Fonction carrée Problèmes du second degré

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1 Fonction carrée Problèmes du second degré Année scolaire 2015/2016 Table des matières 1 Quelques rappels Les identités remarquables Développement Factorisation Fonction carrée Définition Parité Variations Courbe représentative Application à des encadrements Fonctions polynômes du second degré Définition Sens de variation Table des figures 1 Fonction paire Courbe représentative de la fonction carrée Encadrements (fonction carrée) Exemple Encadrements (fonction carrée) Exemple Encadrements (fonction carrée) Exemple Liste des tableaux 1 Tableau de valeurs de la fonction carrée Variations d un trinôme du second degré

2 1 QUELQUES RAPPELS 1 Quelques rappels 1.1 Les identités remarquables Les identités remarquables : Si a et b sont deux réels quelconques, alors : Carré de la somme : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Carré de la différence : (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 Différence de deux carrés : a 2 b 2 = (a b) (a + b) Remarque : les identités remarquables sont à connaître par cœur, et dans les deux sens. 1.2 Développement Développer, c est transformer un produit en somme. Remarques : Quelques erreurs à éviter 1. Ne pas oublier le double-produit dans le cas du développement d un carré (A + B) 2 = A 2 +2AB + B 2 (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 2. Lorsqu on a su signe devant un parenthèse, il faut changer tous les signes (A + B C) = A B+C Exemples : (tiré de l exercice 5 page 70 [TransMath]) A = (2x + 1) (x 4) = (2x) x x 8 = 4x 2 + 4x x 8 = 4x 2 + 6x 7 B = (3x 2) 2 4 (x + 2) = (3x) 2 2 3x x 8 = 9x 2 12x + 4 4x 8 = 9x 2 16x 4 Exercices : 1, 2, 4, 5, 6 page 70 et 55, 58 page 81 1 [TransMath] 1.3 Factorisation Factoriser, c est transformer une somme en produit. Voici les questions à se poser, dans l ordre, pour factoriser une expression : 1. Est-elle déjà factorisée? Dans ce cas, il faut rendre la factorisation optimale... Exemple à terminer : A (x) = (5x 1) ( 3x 2 x ) 2. Reconnaît-on une identité remarquable? Exemple résolu : 1. Développement. B (x) = x 2 (3x 2) 2 = [x (3x 2)] [x + (3x 2)] = (x 3x + 2) (x + 3x 2) = ( 2x + 2) (4x 2) 2

3 2 FONCTION CARRÉE Exemple à terminer : C (x) = (5x 2) 2 4 (x 3) 2 3. Dans tous les termes de la somme, a-t-on le même facteur commun? Souligner ce facteur commun, le mettre en facteur, puis écrire entre crochets ce qui n est pas souligné. Exemple résolu : D (x) = (2x 1) (x + 4) + (x + 4) 2 = (2x 1) (x + 4) + (x + 4) (x + 4) = (x + 4) [(2x + 1) + (x + 4)] = (x + 4) (2x x + 4) = (x + 4) (3x + 5) Exemple à terminer : E (x) = (x 2) (2x + 1) 2 (x 2) 2 Quelques erreurs à éviter (a) Ne pas oublier le facteur 1 dans une factorisation : (x + 2) 2 + x + 2 = (x + 2) (x + 2) + (x + 2) 1 = (x + 2) [(x + 2) +1] = (x + 2) (x ) = (x + 2) (x + 3) (b) Le facteur commun est parfois implicite. Il faut alors le faire apparaître : (3x 1) 2 3x + 1 = (3x 1) (3x 1) (3x 1) = (3x 1) [(3x 1) 1] = (3x 1) (3x 1 1) = (3x 1) (3x 2) Exemples à terminer : F (x) = 3 x + (3 x) 2 et G (x) = (2x 5) (x + 6) 2x Peut-on factoriser une partie de l expression? Après l avoir factorisée, essayer de terminer à l aide d un facteur commun. Exemple résolu : H (x) = 4x 2 1 (3x + 5) (2x 1) }{{} = (2x) (3x + 5) (2x + 1) = (2x 1) (2x + 1) (3x + 5) (2x + 1) = (2x + 1) [(2x 1) (3x + 5)] = (2x + 1) (2x 1 3x 5) = (2x + 1) ( x 6) Exemple à terminer : I (x) = (x 3) (x + 2) (x + 2) 2 + 2x 2 + 4x 5. Si rien ne marche, essayez de développer l expression... Mais ceci a vraiment peu de chances d aboutir. Exemple à terminer : J (x) = (4x 1) 2 (4x 2) (4x + 1) Exercices : 8, 9, 10 page , 12, 13 page 71 et 61, 62, 63, 65 page , 15 page 71 et 66, 68 page page 71et 58 page 81 5 [TransMath] 2 Fonction carrée 2.1 Définition Parité Définition : La fonction carrée est la fonction f définie sur R par : 2. Premières factorisations. 3. Factorisations. 4. Choix d expressions. 5. Un problème d aires. f : x x 2 3

4 2.2 Variations Courbe représentative 2 FONCTION CARRÉE Remarque : Pour tout x R, ( x) 2 = x 2. On a donc f ( x) = f (x). On dit que la fonction carré est paire. Sa courbe est symétrique par rapport à l axe des ordonnées (voir figure 1). Figure 1 Fonction paire On peut donc limiter l étude de ses variations à l intervalle [0 ; + [. 2.2 Variations Courbe représentative Propriété : La fonction carrée est croissante sur l intervalle [0 ; + [. La fonction carrée est décroissante sur l intervalle ] ; 0] Démonstration : - Soient a, b [0 ; + [ avec a b. f (b) f (a) = b 2 a 2 = (b a) (b + a) Comme a b, b a est positif. Comme a 0 et b 0, b + a est positif. Par suite, f (b) f (a) 0, c est-à-dire f (a) f (b). L ordre est conservé donc f est croissante sur [0 ; + [. - Soient a, b ] ; 0] avec a b. f (b) f (a) = b 2 a 2 = (b a) (b + a) Comme a b, b a est positif. Comme a 0 et b 0, b + a est négatif. Par suite, f (b) f (a) 0, c est-à-dire f (a) f (b). L ordre est inversé donc f est décroissante sur [0 ; + [. Remarque : On a donc le tableau de variations suivant : x 0 + x 2 0 Courbe représentative de la fonction carrée : Il suffit de faire un tableau de valeurs et de tracer la courbe sur l intervalle [0 ; + [. L autre partie de la courbe se déduit par symétrie par rapport à l axe des ordonnées (voir tableau 1 et figure 2). x 0 0, x 2 0 0, Table 1 Tableau de valeurs de la fonction carrée La courbe représentative de la fonction carrée est une parabole. 4

5 2.3 Application à des encadrements 2 FONCTION CARRÉE Figure 2 Courbe représentative de la fonction carrée 2.3 Application à des encadrements Propriété : Pour des nombres positifs, le passage au carré conserve l ordre. Si a 0 ; b 0 et a b alors a 2 b 2 Pour des nombres négatifs, le passage au carré inverse l ordre. Si a 0 ; b 0 et a b alors a 2 b 2 Exemples : 1. On suppose que 1 x 4. Encadrer au mieux x 2. La fonction carrée est croissante sur l intervalle [1 ; 4], donc elle conserve l ordre (voir figure 3). On a donc : 1 x Figure 3 Encadrements (fonction carrée) Exemple 1 2. On suppose que 3 x 2. Encadrer au mieux x 2. La fonction carrée est décroissante sur l intervalle [ 3 ; 2], donc elle inverse l ordre (voir figure 4). On a donc : 4 x

6 2.3 Application à des encadrements 2 FONCTION CARRÉE Figure 4 Encadrements (fonction carrée) Exemple 2 3. On suppose que 2 x 4. Encadrer au mieux x 2. La fonction carrée est n est pas monotone sur l intervalle [ 2 ; 4]. Elle est décroissante sur l intervalle [ 2 ;, 0] et croissante sur l intervalle [0 ; 4] On utilise la courbe représentative de la fonction carrée pour déterminer le minimum et le maximum sur l intervalle [ 2 ; 4] (voir figure 5). On a donc : 0 x Figure 5 Encadrements (fonction carrée) Exemple 3 Remarque : On peut aussi utiliser le tableau de variations de la fonction carrée (adapté à l intervalle donné) pour résoudre ces problèmes d encadrements. Exercices : 17, 18, 19, 20, 21 page , 24, 26, 27, 28 page , 30, 31 page 74 et 32, 34 page , 78 page page 79 et 80, 81 page page 79 ; 94, 95 page 84 et 98 page [TransMath] 6. Utilisation des variations de la fonction carrée. 7. Utiliser le tableau de variations de la fonction carrée. 8. Résolution d équations et d inéquations. 9. Comparaison de nombres. 10. Comparer graphiquement. 11. Mettre un problème en équation. 6

7 3 FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ 3 Fonctions polynômes du second degré 3.1 Définition Définition : On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction f définie sur R pouvant s écrire sous la forme f (x) = ax 2 + bx + c, avec a 0. Exemples : 1. f (x) = 3x 2 x + 1 est un polynôme du second degré (a = 3 ; b = 1 et c = 1) 2. g (x) = (3x 2) (1 x) est un polynôme du second degré : En développant, on obtient : g (x) = 3x 2 + 5x 2 (a = 3 ; b = 5 et c = 2) 3. h (x) = 2 (x + 1) est un polynôme du second degré : En développant, on obtient : h (x) = 2 ( x 2 + 2x + 1 ) + 3 = 2x 2 4x + 1 (a = 2 ; b = 4 et c = 1) 4. h (x) = 3x 2 est un polynôme du second degré (a = 3 ; b = 0 et c = 0) 5. Par contre, les fonctions suivantes ne sont pas des polynômes du second degré : j : x 3x 1 (car le coefficient de x 2 doit être non nul) k : x x (car cette fonction n est pas définie sur R) 3.2 Sens de variation d un polynôme du second degré Activité : Activité 1 page [TransMath] Le tableau 2 donne le sens de variations des fonctions polynômes du second degré. Ces résultats seront montrés en classe de Première. On note α = b 2a et β = f (α). a > 0 a < 0 Tableau de variations de f x α + f (x) β x α + β f (x) Courbe représentative de f Table 2 Variations d un trinôme du second degré Remarques : 12. Trajectoire parabolique. 7

8 RÉFÉRENCES RÉFÉRENCES 1. La courbe représentative d un trinôme du second degré est appelée parabole. 2. Le sommet de la courbe est le point S (α ; β). Si a > 0, elle est tournée vers le haut. Si a < 0, elle est tournée vers le bas. 3. Dans tous les cas, la droite verticale passant par le sommet S de la parabole est un axe de symétrie de la courbe. Exercices : 39, 40, 41, 42 page , 84 page , 88 page page 79 ; 97 page 85 et 100 page [TransMath] Exercices de synthèses : 107, 108, 110 page et 109 page [TransMath] Références [TransMath] Transmath Seconde, Nathan (édition 2010). 2, 3, 6, 7, Étudier une fonction polynôme du second degré. 14. Reconnaissance de courbes. 15. Identifications. 16. Problèmes d optimisation. 17. Des problèmes d aire. 18. Choix d expression. 8