte III éférentels d nerte o galléens On appelle référentel d nerte, n systèe de référence (o repère) dans leqel la preère lo de Newton est applcable D après cette défnton, n référentel d nerte n exste pas ; on ne dspose qe de référentels approxatfs Exeples Por la plpart des expérences qe l on pet réalser sr terre, le repère a sol constte n bon repère d nerte, alors qe por le oveent d n pont ce repère lé a sol n est pas n repère d nerte S l on chost n systèe d axes lés a Solel et drgés vers certanes étoles, le oveent d ne planète d systèe solare devent sple (référentel de COPENIC) Por ce oveent le repère lé a Solel est n bon repère d nerte earqe Tot systèe de coordonnées q se déplace à vtesse constante par rapport à n référentel d nerte, pet être l-êe consdéré coe n référentel d nerte Les vtesses et les accélératons des corps, esrées dans les référentels galléens, sont es absoles et celles esrées dans les référentels non galléens sont es relatves IV asse et centre d nerte asse La asse d n systèe caractérse la qantté de atère q l renfere Elle est nvarable dans la écanqe newtonenne Dans la écanqe relatvste, elle dépend de la vtesse à travers l expresson : avec:, la asse a repos, la asse à la vtesse v v 1 c c, vtesse de la lère, c s -1 Chap III: Dynaqe d pont atérel

3 Centre d nerte o Barycentre Appelé ass oent d nerte o centre de gravté Il a été défn a débt par le physcen Archède Por avor la relaton donnant le pont centre d nerte d n systèe qelconqe, étdons l éqlbre d systèe présenté dans la fgre svante : 1 A O B A B Por qe le systèe sot en éqlbre l fat qe la soe des oents des forces par rapport à O sot nlle : O + A B OA A OA + OB B 1 g + OB g q: Vor Chaptre I, page 15, por la défnton d oent d'ne force (n vecter) par rapport à n pont 1 OA g + OB g ( ) 1 OA + OB g 1OA + OB Les athéatcens ont généralsé cette égalté por n systèe qelconqe représenté par la fgre c-dessos 1 G 1 + G + G D atre part, G OG + G O G O OG Donc ( O OG) O z G Systèe en éqlbre, pas de oveent y x Chap III: Dynaqe d pont atérel 3

4 OG O O OG O : représente la asse totale d systèe en éqlbre Cette dernère relaton donne le centre d nerte d n systèe constté de asses stées ax ponts S le systèe fore n le contn, la soe devent ntégrale, et par conséqent, la relaton précédente devendra : OG 1 O d L ntégrale est trple parce qe la asse est réparte en vole, tros densons V Vecter qantté de oveent Le vecter qantté de oveent d n pont atérel de asse et se déplaçant à la vtesse v est défn par le vecter P donné par : P v La qantté de oveent est ne grander vectorelle q a la êe drecton qe la vtesse Le prncpe d nerte pet s énoncer alors de la façon svante : Une partcle lbre, se déplace avec ne qantté de oveent constante dans n repère galléen O encore La qantté de oveent totale d n systèe, se conserve s le prncpe d nerte est vérfé VI Noton de orce : èe lo de Newton Tote case capable de odfer, dans n référentel galléen, le vecter qantté de oveent d n pont atérel est appelée OCE Dfférentes types de forces exstent : - orces d nteracton à dstance (orces de gravtaton) ; - orces électroagnétqes ; - orces ncléares ; - orces de contact (orces de frotteent) ; Chap III: Dynaqe d pont atérel 4

5 - etc On pet très ben défnr ne force oyenne, telle qe, P P( t' ) P( t) oy t t' t O encore, force nstantanée, telle qe, ( t) l ' t t oy d P( t) Lo ondaentale de la dynaqe o Prncpe ondaental de la Dynaqe (PD) Dans n référentel galléen, la soe des forces extéreres applqées à n systèe est égale à la dérvée d vecter qantté de oveent d centre d nerte de ce systèe d v ( v ) γ d P d ext Théorèe d centre d nerte Le oveent de translaton d n systèe se raène à cel de son centre d nerte G aqel on applqe totes les forces Théorèe d oent cnétqe Le oent cnétqe d pont se déplaçant à la vtesse v et ayant ne asse par rapport à O est défn par : σ r v σ Sa dérvée par rapport a teps est donnée par : d σ d r v v v d v + r r d P O r v d σ r t earqe : por l'étde des systèes dynaqes, on tlse généraleent ces dex théorèes et le prncpe fondaental de la dynaqe noté PD Chap III: Dynaqe d pont atérel 5

6 VII Prncpe de l acton et de la réacton : 3 èe lo de Newton Le prncpe de l acton et de la réacton, o prncpe des réactons récproqes, a été énoncé par Newton (3 èe lo de Newton) Soent dex ponts atérels (1) et () nteragssant entre ex ; l acton exercée par (1) sr () 1 est égale et opposée à celle exercée par () sr (1) 1 ( 1 1 ) 1 1, sot C est dex actons (forces) s exercent sltanéent et sont de êe natre (1) () 1 1 Exeple de forces 1 orces d nteracton à dstances a orces de gravtaton newtonenne On appelle force de gravtaton o force d nteracton gravtatonnelle, la force exercée par ne asse sr ne atre asse Cette force d nteracton st ne lo énoncée par Newton en 165 G d G : ne constante G6, Kg -1 s - b Interacton colobenne L nteracton colobenne est l analoge de l nteracton gravtatonnelle por les charges électrqes 1 q q' q q' qq ' K 4πε r r : Vecter ntare d q q qq' q ' q avec K c Kg s 4πε r Chap III: Dynaqe d pont atérel 6

7 Noton de Chap Chap de pesanter Sot le cas d n objet sr la srface de la terre G : asse de la terre ; : asse de l objet ; : rayon de la terre On pose g G : chap de pesanter g force d pods de l objet en qeston S le corps se trove à ne hater z par rapport à la srface de la terre, alors, G ( + z) La terre Z 64 k g G G ( + z) ( + z ) g g avec g : chap à la srface de la terre ( + z) z ass, on pet écrre qe : g g (1 + ) por z<<, et en tlsant n développeent lté d preer ordre : Donc la varaton relatve est g Por z <3 K, on a < 1% g z g g (1 ) z g g g g g z g Donc, on consdère le chap de pesanter coe localeent nfore Chap électrqe Par analoge avec le chap de la pesanter, on défnt le chap électrqe, tel qe : qq qe ' Chap III: Dynaqe d pont atérel 7

8 1 avec E 4π ε c Interacton électroagnétqe q' r La force qe sbt ne charge électrqe placée dans des chaps E (électrqe) et B (agnétqe) est appelée forces électroagnétqe o force de Lorentz: q ( E + v B) orces de contact a éacton d spport La force qe sbt n objet, posé sr n spport horzontal, en provenance d spport s appelle réacton d spport La réacton d spport sr l objet est réparte n sr tote la srface de contact spport-objet G n, représente la résltante de totes les Spport actons exercées sr la srface de contact P L objet étant en éqlbre b orces de frotteent P + n P Les forces de frotteent sont des forces q apparassent sot lors d oveent d n objet sot cet objet est sos à ne force q tend à volor le déplacer Le frotteent s oppose a déplaceent des objets en oveent Il y a dex types de frotteent : - frotteent vsqex (contact solde-flde) - frotteent solde (contact solde-solde) n rotteent vsqex Dans ce type de frotteent la force est proportonnelle à la vtesse, k v : force de frotteent k: constante postve v Solde en oveent lqde Chap III: Dynaqe d pont atérel 8

9 rotteent solde Dans cette fgre, le bloc solde est en oveent sos l acton de la force d entraîneent - e : orce d entraîneent ; e G ϕ n e - n : orce de réacton ; - : orce de frotteent ; - ϕ : angle de frotteent P µ n en odle avec : µ coeffcent de frotteent o coeffcent de frcton : c est ne constante q dépend de la natre de la srface de contact On a : tgϕ µ n Qelqes valers de µ atérax µ Acer-Acer Chêne-Sapn 67 Caotchoc-bte 6 est axale qant sos l acton de e le corps solde est tojors en éqlbre (pas de oveent) A partr de cette valer, s d éqlbre Conon d éqlbre : c orces de tenson P et e agente, le corps solde boge de sa poston n e e tgϕ P n orce de tenson o force de rappel L exeple le pls sple est la force de rappel d ressort k l l ) ( l Allongeent l k : coeffcent d allongeent (coeffcent de rader d ressort) epos P Chap III: Dynaqe d pont atérel 9

10 VIII Applcatons Exercce 1 Sot le pendle sple de la fgre 1 La asse est asslée à n pont atérel 1 Déterner l éqaton d oveent de ce pendle por les fables oscllatons On travallera por la déternaton de l éqaton d oveent dans ne base polare lée à la asse et on tlsera le P D Déterner la êe éqaton d oveent, tojors por les fables oscllatons, en tlsant cette fos le théorèe d oent Cnétqe Exercce Un traînea de asse Kg est tré svant ne lgne de pls grande pente d'n plan nclné par l'nterédare d'n câble fasant n angle β avec celle-c (g ) 1 La tenson d câble vat T1 N Le oveent étant nfore de vtesse v1 kh -1 ; déterner la réacton soe des forces de contact exercées par le sol sr le traînea AN: α, β3, g1 s - On agente la tenson et le oveent d traînea devent nforéent accéléré a Le coeffcent de frotteent traînea-sol restant dentqe, la réacton est-elle odfée? b La vtesse d traînea passe de 1 K H -1 à K H -1 sr ne dstance de 1 Calcler la pssance exercée par la tenson T d câble lorsqe la vtesse vat 15 K H -1 Exercce 3 Tros soldes dentqes, A, B et C, asslés à des ponts atérels de êes asses, sont lés coe l ndqe la fgre 3 Nos néglgeons la asse des fls et nos adettons qe ler tenson est la êe de part et d atre des poles Déterner la tenson de chacn des fls en spposant q l n y at pas de frotteents O T β g 1 θ l θ g α ρ Sens d oveent B g 3 A α C Chap III: Dynaqe d pont atérel 1