a, c'est aussi un nombre rationnel. Les nombres irrationnels ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions, c'est le cas de 2 ; 15 ; π ;...

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1 CALCUL NUMÉRIQUE 1) Ensembles de nombres Les nombres naturels sont: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;... L'ensemble des nombres naturels est noté N. Les nombres entiers relatifs (ou simplement : nombres entiers) sont :... ; -4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;... L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté Z. Tout nombre entier naturel est aussi un nombre entier relatif. D'où N est inclus dans Z, ce qui s'écrit : N Z. Les nombres rationnels sont les quotients d'entiers de la forme a, avec a entier et b entier non b nul. L'ensemble des nombres rationnels est noté Q. Un nombre entier a peut toujours s'écrire 1 a, c'est aussi un nombre rationnel. D'où Z est inclus dans Q, ce qui s'écrit : Z Q. Les nombres irrationnels ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions, c'est le cas de 2 ; 15 ; π ;... L'ensemble de tous les nombres rationnels et irrationnels est l'ensemble des nombres réels. L'ensemble des nombres réels est noté R. L'ensemble Q est inclus dans R. Les inclusions successives permettent d'écrire : N Z Q R Il est utilisé le symbole mathématique qui traduit l'inclusion ; par exemple : N Z, tout élément de : N est un élément de Z. Il peut être utilisé le symbole mathématique qui traduit l'appartenance ; par exemple : 11 3 N ; -8 Z ; 3 Q ; 7 R Cours sur le calcul numérique 1/8

2 2) Représentation des nombres réels À tout point M d'un axe de repère (O ; I) est associé un nombre réel, et un seul. Il est noté x M : abscisse de M dans le repère choisi. La droite (x' x) munie du repère (O ; I) définit un axe. Sur cet axe : - le point O est l'origine, - la longueur OI est l'unité de longueur, - le sens positif est celui de O vers I. - la position du point M est repérée par son abscisse Exemple O I M x 0 1 x M x Le point O est l image du nombre zéro, le point I est l image du nombre +1. La valeur absolue d'un nombre réel x, notée x est le nombre réel positif tel que: Exemple si x 0 alors x = x. si x 0 alors x = x. B O I A x -1-0, x Abscisse de A : x A = +3 OA = x A = 3 Abscisse de B : x B = -0,5 OB = x B = 0,5 AB = xb xa = 3,5 La distance entre deux points A et B est la valeur absolue de la différence de leurs abscisses : AB = xa xb = xb xa Cours sur le calcul numérique 2/8

3 3) Addition des nombres réels L'addition de deux réels a et b permet d'obtenir leur somme notée (a + b). Les nombres a et b sont les termes de la somme. Propriétés Commutativité : Associativité : a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c). L élément neutre est le nombre 0 : a + 0 = 0 + a = a. Tout réel a admet un opposé noté ( a) : a + (-a) = (-a) + a = 0. Soustraire un nombre réel revient à ajouter son opposé: a b = a +(-b). 3 + (-1) = (-1) + 3 = 2 La somme ne dépend pas de l ordre des termes, l addition est commutative. (2 + 0,5) = 2, = ,5 + 2 = = 3 L usage des parenthèses est inutile, l addition est associative. 4) Additionner des nombres de même signe MÉTHODE Ajouter les valeurs absolues. Faire précéder le résultat obtenu du signe des nombres. A = (-5) + (-3) = 8 d où A = -8 Cours sur le calcul numérique 3/8

4 5) Additionner des nombres de signes différents Faire la somme des valeurs absolues des nombres positifs. Faire la somme des valeurs absolues des nombres négatifs. Soustraire ces deux sommes. Faire précéder le résultat du signe de la plus grande somme. B = (-7,5) + 1, ,5 + 2 = 3,5 7,5 + 1 = 8,5 8,5 3,5 = 5 d où B = -5 6) Suppression des parenthèses Règles Lorsqu'une somme comporte des termes entre parenthèses : les parenthèses précédées d'un signe + peuvent être supprimées. Pour supprimer les parenthèses précédées d'un signe, il faut changer le signe de chaque nombre situé à l'intérieur de ces parenthèses. Dans une parenthèse, lorsque le signe du premier nombre n'est pas indiqué, il faut lui attribuer le signe +. A = 2,4 + (2,1 3,5 + 4,4) A = 2,4 + 2,1 3,5 + 4,4 = 5,4 B = 0,7 (3,4 + 2,5 6) B = 0,7 3,4 2,5 + 6 = 0,8 7) Additionner des nombres placés entre parenthèses Supprimer les parenthèses précédées du signe + sans changer le signe des nombres. Supprimer les parenthèses précédées du signe en changeant le signe des nombres. Procéder ensuite comme pour l'addition de nombres de signes différents. Cours sur le calcul numérique 4/8

5 A = 10 + (3 1) (-5 + 2) A = (-5 + 2) A = d où A = 15. 8) Addition sous forme fractionnaire Règles L'addition ou la soustraction des nombres réels sous forme fractionnaire s'effectue lorsque ceuxci ont le même dénominateur. a c ad bc ad + bc + = + = (avec b 0 et d 0 ) b d bd bd bd Un nombre entier a peut s'écrire sous forme fractionnaire avec 1 pour dénominateur : a = 1 a. Le dénominateur commun peut être égal au PPMC (Plus Petit Multiple Commun) des deux dénominateurs = = + = + = = = ) Simplifier l'écriture d'un nombre fractionnaire Ecrire le numérateur et le dénominateur sous forme de nombres entiers en les multipliant, si nécessaire, par une puissance de 10. Décomposer le numérateur et le dénominateur en un produit de nombres premiers. Diviser le numérateur et le dénominateur par le Plus Grand Diviseur Commun (PGDC). 25,2 252 A= En multipliant par 10 : A= = = La fraction A peut être simplifiée par : soit 126. d où 2 A= 5 Cours sur le calcul numérique 5/8

6 10) Multiplication des nombres réels La multiplication de deux nombres réels a et b permet d'obtenir leur produit noté a b, a b ou ab. Les nombres a et b sont les facteurs du produit. Propriétés Commutativité : a b = b a Associativité : a ( b c) = ( a b) c L élément neutre est le nombre 1 : a 1 = 1 a = a Tout réel non nul a admet un inverse 1 a : 1 a = 1 a Diviser par un nombre réel non nul a revient à multiplier par son inverse : 1 a b = a b 3 4 = 12 (-2) (-1,5) = 3 Le produit de deux nombres de même signe est positif. (-3) 4 = (-1,5) = -3 Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. 11) Multiplier des nombres entiers relatifs Multiplier les valeurs absolues. Affecter au résultat : le signe + pour deux facteurs de même signe. le signe pour deux facteurs de signes différents. A = (-5) (-1) ; B = 3 (-2) 5 1= = 6 d où A = 5 B = -6 Cours sur le calcul numérique 6/8

7 12) Multiplication sous forme fractionnaire Règles Multiplier des nombres réels sous forme fractionnaire revient à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : a c ac = (avec b 0 et d 0 ) b d bd Diviser un nombre réel, entier ou sous forme fractionnaire, par un nombre réel sous forme fractionnaire revient à le multiplier par l'inverse de ce dernier : a c a d ad = = (avec b 0, c 0 et d 0 ) b d b c bc ,2 = = ( 5) = = est l'inverse de (-5) 5 13) Distributivité de la multiplication Propriétés La multiplication est distributive par rapport à l'addition : ( ) a b + c = a b + a c Développer un produit consiste à transformer l'écriture de = ( + ) en = + Factoriser une somme consiste à transformer l'écriture de S a b a c en S a ( b c) Le nombre a est mis en facteur. 5a + 5b est le développement de 5(a + b) est la factorisation de P a b c P a b a c = + = +. Cours sur le calcul numérique 7/8

8 14) Multiplier des nombres fractionnaires Multiplier les numérateurs entre eux. Multiplier les dénominateurs entre eux. Affecter au nombre fractionnaire qui exprime le résultat le signe correspondant à la règle des signes. Simplifier l'expression fractionnaire du résultat. 3 7 Effectuer A = = = 60 d où A = Après simplification : A = ) Calcul mental : multiplier un nombre n Multiplier un nombre par 10 : déplacer la virgule de n rangs vers la droite. -n Multiplier un nombre par 10 : déplacer la virgule de n rangs vers la gauche. Multiplier un nombre par 0,5 : diviser par 2 (0,5 = 1 2 ). Multiplier un nombre par 0,25 : diviser par 4 (0,25 = 1 4 ). Effectuer : 1, = ,5 0,01 = 0, ,5 = ,25 = 3 Cours sur le calcul numérique 8/8